Askisi_8

1. ΑΣΚΗΣΗ 8
Δίνεται η συνάρτηση  
2
2 2
x
x
f x 

α) Να δείξετε ότι για κάθε  0 1t , υπάρχει μοναδικό 0x R τέτοιο ώστε
0
0
2
2 2
x
x
t 

β) Να βρείτε το όριο  2
0x
lim x f x


γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση      1g u f u f u , u R    είναι σταθερή .
δ) Να βρείτε το όριο :
  2
2 1
4 1x
s x
lim
x
  
 
,
όπου s :
1 2 3 4 5 6
7 7 7 7 7 7
s f f f f f f
           
                
           
.
Λέσχη Μαθηματικών Ν.Ορεστιάδας
Ουντζούδης Δημήτρης
Λύση
Πεδίο ορισμού της f : Α=R.
α)  
2 2 2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
x x
x x x
f x
 
   
  
Για οποιαδήποτε 1 2x ,x A με 1 2x x έχουμε :
   
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2
1 2
1 2
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
x
x x x x
x x
x x x x
x x
f x f x
         
 
         
   
1
Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α=R .
Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα ρσο R το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα
     x x
f R lim f x , lim f x
 
   
 
 
 
2 2
1 1 1 1 0
0 22 2
2 1 2 2
1 1 1 0 1
1 022 2 2
1
2
xx x
x xx x x
x
lim f x lim
lim f x lim lim
 
  
 
          
 
  
                
 
Άρα    0 1f R , .
Οπότε , αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο R με    0 1f R , , για κάθε  0 1t , υπάρχει μοναδικό 0x R τέτοιο
ώστε  
0
0
0
2
2 2
x
x
f x t t  

β) Να βρείτε το όριο  2
x
lim x f x


Επειδή    0 1f R , , για κάθε x R έχουμε:    
2
0
2 2
0 1 0
x
f x x f x x

    
Έχουμε   2
0 0
0 0 0
x x
lim και lim x
 
  , άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε  2
0
x
lim x f x

  .

2. γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση      1g u f u f u , u R    είναι σταθερή .
Έχουμε
     
1
1
2
2 2 2 21
22 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
u u u u
u u u
u
u u
u
g u f u f u


       
   
 
 2 2 2
2
u
u

 
 
 
2 2
2
2 22 2
2 2 2 22 2 2
u u
u uu
   
  2  2 2
2 2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
u
u u
u u u

 

   
  
Άρα η g είναι σταθερή .
δ) Να βρείτε το όριο :
  2
2 1
4 1x
s x
lim
x
  
 
,
όπου s :
1 2 3 4 5 6
7 7 7 7 7 7
s f f f f f f
           
                
           
.
Έχουμε
1 2 3 4 5 6 1 6 2 5 3 4
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
1 1 2 2 3
1 1
7 7 7 7 7
s f f f f f f f f f f f f
f f f f f
                            
                                        
                            
          
                
          
3 1 2 3
1 1 1 1 3
7 7 7 7
f g g g
          
                  
          
Άρα
   2 2 2 22 1 3 2 1 1
4 1 4 1 4 1 4 4x x x x x
s x x x x x
lim lim lim lim lim
x x x x    
      
     
      