3. 3
I. Istilah dinamis :
analisa dimana tujuannya adalah untuk
menemukan dan mempelajari jalur waktu
(time path) tertentu dari variabel, atau
untuk menentukan apakah dengan waktu
yang memadai variabel ini akan
cenderung untuk bertemu pada nilai
tertentu (ekuilibrium/konvergen).
8. 8
Salah satu hal yang penting adalah penen-
tuan waktu dari variabel-variabel itu :
1. Variabel Kontinu
2. Variabel Diskrit
9. 9
1. Variabel Kontinu : terjadi setiap titik
waktu
Bunga dihitung setiap waktu
2. Variabel Diskrit : hanya sekali dalam
suatu periode waktu
Bunga dihitung setiap enam bulan,
atau setahun
10. 10
Model Statis :
mencari nilai-nilai variabel endogen yang
memenuhi beberapa kondisi ekuilibrium.
Bila dalam optimalisasi, tugasnya adalah
mencari nilai variabel pilihan yang
memaksimalkan atau meminimumkan
fungsi tujuan.
(alat : grafik, eliminasi/substitusi, matriks
dan kalkulus diferensial)
11. 11
Model Dinamis :
menggambarkan jalur waktu dari beberapa
variabel berdasarkan pola perubahan yang telah
diketahui.
(alat : kalkulus integral)
12. 12
Untuk kasus waktu yang kontinu, maka
teknik matematis kalkulus integral dan
persamaan diferensial saling berkaitan
Selanjutnya untuk membahas kasus waktu
yang diskrit, digunakan metode
persamaan diferens (diffrence equation)
13. 13
I
Misalnya:
1. Jumlah penduduk P diketahui berubah
spanjang waktu pada tingkat dP/dt = t – ½ ,
maka jalur waktu dari penduduk P = P(t)
adalah
c
t
dt
t
dt
t
P dt
dP
2
1
2
1
2
14. 14
Jalur waktu P(t) = 2t ½ + c
P(0) → t = 0 adalah 100,
P(0) = 2(0)½ + c = 100 → c = 100
maka jalur waktu P(t) = 2t½ + 100
umumnya P(t) = 2t ½ + P(0)
Catatan:
P(0) : kondisi awal/boundary condition/kondisi batas
15. 15
Jika ingin mengetahui jumlah penduduk
pada t = a dan t = b,
maka konsep integral tertentu digunakan
b
a
b
a
dt
dP
a
P
b
P
t
P
dt
0
. 0
0
0
0
0
P
t
P
t
P
dt
dt
dP t
t
16. 16
Beberapa penerapan Integral tak tentu
dalam ekonomi
1. C’(Q) ≡ MC = 3Q2 – 4Q + 5 maka
C(Q) ≡ TC = ∫(3Q2 – 4Q + 5) dQ
= Q3 – 2Q2 + 5Q + c
Kondisi inisial Q = 0 , total cost = cF.
atau C(0) = 0 – 0 + 0 + c = cF → c = cF
Jadi total cost C(Q) = Q3 – 2Q2 + 5Q + cF
17. 17
2. C’(Q) ≡ MC = 2e0,2Q , maka
C(Q) ≡ TC = ∫( 2e0,2Q ) dQ
= 10e0,2Q + c
Kondisi inisial Q = 0 , total cost = cF = 90
atau C(0) ≡ cF = 10e0,2.(0) + c → c = 80
Jadi total cost C(Q) = 10e0,2Q + 80
18. 18
3. Carilah persamaan penerimaan total dan
penerimaan rata-rata dari suatu perusa-
haan, jika penerimaan marjinalnya
MR = 16 – 4Q
R(Q) ≡ TR = ∫(16 – 4Q) dQ
= 16 Q – 2Q2
AR = R/Q = 16 – 2Q
19. 19
4. Jika MPS ≡ S’(Y) = 0,3 – 0,1Y-½ dan
saving S = 0 apabila Y = 81,
maka fungsi tabungannya
S = ∫( 0,3 – 0,1Y-½)dY = 0,3Y – 0,2 Y½ + c
utk Y = 81, S(Y)=0,3(81) – 0,2(81)½ +c=0
c = – 22,5
Jadi S(Y) = 0,3 Y – 0,2 Y½ – 22,5
20. 20
II. Investasi dan pembentukan modal
1. Persediaan modal (capital stock) = K
2. Proses penambahan persediaan modal
berlangsung terus menerus dalam waktu atau
K(t), maka terjadi pembentukan modal yaitu
dK/dt.
3. Pembentukan modal pada waktu t identik dgn
aliran investasi neto (net investment) pd waktu
t, I(t)
4. Hubungan antara K dan I
dK/dt ≡ I(t) dan
K(t) = ∫ I(t) dt = ∫dK/dt . dt = ∫ dK
21. 21
2. Misal arus investasi netto I(t) = 3t½ dan
persediaan awal t = 0 adalah K(0).
Tentukan jalur waktu untuk modal K.
K(t) = ∫ I(t) dt = ∫ 3t½ dt = 2t3/2 + c
= 2t3/2 + K(0)
22. 22
untuk mengetahui pembentukan modal
selama beberapa interval waktu, maka
integral tertentu masuk
)
(
)
(
)]
(
)
( a
K
b
K
t
K
dt
t
I b
a
b
a
23. 23
3. Investasi netto merupakan aliran
konstan pada I(t)=1000($/th). Berapa
total investasi netto (pembentukan
modal) selama 1 thn, t = 0 ke t = 1
1000
]
1000
1000
)
( 1
0
1
0
1
0
t
dt
dt
t
I
24. 24
4. Bila I(t) = 3t½ (ribu $/thn), yaitu suatu
aliran yang tdk konstan. Apa yg terjadi
dg pembentukan modal selama interval
waktu (1,4)
14
2
16
]
2
3 4
1
4
1
2
3
2
1
t
dt
t
25. 25
Akumulasi modal selama periode (0,t0)
adalah
Jumlah K pd tiap waktu t adalah modal
awal ditambah seluruh akumulasi
modal yang telah ada
)
0
(
)
(
)]
(
)
( 0
0
K
t
K
t
K
dt
t
I t
t
dt
t
I
K
t
K
t
0
)
(
)
0
(
)
(
27. 27
III. Nilai Sekarang dari Arus Kas
V = A (1 + i )t (diskrit)
→ A = V ( 1 + i )– t
V = A er.t (kontinu)
→ A = V e– r.t
28. 28
Diskrit :
Pendapatan dimasa datang Rt ( t = 1,2,3, .. )
tersedia pada akhir tahun ke t, maka nilai
sekarang dari Rt adalah :
R1 ( 1 + i )– 1 ; R2 ( 1 + i )– 2 ; R3 (1 + i )– 3
Maka totalnya adalah :
t
t
t i
R
1
3
1
29. 29
Kontinu :
Aliran pendapatan yang kontinu (terus
menerus) pada tingkat bunga r, maka
R(t) $/ tahun adalah :
dt
e
t
R rt
.
)
(
3
0
30. 30
5. Berapa nilai skr dari arus pedapatan
kontinu yang berlangsung y tahun pada
tingkat yang konstan dari penerimaan
$D/thn yang didiskonto pada tingkat r/thn
dt
e
D rt
y
.
0
y
rt
r
rt
y
e
D
dt
e
D 0
1
0
.
34. 34
Dari soal no. 5
dt
e
D rt
.
0
0
.
0
.
.
.
. r
y
y
r
rt
y
e
r
D
e
r
D
dt
e
D
Lim
50000
06
,
0
3000
1 .
r
D
e
r
D
Lim y
r
y
35. 35
Bila arus kas terjadi selamanya, misalnya
bunga dari suatu simpanan yang terus
menerus atau pendapatan arus aktiva
modal yang tidak dapat rusak misalnya,
tanah. Maka nilai sekarangnya menjadi
integral tidak wajar.
36. 36
Model Pertumbuhan Domar
Dasar pemikiran dari model Domar
1. Setiap perubahan dari investasi
per tahun I(t) menghasilkan 2
pengaruh, akan mempengaruhi
agregat permintaan dan juga
kapasitas ekonomi yg produktif.
37. 37
2. Pengaruh perubahan dari perubah
I(t) sebagai akibat multiplier pro-
ses, sehingga pertambahan I(t)
akan menaikkan tingkat penda-
atan per tahun Y(t) dg suatu
kelipatan dr pertambahan I(t)
multiplier adalah
k = 1/s , s = MPS
)
1
........(
1
.
.
s
dt
dI
k
dt
dI
dt
dy
38. 38
3. Pengaruh kapasitas investasi harus diukur
dengan perubahan dlm tingkat potensi
output ekonomi yg mampu meproduksi.
Dengan ass rasio kapasitas modal konstan,
maka
κ = kapasitas atau aliran output yg potensil
pertahun
K
39. 39
Jadi dgn stok modal K(t) perekonomian secara
potensil sanggup memporduksi produk tahunan
atau pendapatan sebesar
κ ≡ ρK $, selanjutnya
dκ = ρ dK dan
)
2
.....(
.I
dt
dK
dt
d
40. 40
Dlm model Domar, ekuilibrium didefinisi-
kan sebagai situasi dimana kapasitas yg
produktif digunakan sepenuhnya (fully
utilized), atau agregate demand sama
dengan output potensial yaitu Y = κ
41. 41
Apb kita mulai dr ekl, perubahan dalam
kapasitas sama dengan perubahan pada
agregate permintaan yaitu
Bag jalur waktu dari I(t) yg dapat memenuhi
keseimbangan pada semua waktu.
)
3
.....(
dt
d
dt
dy
42. 42
Jawabannya :
Subsitusikan (1) dan (2) kedalam (3).
Hasilnya merupakan persamaan
diferensial
atau
I
s
dt
dI
.
1
.
)
4
.....(
.
.
1
s
dt
dI
I
43. 43
Krn (4) menentukan pola perubahan
tertentu utk I, dari sini kita memperoleh
ekl jalur investasi
sdt
dt
dt
dI
I
.
1
44. 44
LnI + c1= ρst + c2
Ln I = ρst + c
Jadi t = 0
st
Ae
t
I
)
(
)
0
(
)
0
( 0
.
.
I
A
Ae
I s
t
s
e
I
t
I .
.
)
0
(
)
(
46. 46
Hubungan antara tingkat pertumbuhan yang
sebenarnya dari investasi (r) dengan tingkat
ρs
Menurut Domar, untuk menentukan suatu ko-
efisien utilisasi
u = 1 → penggunaan kapasitas sepenuhnya
)
(
)
(
t
t
Y
Lim
u
t
47. 47
Menunjukkan
Jika u > atau < 1, ada ketidak sesuaian
antara tingkat sebenarnya dengan yang
dibutuhkan r ≠ ρ.s
Untuk t → ∞ , jika u > 1 , kekurangan kapasitas
jika u < 1 , kelebihan kapasitas
1
.
atau
u
s
r
u
