Căn thức nâng cao lớp 9

1. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
1
Phần 1. Rút gọn căn thức
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: A 8 8 20 40   
Bài 2. Đề thi chuyên ngữ 2014
Cho biểu thức:
2 4 2 1 1 2
: 3
18 2 1
x x x x
A
xx x x x
      
           
1. Rút gọn A
2. Tìm giá trị của x để A > 1
Kết hợp với điều kiện, kết luận: 1 4; 3x x   (thiếu x khác 3 trừ 0,25đ)
Bài 3. Hsg Bình Thuận
   
3 32
2
1 1 . 1 1
2 1
     
  
 
x x x
A
x
a) Rút gọn A
b) Tìm x biết
1
2
A 
Bài 4. Hsg Nam Định. Cho 𝑥 ≠ 0, −1 < 𝑥 < 1,
1 x 1 x
2
1 x 1 x
  

  
. Chứng minh rằng:
1
12 2 17
1
x
x

 

Bài 5. Cho y x 2 x 1 x 2 x 1      . CMR, nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì giá trị của y là một
hằng số. HD Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2.
Tự luyện
Bài 6. Tính giá trị của biểu thức sau bằng hai cách: 3 5 3 5A    
Bài 7. Cho biểu thức 4 2
A 20a 92 a 16a 64     ;
4 3 2
B a 20a 102a 40a 200    
a) Rút gọn A
b) Tìm a để A + B = 0
Bài 8. Hsg Thanh Hóa. Rút gọn
2
4x 1 4x 1
2 2
1 8
16
 
  

 
x x
A
x x

2. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
2
Bài 9. Cho biểu thức:
xxx
xx
xx
xx
x
x
P








2
122
 .1;0  xx
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của thức P khi 223x
c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức
P
7
chỉ
nhận một giá trị nguyên.
Đs a)
2 2 2x x
P
x
 
 b) 4 2 2P   ; c)
1
4;
4
x x 
Bài 10. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004
Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên.
Bài 11. Cho biểu thức
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
P
x yx y x y x y xy
     
           
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Cho 16xy  . Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.
a)
x y
P
xy

 b) GTNN của P bằng 1 tại 4x y  .
Bài 12. Hsg T.T.Huế. Cho
𝐴 = (
6𝑥 + 4
3√3𝑥3 − 8
−
√3𝑥
3𝑥 + 2√3𝑥 + 4
) (
1 + 3√3𝑥3
1 + √3𝑥
− √3𝑥)
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 13. Rút gọn
2
x x 2x x 2(x 1)
x x 1 x x 1
  
 
  
2 x
P

3. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
3
a)
2
2
2a 1 x
C
1 x x


 
với
1 1 a a
x
2 a 1 a
 
  
 
; 0 < a < 1
b)
  2 2
2
a 1 b 1
D (a b)
c 1
 
  

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1
Phần 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 14. Tính giá trị biểu thức 3 3
84 84
1 1
9 9
  
Bài 15. Hsg Đồng Tháp. Cho
 3
10 6 3 3 1
6 2 5 5
x
 

 
. Tính  
20093
4x 1P x  
Bài 16. Gọi a là nghiệm dương của phương trình: 2
2 1 0x x   . Không giải phương trình, hãy
tính giá trị biểu thức:
 4 2
2 3
2 2 2 3 2
a
C
a a a


  
Bài 17. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: (√𝑥2 + 1 + 𝑥)(√𝑦2 + 1 + 𝑦) = 1. Tính x + y
Bài 18. Biết a – b = 2 + 1 , b – c = 2 - 1, tìm giá trị của biểu thức :
A = a2
+ b2
+ c2
– ab – bc – ca.
Bài 19. Hsg Hà Tĩnh. Tính tổng 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎 𝑛, với n = 1, 2, … 2005 biết
𝑎 𝑛 =
1
(𝑛 + 1)√ 𝑛 + 𝑛√ 𝑛 + 1
Tự luyện
Bài 20. Cho 3 3
7 50 7 50x     Chứng minh rằng:
a) x là nghiệm của phương trình 3
14 3x x 
b) x là số tự nhiên.
c) Tính 3 3
a 20 14 2 20 14 2    .
Bài 21. a) Cho
1
a
8
 . Tính giá trị biểu thức: 3 3
a 1 8a 1 a 1 8a 1
P a a
3 3 3 3
   
   
b) Cho 3
b 2020 , tính giá trị biểu thức:
3 2 2 3 2 2
3 3
b 3b (b 1) b 4 b 3b (b 1) b 4
Q
2 2
       
 

4. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
4
Bài 22. a) Chứng minh rằng với mọi a, b, c ≠ 0 thì:
2
2 2
2
11
a a
a b a b
aa
bb
    
   
 
b) Tính
2
2 2005
1 2005
2006
 
   
 
A
Bài 23. Tính giá trị biểu thức:  
 
20122
20125 4 3
5 4 3 2012
3
1
2
x x
A x x x
x x x
 
    
  
khi
5 1
2
x


Đs A = 0
Bài 24. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: (√𝑥2 + 4 − 𝑥)(√𝑦2 + 4 − 𝑦) = 4. Tính x + y
Bài 25. Cho số tự nhiên x, y thỏa mãn   2 2
x 1 y y 1 x 1     . Tính giá trị của biểu
thức: 7 7 5 5 3 3
P x y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 100        
Bài 26. Hsg Phú Yên. Cho
1 3
2
x
 
 ,
1 3
2
y
 
 . Tính 𝑥11
+ 𝑦11
Phần 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 27. 1) Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
    
2) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. CM
     
2 2 2
1 1 1
S
a b b c c a
  
  
là
số hữu tỉ
3) Rút gọn:
   
2 22 2 4 4 2 2
1 1 1 1 1
P
x y x yx y x y
    
  
Bài 28. Hsg Phú Thọ. Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 100. Tính giá trị biểu thức:
𝐴 =
√ 𝑥
√ 𝑥𝑦 + √ 𝑥 + 10
+
√ 𝑦
√ 𝑦𝑧 + √ 𝑦 + 1
+
10√ 𝑧
√ 𝑧𝑥 + 10√ 𝑧 + 10
Bài 29. *Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c a b c 2      . Chứng minh
rằng:
a b c 2
1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)
  
     

5. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
5
Tự luyện
Bài 30. a) Rút gọn biểu thức: 2 2
1 1
A 1
a (a 1)
  

b) Tính giá trị của: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
B 1 1 ... 1
1 2 2 3 99 100
         
Bài 31. Với mỗi số nguyên dương 𝑛 ≤ 2008, đặt 𝑆 𝑛 = 𝑎 𝑛
+ 𝑏 𝑛
với
3 5
2
a

 ,
3 5
2
b

 .
Chứng minh rằng:
a) Với 𝑛 ≥ 1, ta có:
𝑆 𝑛 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 𝑛+1
+ 𝑏 𝑛+1) − 𝑎𝑏(𝑎 𝑛
+ 𝑏 𝑛)
b) Với mọi n thỏa mãn điều kiện đề bài, 𝑆 𝑛 là số nguyên
c)
2
5 1 5 1
2
2 2
n n
nS
                   
Tìm tất cả các giá trị của n để 𝑆 𝑛 − 2 là số chính phương.
Bài 32. a) **Cho 2 4 2 2 2 43 3
P x x y y x y    . Chứng minh rằng:
3 32 2 23
P x y 
b) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 3 3
ax by cz  và
1 1 1
1
x y z
   . Chứng minh rằng:
2 2 2 3 3 33
ax by cz a b c    
Bài 33. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b c  và 2
( )a b a b c    . Chứng
minh rằng:
2
2
( )
( )
a a c a c
b b c b c
  

  
Phần 4. BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 34. Chứng minh: (HSG 2001)
2 2 2 2 2 1
3
2 2 2 2
   

  
Bài 35. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số:
2a b 2 cd  và 2c d 2 ab 
Bài 36. Tính giá trị của biểu thức x2
+ y2
biết rằng :
2 2
x 1 y y 1 x 1    .

6. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
6
Bài 37. Chứng minh rằng :
1
2 n 1 2 n 2 n 2 n 1
n
      . Từ đó suy ra:
1 1 1
2004 1 ... 2005
2 3 1006009
     
Bài 38. a) Chứng minh *n N  . Ta có :
 
1 1 1
1 1 1n n n n n n
 
   
b) Tính :
1 1 1 1
2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2012 2011 2011 2012
S    
   
Bài 39. CMR, n ≥ 1 , n  N :
1 1 1 1
... 2
2 3 2 4 3 (n 1) n
    

Tự luyện
Bài 40. Chứng minh rằng: 2 3 4... 2010 2011 3
Bài 41. Tìm GTNN của biểu thức :    3 3 3 3
A x 2 1 x 1 x 2 1 x 1        .
Bài 42. Tìm x, y, z biết rằng : x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5         .
Bài 43.
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k ta có:
1 1 1
2
( 1) 1k k k k
 
  
  
b) Chứng minh rằng:
1 1 1 1
... 2
2 3 2 4 3 ( 1)n n
    

Bài 44. Tính :
1 1 1 1
A ...
2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100
    
   
.
Ta hãy chứng minh :
1 1 1 9
A
10(n 1) n n n 1 n n 1
   
   
Bài 45. Tìm GTLN của biểu thức
a) A = 3 5 7 3x x b) B = 5 23x x
Bài 46. Chứng minh rằng
a) n  Z+ , ta luôn có :  1 1 1
1 .... 2 n 1 1
2 3 n
       .

7. Căn thức Thầy Hồng Trí Quang
7
b) S không là số tự nhiên với:
1 1 1
S 1 ...
2 3 100
    
Bài 47. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :
1 2 3 25
1 1 1 1
... 9
a a a a
     .
Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.
Bài 48. Tính tổng A 1 2 3 ... 24                  
Bài 49. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2
A x x 1 x x 1     
Phần 5. SỐ HỮU TỈ - SỐ VÔ TỈ
Bài 50. Cho
a 2
M
a 2



Bài 51.
a) Chứng minh 3 là số vô tỉ
b) Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình : 3x3
+ ax2
+ bx
+ 12 = 0 là 1 3 .
Bài 52. Cho ba số x,y, x y là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x; y đều là các số
hữu tỉ
Bài 53. Chứng minh rằng biểu thức 222221 66666 3 không thể biểu diễn được dưới dạng
 
2
a1 b 3 với a, b là số nguyên
Bài 54. Cho biểu thức :
1 1 1 1
P ...
2 3 3 4 4 5 2n 2n 1
    
    
a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ?
Phần 6. Các bài toán khác
Bài 55. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm là : 3 3
x 3 9  .
Bài 56. Xác định đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận 7 7
3 5
5 3
 là một nghiệm.
Bài 57. Cho 𝑐 = √6√3 + 10
3
, 𝑑 = √6√3 − 10
3
. Chứng minh rằng 𝑐2
, 𝑑2
là hai nghiệm của một
phương trình bậc hai với hệ số nguyên.