1. 統計学勉強会
第二回
@kingqwert

2. 前回の宿題
• F分布の分母、分子を自由度割る意味
– X2分布が分散の分布→１サンプル当たりの分
散の比を表す
• 分布の自由度
– 形を決定するパラメーター
• 平均、分散、SD、SE

3. SDとSE

4. 本日の予定は。。。
検定論 （特に分散分析ANOVA、ANCOVA）

5. ちなみに
• 適合度統計量(goodness of fit statistic)は今回は扱わない→
最尤法の回へ
– スコア統計量
– ワルド統計量
– 逸脱度

6. ３種類
• 線形重回帰
– １つの連続的な反応変数＋いくつかの連続的な説明変数
• 分散分析ANOVA
– １つの連続な反応変数＋カテゴリカルな説明変数
• 共分散分析ANCOVA
– 説明変数のうち少なくとも１つは連続変数
• まとめて 重回帰 or 一般線形モデル
– １つの連続的な反応変数と複数個の説明変数を分析すること

7. 基本的な考え方
• Sを興味のある統計量とすると
Sがベクトルの時は

8. 分散分析
• Def: カテゴリー間での連続変数の特徴量を比較する統計
手法
学習形態 一斉指導 体験学習 討議学習
5 8 7
4 4 6
6 3 8
3 3 9
3 7 10
7 9 9
6 8 8
5 7 9
3 3 7
5 4 8
平均 4:07 5:06 8:01 全平均 6:01
サイズ 10 10 10

9. １元配置
• 構造モデル
• 平方和分解
• 平方和の比の検定量

10. One-way ANOVA table
変動要因 自由度 平方和 平均平方 F-value
主効果 a-1 S_a M_a=S_a/(a-1) M_a/M_e
誤差 n-a S_e M_e=S_e/(n-a)
全体 n-1 S_T
このF値は、自由度a-1, n-aのF分布に従う。
従って、帰無仮説(H0=α1=α2=α3=α4=α5) を検定するには
F-value > F(a-1,n-a)

11. 多重検定
• 5%であるから、有意差がでない確率は(1-
0.05)
• ３つの組み合わせ全てで有意差が出ない確率
は(1-0.05)x(1-0.05)x(1-0.05)となり、逆に有意
差が出る確率は1-(1-0.05)^3=0.142
αエラーの上昇

12. 多重検定
1. なにもしない
1. 推奨されない方法である．すなわち，補正なしの t 検定を行う．
2. ボンフェローニ（Bonferroni）補正
1. いま，有意水準 α‘ のそれぞれ独立な検定を r 回行ったとすると，1 回の検定で正しい判断
を行う確率が 1 - α’ なので，r 回の検定で正しい判断を行う確率は，(1 - α‘)r となる．よっ
て，正しい判断 を行わない（第 1 種の過誤の）確率は，1 - (1 - α’)r ≒ 1 - (1 - rα‘) = rα’，ただ
し，α‘ ≒ 0となる．これが，r 回の検定全体での有意水準となる．よって，検定全体での有
意水準を α にするには， 1 回の検定の有意水準を α’ = α/r にすればよい．これがボンフェ
ローニ補正である．しかし， 多重比較における検定は独立な検定ではないので，この補
正は厳しすぎ（保守的）て， 有意な組み合わせが見つからない恐れがある．
3. ホルム（Holm）補正
1. ボンフェローニ補正を改良したものである．すべての比較組み合わせ（対比）の t 値を計
算し，それを大きさの順に並べる．一番大きな t 値 t(1) の有意確率を α/r，次の大きさ の
t(2) の有意確率を α/(r - 1)，というように有意確率を調整する．
2. R ではホルム補正がデフォルト
4. チューキー（Tukey）の HSD（honestly significant difference）
1. 今までは，t 検定の有意確率を補正することにより，多重比較の問題に対処していたが，
スチィーデント化された範囲の分布 （Studentized range distribution）という多重比較専用
の分布を用いて検定する

13. 後日
• Bootstrap法による多重検定 ← NEW!

14. 二元配置〜多元配置
• 構造モデル
• 平方和分解

15. Two-way ANOVA table
要因 自由度 平方和 平均平方和 F-value
Aの主効果 a-1 S_a M_a=S_a/(a-1) M_a/M_e
Bの主効果 b-1 S_b M_b=S_b/(b-1) M_b/M_e
交互作用 (a-1)(b-1) S_AB M_AB=S_AB/(a-1)(b-1) M_AB/M_e
A*B
誤差 ab(r-1) S_e M_e=S_e/ab(r-1)
全体 abr-1 S_r

16. Rの検定パッケージと関数
関数 機能 パッケージ
分割表の統計量と検定：カイ２乗、尤度比、
assocstats 連関係数 vcd
binom.test 二項分布の検定 stats
coindep_test 条件付き独立検定 vcd
fisher.test Fisherの直接検定 stats
goodfit 適合検定 vcd
kruskal.test ランク和の検定 stats
Cochran-Mantel -Haenszelの3元分割表のカ
mantelhaen.test イ2乗検定 stats
mcnemArtest 正方形の分割表のMcnemarのカイ２乗検定 stats
oddsratio オッズ比と検定統計量 vcd
prop.test 比率の検定 stats
summary.formula 分割表の統計量など Hmisc
woolf_test 同種の2×2×k分割表のWoolfのオッズ比検定 vcd