Penyebaran ketidakpastian
β’Download as DOCX, PDFβ’
2 likesβ’2,902 views
Makalah ini membahas tentang penyebaran ketidakpastian dalam pengukuran fisika. Beberapa poin penting yang dibahas antara lain ketidakpastian dalam pengukuran langsung, aturan akar kuadrat pada perhitungan ketidakpastian, penjumlahan dan pengurangan serta perkalian dan pembagian ketidakpastian, dan rumus umum untuk menghitung ketidakpastian penyebaran.
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Penyebaran ketidakpastian
Similar to Penyebaran ketidakpastian (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Penyebaran ketidakpastian
- 1. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 1 MAKALAH FISIKA EKSPERIMEN I βPENYEBARAN KETIDAKPASTIANβ KELOMPOK 3 DINA NOVSIANI (E1Q015013) ENDANG SRI WAHYUNI (E1Q015015) FARIZAH YULIANTI (E1Q015016) HALIMAH (E1Q015018) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARM 2017
- 2. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 2 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan kesempatan kepada kami sehingga dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya. Kedua kalinya shalawat serta salam tidak lupa kami haturkan atas junjungan alam Nabi besar Muhammad SAW yang telah membawa kita dari alam kegelapan menuju alam yang terang benderang dengan iman dan takwa. Terimakasih pula kepada dosen Fisika Eksperimen I yang telah memberikan bimbingan kami untuk menyelesaikan tugas makalah ini. Tak terkecuali juga pada pihak- pihak lain yang telah membantu dalam membuat makalah ini. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas Fisika Eksperimen I, sesuai dengan ketentuan yang ditetapkan. Tak ada gading yang tak retak, tak ada manusia yang luput dari kesalahan. Begitu juga dengan makalah ini yang masih banyak kekurangan. Oleh karena itu sangat diharapkan kritik dan saran dari pembaca untuk kesempurnaan makalah berikutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi pembaca dan khususnya untuk penulis sendiri. Mataram, 05Oktober 2017 Penyusun
- 3. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 3 DAFTAR ISI Halaman Judul Kata Pengantar ........................................................................................................................ i .................................................................................................................................................. Daftar Isi .................................................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang.......................................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah .................................................................................................1 1.3 Tujuan....................................................................................................................1 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Ketidakpastian dalam Pengukuran Langsung .......................................................3 2.2 Aturan Akar-Kuadrat pada Perhitungan................................................................4 2.3 Penjumlahan dan Pengurangan; Perkalian dan Pembagian...................................6 2.4 Dua Kasus Khusus Penting .................................................................................11 2.5 Ketidakpastian Tunggal dalam Penjumlahan ......................................................14 2.6 Lebih Jauh tentang Ketidakpastian Tunggal .......................................................17 2.7 Perubahan Fungsi dari Satu Variabel ..................................................................20 2.8 Langkah-langkah Penyebaran .............................................................................24 2.9 Contoh Penyebaran Kesalahan............................................................................25 2.10 Rumus Umum untuk Kesalahan Penyebaran ......................................................31 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan..........................................................................................................37 DAFTAR PUSTAKA
- 4. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 4 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sebagian besar besaran fisika biasanya tidak dapat diukur menggunakan pengukuran tunggal langsung, tetapi dapat diukur dalam dua langkah yang berbeda. Pertama, kita mengukur satu atau lebih besaran yang dapat diukur secara langsung. Kedua, kita menggunakan hasil pengukuran besaran sebelumnya untuk menghitung besaran yang lain. Sebagai contoh, untuk menemukan luas persegi panjang, kita mengukur panjang l dan tinggi t, kemudian kita dapat menghitung luas persegi panjang. Dengan cara yang sama, kita dapat menemukan kecepatan sebuah benda dengan cara mengukur jarak d dan waktu yang dibutuhkan t, kemudian kita dapat menghitung π£ = π / π‘. . Ketika pengukuran melibatkan dua langkah ini, nilai ketidakpastian juga melibatkan dua langkah. Pertama kita harus memperkirakan ketidakpastian pada pengukuran secara langsung dan kemudian menentukan bagaimana ketidakpastian ini "menyebar" melalui perhitungan selanjutnya. Penyebaran kesalahan adalah subjek utama dari bab ini. 1.2 Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan Ketidakpastian dalam Pengukuran Langsung? 2. Bagimana Aturan Akar-Kuadrat pada perhitungan? 3. Bagimana Penjumlahan dan Pengurangan; Perkalian dan Pembagian? 4. Apa saja Dua Kasus Khusus Penting? 5. Bagimana Ketidakpastian Tunggal dalam Penjumlahan? 6. Apa yang dimaksud dengan Ketidakpastian Tunggal? 7. Bagimana Perubahan Fungsi dari Satu Variabel? 8. Apa saja langkah-langkah Penyebaran? 9. Apa saja Contoh penyebaran kesalahan? 10. Bagimana Rumus Umum untuk Kesalahan Penyebaran? 1.3 Tujuan 1. Menjelaskan Ketidakpastian dalam Pengukuran Langsung. 2. Mengetahui Aturan Akar-Kuadrat pada Percobaan Menghitung. 3. Memahami Penjumlahan dan Pengurangan; Perkalian dan Pembagian. 4. Memahami Dua Kasus Khusus Penting.
- 5. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 5 5. Memahami Ketidakpastian Tunggal dalam Penjumlahan. 6. Memahami Lebih Jauh tentang Ketidakpastian Tunggal. 7. Mengetahui Perubahan Fungsi dari Satu Variabel. 8. Memahami Langkah-langkah Penyebaran. 9. Mengetahui Contoh kasus penyebaran kesalahan 10. Menjelaskan Rumus Umum untuk Kesalahan Penyebaran.
- 6. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 6 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Ketidakpastian dalam Pengukuran Langsung Hampir semua pengukuran langsung melibatkan pembacaan skala (misalnya pada penggaris, jam, atau voltmeter) atau tampilan digital (misalnya, pada jam digital atau voltmeter). Sumber utama ketidakpastian adalah pembacaan skala. Misalnya, jika kita mengukur panjang l dengan penggaris dalam satuan milimeter, kita cukup memutuskan bahwa panjangnya bisa dibaca dalam milimeter terdekat tapi tidak lebih. Disini, ketidakpastian πΏπ akan menjadiπΏπ = 0.5 ππ. Jika kita hanya melihat pada skala dan melupakan sumber ketidakpastian, kita akan salah dalam menentukan jumlah ketidakpastian. Bahkan, kesalahan paling umum siswa adalah mengabaikan sumber ketidakpastian dan meremehkan ketidakpastian. Tentu saja, kita juga harus menghindari kesalahan. Penelitian yang dilakukan dengan hati-hati dan menggunakan ketidakpastian pada semua pengukuran dapat menghindari kesalahan. Jelas, yang ideal adalah menemukan semua kemungkinan penyebab ketidakpastian dan memperkirakan pengaruhnya secara akurat, yang kedengarannya tidak terlalu sulit. Setidaknya, membaca meter digital jauh lebih mudah daripada meter analog konvensional. Kecuali meter digital yang rusak, seharusnya hanya menampilkan angka signifikan. Oleh karena itu, biasanya cukup aman untuk mengatakan bahwa jumlah angka penting dalam hasil bacaan meter digital justru menampilkan tampilan yang lebih baik. Jadi, voltmeter digital yang memberitahu kita bahwa π = 81 microvolts bisa berarti bahwa ketidakpastian adalah senilai dari πΏπ = 0,5 sampaiπΏπ = 1 atau lebih. Tanpa panduan untuk memberitahu kita ketidakpastian dalam meter digital, asumsi yang masuk akal adalah bahwa ketidakpastian pada digit terakhir adalah Β± 1 (sehingga tegangan yang disebutkan yaitu V = 81 Β± 1). Meter digital, bahkan lebih baik dari skala analog, karena dapat memberikan pengaruh akurasi. Sebagai contoh, seorang siswa mungkin menggunakan timer digital untuk mengukur waktu jatuhnya berat di mesin Atwood atau perangkat serupa. Jika pada timer menampilkan 8.01 detik, waktunya adalah: π = π. ππ Β± π. ππ π. (2.1)
- 7. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 7 Namun, belajar mengulangi percobaan di bawah hampir identik menemukan pengukuran kedua dari 8.41 s; itu adalah, π‘ = 8.41 Β± 0.01 π . Satu penjelasan dari perbedaan besar ini adalah bahwa ketidakpastian dalam memulai prosedur bervariasi pada kondisi awalnya dan karena pada saat jatuh; yaitu, diukur benar-benar berbeda. Dalam kasus lain, akurasi telah disebutkan dalam Persamaan ( 2.1). Berdasarkan dua pengukuran yang dilakukan, jawaban yang lebih realistis adalah π‘ = 8.2 Β± 0.2 π . khususnya, ketidakpastian adalah sekitar 20 kali lebih besar dari persamaan ( 2.1) yang didasarkan pada pembacaan tunggal Contoh ini membawa kita ke titik lain yang telah disebutkan dalam Bab 1. Pengukuran dapat diulang-ulang, hal ini biasanya dilakukan dalam beberapa kali. Sehingga menghasilkan nilai penyebaran yang memberikan indikasi yang baik dari ketidakpastian, dan rata-rata nilainya hampir lebih pasti dan lebih dipercaya daripada melakukan satu pengukuran. Bab 4 dan 5 mendiskusikan solusi statistik beberapa pengukuran. Disini, kita lebih menekankan jika pengukuran adalah berulang, maka itu harus dilakukan berulang, jika dalam pengukuran terjadi kesalahan sistematik, yang mendorong semua hasil dalam arah yang sama (seperti jam yang berjalan lambat), maka penyebaran dalam hasil tidak akan mencerminkan kesalahan sistematik. Menghilangkan kesalahan sistematis tersebut memerlukan pemeriksaan kalibrasi dan prosedur yang hati-hati. 2.2 Aturan Akar-Kuadrat pada Perhitungan Berbagai jenis pengukuran langsung memiliki ketidakpastian yang dapat diukur dengan mudah. Beberapa percobaan mengharuskan kita untuk menghitung peristiwa yang terjadi secara acak namun memiliki tingkat rata-rata yang pasti. Misalnya, bayi yang lahir di rumah sakit masuk dengan cara acak, tapi sepanjang proses kelahiran di rumah sakit itu kemungkinan terjadi dengan tingkat rata-rata yang pasti. Bayangkan bahwa seorang ahli demografi yang ingin tahu tingkat ini menghitung 14 kelahiran dalam waktu dua minggu di rumah sakit setempat. Berdasarkan hasilnya, dia mengatakan bahwa perkiraan terbaik untuk jumlah yang diharapkan dari kelahiran
- 8. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 8 dalam dua minggu adalah 14. Kecuali jika dia telah membuat kesalahan, bahwa 14 adalah angka persis dari kelahiran pada periode dua minggu yang diamati. Karena kelahiran terjadi dengan cara acak, bagaimanapun juga, jelas bahwa tidak mungkin angka 14 akan sama dengan jumlah rata-rata kenyataannya. Kelahiran di semua periode dua minggu mungkin berjumlah 13, 15, atau bahkan pecahan nomor seperti 13,5 atau 14,7. Terbukti, bahwa ketidakpastian dalam jenis eksperimen ini tidak dapat diamati jumlah hitungannya. Sebaliknya, ketidakpastian dalam beberapa angka yang diamati mendekati jumlah rata-rata yang benar. Masalahnya adalah untuk memperkirakan seberapa besar ketidakpastian ini, dalam Bab 11, jawabannya adalah sangat sederhana dan mudah. Dinyatakan bahwa ketidakpastian dalam jumlah yang dihitung dari peristiwa acak, sebagai perkiraan yang benar dari jumlah rata-rata, adalah akar kuadrat dari jumlah yang dihitung. Dalam contoh, ahli demografi menghitung 14 kelahiran dalam waktu dua minggu. Oleh karena itu, ketidakpastiannya adalah β14 β 4, dan kesimpulan akhirnya adalah (ππππβππππ πππ‘π β πππ‘π πππππππππ ππ’π ππππππ’) = 14 Β± 4. Untuk membuat pernyataan ini menjadi lebih umum, misalkan kita menghitung kejadian dari setiap acara (seperti kelahiran bayi di rumah sakit) yang terjadi secara acak tetapi pada tingkat rata-rata yang pasti. Misalkan kita menghitung untuk interval waktu yang dipilih T (seperti dua minggu). Berdasarkan penelitian ini, perkiraan terbaik untuk jumlah rata-rata kejadian di waktu T adalahjumlah v yang diamati, dan ketidakpastian dalam perkiraan ini adalah akar kuadrat dari jumlah, yaitu β π£. Oleh karena itu, jawaban untuk rata-rata jumlah kejadian dalam waktu T adalah (ππππ β ππππ ππππππ πππππ πππ π ππππ πππππ π» = π Β± βπ (2.2) Saya mengacu pada hasil penting ini seperti Aturan Akar-Kuadrat pada Perhitungan Contoh yang paling menonjol adalah dalam pelajaran radioaktivitas. Pada bahan radioaktif masing-masing inti meluruh pada waktu acak, tetapi peluruhan dalam sampel yang besar terjadi pada tingkat rata-rata yang pasti. Untuk menemukan tingkat ini, kita dapat menghitung jumlah v dari beberapa selang waktu T; jumlah yang diharapkan dari peluruhan dalam waktu T, dengan ketidakpastian yang kemudian diberikan oleh aturan akar-kuadrat (2.2).
- 9. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 9 2.3 Penjumlahan dan Pengurangan; Perkalian dan Pembagian Pada bab ini, kita akan memperkirakan bahwa jika kita telah mengukur satu atau lebih jumlah , π¦, .. . , sesuai dengan ketidakpastian π₯, πΏπ¦, . .. , dan sekarang kita ingin menggunakan nilai yang telah diukur dari π₯, π¦, . . . , untuk menghitung jumlah nilai riil π. Perhitungan π biasanya langsung; masalahnya adalah bagaimana ketidakpastian, πΏπ₯, πΏπ¦, . . , menyebar melalui perhitungan dan menyebabkan ketidakpastian πΏπ di nilai akhir π. ο PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN Pada bab 2 telah dibahas apa yang terjadi ketika kita mengukur dua nilai π₯ dan Ρ serta menghitung jumlah π₯ + π¦, atau perbedaan π₯ β π¦. Untuk memperkirakan ketidakpastian dalam penjumlah atau pengurangan, kemungkinan nilai tertinggi dan terendah π₯ adalah π₯ πππ π‘ Β± πΏπ₯, dan dari Ρ adalah π¦ πππ π‘ Β± πΏπ¦. Oleh karena itu, kemungkinan nilai tertinggi π₯ + Ρ adalah π₯ π‘ππππππ + π¦ π‘ππππππ + (πΏπ₯ + πΏπ¦) dan kemungkinan nilai terendah adalah π₯ π‘ππππππ + π¦ π‘ππππππ β (πΏπ₯ + πΏπ¦) Dengan demikian, nilai untuk π = π₯ + Ρ adalah π π‘ππππππ β π₯ π‘ππππππ + π¦ π‘ππππππ dan ketidakpastian adalah πΉπ β + πΉπ + πΉπ (2.3) Pendapat yang sama menunjukkan bahwa ketidakpastian dalam perbedaan π₯ β Ρ diberikan oleh rumus yang sama (2.3). Artinya, baik ketidakpastian jumlah π₯ + Ρ atau pengurangan π₯ β Ρ adalah jumlah πΏπ₯ + + πΏπ¦ dari ketidakpastian di x dan y. Jika kita memiliki beberapa nilai x, . . . ,w untuk ditambahkan atau dikurangi, kemudian diulang. Penerapan (2.3) memberikan aturan sementara, sebagai berikut.
- 10. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 10 Ketidakpastian pada Penjumlahandan Pengurangan Jika beberapa jumlah x, . . . ,w diukur denganΞ΄x, . . . ,Ξ΄W, dan nilai-nilai yang telah diukur digunakan untuk menghitung π = π₯ + . . .+ π§ β (π’ + . . .+ π€), maka ketidakpastian dalam nilai yang dihitung dari q adalah jumlah, πΏπ β πΏπ + . . . + πΏπ§ + πΏπ’ + . . .+ πΏπ€, dari semua ketidakpastian asli. (2.4) Dengan kata lain, ketika kita menjumlahkan atau mengurangi sejumlah angka, ketidakpastian akan bertambah. Contoh: Penjumlahan dan Pengurangan Contoh sederhana, dilakukan sebuah percobaan yaitu mencampurkancairan dari dua botol. Pertama diukur massa botol secara terpisah ketika botol terisi penuh dan ketika botol tersebut kosong, dengan hasil perhitungan sebagai berikut: π1 = πππ π π πππ‘ππ ππππ‘πππ (π‘ππππ π ππππ’β) = 540 Β± 10 ππππ π1 = πππ π ππππ‘ππππππ‘πππ ( πππ πππ) = 72 Β± 1 ππππ π2 = πππ π ππππ‘ππππππ’π( π‘ππππ π πππ’β) = 940 Β± 20 ππππ π2 = πππ π ππππ‘ππ ππππ’π (πππ πππ) = 97 Β± 1 πππππ Sekarang menghitung massa total cair sebagai: π = π1 β π1 + π2 β π2 = 540 β 72 + 940 β 97) ππππ =1,311 ππππ. Sesuai dengan peraturan (2.4), ketidakpastian dalam jawaban ini adalah jumlah dari semua ketidakpastian, πΏπ β πΏΠ1 + πΏπ1 + πΏπ2 β πΏπ1 πΏπ = (10 + 1 + 20 + 1) ππππ = 32 ππππ
- 11. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 11 Jadi, jawaban akhir nya adalah πππ π π π‘ππ‘ππ ππππ = 1,310 Β± 30 ππππ Perhatikan bagaimana ketidakpastian massa dari botol kosong jauh lebih kecil, yang membuat kontribusi diabaikan dengan ketidakpastian akhir. Pengaruh ini penting, dan kita akan membahasnya nanti. Berdasarkan pengalaman, kita dapat belajar mengidentifikasi ketidakpastian yang diabaikan dan memang dapat diabaikan dari awal. Karena seringkali, hal ini dapat menyederhanakan perhitungan ketidakpastian. ο PERKALIAN DAN PEMBAGIAN Bagian 2.9 membahas ketidakpastian hasil di π = π₯π¦ dari dus pengukuran nilai. Kita melihat bahwa, penyediaan ketidakpastian pecahan berpotensi kecil, ketidakpastian pecahan di π = π₯π¦ adalah jumlah ketidakpastian pecahan di x dan y. Seperti yang kita lihat, ketidakpastian dalam sebuah hasil bagi diberikan oleh aturan yang sama seperti untuk hasil ketidakpastian pecahan di π = π₯ / π¦ adalah sama dengan jumlah dari ketidakpastian pecahan di x dan y. Karena ketidakpastian dalam perkalian dan hasil bagi yang terbaik dinyatakan dalam ketidakpastian pecahan, notasi singkat untuk yang keduanya akan membantu. Kesimpulan bahwa jika kita mengukur beberapa nilai x adalah: (π’ππ’πππ πππππ ππππ π₯) = π₯ π‘ππππππ Β± πΏπ₯ dengan cara biasa, maka ketidakpastian pecahan di x didefinisikan sebagai (πππ‘πππππππ π‘πππ ππππβππ ππ π₯) = πΏπ₯ | π₯ π‘ππππππ| Hasil pengukuran kuantitas x dapat dinyatakan dalam sebagian kecil yang Salah nasional πΏπ₯ β | π₯| adalah ( πππππ ππππ π₯) = π₯ π‘ππππππ (π Β± πΏπ₯| | π₯| ). Oleh karena itu, nilai π = π₯ / π¦ dapat ditulis sebagai ( πππππ ππππ π) = π₯ π‘ππππππ π¦ π‘ππππππ 1 Β± πΏπ₯ | π₯|β 1 Β± πΏπ¦ | π¦|β
- 12. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 12 Masalah kita sekarang adalah untuk menemukan nilai-nilai kemungkinan ekstrim faktor kedua yang benar. Faktor terbesar ini, misalnya, jika pembilang memiliki nilai terbesar,1 + πΏπ₯ | π₯|β , dan penyebut memiliki nilai terkecil, 1 β πΏπ¦ | π¦|β . Dengan demikian, kemungkinan nilai q yang terbesar dari π = π₯ / π¦ adalah ( πππππ ππππππππ π πππ π) = ππππππππ π πππππππ π + πΉπ | π|β π β πΉπ | π|β (2.5) Faktor yang terakhir dalam bagian (3.5) memiliki bentuk (1 + π) / (π β π), di mana nilai a dan b biasanya kecil (yaitu, kurang dari 1). Hal ini dapat disederhanakan oleh dua perkiraan. Pertama, karena b kecil, theorema binomial menyiratkan bahwa π (π β π) β π + π (2.6) Oleh karena itu , (1 + π) (1 β π) β (1 + π)(π + π) = 1 + π + π + ππ β 1 + π + π di mana, di baris kedua, kita telah mengabaikan produk dari dua jumlah kecil. Jika kita kembali ke (2.5) dan menggunakan pendekatan ini, kita akan menemukan kemungkinan terbesar nilai π = π₯ / π¦. ( πππππ π‘πππππ ππ ππππ π) = π₯ πππ π‘ π¦ πππ π‘ (1 + πΏπ₯ | π₯| + πΏπ¦ | π¦| ) Sebuah perhitungan yang sama menunjukkan bahwa kemungkinan nilai terkecil yang diberikan oleh sejenis ekspresi dengan dua tanda dikurangi. Jika dinggabungkan keduanya, akan menemukan bahwa: (πππππ ππππ π) = π₯ π‘ππππππ π¦ π‘ππππππ ( 1 Β± [ πΏπ₯ | π₯| + πΏπ¦ | π¦| ] ) Bandingkan persamaan ini dengan bentuk standar, ( πππππ ππππ π) = π π‘ππππππ (1 Β± πΏπ | π| )
- 13. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 13 kita melihat bahwa nilai untuk q adalah π πππ π‘ = π₯ π‘ππππππ π¦π‘ππππππ . Seperti yang kita harapkan, bahwa ketidakpastian pecahannya adalah πΉπ | π| β πΉπ | π| + πΉπ | π| (2.7) Kita dapat menyimpulkan bahwa ketika kita membagi atau memperbanyak jumlah x dan y, ketidakpastian pecahan hasilnya adalah jumlah dari ketidakpastian pecahan di x dan y, seperti dalam ( 2.7). Jika sekarang kita mengalikan atau membagi serangkaian bilangan, pengulangan penerapan hasil ini mengarah pada aturan sebagai berikut. Ketidakpastian hasil dan analisis hasil bagi Jika beberapa jumlah x,. . . , w diukur dengan un- kecil kepastian πΉx,. . ., πΉw, dan nilai-nilai yang diukur digunakan untuk menghitung π = π₯ Γ . . . Γ π§ π’ Γ . . . Γ π€ maka ketidakpastian pecahan dalam nilai yang dihitung dari q adalah jumlah πΉπ | π| β πΉπ | π| + β― + πΉπ | π| + πΉπ | π| + β―+ πΉπ | π| (2.8) dari ketidakpastian pecahan di x, . . . ,w. Secara singkat, ketika bilangan dikalikan atau dibagi maka ketidakpastian pecahan akan dijumlahkan. contoh: Masalah pada Survei Dalam sebuah survei, kadang-kadang ditemukan nilai untuk panjang (l) tidak dapat diakses (seperti ketinggian pohon yang tinggi) dengan mengukur tiga panjang lainnya I1, I2 ,I3 adalah
- 14. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 14 πΌ π1 π2 π3 Misalkan kita melakukan sebuah percobaan dan mendapatkan hasil berikut π1 = 200 Β± 2, π2 = 5,5 Β± 0,1, π3 = 10,0 Β± 0,4. Perkiraan yang terbaik untuk l adalah π π‘ππππππ = 200 π₯ 5,5 10,0 = 110 ππ‘ Sesuai dengan ( 2.8), ketidakpastian pecahan dalam jawaban ini adalah jumlah dari ketidakpastian I1, I2 , dan I3 yaitu 1%, 2%, dan 4%, masing-masing. Dengan demikian: πΏπ π β πΏπΌ1 π1 + πΏπ2 π2 + πΏπΌ3 π3 dan jawaban akhirnya adalah: π = 110 Β± 8 ππ‘. 2.4 Dua Kasus Khusus yang Penting Dua kasus khusus yang penting dari aturan (2.8) telah disebutkan. Pertama menyangkut hasilkali dari dua angka, yang salah satunya tidak memiliki ketidakpastian; yang lain melibatkan bilangan berpangkat (seperti x3) dari sejumlah angkayang di ukur. NILAI PENGUKURAN JUMLAH WAKTU YANG TEPAT Misalkan jika telahmengetahuinilai x dan menggunakannya untuk menghitung π = π΅π₯, di mana nilai B tidak memiliki ketidakpastian. Sebagai contoh, ketika mengukur diameter lingkaran dan menghitung lingkarnya, π = π Γ π, atau mengukur ketebalan T dari 200 lembar kertas dan menghitung ketebalan satu lembar sebagai π‘ = (1 / 200) Γ π. Menurut aturan (2.8), ketidakpastian pecahan di π = π΅π₯ adalah jumlah dari ketidakpastian pecahan di B dan x. Karena πΏπ΅ = 0, hal ini berarti bahwa: Ξ΄q |q| = Ξ΄x |x| Artinya, ketidakpastian pecahan di π = π΅π₯ (dengan B diketahui persis) adalah sama dengan yang di x. Kita dapat mengungkapkan bahwa hasil ini berbeda jika kita kalikan
- 15. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 15 melalui |π| = |π΅π₯| agar Ξ΄q = |B|Ξ΄x, dan kita memiliki aturan yang yang bisa digunakan sebagai berikut: Nilai pengukuran Waktu yang tepat Jika nilai x diukur dengan ketidakpastian Ξ΄x, kemudian digunakan untuk menghitung q = Bx, dimana B tidak memiliki ketidakpastian, maka ketidakpastian di q hanya | π© | kali di x, π πͺ = | π| π π± (2.9) Aturan ini sangat berguna untuk mengukur sesuatu yang sangat kecil tapi dilakukan secara berulang, seperti ketebalan selembar kertas atau waktu pada sebuah putaran yang berputar sangat cepat. Sebagai contoh, jika kita mengukur ketebalan T dari 200 lembar kertas dan memperoleh jawaban: (πππ‘ππππππ 200 ππππππ) = π = 1,3 Β± 0,1 ππππ Dengan begitu, ketebalan t dari satu lembar kertas adalah (πππ‘ππππππ π ππ‘π’ ππππππ) = π‘ = 1/200 Γ π = 0,0065 Β± 0,0005 ππππ. Perhatikan bagaimana cara tersebut (mengukur ketebalan beberapa lembar kertas dan membaginya dengan jumlah totalnya) ini dapat memudahkan pengukuran yang lainnya yang membutuhkan peralatan lebih canggih dan ternyataa cara ini memberikan ketidakpastian yang sungguh kecil. Tentu saja, setiap lembar harus diketahui masing- masing tebalnya. DAYA Kasus khusus yang kedua dari aturan (2.8) membahas tentang kekuatan (daya) beberapa nilai yang diukur. Sebagai contoh, kita mengukur kecepatan v dari beberapa obyek untuk kemudian kita dapat mencari energi kinetiknya 1 2β mv2 , atau untuk
- 16. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 16 menghitung persegi v2 . Karena v2 adalah v Γ v, maka dari persamaan (2.8) bahwa ketidakpastian pecahan di v2 adalah dua kali ketidakpastian pecahan dalam v. Secara umum, dari persamaan (2.8) aturan umum untuk setiap daya jelas sebagai berikut. Ketidakpastian dalam Daya Jika nilai x diukur dengan ketidakpastian Ξ΄x dan nilai yang diukur digunakan untuk menghitung daya q = xn maka ketidakpastian pecahan di q adalah n kali di x, π πͺ | πͺ| = π§ π π± | π±| (2.10) Asal-usul dari aturan ini perlu diketahui bahwa π adalah bilangan bulat positif. Bagaimanapun juga, aturan ini menyamaratakan untuk menyertakan setiap eksponen π, seperti yang akan kita lihat nanti dalam Persamaan (2.26). Contoh: Pengukuran g Misalkan mahasiswa mengukur nilai g, percepatan gravitasi, dengan mengukur waktu t untuk sebuah batu yang jatuh dari ketinggian h di atas tanah. Setelah melakukan beberapa percobaan, dia menyimpulkan bahwa π‘ = 1,6 Β± 0,1 π Dan pengukuran tertinggi dari h yaitu : β = 46.2 Β± 0.3 ππ‘ Karena rumus h yang diberikan β = 1 2β ππ‘2 , ia menghitung g sebagai g = 2h t2 = 2 Γ 46,2 ft (1.6 s)2 = 36.1 ft s2β Apa yang dimaksud dengan ketidakpastian pada jawaban tersebut? Ketidakpastian dalam jawaban tersebut dapat ditemukan dengan menggunakan aturan yang telah dikembangkan. Untuk tujuan ini, kita perlu mengetahui bahwa ketidakpastian pecahan di masing-masing faktor dalam g = 2h/t2 digunakan untuk
- 17. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 17 menghitung g. Faktor 2 tidak memiliki ketidakpastian. Dan ketidakpastian di h dan t adalah Ξ΄h h = 0.3 46.2 = 0.7% Dan Ξ΄t t = 0.1 1.6 = 6.3% Menurut aturan (2.10), ketidakpastian dari t2 adalah dua kali dari t. Oleh karena itu, penerapan aturan (2.8) untuk hasilkali dan hasil bagi dengan rumus g = 2h/t2 , kami menemukan ketidakpastian: π π π = π π‘ π‘ + π π π π = π. π% + π ( π. π%) = ππ. π% (2.11) Dan ketidakpastiannya Ξ΄g = (36.1 ft s2 ) Γ 13.3 100 β = 4.80 ft s2β Jadi, jawaban akhir dari mahasiswa tersebut (jika dibulatkan) adalah g = 36 Β± 5 ft/s2 . 2.5 Ketidakpastian Tunggal dalam Penjumlahan Aturan yang telah disajikan sejauh ini dapat diringkas: Jika hasil pengukuran ditambahkan atau dikurangi, ketidakpastian bertambah; ketika hasil pengukuran dikalikan atau dibagi, ketidakpastian pecahan bertambah. Dalam bagian berikutnya, kita akan membahas bagaimana, dalam kondisi tertentu, ketidakpastian yang telah dihitung dengan menggunakan aturan-aturan ini mungkin tidak semestinya besar. Secara khusus, kita akan melihat bahwa jika ketidakpastian asli yang tunggal dan acak, lebih realistis (dan kecil) dari ketidakpastian akhir yang diberikan oleh aturan yang sama dimana ketidakpastian (atau ketidakpastian pecahan) yang ditambahkan dalam quadrature (prosedur yang didefinisikan). Pertama, mari kita menghitung jumlah, π = π₯ + π¦, dari dua angka x dan yang telah diukur dalam bentuk standar ( hasil pengukuran x) = π₯ π‘ππππππ Β± πΏπ₯
- 18. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 18 dengan ungkapan yang sama untuk y. Ungkapan yang digunakan di bagian terakhir adalah sebagai berikut: Pertama, penilaian terbaik untuk π = π₯ + π¦ adalah π π‘ππππππ = π₯ π‘ππππππ + π¦π‘ππππππ. Kedua, nilai yang tinggi untuk kemungkinan x dan y adalah π₯ π‘ππππππ + πΏπ₯ dan π¦π‘ππππππ + πΏπ¦, nilai q yang tertinggi adalah xterbaik + yterbaik + Ξ΄x + Ξ΄y (2.12) Demikian pula, kemungkinan nilai terendah π adalah xterbaik + yterbaik β Ξ΄x β Ξ΄y Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan, nilai q mungkin terletak di antara dua angka-angka ini, dan ketidakpastian di q adalah Ξ΄q β Ξ΄x + Ξ΄y Untuk mengetahui mengapa rumus Ξ΄q ini diperkirakan terlalu tinggi, maka kita perhatikan bagaimana nilai q yang sebenarnya sehingga bisa menyamakan nilai tertinggi yang ekstrim pada (2.12). Jelas, bahwa hal ini terjadi jika kita mengabaikan x dengan jumlah total Ξ΄x dan mengabaikan y dengan jumlah total Ξ΄y, jelas hal yang tidak diperbolehkan. Jika x dan y diukur secara tunggal dan acak, kita memiliki peluang 50% untuk dapat mengabaikan x disertai dengan diperkirakan terlalu tinggi dari y, atau sebaliknya. Maka, kemungkinan kita akan mengabaikan x dan y dengan jumlah total Ξ΄x dan Ξ΄y sangat kecil. Oleh karena itu, nilai Ξ΄q β Ξ΄x + Ξ΄y menekankan bahwa kemungkinan terjadi kesalahan. Apa perkiraan yang lebih baik dari Ξ΄q? Jawabannya tergantung pada apa yang kita maksud dengan ketidakpastian .Hal ini juga tergantung pada hukum yang mengatur statistik kesalahan dalam pengukuran. Pada bab 5 yang membahas normal atau Gauss, distribusi, yang menggambarkan pengukuran tunggal ketidakpastian acak. Ini menunjukkan bahwa jika pengukuran x dan y yang dibuat secara tunggal dan keduanya diatur oleh distribusi normal, maka ketidakpastian di π = π₯ + π¦ ditunjukkan oleh Ξ΄q = β(Ξ΄x)2 + (Ξ΄y)2 (2.13) Ketika kita menggabungkan dua angka dengan mengkuadratkannya,dan mengambil akar kuadrat, seperti dalam (2.13), persamaan tersebut ditambahkan dalam kuadrat. Dengan demikian, aturan yang terkandung dalam (2.13) dapat dinyatakan sebagai berikut: Jika pengukuran x dan y adalah independen dan hanya tunduk
- 19. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 19 ketidakpastian acak, maka ketidakpastian Ξ΄q pada nilai ukur dari π = π₯ + π¦ adalah jumlah kuadrat atau kuadrat jumlah dari ketidakpastian Ξ΄x dan Ξ΄y. Bandingkan pernyataan pada (2.13) untuk ketidakpastian di π = π₯ + π¦ dengan persamaan, Ξ΄q β Ξ΄x + Ξ΄y (2.14) Pertama, persamaan pada (2.13) selalu lebih kecil dari yang sebelumnya (2.14), seperti yang dapat kita lihat dari pendapat geometris sederhana: Untuk setiap dua bilangan positif a dan b, angka a, b, dan βa2 + b2 adalah tiga sisi segitiga siku-siku (Gambar 3.1). Karena panjang setiap sisi segitiga selalu kurang dari jumlah dua sisi lain, βπ2 + π2 Gambar 2.2. Karena setiap sisi segitiga kurang dari jumlah dua sisi lain, ketidaksamaan βa2 + b2 < π + π selalu benar. Dua sisi lainnya, berikut bahwa βa2 + b2 < π + π dikarenakan pada persamaan (2.13) selalu lebih kecil dari (2.14). Karena pernyataan (2.13) untuk ketidakpastian di π = π₯ + π¦ selalu lebih kecil dari (2.14), kita harus menggunakan (2.13). Hal ini, bagaimanapun juga, tidak selalu berlaku. Pernyataan (2.13) mencerminkan kemungkinan bahwa terlalu tinggi dari π₯ dapat diimbangi dengan mengabaiakan y atau sebaliknya. Kita akan membuktikan nanti (dalam Bab 9) itu, apakah kesalahan kita adalah tunggal dan acak, ketidakpastian di π = π₯ + π¦ adalah tentu tidak lebih besar dari yang sederhana dari penjumlahan Ξ΄x + Ξ΄y: Ξ΄q β€ Ξ΄x + Ξ΄y (3.15)
- 20. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 20 Artinya, pernyataan pada (3.14) untuk Ξ΄q adalah sebenarnya sebuah batas atas (yang berlaku dalamsemua kasus). Jika kita memiliki alasan untuk yang dicurigai (kesalahan dalam x dan y tidak tunggal dan acak (seperti dalam contoh pengukuran pita), kita tidak dibenarkan menggunakan jumlah kuadrat (3.13) untuk nilai Ξ΄q. Di sisi lain, terikat dengan (3.15) jaminan untuk Ξ΄q tentu tidak lebih buruk daripada πΏπ₯ + πΏπ¦, dan tentu saja paling aman adalah dengan menggunakan aturan lama Ξ΄q β Ξ΄x + Ξ΄y Seringkali, apakah ketidakpastian ditambahkan dalam kuadratur atau langsung membuat sedikit perbedaan. Sebagai contoh, misalkan panjang x dan y diukur dengan ketidakpastian πΏπ₯ = πΏπ¦ = 2 ππ. Jika kita yakin ketidakpastian ini adalah tunggal dan acak, kita akan memperkirakan kesalahan dalam π₯ + π¦ menjadi penjumlahan dalam kuadratur, β(Ξ΄x2) + (Ξ΄y2) = β4 + 4 mm = 2.8 mm β 3 mm tetapi jika kita berpikir bahwa ketidakpastiannya kemungkinan tidak tunggal, kita harus menggunakan penjumlahan biasa Ξ΄x + Ξ΄y β (2 + 2)mm = 4 mm Dalam banyak percobaan, penilaian ketidakpastian begitu kasar bahwa perbedaan antara kedua jawaban (3 mm dan 4 mm) tidak penting. Di sisi lain, kadang- kadang jumlah di kuadrat secara signifikan lebih kecil dari pada jumlah biasa. Agak mengherankan, jumlah di kuadrat kadang-kadang lebih mudah untuk menghitung dari jumlah biasa. 2.6 Lebih Jauh tentang Ketidakpastian Tunggal Dalam pembahasan sebelumnya, kita membahas ketidakpastian acak, bagaimana ketidakpastian tunggal dalam jumlah x dan y yang menyebabkan ketidakpastian dalam penjumlahan π₯ + π¦. Kita melihat bahwa untuk jenis ketidakpastian tersebut terdapat dua kesalahan yang harus ditambahkan dalam kuadrat. Kita dapat mempertimbangkan masalah terkait pengurangan, perkalian, dan pembagian. Seperti yang akan kita lihat dalam Bagian 5.6, dalam semua kasus dan aturan sebelumnya (2.4) dan (2.8) yang dimodifikasi bahwa jumlah kesalahan (atau kesalahan terkecil) digantikan oleh jumlah kuadrat. Selanjutnya, pernyataan (2.4) dan (2.8) akan
- 21. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 21 terbukti menjadi batas atas yang menentukan apakah ketidakpastian yang itu tunggal dan acak. Dengan demikian, versi terakhir dari dua aturan utama itu adalah sebagai berikut: Ketidakpastian dalam Penjumlahan dan Pengurangan Misalkan x, w diukur dengan ketidakpastian Ξ΄x, Ξ΄w dan nilai yang diukur digunakan untuk menghitung π = π₯ + π§ β (π’ + π€) Jika ketidakpastian x, w dikenal tunggal dan acak, maka ketidakpastian di q adalah penjumlahan kuadrat. Ξ΄q = β(Ξ΄x2) + (Ξ΄z2) + (Ξ΄u2)+ (Ξ΄w2) (2.16) dari ketidakpastian asli. Dalam kasus apapun, πΏπ tidak pernah lebih besar dari jumlah biasanya. Ξ΄q β€ Ξ΄x + Ξ΄z + Ξ΄u + Ξ΄w (2.17) Ketidakpastian pada Hasil Kali dan Hasil Bagi Misalkan bahwa x,w diukur dengan ketidak pastian πΉπ, πΉπ dan hasil pengukuran digunakan untuk menghitung π = π₯ π π§ π’ Γ π€ Jika ketidakpastian pada x, w adalah ketidakpastian tunggal dan acak, dan ketidakpastian terkecil di q adalah penjumlahan pada kuadratur dari ketidakpastian pecahan, π πͺ | π| = β( πΉπ π ) π + . . .+( π π³ π ) π + ( πΉπ π ) π + . . .+ ( π π° π ) π (2.18) Dalam kasus lain, itu tidak lebih besar dari penjumlahan biasa,
- 22. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 22 πΏπ | π| β€ πΏπ₯ | π₯| + . . .+ πΏπ§ | π§| + πΏπ’ | π’| + . . .+ πΏπ€ | π€| (2.19) Perhatikan bahwa kita belum dibenarkan menggunakan penambahan kuadratur untuk ketidakpastian acak tunggal. Kita berpendapat bahwa pada berbagai ketidakpastian tunggal dan acak, ada kesempatan untuk pembatalan kesalahan dan ketidakpastian yang dihasilkan (atau ketidakpastian pecahan) harus lebih kecil dari jumlah sederhana dari ketidakpastian asli (atau ketidakpastian pecahan) ; jumlah di kuadratur memang memiliki nilai. Kita memberikan pembenaran yang tepat penggunaannya dalam Bab 5. pada (2.17) dan (2.19) telah dibuktikan dalam Bab 9. Contoh: Penambahan Langsung dan Penambahan Kuadrat Sebagaimana telah dibahas, kadang-kadang tidak ada perbedaan yang signifikan antara ketidakpastian pengukuran dengan penambahan di kuadrat dan pengukuran itu dihitung dengan penambahan. Seringkali, ada perbedaan yang signifikan, dan-cukup mengejutkan-jumlah dikuadrat sering jauh lebih sederhana untuk mengukur. Untuk melihat bagaimana hal ini bisa terjadi, kita dapat melihat contoh berikut. Misalkan kita ingin mencari efisiensi motor listrik DC untuk mengangkat m massa melalui ketinggian h. Gaya yang bekerja adalah mgh, dan energi listrik yang dikirim ke motor VIt, di mana V adalah tegangan yang diberikan, dan t adalah waktu yang berjalannya motor. Kemudian, efisiensinya: efisiensi, e = ππππππ πππβ πππ‘ππ energi untuk motor = mgh VIt Mari kita anggap bahwa m, h, V, dan I semua bisa diukur dengan akurasi 1%, (ketidakpastian terkecil untuk m, h, V,dan I) = 1% Dan bahwa pada waktunya, ketidakpastiannya 5% (ketidakpastian terkecil untukt) = 5% (ketidakpastian terkecil untuk m, h, V,dan I) = 1% (Tentu saja, g dikenal dengan ketidakpastian yang diabaikan). Sekarang, jika kita menghitung efisiensi e, Ξ΄e e β Ξ΄m m + Ξ΄h h + Ξ΄V V + Ξ΄I I + Ξ΄t t
- 23. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 23 = (1 + 1 + 1 + 1 + 5)% = 9% Di sisi lain, ketidakpastian yang tunggal dan acak, maka kita dapat menghitung πΏπ oleh jumlah kuadrat, menjadi πΏπ π = β( πΏπ π ) 2 + ( πΏβ β ) 2 + ( πΏπ π£ ) 2 + ( πΏπΌ πΌ ) 2 + ( πΏπ‘ π‘ ) 2 = β(1%)2 + (1%)2 + (1%)2 + (1%)2 + (5%)2 =β29% β 5% Jelas,bahwa jumlah kuadrat mengarah ke perkiraan secara signifikan lebih kecil untuk Ξ΄e. Oleh karena itu, satu angka yang signifikan, ketidakpastian m, h, V, dan I menjadikan tidak ada kontribusi sama sekali untuk ketidakpastian dalam e jika dihitung dengan cara ini; yaitu, satu angka yang signifikan, kami telah menemukannya (dalam contoh ini) Ξ΄e e = Ξ΄t t 2.7 Perubahan Fungsi dari Satu Variabel Sekarang kita telah mengetahui bagaimana ketidakpastian, baik tunggal dan sebaliknya, menghitung melalui penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Namun, banyak perhitungan yang memerlukan operasi yang lebih rumit, seperti perhitungan sinus, cosinus, atau akar kuadrat, dan perlu diketahui bagaimana ketidakpastian terkait dalam kasus ini. Sebagai contoh, misalkan mencari indeks bias kaca n dengan mengukur sudut kritis ΞΈ. Kita tahu dari optik dasar bahwa π = 1/sin π. Oleh karena itu, jika kita dapat mengukur sudut ΞΈ, kita dapat dengan mudah menghitung indeks bias n, tapi kemudian kita harus memutuskan apa ketidakpastian Ξ΄n di π = 1/sin π hasil dari ketidakpastian δθ pada pengukuran ΞΈ. Lebih umum, misalkan kita telah mengukur nilai x dalam bentuk standar xterbaik Β± Ξ΄x dan ingin menghitung beberapa fungsi yg dikenal demgan q (x), seperti q(x) = 1/sin x atau q(x) = βx. Cara mudah untuk perhitungan ini adalah dengan menggambar grafik q (x) seperti pada Gambar 3.3. Penilaian terbaik untuk q (x), tentu
- 24. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 24 saja, qterbaik = q(xterbaik), dan nilai-nilai Xterbaik dan qterbaik terhubung oleh garis berat pada Gambar 2.3. Untuk memutuskan ketidakpastian Ξ΄q, kami memperkenalkan pendapat biasa. Kemungkinan nilai terbesar dari x adalah xterbaik + Ξ΄x; menggunakan grafik, kita dapat segera menemukan nilai kemungkinan terbesar q, yang ditampilkan sebagai qmax. Demikian pula, kita dapat menarik kemungkinan terkecil nilai, qmin, seperti yang telah ditunjukkan. Jika Ξ΄x ketidakpastian pecahan (seperti yang kita tahu), maka bagian dari grafik yang terlibat dalam konstruksi ini kira-kira lurus, qmax dan qmin akan mudah dilihat dari kedua sisi qterbaik. Ketidakpastian Ξ΄q bisa kemudian diambil dari grafik sebagai salah satu dari panjang yang ditampilkan, dan kami telah menemukan nilai q dalam bentuk standar qterbaik Β± Ξ΄q. π₯ πππ π‘ Gambar 3.3.Grafik dari q(x) vs, x. Jika x diukur sebagai qterbaik Β± Ξ΄x. Maka penilaian terbaik untuk q (x) adalah qterbaik = q(xterbaik). Kemungkinan nilai terbesar dan terkecil q (x) sesuai dengan hasil xterbaik Β± Ξ΄x dari x. Dari Gambar 3.3, kita melihat bahwa πΉπ = π( ππππππππ + πΉπ) β π(ππππππππ) (2.20) πΏπ π πππ₯ π πππ π πππ π‘ π₯ π‘ππππππ π₯ π‘ππππππ+πΏπ₯π₯ π‘ππππππβπΏπ₯ q q (x) x
- 25. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 25 Pendekatan fundamental kalkulus menyatakan bahwa, untuk setiap fungsi π(π₯) untuk setiap kenaikan adalah cukup kecil sebesar π’,dimana: π( π₯ + π’) β π( π₯) = πΏπ πΏπ¦ π’ Dengan demikian, ketidakpastian Ξ΄x (seperti yang selalu kita anggap), dapat ditulis ulang perbedaan (3.20) menjadi πΉπ = π π π π πΉπ (2.21) Dengan demikian, untuk menemukan ketidakpastian Ξ΄q kita hanya menghitung ππ/ππ₯ dan turunan dikalikan dengan ketidakpastian Ξ΄x. Di sini, nilai maksimum mungkin π πππ₯ jelas sesuai dengan nilai minimum x, sehingga πΉπ = β π π π π πΉπ (2.22) Karena ππ/ππ₯ adalah negatif, kita dapat menulis βππ/ππ₯ sebagai |ππ/ππ₯|, dan kami memiliki aturan umum berikut. Ketidakpastian pada Fungsi Satu Variabel Jika x diukur dengan πΉπ dan digunakan untuk menghitung fungsi q(x), dan ketidakpastian πΉπ adalah πΉπ = | π π π π πΉπ| (2.23) Aturan ini biasanya memungkinkan kita untuk menemukan πΏπ dengan cepat dan mudah. Kadang-kadang, jika π(π₯) sangat rumit, mengevaluasi turunannya dapat menjadi gangguan, dan akan kembali ke (2.20). Contoh: Ketidakpastian pada Cosinus Sebagai aplikasi sedrhana dari aturan (2.23), misalkan kita mengukur sebuat sudut π sebagai: π = 20 Β± 3Β°
- 26. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 26 πΉ( ππππ½) = | π ππππ½ π π½ πΉπ½| = | π¬π’π§ π½| πΉπ½ (ππ πππ ) (2.24) Kita dapat mengindikasikan bahwa πΏπ harus dijadikan radian, karena turunan dari cos π adalah sin π hanya jika π diubah ke radian. Oleh karena itu, kita dapat tulis kembali bahwa πΏπ = 3Β° sebagai πΏπ = 0.05 πππ; kemudian (2.24) menjadi πΏ(cos π) = (sin20Β°) Γ 0.05 = 0.34 Γ 0.05 = 0.02 Jadi, jawaban akhirnya cos π = 0.94 Β± 0.02 Seperti contoh yang lain pada persamaan (2.23), kita dapat memperoleh kembali dan menyamaratakan suatu hasil menemukan Bagian 2.4. Umpamakan kita mengukur kwantitas π₯ dan kemudian menghitung daya π( π₯) = π₯ π , dimana π diketahui posisi nomor negatif atau positif. Menurut (2.23), haisl ketidakpastian π adalah πΏπ = | ππ ππ₯ | πΏπ₯ = | ππ₯ πβ1| πΏπ₯ Jika kita membagi kedua sisi dengan persamaan ini | π| = | π₯ π|, kita menemukan bahwa: πΏπ | π| = | π| πΏπ₯ | π₯| itu adalah, ketidakpastian yang kecil dalam π = π₯ π adalah | π| waktu dari π₯. Hasil ini (2.25) hanya aturan (2.10) ditemukan lebih awal, kecuali hasil disini menjadi lebih umum, karena π sekarang bisa nomor yang mana saja. Sebagai contoh, jika π = 1 2 , kemudian π = β π₯ dan πΏπ | π| = 1 2 πΏπ₯ | π₯| itu adalah, ketidak-pastian yang kecil dalam β π₯ adalah sebagian dari π₯ sendiri. Dengan cara yang sama, ketidak-pastian yang kecil dalam 1 π₯ = π₯β1 adalah sama seperti yang ada pada π₯ .
- 27. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 27 Hasil ( 2.25) adalah hanya keadaan yang khusus pada aturan ( 2.23). [Itu] cukup penting, bagaimanapun, untuk [berhak/layak] statemen terpisah seperti yang berikut aturan umum. Ketidak-Pastian di suatu Daya Jika π terukur dengan ketidakpastian πΉπ dan digunakan untuk mengkalkulasi daya π = π π ( dimana π adalah suatu yang ditetapkan ;dan ditahu angkanya), kemudian ketidak-pastian yang kecil dalam π adalah | π|saat π πΉπ | π| = | π| πΉπ | π| (2.26) 2.8 Langkah-langkah Penyebaran Sekarang kita memiliki cara yang cukup untuk menangani hampir semua masalah dalam penyebaran kesalahan. Setiap perhitungan dapat dipecah dalam urutan langkah-langkah, dan melibatkan salah satu jenis operasi berikut: (1 )Penjumlahan dan Pengurangan; (2) perkalian dan hasil bagi; dan (3) perhitungan fungsi dari satu variabel, seperti x n, sin x, e x, atau ln x. Sebagai contoh, kita bisa menghitung π = π(π β π πππ π) (2.27) dari besaran yang diukur x, y, z dan u dalam langkah-langkah berikut : Hitung fungsi sin u,kemudian hasil kali dari z dansin u , selanjutnya pengurangan dari y dan z sin u, dan terakhir mengalikan x dengan(π¦ β π§sin π’). Kita tahu bagaimana ketidakpastian menyebar melalui masing-masing operasi terpisah. Dengan demikian, berbagai besaran yang terlibat adalah bebas, dan kita dapat menghitung ketidakpastian dalam jawaban akhir dengan melanjutkan langkah-langkah ketidakpastian dalam pengukuran aslinya. Sebelum kita membahas beberapa contoh langkah-demi-langkah perhitungan kesalahan, ditekankan tiga poin umum. Pertama, karena ketidakpastian dalam penjumlahan atau pengurangan melibatkan ketidakpastian absolut (seperti πΏπ₯). Kedua, fitur menyederhanakan penting dari semua perhitungan adalah bahwa ketidakpastian jarang diperlukan untuk lebih dari satuan signifikan. Oleh karena itu, banyak dari
- 28. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 28 perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan banyak ketidakpastian yang lebih kecil dapat benar-benar diabaikan. Akhirnya, kita perlu menyadari bahwa kadang-kadang akan menemukan fungsi q (x) yang ketidakpastian tidak dapat ditemukan dengan metode bertahap. Fungsi-fungsi ini selalu melibatkan setidaknya satu variabel yang muncul lebih dari sekali. Misalnya, bahwa di tempat fungsi (2.27), kita harus mengevaluasi π = π¦ β π₯π πππ¦ Fungsi ini adalah pengurangan dari dua variabel y dan x sin y, tetapi kedua istilah ini pasti tidak bebas karena kedua tergantung pada y. Dengan demikian, untuk memperkirakan ketidakpastian, bergantung pada (menambah ketidakpastian secara langsung, tidak dalam akar kuadrat). Dihadapkan dengan fungsi seperti ini, kita harus mengakui bahwa perhitungan bertahap dapat memberikan ketidakpastian yang tidak perlu besar, dan satu-satunya prosedur memuaskan kemudian menggunakan rumus umum untuk dikembangkan. 2.9 Contoh Penyebaran kesalahan Dalam hal ini dan bagian berikutnya, kita memberikan tiga contoh jenis perhitungan ditemui di laboratorium pengantar. Tidak satu pun dari contoh-contoh ini sangat rumit, pada kenyataannya beberapa masalah nyata jauh lebih rumit dari pada yang dijelaskan di sini. Contoh: Pengukuran π dengan Pendulum Sederhana sebagai contoh pertama, misalkan kita mengukur g, percepatan gravitasi, menggunakan bandul sederhana. Periode pendulum seperti ini juga dikenal sebagai π = 2πβ π/π, di mana π adalah panjang pendulum. Dengan demikian, jika π dan π diukur, kita dapat menemukan g sebagai π = ππ π π/π» π (2.28) Hasil ini memberikan g sebagai hasil kali atau hasil bagi tiga faktor, 4π2 , π, πππ π2 . Jika berbagai ketidakpastian yang bebas dan acak, ketidakpastian pecahan dalam jawaban hanya jumlah kuadrat dari ketidakpastian pecahan di faktor ini. Faktor 4π2 tidak memiliki ketidakpastian, dan ketidakpastian pecahan di π2 adalah dua kali di π; πΏ(π2 ) π2 = 2 πΏπ π
- 29. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 29 Dengan demikian, ketidakpastian pecahan dalam jawaban untuk g adalah: πΉπ π = β( πΉπ π ) π + ( πΉπ» π» ) π (2.29) Misalkan kita mengukur periode π untuk satu nilai panjang dan mendapatkan hasil π = 92.95 Β± 0.1 ππ π = 1.936 Β± 0.004 π . Penilaian terbaik untuk π mudah ditemukan dari (3,28) sebagai ππ‘ππππππ = 4π2 Γ (92.95 ππ) (1.936 π )2 = 979 ππ/π 2 Untuk menemukan ketidakpastian di g kita dapat menggunakan (2.29), dan perlu ketidakpastian pecahan di / dan π, ini mudah dihitung sebagai πΏπ π = 0.1% πππ πΏπ π = 0,2% πΏ(π2 ) π2 = 2 πΏ π Subtitusi ke (3.29), kita menemukan : πΏπ π = β(0.1)2 + (2 x 0.2)2 = 0.4% Dimana πΏπ = 0.004 Γ 979 ππ π 2β = 4ππ/π 2 Dengan demikian, berdasarkan pengukuran ini, jawaban akhir adalah π = 979 Β± 4 ππ / π 2 . Setelah menemukan nilai yang diukur dari g dan ketidakpastian, secara alami akan membandingkan nilai ini dengan nilai yang diterima dari g. Jika yang terakhir memiliki nilai biasa dari 981 cm / s 2, nilai kini sepenuhnya memuaskan. Jika percobaan ini diulang (karena kebanyakan percobaan tersebut harus) dengan nilai yang berbeda dari parameter, perhitungan ketidakpastian biasanya tidak perlu diulang secara detail lengkap. Kita sering mudah meyakinkan diri sendiri bahwa semua ketidakpastian (di jawaban untuk g) cukup dekat bahwa tidak ada perhitungan lebih lanjut diperlukan; kadang-kadang ketidakpastian dalam nilai-nilai perwakilan beberapa g dapat dihitung dan sisanya diperkirakan dengan inspeksi. Dalam kasus
- 30. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 30 apapun, prosedur terbaik hampir selalu untuk mencatat berbagai nilai /, T, dan g dan ketidakpastian terkait dalam satu meja. Contoh: Indeks Bias Menggunakan Hukum Snell Jika sinar cahaya melewati dari udara ke dalam gelas, sudut dari kejadian i dan refraksi r didefinisikan seperti pada Gambar 2.5 dan terkait dengan hukum Snell, sin i= n sin r, di mana n adalah indeks bias kaca. Jadi, jika Anda mengukur sudut i dan r, Anda dapat menghitung indeks bias n sebagai π = π¬π’π§ π π¬π’π§ π (2.30) Gambar 2.5. Sudut dari kejadian i dan refraksi r ketika sinar cahaya melewati dari udara ke dalam gelas. Ketidakpastian dalam jawaban ini mudah dihitung, karena n adalah hasil bagi sin i dan sin r, ketidakpastian pecahan di n adalah jumlah kuadrat dari dalam sin i dan sin r: πΉπ π = β( πΉ π¬π’π§ π π¬π’π§ π ) π + ( πΉ π¬π’π§ π π¬π’π§ π ) π (2.31) Untuk menemukan ketidakpastian pecahan dalam sinus dari setiap sudut ΞΈ, kami mencatat bahwa πΏ sin π = | π sin π ππ | πΏπ = |cos π| πΏπ ( πππππ πππ) Dengan demikian, ketidakpastian pecahan adalah πΉ π¬π’π§ π½ | π¬π’π§ π½| = | ππ¨π π½| πΉπ½ (π ππππ πππ ) (2.32) Air Gelas i r
- 31. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 31 Misalkan kita sekarang mengukur r sudut untuk beberapa nilai-nilai dari i dan mendapatkan hasil yang ditunjukkan pada dua kolom pertama dari Tabel 2.1 (dengan semua pengukuran dinilai tidak menentu oleh Β± 1 Β°, atau 0,02 rad). Perhitungan n = sin i / sin r mudah dilakukan seperti yang ditunjukkan dalam tiga kolom berikutnya Tabel 2.1. Ketidakpastian dalam n kemudian dapat ditemukan seperti pada tiga kolom terakhir; ketidakpastian pecahan dalam sin i dan sin r dihitung dengan menggunakan (2.32), dan akhirnya ketidakpastian pecahan di n ditemukan menggunakan (2.31). Tabel 2.1. Menemukan indeks bias. π(derajat) β 1 π(derajat) β 1 πΊππ π πΊππ π π πΉ π¬π’π§ π | π¬π’π§ π| πΉ π¬π’π§ π | π¬π’π§ π| πΉ π π 20 13 0.342 0,225 1,52 5% 8% 9% 40 23,4 0,643 0,399 1,61 2% 4% 5% Sebelum membuat serangkaian pengukuran seperti ditunjukkan pada Tabel 2.1, kita harus berpikir bagaimana cara terbaik untuk menentukan data dan perhitungan. Pada Tabel 2.1 membuat data lebih mudah dan mengurangi bahaya kesalahan dalam perhitungan. Hal ini juga lebih mudah bagi pembaca untuk mengikuti dan memeriksa. Dua contoh hanya diberikan adalah khas dari banyak percobaan di laboratorium fisika pengantar. Beberapa percobaan membutuhkan perhitungan yang lebih rumit, namun. Sebagai contoh percobaan tersebut, disini pengukuran percepatan keranjang bergulir lereng. Contoh: Percepatan dari sebuah gerobak menuruni lereng fotosel1 Fotosel 2 π s l
- 32. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 32 Gambar 2.6. Sebuah gerobak menuruni lereng dengan sudut π. Setiap photocell terhubung ke waktu untuk mengukur waktu untuk gerobak untuk lulus. Mari kita mempertimbangkan sebuah gerobak bergulir menuruni lereng lereng seperti pada Gambar 2.6. Percepatan diharapkan adalah gsin , jika kita mengukur dengan mudah menghitung percepatan yang diharapkan dan ketidakpastian (Soal 2.42). Kita bisa mengukur percepatan a yang sebenarnya dengan waktu keranjang melewati dua photocells seperti yang ditunjukkan, masing-masing terhubung ke timer. Jika gerobak memiliki panjang / dan mengambil waktu t1 untuk lulus photocell pertama, kecepatan ada π£1= π/π‘1 . Dengan cara yang sama, π£2 = π/π‘2. (Sebenarnya, kecepatan ini adalah kecepatan rata-rata kereta sementara melewati dua photocells. Namun , tersedia / yang kecil, (perbedaan antara kecepatan rata-rata dan sesaat tidak penting.) Jika jarak antara photocells adalah s, maka terkenal rumus v2 2 = v1 2 +2as , menyiratkan bahwa π = π£2 2 β π£1 2 2π = ( π 2π )( 1 π‘2 2 β 1 π‘1 2) (2.33) Menggunakan formula ini dan nilai-nilai yang diukur dari π, π , π‘1 πππ π‘2, kita dapat dengan mudah menemukan percepatan diamati dan ketidakpastian tersebut. Satu set data untuk percobaan ini, termasuk ketidakpastian, adalah sebagai berikut (angka dalam kurung busur persentase ketidakpastian yang sesuai, karena dapat dengan mudah memeriksa): π = π. ππ Β± π. ππ ππ( π%) π = πππ. ππ Β± π. π ππ ( π. π%) π π = π. πππ Β± π. ππππ ( π%) π π = π. πππ Β± π. πππππ (π%) (2.34)
- 33. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 33 Dari nilai-nilai ini, kita dapat segera menghitung faktor pertama dalam (2.33) sebagai π2/2π = 0,125 ππ. Karena ketidakpastian pecahan di / dan s adalah 1% dan 0,2%, yang di π2/2π adalah (πππ‘πππππππ π‘πππ ππππβππ ππ π2 2π ) = β(2 πΏπ π ) 2 + ( πΏπ π ) 2 = β(2 π₯ 1%)2 + (0,2 %)2 = 2% (Perhatikan bagaimana ketidakpastian tidak membuat kontribusi yang cukup dan bisa saja diabaikan.) Oleh karena itu, π π/ππ = π. πππ ππ Β± π%. (2.35) Untuk menghitung faktor kedua dalam (2,33) dan ketidakpastian, kami melanjutkan langkah. Karena ketidakpastian pecahan di t1 adalah 2%. Bahwa dalam l/ t1 2 adalah 4%. Dengan demikian, sejak t1 = 0,054 s, π/π‘1 2 = 343 + 14 π β2 Dengan cara yang sama, ketidakpastian pecahan di l/t1 2 adalah 6% dan π/π‘1 2 = 1041 + 62π β2 Dengan cara yang sama, ketidakpastian pecahan di l/t1 2 adalah 6% dan Mengurangkan ini (dan menggabungkan kesalahan dalam kuadratur), kita menemukan π π π π β π π π π = πππ Β± ππ π π (ππππ π%) (2.36) Akhirnya, menurut (2.33), akselerasi yang dibutuhkan adalah produk dari (2,35) dan (3,36). Mengalikan persamaan ini bersama-sama (dan menggabungkan ketidakpastian pecahan di quadrature), kita memperoleh π = (0.125 ππ Β± 2%) Γ (698π β2 Β± 9%) = 87.3ππ π 2 Β± 9% Atau π = ππ Β± π ππ/π π (2.37)
- 34. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 34 Jawaban ini sekarang bisa dibandingkan dengan yang diharapkan percepatan g sin π, jika yang terakhir telah dihitung. Ketika perhitungan yang mengarah ke (2,37) dipelajari dengan hati-hati, beberapa fitur menarik muncul. Pertama, ketidakpastian 2% dalam faktor l2 / 2s benar- benar dibanjiri oleh ketidakpastian 9% di ( 1 π‘2 2β ) - ( 1 π‘1 2β ). Jika perhitungan lebih lanjut diperlukan untuk percobaan berikutnya, ketidakpastian / dan s karena itu dapat diabaikan (begitu lama sebagai cek cepat menunjukkan mereka masih sama penting). Fitur penting lainnya dari perhitungan kami adalah cara di mana 2% dan 3% ketidakpastian t1 dan t2 tumbuh ketika kita mengevaluasi 1 π‘1 2β , 1 π‘2 2β , dan mengurangi ( 1 π‘2 2β ) - ( 1 π‘1 2β ). Sehingga ketidakpastian akhir adalah 9%. Pertumbuhan ini hasil sebagian dari mengambil kotak dan sebagiandari mengambil selisih jumlah besar. Kita bisa membayangkan memperluas percobaan untuk memeriksa perepatan konstan dengan memberikan gerobak dorongan awal, sehingga kecepatan v1 dan v2 keduanya lebih besar. Jika kita lakukan, t1 dan t2 akan mendapatkan lebih kecil, dan efek yang baru saja dijelaskanakan bertambah buruk (lihat Soal 2.42). 2.10 Rumus Umum untuk Kesalahan Penyebaran Pada bagian ini, diberikan rumus umum tunggal dimana ketiga aturan ini dapat diturunkan sehingga permasalahan penyebaran dapat diselesaikan. Meskipun formula ini kerap kali rumit untuk digunakan, akan tetapi formula ini bergun asecara teoritis. Selain itu, terdapat beberapa masalah dimana bukannya menghitung ketidakpastian dalam langkah-langkahs seperti dalam tiga bagian terakhir, namun akan lebih baik digunakan perhitungan satu langkah dengan rumus umum. Untuk menggambarkan jenis permasalahan untuk perhitungan satu langkah lebih sederhana, misalkan dilakukan pengukuran terhadap tiga variabel x, y, dan z dan harus menghitung fungsi seperti π = π + π π + π (2.38) dimana variabel π₯ muncul lebih dari sekali. Jika kitamenghitung πΏπ ketidakpastian dalam langkah-langkah ini, maka pertama-tama kita akan menghitung ketidakpastian dalam dua penjumlahan π₯ + π¦ dan π₯ + π§, dan kemudian membaginya. Melanjutkan dengan cara ini, kita benar-benarakan kehilangan kemungkinan bahwa kesalahan dalam pembilang karena kesalahan mungkin dalam π₯, sampai batas tertentu, membatalkan kesalahan dalam penyebut karena kesalahan dalam π₯. Untuk memahami bagaimana
- 35. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 35 pembatalan ini bisa terjadi, misalkan π₯, π¦, dan π§ adalah semua bilangan positif, dan mempertimbangkan apa yang terjadi jika pengukuran x dikenakan kesalahan. Jika kita menaksir x terlalu jauh, maka menyebabkan penaksiran untuk π₯ + π¦ dan π₯ + π§ juga jauh, dan (untuk sebagian besar) penaksiran ini membatalkan satu sama lain ketika kita menghitung (π₯ + π¦) / (π₯ + π§). Demikian pula, ketika kita menaksir x terlalu rendah maka penaksiran untuk π₯ + π¦ dan π₯ + π§ juga menjadi rendah, yang lagi-lagi membatalkan ketika kita membentuk hasil bagi. Dalam kedua kasus, kesalahan dalam x secara substansial dibatalkan dari hasil bagi (π₯ + π¦) / (π₯ + π§), dan perhitungan bertahap kami benar-benar ketinggalan pembatalan tersebut. Setiap kali fungsi melibatkan jumlah yang sama lebih dari sekali, seperti dalam (2.38), beberapa kesalahan mungkin membatalkan diri (efek kadang-kadang disebut kompensasi kesalahan). Jika pembatalan ini adalah mungkin, maka perhitungan bertahap ketidakpastian mungkin melebih-lebihkan ketidakpastian akhir. Satu-satunya cara untuk menghindari ini adalah menghitung ketidakpastian dalam satu langkah dengan menggunakan metode yang sekarang . Mari kita anggap pada awalnya bahwa kita mengukur dua kuantitas x dan y dan kemudian menghitung beberapa fungsi π = π (π₯, π¦). Fungsi ini bisa disederhanakan π = π₯ + π¦ atau sesuatu yang lebih rumit seperti π = (π₯3 + π¦) π ππ (π₯ π¦). Untuk fungsi π (π₯) dari variabel tunggal, kami berpendapat bahwa jika perkiraan terbaik untuk x adalah nomor π₯ π‘ππππππ maka nilai terbaik untuk q (x) adalah q( π₯ π‘ππππππ ). Berikutnya, kami berpendapat bahwa ekstrim (yang adalah, terbesar dan terkecil) nilai kemungkinan π₯ adalah π₯ π‘ππππππ Β± π₯ dan bahwa nilai-nilai ekstrim yang sesuai q karena itu : π (ππππππππ Β± πΉπ) (2.39) Akhirnya, kita menggunakan pendekatan : π(π + π) β π(π) + π π π π π (2.40) (untuk setiap π’ kenaikan kecil) untuk menulis ulang nilai-nilai kemungkinan ekstrim (3,39) sebagai : π (ππππππππ) Β± | π π π π |πΉπ (2.41)
- 36. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 36 dimana nilai mutlak adalah untuk memungkinkan kemungkinan bahwa ππ/ππ₯ mungkin negatif. Hasil (2,41) berarti bahwa πΏπ β | ππ/ππ₯| πΏπ₯. Ketika q adalah fungsi dari dua variabel, q (x, y), argumen serupa. Jika yterbaik adalah perkiraan terbaik untuk x dan y,perkiraan terbaik untuk q menjadi π π‘ππππππ = π (π₯ π‘ππππππ, π¦ π‘ππππππ) dengan cara yang biasa. Untuk memperkirakan ketidakpastian dalam hasil ini, kita perlu untuk menggeneralisasi pendekatan (2.40) untuk fungsi dari dua variabel. Generalisasi yang diperlukan adalah: π(π + π, π + π) β π(π, π) + πΉπ πΉπ π + πΉπ πΉπ π (2.42) di mana u dan v adalah setiap sedikit demi sedikit di x dan y, dan πΏπ / πΏπ₯ dan πΏπ / πΏπ¦ yang disebut turunan parsial q terhadap x dan y. Artinya, πΏπ / πΏ merupakan hasil membedakan q terhadap x sementara memperlakukan y sebagai tetap, dan sebaliknya untuk πΏπ / πΏπ¦ [Untuk pembahasan lebih lanjut dari turunan parsial dan pendekatan (2,42), lihat Soal 3.43 dan 3.44.] Nilai kemungkinan ekstrim untuk X dan y π₯ π‘ππππππ Β± πΏπ₯ dan π¦ π‘ππππππ Β± πΏπ₯. Jika kita memasukkan nilai-nilai ini ke dalam (3.42) dan ingat bahwa Ξ΄q/ Ξ΄xdan Ξ΄q/ Ξ΄y bisa positif atau negatif, kita menemukan, untuk nilai-nilai ekstrim q, π( π₯ π‘ππππππ, π¦ π‘ππππππ) = (| ππ ππ₯ | Ξ΄x + | ππ ππ¦ |Ξ΄y) Ini berarti bahwa ketidakpastian di q (x, y) adalah πΉπ β (| ππ ππ | π π± + | ππ ππ | π π²) (2.43) Sebelum kita membahas berbagai generalisasi dari aturan baru ini, mari kita menerapkannya untuk kembali menurunkan beberapa kasus akrab. Misalkan, bahwa π(π, π) = π + π; (2.44) yaitu, q hanya jumlah dari xdany. Turunan parsialkedua. ππ ππ = ππ ππ = π (2.45)
- 37. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 37 danbegitu, menurut (2,43), πΉπ β πΉπ + πΉπ. (2.46) Ini hanya aturan sementara kami asli bahwa ketidakpastian dalam π₯ + π¦ adalah jumlah ketidakpastian x dan y. Dalam banyak cara yang sama, jika q adalah hasil π = π₯π¦ , Anda dapat memeriksa bahwa (2,43) berarti aturan dikenal bahwa ketidakpastian pecahan di q adalah jumlah ketidakpastian pecahan di x dan y. Aturan (2,43) dapat digeneralisasi dalam berbagai cara. Anda tidak akan terkejut untuk mengetahui bahwa ketikaketidakpastian ππ₯ dan ππ¦ bebas dan acak, jumlah (2.43) dapat digantikan oleh penjumlahan dikuadrat. Jika fungsi q tergantung pada lebih dari dua variabel, maka kita cukup menambahkan istilah tambahan untuk setiap variabel tambahan. Dengan cara ini, kita sampai pada aturan umum berikut (yang pembenaran yang penuhakan muncul di Bab 5 dan 9). Ketidakpastian dalam Fungsi Beberapa Variabel Misalkan bahwa x, . . . ,z diukur dengan ketidakpastian πΉx, . . . . , πΉz dan nilai yang terukur yang digunakan untuk menghitung fungsi π(x, . . . , z). Jika ketidakpastian x, . . . , z adalah bebas dan acak, maka ketidakpastian di q πΉπ = β( ππ ππ πΉπ) π + ( ππ ππ πΉπ) π (2.47) Dalam kasus apapun, tidak pernah lebih besar daripada jumlah biasa πΉπ β€ ππ ππ | πΉπ|+ .. . . + ππ ππ | πΉπ| (2.48) Meskipun formula (2.47) dan (2.48) terlihat cukup rumit, mereka mudah untuk memahami jika Anda berpikir tentang mereka satu istilah pada suatu waktu. Misalnya, untuk sesaat bahwa di antara semua kuantitas diukur, x, y, . . . , z, hanya x tunduk pada ketidakpastian. (Artinya, Ξ΄y = . . . = Ξ΄y = 0) Kemudian (2,47) hanya berisi satu istilah dan kita akan menemukan πΉπ = | ππ ππ | πΉπ jika πΉπ = . . .= πΉπ = π (2.49)
- 38. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 38 Dengan kata lain, istilah | πΏπ/πΏπ₯| πΏπ₯ dengan sendirinya adalah ketidakpastian, atau ketidakpastian parsial, di q disebabkan oleh ketidakpastian di x saja. Dengan cara yang sama, | ππ/ππ¦| πΏπ¦ adalah ketidakpastian parsial di q karena Ξ΄y sendiri, dan sebagainya. Mengacu kembali ke (2,47), kita melihat bahwa total ketidakpastian di π adalah jumlah kuadrat dari ketidakpastian parsial karena masing-masing dari ketidakpastian terpisah Ξ΄x, Ξ΄y, . . . , Ξ΄z (disediakan yang terakhir bebas). Ini adalah cara yang baik untuk berpikir tentang hasil (2,47), dan itu menunjukkan cara paling sederhana untuk menggunakan (2,47) untuk menghitung total ketidakpastian di π: Pertama, menghitung ketidakpastian parsial di π karena Ξ΄x, Ξ΄y, . . . , Ξ΄z secara terpisah, menggunakan (2,49) dan analog untuk y, . . . , z; maka cukup menggabungkan ketidakpastian terpisah di kuadrat untuk memberikan total ketidakpastian dalam (2.47) Dengan cara yang sama, apakah ketidakpastian Ξ΄x, Ξ΄y, . . . , Ξ΄z adalah bebas, aturan (3,48) mengatakan bahwa total ketidakpastian di π tidak pernah melebihi jumlah sederhana dari ketidakpastian parsial karena setiap Ξ΄x, Ξ΄y,. . . , Ξ΄z secara terpisah. Contoh: Menggunakan Rumus Umum (2,47) Untuk menentukan jumlah π = π₯2 π¦ β π₯π¦2 langkah-langkah ilmuwan x dan y sebagai berikut: π₯ = 3,0 Β± 0,1 πππ π¦ = 2,0 Β± 0,1. Apa jawabannya untuk q dan ketidakpastian, seperti yang diberikan oleh (2,47)? Nilai terbaik untuk q mudah dilihat menjadiπ π‘ππππππ= 6.0. Untuk menemukan Ξ΄q, kita ikuti langkah-langkah hanya dijelaskan. Ketidakpastian dalam q karena Ξ΄x saja, yang kita dilambangkan dengan Ξ΄qx, diberikan oleh (2,49) sebagai πΉππ = ( πππππππππ π ππππ π) = | ππ ππ | πΉπ = |πππ β π π |πΉπ = | ππ β π| Γ π. π = π. π (2.50) Demikian pula, ketidakpastian di q karena Ξ΄y adalah πΉππ = ( ππππππππ π ππππ π) = | ππ ππ | πΉπ (2.51)
- 39. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 39 = |π π π β πππ π |πΉπ = | π β ππ| Γ π. π = π. π Akhirnya, menurut (2.47). total ketidakpastian dalam q adalah jumlah kuadrat dari dua ketidakpastian parsial tersebut: πΉπ = β(πΉππ) π + (πΉππ) π πΉπ = β(π. π) π + (π. π) π = π. π (2.52) Dengan demikian, jawaban akhir untuk q π = 6,0 Β± 0,9. Penggunaan (2,47) atau (2,48) untuk menghitung ketidakpastian cukup mudah jika Anda mengikuti prosedur yang digunakan dalam contoh ini; itu adalah.pertam amenghitung kontribusi masing-masing terpisah untuk πΏπ dan hanya kemudian menggabungkan mereka untuk memberikan total ketidakpastian. Prosedur ini memecahkan masalah dalam perhitungan cukup kecil bahwa Anda memiliki kesempatan baik untuk mendapatkan mereka benar. Ini memiliki keuntungan lebih lanjut bahwa hal itu memungkinkan Anda melihat yang mana dar ipengukuranx, y, . . . , zadalah kontributor utama untuk ketidakpastian akhir. (Misalnya, dalam contoh di atas, Ξ΄q y kontribusi = 0,3 begitu kecil dibandingkan dengan πΏππ₯ = 0,8 bahwas ebelumnya hampir bisa diabaikan.) Secara umum, ketika penyebaran bertahap dijelaskan dalam Bagian 2,8-2,10 mungkin, biasanya lebih sederhana dari pada aturan umum (2,47) atau (2,48) dibahas di sini. Namun demikian, Anda harus menyadari bahwa jika fungsi q (x, . . . , z) melibatkan variabel apapun lebih dari sekali, mungkin ada kesalahan kompensasi; jika begitu. Perhitungan bertahap mungkin melebih-lebihkan ketidakpastian akhir, dan menghitung Ξ΄q dalam satu langkah dengan menggunakan (2.47) atau (2,48) lebih baik. BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan ο· Hampir semua pengukuran langsung melibatkan pembacaan skala (misalnya pada penggaris, jam, atau voltmeter) atau tampilan digital (misalnya, pada jam digital atau voltmeter). Sumber utama ketidakpastian adalah pembacaan skala dan menempatkan skala yang telah di tandai.
- 40. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 40 ο· Rumus-rumus yang ada dalam ketidakpastian adalah: 1. π‘ = 8.01 Β± 0.01 π . 2. (πππ‘π β πππ‘πππ’πππβππππππππππππππ€πππ‘π’π = Β±π£β π£ 3. πΏπ β + πΏπ₯ + πΏπ¦ 4. πΏπ β πΏπ + . . . + πΏπ§ + πΏπ’ + . . .+ πΏπ€, 5. ( ππππππ‘πππππ πππππππ) = π₯ πππ π‘ π¦ πππ π‘ 1+ πΏπ₯ | π₯|β 1β πΏπ¦ | π¦|β 6. 1 (1βπ) β 1 + π 7. πΏπ | π| β πΏπ₯ | π₯| + πΏπ¦ | π¦| 8. πΏπ | π| β πΏπ₯ | π₯| + β― + πΏπ§ | π§| + πΏπ’ | π’| + β―+ πΏπ€ | π€| ο· Dua kasus khusus yang penting menyangkut hasil kali dari dua angka, salah satunya tidak memiliki ketidakpastian; yang lain melibatkan daya (seperti x3) dari sejumlah angka terukur. ο· Rumus-rumus dalam kasus khusus adalah 1. Ξ΄q = |B|Ξ΄x 2. Ξ΄q |q| = n Ξ΄x |x| 3. Ξ΄g g = Ξ΄h h + 2 Ξ΄t t ο· Jikahasil pengukuran ditambahkan atau dikurangi, ketidakpastian bertambah; ketika hasil pengukuran dikalikan atau dibagi, ketidakpastian pecahan bertambah. ο· Setiap perhitungan dapat dipecah dalam urutan langkah-langkah dan melibatkan salah satu jenis operasi berikut: 1. Jumlah dan selisih; 2. Perkalian dan hasil bagi; dan 3. Perhitungan fungsi dari satu variabel, seperti x n, sin x, e x, atau ln x. ο· Ketidakpastian dalam penjumlahan atau pengurangan melibatkan ketidakpastian absolut (seperti πΏπ₯) sedangkan di perkalian atau hasil bagi melibatkan ketidakpastian pecahan (seperti Ξ΄x / | π₯|), perhitungan akan membutuhkan beberapa cara untuk menghitung mutlak untuk ketidakpastian pecahan . ο· Rumus-rumus untuk pengukuran tunggal dalam penjumlahan adalah: 1. Ξ΄q = β(Ξ΄x)2 + (Ξ΄y)2 2. xbest + ybest + Ξ΄x + Ξ΄y
- 41. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 41 3. Ξ΄q β Ξ΄x + Ξ΄y 4. Ξ΄q β€ Ξ΄x + Ξ΄y 5. Ξ΄q β€ Ξ΄x+ . . .+Ξ΄z + Ξ΄u+ . . .+Ξ΄w 6. Ξ΄q = β(Ξ΄x2)+ . . .+(Ξ΄z2) + (Ξ΄u2 )+ . . .+(Ξ΄w2) 7. Ξ΄q | π| = β( πΏπ₯ π₯ ) 2 + . . .+ ( Ξ΄z π§ ) 2 + ( πΏπ’ π’ ) 2 + . . .+ ( Ξ΄w π€ ) 2 8. πΏπ | π| β€ πΏπ₯ | π₯| + . . .+ πΏπ§ | π§| + πΏπ’ | π’| + . . .+ πΏπ€ | π€| ο· Rumus untuk perubahan suatu variabel: 1. πΏπ = π( π₯ πππ π‘ + πΏπ₯) β π(π₯ πππ π‘) 2. πΏπ = ππ ππ₯ πΏπ₯ 3. πΏπ = β ππ ππ₯ πΏπ₯ 4. πΏπ = | ππ ππ₯ πΏπ₯| 5. πΏ( πππ π) = | π πππ π ππ πΏπ| = |sin π| πΏπ (πππππ πππ) ο· Rumus-rumus umum kesalahan penyebaran : 1. q = π₯+π¦ π₯+π§ 2. q (xbest Β± πΏx) 3. q(x + u) β q(x) + ππ ππ₯ u 4. q (xbest) Β±| ππ ππ₯ |πΏπ₯ 5. q(x + u,y + v) β q(x,y) + πΏπ πΏπ₯ π’+ πΏπ πΏπ¦ v 6. πΏπ¦ β | ππ ππ₯ |πΏπ₯ + ππ ππ¦ |πΏπ¦. 7. q(x, y) = x + y; 8. πΏπ πΏπ₯ = πΏπ πΏπ¦ = 1 9. πΏπ β πΏπ₯ + πΏπ¦. 10. πΏπ = | ππ ππ₯ |πΏπ₯ (if πΏπ¦ =β¦..= πΏπ¦ = 0
- 42. BAB 3 Penyebaran Ketidakpastian Page 42 DAFTAR PUSTAKA Taylor, R. John. 1997. An Introduction To Error Analysis The Study OfUncertaintiesIn Physical Measurements SecondEdition.California : University Science Books.