2. • Ada dua cara untuk mengetahui parameter populasi yang
dipelajari dalam statistika inferensia, yaitu :
• Cara pendugaan (penaksiran/estimasi)
• Pengujian hipotesis.
• Dua cara ini didasarkan pada besaran yang dihitung dari
sampel.
3. Teori Pendugaan dikenal dua jenis
pendugaan (estimasi) yaitu :
• PendugaanTitik (EstimasiTitik).
• Bila nilai parameter dari populasi hanya diduga dengan
memakai satu nilai statistik (topi) dari sampel yang diambil
dari populasi tersebut
• Pendugaan Interval (Estimasi Interval).
• Bila nilai parameter dari populasi diduga dengan memakai
beberapa nilai statistik (topi) yang berada dalam suatu
interval, misalnya 1 (topi) < < 2 (topi)
4. Ciri-ciri penduga
1. Tidak Bias (Unbiased) : apabila nilai penduga sama dengan nilai yg
diduganya
2. Efisien : apabila penduga memiliki varians yg kecil
3. Konsisten :
a. Jk ukuran sampel semakin bertambah mk penduga akan
mendekati parameternya
b. Jk ukuran sampel bertambah tak berhingga mk distribusi
sampling penduga akan mengecil mjd tegak lurus di atas parameter yg
sebenarnya dgn probabilitas sama dgn satu
8. PendugaanTitik Parameter
n
1
X Ʃ Xi
n
1
(X1 + X2 + … + Xn)
Dimana :
Nilai Tengah :
Stadar deviasi :
1
1
n
Ʃ (Xi - )2
X
S2 =
1
1
n { (X1 - )2 + + … +
X (Xn - )2
X
(X2- )2
X
S2 =
X atau sd = f(X1 + X2 + … + Xn)
Sebagai fungsi unsur populasi dinyatakan sebagai berikut:
9. Penduga yang baik
Penduga yang baik adalah yang mendekati
sebenarnya ( ) atau nilai parameter sebenarnya
X
f( 1)
X
f( 2)
X
f( 3)
X
X
Nilai Penduga 2
X
10.
11. Pendugaan interval
Pendugaan yg memp dua nilai sbg pembatasan/
daerah pembatasan
Digunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai
sebenarnya/ parameternya akan berada.
Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaan
Selang kepercayaan : (1-α) x 100%
12. (S – Zsx < P < S + Zsx) = C
Dimana :
S : Statistik penduga parameter populasi (P)
P : Parameter Populasi yang tidak diketahui
Sx : Standar deviasi distribusi sampel statistik
Z : Probabilitas yang berhubungan dengan pendugaan interval
C : Probabilitas keyakinan (ditentukan terlebih dahulu)
S – Zsx : Nilai batas bawah keyakinan
S + Zsx : Nilai batas atas keyakinan
13. X
X X X
X X
X X
X X X
X X
X X
X X
X X
X X
95%
99%
Z = -2,58 Z = -1,96 Z = 1,96 Z = 2,58
• Untuk interval keyakinan 95%, terhubung dengan nilai Z antara -1,96 sampai
1,96
(bahwa 95% dari rata-rata hitung sampel ( ) akan terletak di dalam ± 1,96
kali standar deviasinya)
• Untuk interval keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya akan terletak di
dalam ± 2,58 kali standar deviasinya.
X
C = 0,95 adalah µ ± 1,96 dan untuk C = 0,99 adalah µ ± 2,58
X
X
X X
X
X
15. Pendugaan Interval
Contoh
Bualah rumus umum untuk interval keyakinan sebesar
80% dan 90%, apabila BPS merencanakan akan
melakukan survei tingkat kematian bayi di Indonesia
C= 0,8
(S – 1,28.sx < P < S + 1,28.sx)
C= 0,9
(S – 1,64.sx < P < S + 1.64sx)
17. Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel
Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah
standar deviasi distribusi sampel dari rata-rata hitung
sampel.
Populasi yang tidak terbatas
n/N < 0,05
n
sx =
1
N
n
N
n
sx =
Populasi yang terbatas
n/N > 0,05
: Standar deviasi populasi
sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel
n : Jumlah atau ukuran sampel
N : Jumlah atau ukuran populasi
Dihitung dengan rumus berikut :
18. Contoh
Sandar deviasi dari harga saham kelompok real estate pada bulan
agustus 2013 adalah 232. Apabila diambil sampel sebanyak 33
perusahaan dari anggota real estate, berapa standar errornya ?
Jawab
• Jumlah sampel 33 dan tidak ada jumlah N untuk populasi, sehingga
termasuk populasi tidak terbatas
n
sx =
33
232
= = 40,38
Jika diketahui bahwa seluruh anggota real estate Indonesia sebanyak 508
Jawab
• Nilai n/N = 33/508 = 0,065 atau lebih besar dibandingkan 0,05, maka
termasuk dalam populasi terbatas
1
N
n
N
n
sx =
33
232
= = 40,38 x 0,968 = 39,09
1
508
33
508
19. Perusahaan Dian menjual kue
sebanyak 500 buah dari berbagai
ukuran dan harga. Rata-rata kue yang
terjual per kotaknya sebesar Rp
35.000 dengan simpangan baku Rp
15.000. Jika diambil sampel sebanyak
60 buah yang dibeli konsumennya,
buatlah perkiraan interval rata-rata
harga kue dengan interval keyakinan
96%?
Diket :
x = 35.000
σ = 15.000
n = 60
N = 500
n/N = 60/ 500 = 0,12
Confidence interval = 96% 96%/2 =
0,48 2,05
20. = 15.000/√60 x √ (500-60)/(500-1)
= 1936,49 x 0,94 = 1820,30
X - Z σx< μ < X + Z σx
35.000 – (2,05 x 1820,30) < μ < 35.000 + (2,05 x 1820,30)
35.000 – 3731,615 < μ < 35.000 + 3731,615
31.268,385 < μ < 38.731,65
Perkiraan interval rata-rata harga kue adalah antara 31.268,385 sampai 38.731,65
21. Menyusun interval keyakinan
Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan akan terdapat pada interval
1 - dengan batas bawah -t /2 dan batas atas t /2.
22.
23. Distribusi dan standart deviasi
Probabilitas ( x – Z/2 x < < ( x Z/2 s/(N – n)/N – 1n sx ) = C
atau
Probabilitas (x Z/2 sx ) = C
x : Rata-rata dari sampel
Z/2 : Nilai Z dari tingkat kepercayaan
: Rata-rata populasi yang diduga
x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata
hitung sampel
C : Tingkat keyakinan
: (1 – C)
24. Kebijakan pemerintah menemukan
harga bbm sebesar 28,7% pada bulan
mei 2008 telah memberikan dampak
pada ukm. Hasil kajian dari 25 orang
responden dari930 anggota 930
orang ukm, menunjukan biaya
produksi rata-rata meningkat 20%
apabila standar deviasi 8% buatlah
interval dugaannya dengan
keyakinan 99%
Diketahui
S = 20 n/N = 25/930
n =25 = 0,02
N =930
= 8
C = 99%/2 Z = 2,58
26. Standar eror untuk populasi
tidak terbatas
Standar error untuk populasi yang
terbatas dan n/N > 0,05:
27. • x : Rata-rata dari sampel
• t/2 : Nilai t dari tingkat kepercayaan
• µ : Rata-rata populasi yang diduga
• sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel
• C : Tingkat keyakinan
• : 1 – C
( x – t/2 sx< < ( x+ t/2 sx )
Distribusi dan standar deviasi
28. Untuk populasi yang tidak terbatas
Untuk populasi yang terbatas
Rumus pendugaan proporsi populasi
Probabilitas (p - Z/2.Sp<P< p + Z/2.Sp)
p : Proporsi sampel
Z/2: Nilai Z dari tingkat keyakinan
P :Proporsi populasi yang diduga
Sp : Standar error/kesalahan dari
proporsi
C :Tingkat keyakinan
:1 – C
29. Interval keyakinan untuk selisih rata-rata
Di mana standar error dari nilai selisih rata-rata adalah:
Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan
standar deviasi sampel yaitu:
Di mana:
x1-x2 : Standar deviasi selisih rata-rata populasi
sx1-x2 : Standar error selisih rata-rata
sx1, sx1: Standar deviasi sampel dari dua populasi
n1, n2: Jumlah sampel setiap populasi
30. Interval keyakinan untuk selisih proporsi
p1, p2 : Proporsi sampel dari dua populasi
Sp1, sp1: Standar error selisih proporsi dari dua populasi
n1, n2 : Jumlah sampel setiap populasi
