V(I)={m∈Spm(R) | I⊂m} ってどーゆー意味やねん！ Hanpen Robotの代数幾何の，素朴な疑問を解決しようのコーナー！2014/12/28　年末だよ　 なんで，極大イデアルを使うの？

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Hanpen Robot の代数幾何の，素朴な疑問を解決しようのコーナー！2014/12/28 年末だよ
なんで，極大イデアルを使うの？
そもそも，（𝑅 = ℂ[𝑥1,… , 𝑥 𝑛]とおく）
𝑉(𝐼) = {𝑚 ∈ 𝑆𝑝𝑚(𝑅) | 𝐼 ⊂ 𝑚}
ってどーゆー意味やねん！
■極大イデアルとは点である(←超重要！)
・ヒルベルトの弱零点定理
ℂn
≅ 𝑆𝑝𝑚{ℂ[𝑥1, … , 𝑥 𝑛]}
ℂn
∋ 𝑃⃗ = (𝑎1,… , 𝑎 𝑛) ⟷ 𝑚(𝑃⃗ ) = (𝑥1 − 𝑎1, … , 𝑥 𝑛 − 𝑎 𝑛) ∈ 𝑆𝑝𝑚{ℂ[𝑥1,… , 𝑥 𝑛]}
フツーの意味での，多項式𝑓(𝑥1,… , 𝑥 𝑛)の零点集合↓
𝑉(𝑓) = {𝑃⃗ ∈ ℂ 𝑛
| 𝑓(𝑃⃗ ) = 0 , 𝑓 ∈ ℂ[𝑥1,… , 𝑥 𝑛]}
ヒルベルトの弱零点定理を利用して，以下の変換を行う！
ℂn
∋ 𝑃⃗ ↦ m(𝑃⃗ ) ∈ 𝑆𝑝𝑚{ℂ[𝑥1, … , 𝑥 𝑛]} 点を極大イデアルに変換！
𝑓(𝑃⃗ ) = 0 ⟺ 𝑓 ∈ 𝑚(𝑃⃗ ) 多項式の零点の言い換え
なぜ，↑のように言い換られるのか？
その理由：ℂが代数閉体なので，以下が成立するから
𝑓(𝑃⃗ ) = 0 ⟺ 𝑓(𝑥1,… , 𝑥 𝑛) = ∑ 𝑔𝑖(𝑥1, … , 𝑥 𝑛) ⋅ (𝑥𝑖 − 𝑎𝑖)
𝑛
𝑖=0
∈ 𝑚(𝑃⃗ )
𝑔𝑖(𝑥1, … , 𝑥 𝑛) ∈ ℂ[𝑥1, … , 𝑥 𝑛]とする
よって，多項式𝑓(𝑥1, … , 𝑥 𝑛)の零点集合は，極大イデアルを使うと
𝑉(𝑓) = {𝑚(𝑃⃗ ) ∈ 𝑆𝑝𝑚{ℂ[𝑥1, … , 𝑥 𝑛]} | 𝑓 ∈ 𝑚(𝑃⃗ ) , 𝑓 ∈ ℂ[𝑥1,… , 𝑥 𝑛] }
となる.ここで，𝑚(𝑃⃗ )を単に𝑚と，表記しなおせば・・・
𝑉(𝑓) = {𝑚 ∈ 𝑆𝑝𝑚{ℂ[𝑥1, … , 𝑥 𝑛]} | 𝑓 ∈ 𝑚 }
■ 𝑉(𝐼) = {𝑚 ∈ 𝑆𝑝𝑚(𝑅) | 𝐼 ⊂ 𝑚}を認めれば，座標環は自然に出てくるよねっ！
イデアルの対応定理を𝑉(𝐼) = {𝑚 ∈ 𝑆𝑝𝑚(𝑅) | 𝐼 ⊂ 𝑚}に適用してみる！
𝑉(𝐼) = {
𝑚
𝐼
∈ 𝑆𝑝𝑚 (
𝑅
𝐼
) |
𝐼
𝐼
= (0) ⊂ 𝑚}
∴ 𝑉(𝐼) = 𝑆𝑝𝑚 (
𝑅
𝐼
)