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![前述の平均値の幅を求めるプログラム
プログラム２
data {
int N;
real Y[N];
}
さっきのNとY（Y[N]は、YはN個の数字があるよ、の意味）は
データとして、ちゃんと与えてね、の意味](https://image.slidesharecdn.com/random-171213064917/75/slide-41-2048.jpg)
![前述の平均値の幅を求めるプログラム
プログラム２
data {
int N;
real Y[N];
}
parameters {
real mu;
real sigma;
}
自分で勝手に
mu(平均値を想定）と
sigma(標準偏差を想定）の
パラメータを
作っちゃうよ](https://image.slidesharecdn.com/random-171213064917/75/slide-42-2048.jpg)
![前述の平均値の幅を求めるプログラム
プログラム２（続き）
model {
for (n in 1:N){
Y[n] ~ normal(mu, sigma);
}
mu ~ normal(0,100);
sigma ~ normal(0,100);
}
今までのデータと
パラメータを使って
想像しているモデルを
指定するよ。
データYの数字は、平均mu、
標準偏差sigmaの正規分布か
ら抽出されたとみなすよ。
muとかsigmaは
現時点では、どういう数字を
とるか、よく分からないよ。](https://image.slidesharecdn.com/random-171213064917/75/slide-44-2048.jpg)
![実際のStanプログラムは以下の通り。
data{
int<lower=0> N;
vector[2] d[N];
int<lower=0> Nmiss;
real d2[Nmiss];
}
parameters {
vector[2] mu;
real<lower=0> var_PM;
real<lower=0>
var_SO4;
real cov;
}
transformed parameters{
matrix[2,2] sigma;
sigma[1,1] <- var_PM;
sigma[2,1] <- cov;
sigma[1,2] <- cov;
sigma[2,2] <- var_SO4;
}
model{
for(i in 1:N)
d[i] ~ multi_normal(mu, sigma);
for(j in 1:Nmiss)
d2[j] ~ normal(mu[1], sqrt(sigma[1,1]));
}
generated quantities{
real cor;
cor <- cov / sqrt(var_PM *
var_SO4);
}
意外と短い？
（といっても、自分で書いたわけじゃないけど）](https://image.slidesharecdn.com/random-171213064917/75/slide-59-2048.jpg)
![推定結果（確認）
• まずは手元にあるデータのみを使って、プログラムの正確性を
確認。
mean se_mean sd 2.50% 25% 50% 75% 97.50%
mu[1] 10.02 0.01 0.23 9.59 9.88 10.03 10.18 10.46
mu[2] 2.12 0 0.08 1.96 2.07 2.12 2.17 2.28
var_PM 8.71 0.04 0.98 7.05 8.01 8.61 9.31 10.75
var_SO4 1 0 0.11 0.8 0.92 0.99 1.07 1.24
cov 1.82 0.01 0.28 1.32 1.62 1.8 2 2.44
sigma[1,1] 8.71 0.04 0.98 7.05 8.01 8.61 9.31 10.75
sigma[1,2] 1.82 0.01 0.28 1.32 1.62 1.8 2 2.44
sigma[2,1] 1.82 0.01 0.28 1.32 1.62 1.8 2 2.44
sigma[2,2] 1 0 0.11 0.8 0.92 0.99 1.07 1.24
cor 0.62 0 0.05 0.51 0.59 0.62 0.65 0.71
lp__ -300.66 0.06 1.6 -304.55 -301.42 -300.34 -299.46 -298.58
普通に計算すると0.617・・・プログラムは正常に働いている](https://image.slidesharecdn.com/random-171213064917/75/slide-61-2048.jpg)
![推定結果（本番）
• 欠測値データを補完して相関係数を推定
mean se_mean sd 2.50% 25% 50% 75% 97.50%
mu[1] 16.09 0.01 0.42 15.25 15.8 16.09 16.37 16.92
mu[2] 3.39 0.01 0.16 3.07 3.28 3.39 3.5 3.71
var_PM 56.33 0.16 4.56 47.74 53.25 55.88 59.33 65.11
var_SO4 3.1 0.02 0.53 2.17 2.73 3.06 3.43 4.19
cov 11.77 0.07 1.5 8.95 10.79 11.7 12.69 14.85
sigma[1,1] 56.33 0.16 4.56 47.74 53.25 55.88 59.33 65.11
sigma[1,2] 11.77 0.07 1.5 8.95 10.79 11.7 12.69 14.85
sigma[2,1] 11.77 0.07 1.5 8.95 10.79 11.7 12.69 14.85
sigma[2,2] 3.1 0.02 0.53 2.17 2.73 3.06 3.43 4.19
cor 0.89 0 0.02 0.84 0.88 0.9 0.91 0.93
lp__ -881.55 0.07 1.73 -886.03 -882.42 -881.18 -880.28 -879.4
Hさんは、「0.89が全体の相関係数ですね」と
爽やかに答えました。](https://image.slidesharecdn.com/random-171213064917/75/slide-62-2048.jpg)
![ここで注意です！
実際の値 欠測値がある状態での推定値
SO4の平均(mu[2]) 4.36 3.39
SO4の分散(var_SO4) 10.44 3.1
共分散(cov) 21.22 11.77
今回はあくまで＜相関係数＞を推定したのであって、個別
のSO4の値を推定したのではありません。
個々のパラメータは
けっこう違っていることに注意](https://image.slidesharecdn.com/random-171213064917/75/slide-67-2048.jpg)
![[DL輪読会]逆強化学習とGANs](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/irlgans-171128063119-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
ベイズ統計によるデータ解析
- 1.
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- 4. 本日のお話 • 毎度おなじみ、ベイズ統計について • 本日は、何を考えているのか、を中心にお話しできれば •具体的な使い方は【StanとRでベイズ統計モデリング、松浦健太 郎著、共立出版】などをご覧ください。丁寧な説明があります。 • それを読む前に、理解しておいていただきたいことを念押しする 内容になった・・・・・なればいいなぁ。 • イメージ重視で概念的なところもあって、厳密な部分で曖昧な供 述の部分があります。ご容赦ください。
- 5. ベイズ統計について • これまでの統計学と、目指すところは一緒。目的地に車で行く か、電車で行くか、の違い。（ただし、電車では行けないけど、 車では行けるところ、とかはある） • 単純な問題、データ数が膨大な問題は、多くの場合に結論が同 じになる。 •数年前まではマイナー分野だったけど、現在ははっきり言って 主流になりつつある。上記の理由で、住み分けができていると いう印象。 • ベイズ統計がすごい、ということは無くて、周辺の理論的な発 展がすごく、ベイズがそれに組み込まれている、という状況。
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- 7. 例えば、こんなデータが取れたとして 5.097619 4.739361 5.0432444.900209 2.144241 5.696769 4.599765 5.660213 4.725296 5.413399 6.060124 4.651123 6.825011 5.470168 5.183248 6.638745 4.585580 4.667343 5.976032 4.210353 5.185514 6.493493 7.273484 4.066497 3.902228 5.452190 5.158625 5.670559 4.299030 3.233771 4.124408 4.816949 3.177765 5.413869 5.487815 5.700734 3.392919 6.173498 5.116845 5.711175 5.663199 3.236745 5.948633 5.813683 4.379466 5.121760 5.407056 6.411262 5.912322 7.168033 5.311681 4.584248 5.287710 5.319160 5.718889 3.863626 5.338596 7.049403 4.188569 6.656043 6.362131 5.624633 4.162418 6.983732 5.500695 5.760462 5.422008 4.340230 3.922458 5.251651 4.629502 4.333435 4.348886 5.319397 6.809805 4.765379 6.678206 3.876237 6.169109 5.620210 6.842464 4.848263 7.919140 1.766848 6.357274 6.476970 4.761353 5.808619 4.153477 3.824963 3.946617 4.931306 8.043766 4.491263 4.034097 6.112363 4.393849 5.677416 4.745125 5.404468 3.776096 3.812235 5.986581 4.754237 4.633297 4.130216 4.679160 5.235021 5.704180 5.162655 5.032664 4.695279 4.315680 5.029518 5.264364 5.258068 5.384935 4.993829 3.447141 5.353625 4.609873 6.471006 4.966741 4.801584 2.921762 3.885551 5.629536 5.186492 5.594274 5.268044 5.405003 5.666580 5.319052 5.128434 5.319156 4.152650 6.704329 2.267780 4.461929 5.485227 5.418058 5.895172 4.675607 5.059135 5.436931 5.975803 4.695386 3.988178 5.985443 4.420043 ある地点で、同時に１５０台の装置を動かして なにかの濃度測定を一斉に行ったと仮定
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- 10. 真値を求めて -測定数を増やしてみる- データ数 １５０ ⇒１０００００ 平均： ５．１ 標準偏差：１．０ 平均： ５．０ 標準偏差：１．０
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- 12. 正規分布(Normal distribution) またはガウス分布(Gaussian distribution) normal𝑥 = 1 2𝜋𝜎2 𝑒 − 𝑥−𝜇 2 2𝜎2 μ：平均 σ：標準偏差 μ σ
- 13. 平均・標準偏差による形状の変化 平均 : ５ 標準偏差：0.7 平均: 3 標準偏差：3 平均 : 10 標準偏差：1.3
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- 16. 用語の説明(part2) • （相加）平均 分布の位置を決めるもの • 分散 分布の広がりを決めるもの •標準偏差 分布の広がりを決めるもの
- 17. 平均や標準偏差は分布のパラメータ f (X) =aX2 + bX + c このような式だと、aやbの値でf (X)のグラフの形が決まる。 同じようにμやσの値でnormal(x)のグラフの形が決まる。 normal 𝑥 = 1 2𝜋𝜎2 𝑒 − 𝑥−𝜇 2 2𝜎2 このようなグラフの形を決める変数が、分布のパラメータ。
- 18. 正規分布(Normal distribution) またはガウス分布(Gaussian distribution) normal𝑥 = 1 2𝜋𝜎2 𝑒 − 𝑥−𝜇 2 2𝜎2 μ：平均 σ：標準偏差 μ σ これらは、分布のパラメータと 呼ばれます。
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- 24. 例題 • この１５０個のデータの平均値の真値としてあり得そうな値は どれくらいなのか？ 【解法】 1. （標本データを母集団だとみなして、９５%区間を計算） 2.従来の統計手法により、９５%信頼区間を計算 3. ベイズ統計により９５％確信区間を計算
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- 29. ９５％信頼区間を求めるプログラム basedata <- 〇〇← 最初に示した150個の数字の羅列を “basedata”という名前で保存します。 t.test(basedata) ← これだけで、95%信頼区間が出ます。
- 30. 計算結果 >t.test(basedata) One Sample t-test data:basedata t = 60.384, df = 149, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: 4.954923 5.290185 sample estimates: mean of x 5.122554
- 31. なんか、扱いづらい・・・・ • ちょっと解りづらい表現。 • 例えば、＜誤差の伝搬＞を考える場合 X= a ±ｂ、Y ＝ｃ±ｄ のとき XYの誤差は（a2・ｄ2 ＋ ｃ2・ｂ2）1/2 で表現できる。 • でも、９５％信頼区間には、この式は使えない。信頼区間は、 いわゆる誤差ではないから！ • これをするなら、一番最初にやった標本を母集団とする考え方 で得られた９５％区間を利用しないといけない。
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- 34. ベイズの計算は、何をしているのか(概念） μ= 5, σ＝１μ= 5.5, σ＝0.8 μ= 4.3, σ＝1.2 μとσについて、様々な値を用いてグラフを描き、どのグラフがヒストグラム と一致しているかを調べる。 このパラメータの選択が大変すぎて、高速な計算機が出現するまでベイズ統計 が利用されなかった。 ＊注：この説明は、敢えて話の流れを重視しております。実は、正確ではありません。
- 35. もっと一般化すると 世の中にある確率分布は、正規分布 だけではない。 例えば、左にグラフはガンマ分布と 呼ばれる確率分布。 f (x) =𝑥 𝛼−1 𝑒 − 𝑥 𝛽 𝛼−1 ! 𝛽 𝛼 (x ≧ 0) ある地点の年間の濃度データなど 環境データではよく見る形のような気もする・・・・ αとβが、グラフの形を決める
- 36. ガンマ関数のあてはめを調べることも α=3.5, β=1 α=７,β=0.8 α=1７, β=0.3
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- 39. プログラムの紹介 • いまから、ベイズ推定のためのプログラムを紹介。 • ただし、プログラムファイルを２個作る必要があります。 •そのため、プログラム１とプログラム２と上に書きますので、 区別してください（無茶ぶり）
- 40. 前述の平均値の幅を求めるプログラム プログラム１ data <- list(Y= basedata, N = length(basedata)) basedataという名前のデータ（150個の数字）を Yという変数に代入するよ。 Yの大きさ（150）は、Nという変数に代入だよ
- 41. 前述の平均値の幅を求めるプログラム プログラム２ data { int N; realY[N]; } さっきのNとY（Y[N]は、YはN個の数字があるよ、の意味）は データとして、ちゃんと与えてね、の意味
- 42. 前述の平均値の幅を求めるプログラム プログラム２ data { int N; realY[N]; } parameters { real mu; real sigma; } 自分で勝手に mu(平均値を想定）と sigma(標準偏差を想定）の パラメータを 作っちゃうよ
- 43. 前述の平均値の幅を求めるプログラム プログラム１ data <- list(Y= basedata, N = length(basedata)) inits <- list(list(mu = 4.5, sigma = 0.8), list(mu = 4.8, sigma = 1.1), list(mu = 5.2, sigma = 1.3), list(mu = 5.5, sigma = 0.7)) それらのパラメータの初期値は、こんな感じで設定だよ。
- 44. 前述の平均値の幅を求めるプログラム プログラム２（続き） model { for (nin 1:N){ Y[n] ~ normal(mu, sigma); } mu ~ normal(0,100); sigma ~ normal(0,100); } 今までのデータと パラメータを使って 想像しているモデルを 指定するよ。 データYの数字は、平均mu、 標準偏差sigmaの正規分布か ら抽出されたとみなすよ。 muとかsigmaは 現時点では、どういう数字を とるか、よく分からないよ。
- 45. 前述の平均値の幅を求めるプログラム プログラム１（続き） stanmodel <- stan_model(file='stanmodel1.stan') d.fit<- sampling(stanmodel, data = data, warmup = 400, init = inits, iter = 10000, chains = 4, thin = 5, cores = 3) プログラム２を、PCに理解させるよ ゴチャゴチャと設定して、プログラムを実行だよ！
- 46. 計算結果 • 3秒ほどで、結果が出ます。 Inference forStan model: stanmodel1. 4 chains, each with iter=10000; warmup=400; thin=5; post-warmup draws per chain=1920, total post-warmup draws=7680. mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat mu 5.12 0.00 0.09 4.95 5.06 5.12 5.18 5.29 7680 1 sigma 1.05 0.00 0.06 0.93 1.00 1.04 1.09 1.18 7382 1 lp__ -81.27 0.01 1.04 -84.17 -81.64 -80.95 -80.53 -80.26 7608 1 Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Wed Dec 06 15:53:46 2017. For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size, and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat=1).
- 47.
- 48. ある事件の流れ • ２０XX年のPM2.5の成分分析用の常時監視のサンプルが、一部無く なっていることをYさんが見つける。 • 調査の結果、高濃度サンプルの詳細を検討するためと称して、Iさんが 勝手に他機関に郵送したことが発覚。 • ちょうどその頃、郵送したサンプルが竜巻によって消失。 • その連絡を受けて絶句していたころ、所長から「２０XX年のサンプル の、PM2.5の質量濃度と硫酸イオンの相関係数を教えてほしい」と話が。 • 絶望に浸るYさん。そして、その頃、I さんは責任を問われ名古屋港に 沈められていた。 • 「じゃあ、ベイズ統計で推定してみましょう」と、颯爽とHさん現る。 ↑いまここ
- 49. 本題：欠測値があるデータの統計的推定 • PM２．５の成分分析用サンプルの採取は、4季節ごとに2週間、6地 点で行っております（年間で4×14×6＝336程度のデータ数）。 使ったのは2014年度の実データ、諸事情で337データがありました。 • このうち、PM2.5が15µg/m3以上となった（高濃度と判定された） のは170サンプル。つまり、手元には167サンプルがあります。 •PM2.5のデータは、337個分あります。しかし、SO4のデータは167 個分しか入手できません。 • とりあえず、167サンプルを分析して相関係数を調べてみました。
- 50. 手元にあるデータでやってみる > cor.test(data_1$PM,data_1$SO4,method="pearson") Pearson's product-moment correlation data:data_1$PM and data_1$SO4 t = 10.0782, df = 165, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: 0.5135489 0.7032153 sample estimates: cor 0.6172719 ↑ この値を報告しておけばOK? でも、経験的には、ちょっと低い気もする・・・・・・
- 51.
- 52.
- 53. 相関係数とは（復習的に。あとで使います） • データ系列X ={x1, x2, x3,・・・・・xn} Y = {y1, y2, y3,・・・・・yn}があったときに r = 𝑠 𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎 𝑦 𝑠 𝑥𝑦 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝜇 𝑥 𝑦𝑖 − 𝜇 𝑦 ← 共分散、μｘはｘの平均値 𝜎𝑥 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2 ← 標準偏差 相関係数求めるためには、共分散、それぞれの標準偏差が必要となる。
- 54. いま仮に・・・・・ • PM2.5のデータおよびSO4のデータが正規分布するとします （↑かなり強引） • すると、二変量正規分布なので以下のように書くことができる。 • PM SO4 =Ν 𝜇 𝑃𝑀 𝜇 𝑆𝑂4 , 𝜎 𝑃𝑀 2 𝑠 𝑃𝑀,𝑆𝑂4 𝑠 𝑃𝑀,𝑆𝑂4 𝜎𝑆𝑂4 2 • 右辺の変数が推定できれば、相関係数は計算できる！ • どうやって推定するのか・・・・・ベイズですよ、ベイズ 俺に任せろ！
- 55. ベイズ統計のおさらい 𝑃 𝐵 𝐴∝ 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃 𝐵 条件Aが与えられた場合に条件Bが成立する確率は、条件Bが与えられた場 合に条件Aが成立する確率と条件Bが起きる確率の積で表される。 あるAという条件が決まっており、結果としてBという事柄が発生した。で も、逆に考えると、Bという事柄が起きるというのは、条件Aが何だったら、 最も起こりやすいのか？
- 56.
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- 58. 観測値の尤度が 最大になるようにすればよい • 𝑖 𝑝𝑃𝑀𝑖, 𝑆𝑂4𝑖 𝜇 𝑃𝑀, 𝜇 𝑆𝑂4, 𝑠 𝑃𝑀 2 , 𝑠𝑆𝑂4 2 , 𝑠 𝑃𝑀,𝑆𝑂4 が最大になるような𝜇 𝑃𝑀, 𝜇 𝑆𝑂4, 𝑠 𝑃𝑀 2 , 𝑠𝑆𝑂4 2 , 𝑠 𝑃𝑀,𝑆𝑂4を探し出せばよ い。 ちょっとまって、上の話は、データが全部ある時の話。 欠測値の話はどうなった？ 欠測データについては、SO4（と、それに関連するパラメータ）が 無いので、上の式から、それらを抜いたものが尤度となる。 • 𝑖 𝑝 𝑃𝑀𝑖 𝜇 𝑃𝑀, 𝑠 𝑃𝑀 2
- 59. 実際のStanプログラムは以下の通り。 data{ int<lower=0> N; vector[2] d[N]; int<lower=0>Nmiss; real d2[Nmiss]; } parameters { vector[2] mu; real<lower=0> var_PM; real<lower=0> var_SO4; real cov; } transformed parameters{ matrix[2,2] sigma; sigma[1,1] <- var_PM; sigma[2,1] <- cov; sigma[1,2] <- cov; sigma[2,2] <- var_SO4; } model{ for(i in 1:N) d[i] ~ multi_normal(mu, sigma); for(j in 1:Nmiss) d2[j] ~ normal(mu[1], sqrt(sigma[1,1])); } generated quantities{ real cor; cor <- cov / sqrt(var_PM * var_SO4); } 意外と短い？ （といっても、自分で書いたわけじゃないけど）
- 60.
- 61. 推定結果（確認） • まずは手元にあるデータのみを使って、プログラムの正確性を 確認。 mean se_meansd 2.50% 25% 50% 75% 97.50% mu[1] 10.02 0.01 0.23 9.59 9.88 10.03 10.18 10.46 mu[2] 2.12 0 0.08 1.96 2.07 2.12 2.17 2.28 var_PM 8.71 0.04 0.98 7.05 8.01 8.61 9.31 10.75 var_SO4 1 0 0.11 0.8 0.92 0.99 1.07 1.24 cov 1.82 0.01 0.28 1.32 1.62 1.8 2 2.44 sigma[1,1] 8.71 0.04 0.98 7.05 8.01 8.61 9.31 10.75 sigma[1,2] 1.82 0.01 0.28 1.32 1.62 1.8 2 2.44 sigma[2,1] 1.82 0.01 0.28 1.32 1.62 1.8 2 2.44 sigma[2,2] 1 0 0.11 0.8 0.92 0.99 1.07 1.24 cor 0.62 0 0.05 0.51 0.59 0.62 0.65 0.71 lp__ -300.66 0.06 1.6 -304.55 -301.42 -300.34 -299.46 -298.58 普通に計算すると0.617・・・プログラムは正常に働いている
- 62. 推定結果（本番） • 欠測値データを補完して相関係数を推定 mean se_meansd 2.50% 25% 50% 75% 97.50% mu[1] 16.09 0.01 0.42 15.25 15.8 16.09 16.37 16.92 mu[2] 3.39 0.01 0.16 3.07 3.28 3.39 3.5 3.71 var_PM 56.33 0.16 4.56 47.74 53.25 55.88 59.33 65.11 var_SO4 3.1 0.02 0.53 2.17 2.73 3.06 3.43 4.19 cov 11.77 0.07 1.5 8.95 10.79 11.7 12.69 14.85 sigma[1,1] 56.33 0.16 4.56 47.74 53.25 55.88 59.33 65.11 sigma[1,2] 11.77 0.07 1.5 8.95 10.79 11.7 12.69 14.85 sigma[2,1] 11.77 0.07 1.5 8.95 10.79 11.7 12.69 14.85 sigma[2,2] 3.1 0.02 0.53 2.17 2.73 3.06 3.43 4.19 cor 0.89 0 0.02 0.84 0.88 0.9 0.91 0.93 lp__ -881.55 0.07 1.73 -886.03 -882.42 -881.18 -880.28 -879.4 Hさんは、「0.89が全体の相関係数ですね」と 爽やかに答えました。
- 63. ここで朗報です！ 竜巻で行方不明になっていたサンプルが戻ってきました！ さっそく、全サンプルの分析を行って、相関係数を計算してみま した。 > cor.test(data_0$PM,data_0$SO4,method="pearson") Pearson's product-momentcorrelation data: data_0$PM and data_0$SO4 t = 34.3472, df = 335, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: 0.8564308 0.9041103 sample estimates: cor 0.8825182 欠測データのある状態で 推定した相関係数は 0.89 一致しております！！！
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- 66. ベイズ推定は何をしているのか？ μPM σPM μSO 4 σSO 4 sPM,SO 4 11 1 1 1 μPM σPM μSO 4 σSO 4 sPM,SO 4 1.1 1 1 1 1 どっちの 一致度が 高いか？ μPM σPM μSO 4 σSO 4 sPM,SO 4 1.1 1 1 1 1 μPM σPM μSO 4 σSO 4 sPM,SO 4 1.2 1 1 1 1 どっちの 一致度が 高いか？ μPM σPM μSO 4 σSO 4 sPM,SO 4 1.3 1 1 1 1 μPM σPM μSO 4 σSO 4 sPM,SO 4 1.2 1 1 1 1 どっちの 一致度が 高いか？ μPM σPM μSO 4 σSO 4 sPM,SO 4 0.9 1 1 1 1 μPM σPM μSO 4 σSO 4 sPM,SO 4 1.2 1 1 1 1 どっちの 一致度が 高いか？ こういう勝ち抜き戦を繰り返し行います。もちろん、すべてのパラメータ に対して。今回の場合は1000回程度、1分くらいで計算が終わりますが、 複雑なモデルでは50000回くらいで20時間とかかかります、はい。
- 67. ここで注意です！ 実際の値 欠測値がある状態での推定値 SO4の平均(mu[2]) 4.363.39 SO4の分散(var_SO4) 10.44 3.1 共分散(cov) 21.22 11.77 今回はあくまで＜相関係数＞を推定したのであって、個別 のSO4の値を推定したのではありません。 個々のパラメータは けっこう違っていることに注意
- 68. まとめ • 欠測値のあるデータセット（架空データではない、実際のデー タ）について、相関係数を推定した。 • 多変量正規分布を仮定してベイズ推定したところ、欠測値を補 完して正しい相関係数にかなり近い値を推定で来た。 •ただし、すべてのパラメータが精度よく推定できたわけではな く、推定に用いた仮定を、把握することが大切。 • 万能ではもちろんないものの、従来の統計学ではできないこと の一端を紹介しました。
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- 70. 全体のまとめ（ベイズ統計について） • パラメータが確率分布である、という認識が重要 • そのうえで、モデルを考える想像力 ☆ある商品の売り上げ ＝ デザイン ＋ 機能 ＋ 広告効果 ＋ 価格設定 ＋ ・・・・・ ☆ スポーツ成功度 ＝ 素質 ＋ 努力 ＋ 運 ＋ ・・・・・・ ☆ 大気汚染濃度 ＝ 汚染物質発生量 ＋ 汚染発生源との距離 ＋ 風 ＋ ・・・・・・ • それを、プログラムに落とし込む力