Dokumen tersebut membahas tentang aturan sinus dan cosinus dalam trigonometri. Materi tersebut menjelaskan konsep aturan sinus dan cosinus beserta contoh soal penyelesaiannya. Tujuan pembelajaran adalah agar siswa dapat memahami dan menerapkan aturan sinus dan cosinus dalam menyelesaikan masalah matematika dan kehidupan sehari-hari.

1. MATEMATIKA WAJIB
KELAS X
TRIGONOMETRI
ATURAN SINUS DAN COSINUS

2. Aturan Sinus dan Cosinus
Kompetensi
Indikator Tujuan
Pembelajaran
Materi
Contoh Soal

3. KOMPETENSI
Menjelaskan Aturan Sinus dan Cosinus
Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan Dengan
Aturan Sinus dan Cosinus

4. INDIKATOR
1. Mendeskripsikan aturan sinus dan cosinus
2. Mengidentifikasi fakta pada aturan sinus
dan cosinus.
3. Menjelaskan aturan sinus dan cosinus
dengan trigonometri
4. Menyelesaikan masalah matematis dengan
menggunakan konsep himpunan
penyelesaian aturan sinus dan cosinus.
5. Menyelesaikan masalah sehari-hari dengan
menggunakan himpunan penyelesaian
aturan sinus dan cosinus.

5. TUJUAN
PEMBELAJARAN
1. Peserta didik dapat mendeskripsikan aturan
sinus dan cosinus
2. Peserta didik dapat mengidentifikasi fakta
pada aturan sinus dan cosinus.
3. Peserta didik dapat menjelaskan aturan sinus
dan cosinus dengan trigonometri
4. Peserta didik dapat menyelesaikan masalah
matematis dengan menggunakan konsep
himpunan penyelesaian aturan sinus dan
cosinus.
5. Peserta didik dapat menyelesaikan masalah
sehari-hari dengan menggunakan himpunan
penyelesaian aturan sinus dan cosinus.

6. ATURAN SINUS
Perhatikan ΔABC berikut ini :
ΔABC dengan sisi a (garis BC),
b (garis AC), dan c (garis AB).
Tarik garis tinggi CR, AP, dan BQ

7. Perhatikan Δ ACR
Sin A =
𝐶𝑅
𝑏
CR = b Sin A …… (1)
Perhatikan Δ ACR
Sin B =
𝐶𝑅
𝑎
CR = a Sin B …… (2)
Persamaan (1) = (2), diperoleh :
a sin B = b Sin A
𝑎
sin 𝐴
=
𝑏
sin 𝐵
……. (3)

8. Perhatikan Δ BAP
Sin B =
𝐴𝑃
𝑐
AP = c Sin B …… (4)
Perhatikan Δ CAP
Sin C =
𝐴𝑃
𝑏
AP = b Sin C …… (5)
Persamaan (4) = (5), diperoleh :
b sin C = c Sin B
𝑏
sin 𝐵
=
𝑐
sin 𝐶
…… (6)

9. Persamaan (3) = (6), diperoleh :
𝑎
sin 𝐴
=
𝑏
sin 𝐵
=
𝑐
sin 𝐶
Rumus inilah yang disebut dengan aturan sinus
Rumus Aturan Sinus :
𝑎
sin 𝐴
=
𝑏
sin 𝐵
=
𝑐
sin 𝐶

10. Contoh Soal
1. Perhatikan gambar berikut!
panjang garis QS adalah ….

11. dengan menggunakan aturan sinus
diperoleh persamaan :
⬌
𝑝
sin 𝑃
=
𝑞
sin 𝑄
=
𝑠
sin 𝑆
⬌
𝑄𝑆
sin 45°
=
4 2
sin 30°
=
𝑃𝑄
sin 𝑆
p
s
q
Untuk menentukan QS, cukup
gunakan perbandingan :
⬌
𝑄𝑆
sin 45°
=
4 2
sin 30°
⬌ QS =
4 2
sin 30°
x sin 45°
⬌ =
4 2
1
2
x 1
2
2
⬌ = 8 cm
∴ panjang QS adalah 8 cm.
Jawaban

12. Contoh 2
Sebuah tiang bendera berdiri tegak pada tepian sebuah gedung bertingkat.
Dari suatu tempat yang berada di tanah, titik pangkal tiang bendera terlihat
dengan sudut elevasi 60° dan titik ujung tiang bendera terlihat dengan sudut
elevasi 70 °.
Jika jarak horizontal dari titik pengamatan tepian gedung sama dengan 10
meter, berapa meterkah tinggi tiang bendera tersebut?

13. Jawaban
Dalam ∆ACD berlaku aturan
sinus
𝐶𝐷
sin ∠𝐶𝐴𝐷
=
𝐴𝐶
sin ∠𝐴𝐷𝐶
Tentukan ∠CAD dan ∠ADC
terlebih dahulu
• ∠CAD = ∠DAB - ∠CAB
= 70° – 60° = 10°
• ∠ADC = 90° – ∠DAB
= 90° – 70° = 20°
B
C
A
D
60°
10°
70°
20°
Ilustrasi gambar

14. Substitusikan nilai-nilai yang
telah kita peroleh :
⬌ 𝐶𝐷
sin ∠𝐶𝐴𝐷
=
𝐴𝐶
sin ∠𝐴𝐷𝐶
⬌ 𝐶𝐷
sin 10°
=
20
sin 20°
⬌ CD =
sin 10°
sin 20°
x 20
⬌ CD =
0,1736
0,342
x 20
⬌ CD = 10,152 ≈ 10,15 (teliti sampai
tepat dua decimal)
Kemudian tentukan
panjang AC, dengan
memperhatikan ∆ABC
berlaku rumus Pythagoras,
diperoleh :
⬌
𝐴𝐵
𝐴𝑐
= cos 60 °
⬌
10
𝐴𝑐
=
1
2
⬌ AC = 10 x 2
⬌ AC = 20 m
B
C
A
D
60°
10°
70°
20°

15. ATURAN COSINUS
Perhatikan ΔABC, garis CD = h adalah garis tinggi pada sisi c:
Dengan menerapkan teorema pythagoras pada Δ siku-siku BCD, diperoleh :
a2 = h2 + (BD)2 …..………..(1)
Pada Δ siku-siku ACD, diperoleh :
h = b sin A ……………(2)
Dan AD = b cos A, Sehingga
BD = AB – AD
BD = c – b cos A …………….(3)
Substitusi persamaan (2) dan (3) ke persamaan (1) :
a2 = (b sin A)2 + (c – b cos A)2
a2 = b2 sin2 A + c2 – 2bc cos A + b2 cos2 A
a2 = b2 (sin2 A + cos2 A) + c2 – 2bc cos A
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A …………….(4a)
Persamaan 4a ini dikenal sebagai aturan cosinus.
A B
C
D
h
b a
c

16. • Pada ΔABC berlaku aturan cosinus yang
dapat dinyatakan dengan persamaan :
A B
C
b
a
c
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
cos A =
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
cos B =
𝑎2+𝑐2−𝑏2
2𝑎𝑐
cos C =
𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏
• Jika dalam ΔABC diketahui sisi-sisi, a, b, dan c
(ss,ss,ss) maka besar sudut-sudut A, B, dan C
dapat ditentukan melalui persamaan :

17. Contoh 1
Diketahui ∆ADC dengan panjang DC = 4 cm, AC = 12 cm, dan AD = 4 7 cm. Tentukan besar sudut C?
cos C =
𝑎2+𝑑2−𝑐2
2𝑎𝑑
=
42+122−(4 7)2
2(4)(12)
=
16 + 144 − 112
96
=
48
96
=
1
2
∠C = 30°

18. Contoh 2
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka 080° sejauh 60 km. kemudian
berlayar menuju pelabuhan C dengan jurusan 200° sejauh 80 km. jarak antara pelabuhan C dan A adalah ….
Jawab
 Untuk mencari AC dapat menggunakan rumus aturan cosinus :
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B atau ⬌ AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC cos B
akan tetapi besar ∠B belum di ketahui, untuk itu kita perlu mencari besar
∠B terlebih dahulu
 Menentukan besar ∠B
• ∠x = 180° – ∠A = 180° – 80° = 100° (krn ∠x dan ∠A berpelurus)
• ∠B = 360° – ∠x – 200° = 360° – 100° – 200° = 60° (krn ∠B, ∠x, dan 200°
menjadi satu putaran penuh)
x

19. Jawab
Menentukan panjang AC:
⬌ AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC cos B
⬌ AC = 𝑨𝑩𝟐 + 𝑩𝑪𝟐 – 𝟐. 𝑨𝑩. 𝑩𝑪 cos 𝑩
⬌ AC = 𝟔𝟎𝟐 + 𝟖𝟎𝟐 – 𝟐. (𝟔𝟎)(𝟖𝟎) cos 60°
⬌ AC = 𝟑𝟔𝟎𝟎 + 𝟔𝟒𝟎𝟎 – 𝟐. 𝟔𝟎 𝟖𝟎
𝟏
𝟐
⬌ AC = 𝟑𝟔𝟎𝟎 + 𝟔𝟒𝟎𝟎 – 𝟒𝟖𝟎𝟎
⬌ AC = 𝟓𝟐𝟎𝟎
⬌ AC = (𝟒𝟎𝟎) (𝟏𝟑)
⬌ AC = 𝟐𝟎 13 km
x