StanとRでベイズ統計モデリング
Kentaro Matsuura
2017.11.25

ベイズ統計モデリングとは 2
連立方程式
問い
つるかめ算
旅人算
食塩水の濃度
モデル化 連立方程式に落とす
解法
加減法
代入法
答えのかたち 𝑥 =●● 𝑦 =▲▲
ベイズ統計モデリング
行動の理解・予測
現象の理解・予測
複数のパラメータを含む、
モデル式に落とす
MCMC
変分ベイズ
・・・
パラメータの（事後の）同時分布

結局Stanは何をするための道具？ 3
かんたんにモデルを組み立てて,
パラメータの（事後の）同時分布を得るための道具
Stanでは同時分布そのものの代わりに,
「MCMCサンプル」
そこからの乱数サンプルたちを求める
ちょっとしたモデルで
すぐに数式で表現不能になる

類似ソフトとの比較 （評価は主観）
汎用性 × △ ○ ○ ○ ○ ○ ○
バグの入りにくさ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
エラーメッセージの
読みやすさ
- ○ × △ △ ○ △ ○
MCMCの速度・質 ◎ ○ ○ ○ ◎ △ △ △
変分ベイズ ◎ - - - ○ - ○ -
マニュアルや
例の充実度
- △ ○ △ ◎ △ ○ ○
開発頻度 - △ × △ ◎ ○ ◎ ○
備考 空間
ベイズ
離散パラ
メータ×
良くも悪くも
Tensorflow
有料
4

Rは何のために必要か？
• Stanをお手軽に実行するため
• MCMCサンプルを縦横無尽に扱うため
• 統計モデリングの前後の十分な可視化のため
• 確率分布を用いたシミュレーションのため
5

単回帰の例
• 年功序列の会社における, 年齢と年収の関係
• 説明変数： 年齢𝑋 𝑛 , 応答変数： 年収𝑌 𝑛
• モデル式： 𝑌 𝑛 ~ Normal 𝑎 + 𝑏𝑋 𝑛 , 𝜎
• パラメータ： 𝑎, 𝑏, 𝜎, 事後分布： 𝑝 𝑎, 𝑏, 𝜎|𝑋, 𝑌
6
1
2
3
4
21
X,Y
24,472
24,403
26,454
...
59,1314
data-salary.txtの構成

モデルを表すStanファイル 7
dataブロックはデータの宣言
・変数の型宣言が必要 int : 整数型, real: 実数型
・[] は配列
parametersブロックは推定したいパラメータの宣言
・<lower=0> は定義範囲
modelブロックでモデル式を書く
・forはRと同様に繰り返し
分布の指定がないパラメータは無情報事前分布に従う

推定を実行するRファイル 8
直前のStanファイルを指定
dataブロックに対応した,
Rの名前つきlistを渡す
• {rstan}パッケージを使う.

print(fit)の結果 9
よく使われるMCMCの収束判定は,
すべてのパラメータの Rhat < 1.1
※ traceplotもチェックするべきですが,
ここでは省略します.

print(fit)の結果 10
事後周辺分布 𝑝 𝑎|𝑋, 𝑌 の要約になっている

4000行のうち先頭6行
MCMCサンプルを取り出してみる 11
この1行は,
同時分布 𝑝 𝑎, 𝑏, 𝜎|𝑋, 𝑌 からの
乱数サンプル1個に相当
この1列は,
周辺分布 𝑝 𝑎|𝑋, 𝑌 からの
乱数サンプル𝑁 𝑚𝑐𝑚𝑐個に相当

MCMCサンプルを鮮やかに操るには
• 以下のパッケージを使うのがオススメ
{ggmcmc}, {dplyr}, {tidyr}, {ggplot2}
12

例：𝑎, 𝑏の95%ベイズ信頼区間を求める 13

応用事例

1990年のインドネシアの人口ピラミッド 15
• 自分の年齢をよく覚えていない人がキリの良い年齢を自己申告
[万人]
真の人口ピラミッド（構成比）を推定したい

メカニズムの想像
• 仮定1： 真の人口ピラミッド𝑞において,
近くの年齢における構成比は“似ている”
• 仮定2： キリの良い年齢へは前後2歳から流入がある
16
Intrinsic Gaussian Markov Random Field (IGMRF)
60歳
55歳
𝑞 𝜇
※前後2歳の代わりに, ガウスカーネルや指数関数などを用いることも考えられる.

モデル式
• 𝐴： 年齢の数 （ここでは0～75歳の76個）
• 𝑎： 年齢インデックス （eg. 𝑎 = 1がゼロ歳）
• 𝑌 𝑎 𝑎 = 1, … , 𝐴： 各年齢の人口データ
• 𝑞 𝑎 𝑎 = 1, … , 𝐴： 真の構成比
• 𝜇 𝑎 𝑎 = 1, … , 𝐴： 流入・流出後の構成比
• 𝑌 ~ Multinomial 総人口, 𝜇
• 𝑞 𝑎 ~ Normal 2 𝑞 𝑎 − 1 − 𝑞 𝑎 − 2 , 𝜎𝑞
17
2階差分の
IGMRF 74, 75歳間
は無視
𝑎 = 3, … , 𝐴 − 1

（補足） IGMRFの尤度
Håvard Rue et al. (2005) “Gaussian Markov Random Fields” Chapman & Hall/CRC
• 1次元の場合： IGMRFと状態空間モデルは同じ尤度となる.
例： 1階差分の場合の尤度 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 ∝
観測モデルの尤度 ×
1
𝜎𝜇
𝐼−1
2
exp −
1
2
෍
𝑖=2
𝐼
𝜇 𝑖 − 𝜇 𝑖 − 1
𝜎𝜇
2
• 2次元の場合：
例： 1階差分の場合の尤度 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 ∝
観測モデルの尤度 ×
1
𝜎𝜇
全サイト数−1
2
exp −
1
2
෍
𝑖,𝑗 と
𝑖′,𝑗′ が
隣接
𝜇 𝑖, 𝑗 − 𝜇 𝑖′, 𝑗′
𝜎𝜇
2
18
-1は「全ての𝜇に定数を足しても不変」
という線形制約による精度行列のrank
の減少分に関係する.
一般に線形制約の数は, 𝑑: 次元,
𝑘: 階差 として| 𝑑+𝑘−1 𝐶𝑘−1となるので,
その分がマイナスとなる.

• 2次元の場合：
例： 2次元正方格子, 2階差分の場合の尤度
𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 ∝ 観測モデルの尤度 ×
1
𝜎𝜇
𝐼×𝐽−3
2
exp −
1
2
෍
𝑖=2
𝐼−1
෍
𝑗=2
𝐽−1
○ ● ○
● ○ ●
○ ● ○
− 4
○ ○ ○
○ ● ○
○ ○ ○
𝜎𝜇
2
または, 観測モデルの尤度 ×
1
𝜎𝜇
𝐼×𝐽−3
2
exp −
1
2
෍
𝑖=2
𝐼−1
෍
𝑗=2
𝐽−1
2
3
○ ● ○
● ○ ●
○ ● ○
+
1
6
● ○ ●
○ ○ ○
● ○ ●
−
10
3
○ ○ ○
○ ● ○
○ ○ ○
𝜎𝜇
2
などが考えられる （いずれもΣの括弧の中は
𝜕2
𝜕𝑥2 +
𝜕2
𝜕𝑦2の差分による近似）.
19

モデル式
• 𝐽： 流出が起こる年齢の数 （𝑗は流出のインデックスとなる）
• 𝐹𝑟𝑜𝑚 𝑗 𝑗 = 1, … , 𝐽： 流出元の年齢インデックス
• 𝑇𝑜 𝑗 𝑗 = 1, … , 𝐽： 流出先の年齢インデックス
• 𝑟 𝑗 𝑗 = 1, … , 𝐽： 𝑞 𝐹𝑟𝑜𝑚 𝑗 のうち, 何割が流出したかを
表すパラメータ（範囲は 0,1 ）
• 𝜇は, 𝑞と𝑟から以下の手順で作られる.
1. 𝜇を𝑞で初期化
2. for 𝑗 in 1, … , 𝐽:
𝜇 𝐹𝑟𝑜𝑚 𝑗 = 𝜇 𝐹𝑟𝑜𝑚 𝑗 − 𝑟 𝑗 𝑞 𝐹𝑟𝑜𝑚 𝑗
𝜇 𝑇𝑜 𝑗 = 𝜇 𝑇𝑜 𝑗 + 𝑟 𝑗 𝑞 𝐹𝑟𝑜𝑚 𝑗
20

モデル式
• 𝑟 𝑗 は何らかの制約がないとうまく推定できない.
そこで, 以下のように縛りを入れる （階層モデル）:
• 仮定3： 𝑟 𝑗 ~ Normal 𝜇 𝑟, 𝜎𝑟 𝑇 0,1 𝑗 = 1, … , 𝐽
※他には以下の仮定なども考えられる.
• 仮定3’： logit 𝑟 𝑗 ~ Normal 𝜇 𝑟, 𝜎𝑟 𝑗 = 1, … , 𝐽
21

モデルを表すStanファイル 22
仮定2
仮定3
仮定1
仮定3が切断正規分布のため

推定を実行するRファイル 23
𝐹𝑟𝑜𝑚 𝑗 ,𝑇𝑜 𝑗
の作成
人口データ
の読み込み

結果 | 真の構成比𝑞 24
エラーバーは
95%ベイズ信頼区間

結果 | 𝑞と元データの重ね合わせ 25

結果 | キリの良い数字に答えてしまう割合𝑟 26
エラーバーは
95%ベイズ信頼区間

参考文献
• 松浦健太郎 (2016) 『StanとRでベイズ統計モデリング』 共立出版
• MCMCサンプルを{dplyr}で操る
– http://statmodeling.hatenablog.com/entry/using-mcmc-samples-with-dplyr
• 人口ピラミッドのAge Heapingを階層ベイズで補正する
– http://statmodeling.hatenablog.com/entry/age-heaping
• Håvard Rue et al. (2005) “Gaussian Markov Random Fields”
Chapman & Hall/CRC
• IGMRFの尤度におけるrankの減少分に関するメモ
– http://statmodeling.hatenablog.com/entry/IGMRF-likelihood
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