Dokumen tersebut membahas tentang sistem antrian dan model M/M/1, termasuk komponen sistem antrian, notasi Kendall, hukum Little, dan contoh soal."

1. S1 Teknik Telekomunikasi
Fakultas Teknik Elektro
REKAYASA TRAFIK | TTH3J3 | Kur. 2016 | 2017/2018
Sistem Tunggu 1:
Distribusi Antrian dan M/M/1

2. SISTEM TUNGGU/ANTRIAN

3. AGENDA
• Aplikasi Antrian
• Model Antrian Dasar
• Notasi Kendall
• Hukum Little
• Analisis Antrian M/M/1
• Ukuran Kinerja Sistem Antrian
• Beberapa Rumus Pendukung
• Contoh Soal

4. APLIKASI SISTEM ANTRIAN
 Telekomunikasi
 Traffic control
 Penentuan urutan operasi komputer
 Prediksi performansi komputer
 Layanan kesehatan (misalnya kontrol
penggunaan bed di rumah sakit)
 Airport traffic, penjualan tiket airline
 Layout sistem manufaktur

5. CONTOH

6. CONTOH SISTEM ANTRIAN
Sistem Pelayan Customer
Bank Teller Nasabah
Rumah Sakit Dokter, perawat,
bed Pasien
Sistem Komputer CPU, perangkat I/O Job
Sistem Manufaktur Mesin, pekerja Part
Bandara
Landasan pacu,
gate, stasiun
security check-in
Pesawat,
penumpang
Jaringan
Komunikasi Node, link Pesan, paket

7. BLOCKED CALLS CLEARED (BCC)
REVIEW
Sumber #1
Offered Traffic
Sumber #2
Offered Traffic
1
2
3
4
10 menit
Total Trafik Ditawarkan:
TO = 0.4 E + 0.3 E
TO = 0.7 E
2 sumber
Hanya satu server
Traffic
Carried
1 2
1 3 4
Total Trafik Dilayani:
TC = 0.5 E
Panggilan pertama tiba dan
dilayani
Panggilan kedua tiba, tapi
server sibuk
Panggilan kedua ditolak
Panggilan ketiga tiba dan
dilayani
Panggilan keempat tiba dan
dilayani

8. BLOCKED CALLS HELD (BCH) REVIEW
Sumber #1
Offered Traffic
Sumber #2
Offered Traffic
1
2
3
4
10 menit
Total Trafik Ditawarkan:
TO = 0.4 E + 0.3 E
TO = 0.7 E
2 sumber
Traffic
Carried
1 2
1 2 3 4
Hanya satu server
Panggilan pertama tiba dan
dilayani
Panggilan kedua tiba, tetapi server
sibuk
Panggilan kedua dilayani
Panggilan ketiga tiba dan dilayani
Panggilan keempat tiba dan
dilayani
Total Trafik Dilayani:
TC = 0.6 E
Panggilan kedua ditahan sampai
server bebas

9. BLOCKED CALLS WAIT (BCW)
Sumber #1
Offered Traffic
Sumber #2
Offered Traffic
1
2
3
4
10 menit
Total Trafik Ditawarkan:
TO = 0.4 E + 0.3 E
TO = 0.7 E
2 sumber
Hanya satu server
Traffic
Carried
Panggilan pertama tiba dan
dilayani
1
Panggilan kedua tiba, tetapi
server sibuk
2
Panggilan kedua menunggu
sampai server bebas
Panggilan kedua dilayani
1 2
Panggilan ketiga tiba, menunggu,
dan dilayani
3
Panggilan keempat tiba,
menunggu, dan dilayani
4
Total Trafik Dilayani:
TC = 0.7 E

10. MASALAH SISTEM ANTRIAN
• Proses selama
pembangunan
hubungan
untuk
komunikasi
suara

11. SUMBER DELAY DI JARINGAN
• Delay Proses
–Asumsi daya pemrosesan tidak terbatas
• Delay Antrian
–Waktu tunggu transmisi di buffer
• Delay Transmisi
• Delay Propagasi
–Waktu yang dihabiskan di link untuk transmisi sinyal listrik
–Tidak bergantung pada trafik yang dibawa oleh link
Fokus: Delay Antrian

12. MODEL ANTRIAN DASAR

13. MODEL ANTRIAN DASAR
• Antrian memodelkan stasiun pelayanan dengan
–Satu atau beberapa server
–Daerah menunggu atau buffer
• Pelanggan datang untuk menerima layanan
• Pelanggan yang tidak menemui server bebas akan menunggu
di buffer
Arrival Berakhir
Buffer Server
Antri Dilayani

14. KARAKTERISTIK ANTRIAN
• Jumlah server N: 1, beberapa, tak hingga (infinite)
• Ukuran buffer b
• Disiplin layanan (penjadwalan): FIFO, LIFO, Processor
Sharing (PS), dll
Proses kedatangan
Statistik layanan
N
b

15. PROSES PANGGILAN
• Random origination (dengan kondisi t0)
– Peluang sebuah panggilan muncul dalam interval
(t,t+t] adalah lt (tidak tergantung t) dan l adalah
konstan
– Peluang dua atau lebih panggilan muncul pada
selang (t,t+t] adalah nol
– Setiap panggilan saling bebas
t
0 t
t
t
n
t=t/n
Cukup besar

16. PROSES KEDATANGAN
• : waktu antar kedatangan antara pelanggan n dan n+1
• adalah peubah acak
• adalah proses stokastik
Waktu antar kedatangan terdistribusi identik dan memiliki common mean
• l disebut laju kedatangan
n 1
n 
1
n 
n

n
t t
n

n

{ , 1}
n n
 
[ ] [ ] 1/
n
E E
  l
 

17. 1)Proses Kedatangan
• Merupakan spesifikasi bagaimana pelanggan datang ke
sistem. Misal Ai menyatakan selang waktu antara kedatangan
pelanggan ke-(i - 1) dan ke-i  inter-arrival time. Secara
umum diasumsikan waktu A1, A2, …, An, … adalah peubah acak
IID (Independent Identically Distributed). Rata-rata atau
expected inter-arrival time dinyatakan E(A), dan l = 1/E(A)
adalah laju kedatangan pelanggan. Perhatikan satuan: jika Ai
dalam second, maka l dalam reciprocal (kebalikan)
second
• Perhatikan bahwa mengetahui laju kedatangan saja tidaklah
cukup – selalu dibutuhkan distribusi probabilitas, di mana
laju kedatangan memiliki mean – atau resiprok mean. Kecuali
disebutkan secara khusus, biasanya diasumsikan distribusi
eksponensial …
KOMPONEN SISTEM ANTRIAN

18. 2) Mekanisme Pelayanan
•Dispesifikasikan oleh jumlah server, biasanya dinyatakan
dengan peubah s, dan distribusi probabilitas waktu layanan. Jika
S1, S2, …, Sn, … adalah peubah acak IID untuk waktu layanan
sekumpulan pelanggan, maka mean service time pelanggan
dinyatakan oleh E(S), dan µ = 1/E(S) adalah service rate server.
3) Disiplin Antrian
•Merupakan aturan untuk memilih pelanggan berikutnya yang
akan dilayani. Beberapa disiplin:
•FIFO: First In First Out (antrian standar)
•LIFO: Last In First Out (stack)
•Prioritas: suatu cara didefinisikan untuk menentukan prioritas
pelanggan (priority queue)
KOMPONEN SISTEM ANTRIAN

19. PROSES WAKTU LAYANAN
• : waktu layanan pelanggan n di server
• adalah proses stokastik
Waktu layanan terdistribusi identik dengan common
mean
• m disebut laju layanan
Untuk paket, apakah waktu layanan benar-benar acak?
n 1
n 
1
n 
n
s
t
n
s
{ , 1}
n
s n 
[ ] [ ]
n
E s E s m
 

20. • Model antrian digunakan untuk
– Menggambarkan perilaku sistem antrian
– Evaluasi kinerja sistem
MODEL SISTEM ANTRIAN
Sistem Server
Sistem Antrian
Antrian Server
Sistem Antrian

21. KARAKTERISTIK SISTEM ANTRIAN
• Proses Kedatangan
– Distribusi yang menentukan bagaimana task
datang ke sistem.
• Proses Pelayanan
– Distribusi yang menentukan waktu proses task
• Jumlah Server
– Jumlah total server yang tersedia untuk
memproses task

22. NOTASI KENDALL 1/2/3(/4/5/6)
• Enam parameter
• Tiga parameter awal selalu digunakan, nomor 4, 5,
dan 6 dispesifikasikan secara khusus
1. Distribusi Kedatangan
2. Distribusi Layanan
3. Jumlah Server
4. Kapasitas Total (tak hingga jika tidak dituliskan)
5. Ukuran Populasi (tak hingga)
6. Disiplin Layanan (FCFS/FIFO)

23. DISTRIBUSI
• M: singkatan "Markovian", menyatakan
distribusi eksponensial untuk waktu layanan
atau waktu antar kedatangan
• D: Deterministik (contohnya fixed constant)
• Ek: Erlang dengan parameter k
• Hk: Hyperexponential dengan parameter k
• G: General (umum)

24. CONTOH NOTASI KENDALL
• M/M/1:
– Kedatangan Poisson dan layanan eksponensial, 1 server,
kapasitas dan populasi tak hingga, FCFS (FIFO)
– Antrian realistik yang paling sederhana
• M/M/m
– Sama, tetapi dengan m server
• G/G/3/20/1500/SPF
– Distribusi kedatangan dan layanan general, 3 server, 17 slot
antrian (20-3), 1500 total job, Shortest Packet First

25. DESKRIPTOR ANTRIAN:
CONTOH
• M/M/1: kedatangan Poisson, waktu layanan
terdistribusi eksponensial, 1 server, buffer tak
hingga
• M/M/m: m server
• M/M/m/m: kedatangan Poisson, waktu layanan
terdistribusi eksponensial, m server, no buffer
• M/G/1: kedatangan Poisson, waktu layanan
terdistribusi identik mengikuti distribusi general, 1
server, buffer tak hingga
• */D/∞ : sistem delay konstan

26. SIMBOL KENDALL
• Pada sistem tunggu, permintaan (panggilan) yang datang pada
waktu peralatan sedang sibuk semua, tidak dihilangkan tetapi
menunggu sampai ada peralatan yang bebas, kemudian
diduduki.
• DG Kendall memberikan simbol pada sistem antrian A/B/C, di
mana
– A: pola kedatangan panggilan
– B: pola waktu pelayanan (pendudukan)
– C: jumlah pelayan (peralatan)
• Simbol untuk pola datang dan waktu pendudukan
– M: distribusi eksponensial negatif (m = markov)
– D: distribusi tertentu (tetap/fixed)
– G: distribusi yang umum (general)

27. HUKUM LITTLE
• Hukum Little:
Jumlah task rata-rata dalam sistem = laju kedatangan rata-
rata * waktu respon rata-rata
– Hukum Little tersebut akan kita buktikan !!
• Diterapkan pada sistem yang berada dalam equilibrium,
asalkan tidak ada sesuatu dalam kotak hitam di atas yang
menciptakan task baru atau menghancurkan task
Kedatangan Keberangkatan
Sistem

28. MENGHITUNG PROSES
ANTRIAN
• N(t) : jumlah pelanggan dalam sistem pada waktu t
• (t) : jumlah kedatangan pelanggan sampai waktu t
• b(t) : jumlah keberangkatan pelanggan sampai waktu t
• Ti : waktu yang dihabiskan dalam sistem oleh pelanggan ke-
i
(t)
N(t)
t
b(t)

29. RATA-RATA WAKTU
• Rata-rata waktu dalam
selang [0,t]
• Rata-rata waktu keadaan
tunak
• Teorema Little N=λT
• Little diterapkan pada sistem
antrian apapun dengan syarat:
Limit T, λ, dan d memiliki nilai,
dan
λ= d
Berikut diberikan bukti grafis
dengan beberapa asumsi
0
( )
1
1
( ) lim
( )
lim
1
lim
( )
( )
lim
t
t t
t
t t
t
a t
t i t
t
i
t t
t
N N s ds N N
t
a t
t
T T T T
a t
t
t
l l l
b
d d d





 
 
 
 



30. BUKTI TEOREMA LITTLE UNTUK FIFO
• Asumsi: N(t)=0, infinitely often. Untuk sembarang t
Jika limit Nt→N, Tt→T, λt→λ ada, rumus Little berlaku
• Sistem FIFO, N(0)=0
(t) dan b(t): grafik anak
tangga
N(t) = (t)- b(t)
Daerah yang diarsir
t 0
( ) ( )
t
S t N s ds
 
(t)
T1
N(t)
T2
Ti
i
b(t)
( )
1
( )
0 0
1
1 ( )
( ) ( )
( )
t
i
t
t t
i t t t
i
T
t
N s ds T N s ds N T
t t t



l


    


 

31. BUKTI LITTLE UNTUK FIFO
• Secara umum – bahkan jika antrian tidak kosong dengan frekuensi sangat sering
(tak hingga):
• Hasil berikut mengasumsikan limit Tt →T, λt→λ, and dt→d ada, dan λ=d
(t)
T1
N(t)
T2
Ti
i
b(t)
( ) ( )
1 1
( ) ( )
0 0
1 1
( ) 1 ( )
( ) ( )
( ) ( )
t t
i i
t t
t t
i i
i i
t t t t t
T T
t t
T N s ds T N s ds
t t t t t
T N T
b 
b 
b 
b 
d l
 
    
  
 
 
 

32. BENTUK PROBABILISTIK TEOREMA
LITTLE
• Tinjau fungsi sampel tunggal untuk proses
stokastik
• Fokuskan pada probabilitas berbagai fungsi sampel
dari proses stokastik
• Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem
pada waktu t
• Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada t
( ) { ( ) }
n
p t P N t n
 
0 0
[ ( )] . { ( ) } ( )
n
n n
E N t n P N t n np t
 
 
  
 

33. BENTUK PROBABILISTIK LITTLE
• pn(t), E[N(t)] bergantung pada t dan distribusi inisial pada t=0
• Tinjau sistem yang konvergen ke keadaan tunak
• Terdapat pn yang tidak bergantung pada distribusi inisial
• Jumlah pelanggan rata-rata pada keadaan tunak [rata-rata
stokastik]
• Untuk proses ergodik, rata-rata waktu dari fungsi sampel sama
dengan ekspektasi keadaan tunak, dengan probabilitas 1.
lim ( ) , 0,1,...
n n
t
p t p n

 
0
lim [ ( )]
n
t
n
EN np E N t



 

lim lim [ ( )]
t
t t
N N E N t EN
 
 


34. BENTUK PROBABILISTIK LITTLE
• Pada prinsipnya, dapat dihitung distribusi probabilitas
dari delay Ti untuk pelanggan i, dan dari nilai rata-rata
E[Ti], konvergen ke keadaan tunak
• Untuk sistem ergodik
Bentuk probabilitas dari Rumus Little:
Laju kedatangan didefinisikan sebagai
lim [ ]
i
i
ET E T


1
lim lim [ ]
i
i
i i
T
T E T ET
i

 

 

.
EN ET
l

[ ( )]
lim
t
E t
t

l



35. RATA-RATA WAKTU VS
STOKASTIK
• “Time average = Stochastic average,” untuk semua
sistem yang dipelajari pada kuliah ini
• Tercapai jika fungsi sampel tunggal dari proses
stokastik berisi semua kemungkinan jika proses
dijalankan pada t→∞
• Dapat dibuktikan berdasarkan sifat umum dari rantai
Markov

36. PEMBUKTIAN HUKUM LITTLE
J = Daerah arsir = 9
Sama untuk semua
kasus!
Waktu
1 2 3 4 5 6 7 8
Jumlah
Paket
dalam
Sistem
1
2
3
Waktu
1 2 3
Waktu
dalam
Sistem
Jumlah Paket
1
2
3
1 2 3 4 5 6 7 8
Jumlah
Paket
1
2
3
Kedatangan
Berakhir

37. DEFINISI
• J: “Daerah” dari slide sebelumnya
• N: Jumlah job (paket)
• T: Waktu total
• l: Laju kedatangan rata-rata
– N/T
• W: Waktu rata-rata job berada dalam sistem
– = J/N
• L: Jumlah rata-rata job dalam sistem
– = J/T

38. BUKTI: METODE 1: DEFINISI
W
L T
N
)
(

W
L )
(l

1 2 3 4 5 6 7 8
Jumlah
Paket
dalam
Sistem (L)
1
2
3
Waktu (T)
1 2 3
Waktu
dalam
Sistem (W)
Jumlah Paket (N)
1
2
3
=
NW
TL
J 


39. BUKTI: METODE 2: SUBSTITUSI
W
L T
N
)
(

W
L )
(l

)
)(
( N
J
T
N
T
J

T
J
T
J
 Tautologi

40. ANALISIS ANTRIAN M/M/1
• Diketahui:
• l: Laju kedatangan job (paket pada link input)
• m: Laju layanan server (link output)
• Hitung:
– L: jumlah paket rata-rata dalam sistem
– Lq jumlah paket rata-rata dalam antrian
– W: waktu tunggu rata-rata dalam keseluruhan
sistem
– Wq waktu tunggu rata-rata dalam antrian

41. MODEL ANTRIAN M/M/1
l
m
m
1
Wq
W
L
Lq

42. Beban trafik (intensitas trafik) = l/m

43. Contoh-contoh
• Bila rata-rata terdapat 10 panggilan per jam yang datang
secara acak, hitung
– Peluang terdapat dua atau lebih panggilan dalam waktu 12 menit
– Peluang waktu antar kedatangan tidak lebih dari 6 menit
Jawab
– Arrival rate = 10 call/jam = 1/6 per menit
– Peluang tidak ada panggilan dalam waktu 12 menit =p0(t)=e-lt = e-
12/6= e-2
– Peluang muncul 1 panggilan dalam waktu 12 menit =
– Maka peluang muncul 2 panggilan atau lebih dalam waktu 12 menit
adalah = 1-(p0(t)+p1(t)) = 1-(e-2+2e-2) =1-3e-2= 0,5940
– Peluang waktu kedatangan tidak lebih dari 6 menit = A(t) = 1- e-lt =
1 – e-6/6 =1- e-1 = 0,6231
2
6
/
12
1
1 2
!
1
)
6
/
12
(
)
12
( 


 e
e
p

44. Contoh-contoh (2)
• Misalnya waktu pelayanan terdistribusi secara
eksponensial dengan rata-rata 3 menit, hitung
peluang bahwa waktu pelayanan melebihi 6 menit
Jawab :
– Service rate = 1/3 call per menit
– Peluang waktu pelayanan melebihi t = H(t) = e-mt
– Maka peluang waktu pelayanan melebihi 6 menit adalah
= e-(1/3)x6 = e-2 =0,1353

45. Contoh-contoh (3)
• Pada suatu wartel yang terdiri dari lebih 2 pesawat telepon,
diketahui 50 pelanggan melakukan panggilan di dalam
satu jamnya dengan rata-rata waktu pemakaian 3 menit.
Hitung :
– Jumlah telepon rata-rata yang digunakan
– Waktu tunggu rata-rata jika terdapat rata-rata 1,2 pelanggan yang
menunggu
Jawab
– Arrival rate = l =50/jam = 50/60 = 5/6 call per menit
– Service rate = m = 1/3
– Traffic load = l/m = (5/6)x3 = 2,5 Erlang
• Ini berarti jumlah rata-rata telepon yang digunakan adalah 2,5
– Waktu tunggu rata-rata dicari menggunakan rumus Little
• Diketahui L=1,2 maka W=L/l =1,2/(5/6)=1,44 menit

46. MEMECAHKAN SISTEM
ANTRIAN
• 4 tidak diketahui: L, Lq W, Wq
• Hubungan:
– L=lW
– Lq=lWq (argumen keadaan tunak)
– W = Wq + (1/m)
• Jika diketahui 1, yang lain dapat dicari
• Menghitung L bisa sulit atau mudah, bergantung
pada tipe sistem. Secara umum:
0




n
n
nP
L

47. ANALISIS ANTRIAN M/M/1
• Tujuan: Persamaan bentuk tertutup dari
probabilitas jumlah job dalam antrian (Pi),
diketahui hanya l dan m

48. • Persamaan kesetimbangan global
p p
n n
l m
 1
l m
p p
0 1

( )
l m l m
  
 
p p p
j j j
1 1
,...
1
,
0
,
0
1
1 
 
 n
p
p n
n 
SISTEM ANTRIAN M/M/1

49. Didefinisikan sebagai probabilitas n task dalam sistem pada waktu t
KONDISI EQUILIBRIUM
n+1
n
n-1
l l l
l
m m
m m
)
(t
Pn
0
)
(
)
(
lim
,
)
(
lim
,
when
Stablize
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
1
)(
)[(
(
)]
1
)(
)[(
(
]
)
1
)(
1
)[(
(
)
(
)]
1
)(
)[(
(
]
)
1
)(
1
)[(
(
)
(
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0






























































t
t
P
t
t
P
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
t
P
t
t
P
t
P
t
P
t
t
P
t
t
P
t
t
t
P
t
t
t
P
t
t
t
t
t
P
t
t
P
t
t
t
P
t
t
t
t
t
P
t
t
P
n
n
t
n
n
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
m
l
m
m
l
l
m
l
m
l
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
m

50. KONDISI EQUILIBRIUM
1
1
1
0
)
( 
 



n
n
n P
P
P
P
P
m
l
m
l
m
l
n+1
n
n-1
l l l
l
m m
m m

51. PEMECAHAN UNTUK P0 DAN Pn
• Langkah 1
• Langkah 2
0
,
0
2
2
0
1 , P
P
P
P
P
P
n
n 


















m
l
m
l
m
l




 























0
0
0
0
0
1
,
1
,
1
n
n
n
n
n
n P
P
then
P
m
l
m
l

52. PEMECAHAN UNTUK P0 DAN Pn
• Langkah 3
• Langkah 4
 
1
ρ
ρ
1
1
ρ
1
ρ
1
ρ
,
ρ
0
0















 





 n
n
n
n
then
m
l
m
l
 
ρ
1
ρ
and
ρ
1
ρ
1
0
0 







n
n
n
n
P
P

53. PEMECAHAN UNTUK L
0




n
n
nP
L )
1
(
0





n
n
n 
 )
1
(
1
1






n
n
n


 



 

 1
1
)
1
( d
d






 

0
)
1
(
n
n
d
d


 
 
2
)
1
(
1
)
1
( 

 
 l
m
l



 
 )
1
(

54. PEMECAHAN W, Wq DAN Lq
   l
m
l
l
m
l
l 
 

 1
1
L
W
    )
(
1
1
1
l
m
m
l
m
l
m
m 
 



W
Wq
)
(
)
(
2
l
m
m
l
l
m
m
l
l
l 
 

 q
q W
L

55. PERSAMAAN UMUM
• Dengan substitusi dari persamaan satu ke persamaan
lainnya untuk n = 0, 1, 2, … dst diperoleh
– P(n) =
– Di mana A = l/m = l.h








N
n
;
)
0
(
P
N
!
N
A
N
n
;
)
0
(
P
!
n
A
N
n
n
n

56. 57
Jaringan dan Teknik Penyambungan Telekomunikasi|S1 TT

57. 58
Jaringan dan Teknik Penyambungan Telekomunikasi|S1 TT

58. TEORI ANTRIAN UNTUK JARINGAN
• Jaringan dipandang sebagai kumpulan antrian
– Struktur data FIFO
• Teori antrian menyediakan analisis
probabilistik untuk antrian
• Contoh:
– Panjang antrian rata-rata
– Waktu tunggu rata-rata
– Probabilitas antrian dengan panjang tertentu
– Probabilitas paket hilang

59. Untuk suatu sistem antrian, elemen-elemen apa saja yang dapat
diukur? Misalkan:
1) Di = delay antrian dari pelanggan ke-i;
2) Wi = Di + Si = waktu tunggu dalam sistem dari pelanggan ke-i;
3) Q(t) = jumlah pelanggan dalam antrian pada waktu t;
4) L(t) = jumlah pelanggan dalam sistem pada waktu t = jumlah
pelanggan dalam antrian + jumlah pelanggan yang sedang
dilayani.
a) Delay Rata-rata Keadaan Tunak:
d  lim
n
Di
i 1
n

n
, w.p. 1
Di mana w.p. singkatan dari with probability dan berarti bahwa
limit berlaku untuk hampir semua D1, D2, ...
UKURAN KINERJA SISTEM
ANTRIAN

60. b) Waktu Tunggu Rata-rata Keadaan Tunak:
w  lim
n 
Wi
i1
n

n
, w.p.1
c) Jumlah Paket Rata-rata Terhadap Waktu Dalam
Antrian pada Keadaan Tunak:
Q  lim
T  
Q t
 dt
0
T

T
, w.p.1
c) Jumlah Paket Rata-rata Terhadap Waktu Dalam Sistem
pada Keadaan Tunak:
L  lim
T  
L t
 dt
0
T

T
, w.p.1
• Perhatikan bahwa pada semua kasus,  < 1 adalah syarat perlu
agar limit memiliki nilai (jumlah rata-rata kedatangan harus
kurang dari jumlah rata-rata keberangkatan yang mungkin)

61. RUMUS TUNGGU ERLANG
• Probabilitas P(0) diperoleh dari kondisi normal
• Karena pola kedatangan panggilan adalah random (Poisson), maka probabilitas
bahwa suatu panggilan yang datang akan menunggu sama dengan bagian
waktu di mana semua pelayan sibuk, jadi
– D(N,A) =
























0
j
j
N
1
N
0
n
n
0
n
N
A
!
N
A
!
n
A
)
0
(
P
1
)
n
(
P
A
N
N
.
!
N
A
)!
1
N
(
A
!
2
A
A
1
A
N
N
.
!
N
A
N
1
N
2
N










)
,
1
(
1
)
,
(
1
)
,
(
1
A
N
B
A
N
B
A
N
D 


 D(N,A)= P(t>0) = RN/[A(N-A+R)]

62. RUMUS TUNGGU ERLANG
• Tabel B(N,A) ada, jadi D(N,A) dapat dihitung
secara mudah
• Jumlah pelanggan (panggilan) rata-rata yang
antri
• Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian
(sebelum dilayani) untuk semua panggilan
termasuk yang tak menunggu
A
N
A
).
A
,
N
(
D
nq


A
N
h
).
A
,
N
(
D
tq



63. HASIL LAIN RUMUS TUNGGU
• Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian dihitung untuk pelanggan yang
menunggu saja
• Waktu rata-rata lamanya pelanggan (panggilan) di dalam sistem
• Jumlah rata-rata pelanggan di dalam sistem
• Probabilitas bahwa panggilan punya waktu tunggu T melebihi harga t
– Prob(T>t) = D(N,A).e-(N-A)t/h
• Rumus Little
• Penurunan rumus Little diawali dari (t), d(t), dan (t)
A
N
h
tqm


q
s
t
h
t 

A
N
A
).
A
,
N
(
D
A
N




l

n

64. WAKTU RESPON VS.
KEDATANGAN
l
m
 1
W
Waiting vs. Utilization
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
 %
W(sec)

65. DAERAH STABIL
Waiting vs. Utilization
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
 %
W(sec)
linear region

66. Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem diberikan oleh
E n
  n pn
0

  n 1 
 n
0

 

1  
Penurunan dari
bentuk tertutup
penjumlahan
diperoleh dari
pengamatan bahwa
1
1  
 
2 
d
d
1
1  


 

 
d
d
n
n 0


  n n1
n 0

 
1

n n
n 0


DAERAH STABIL

67. CONTOH EMPIRIK
Sistem
M/M/m

68. CONTOH
• Suatu berkas saluran N = 8 saluran merupakan berkas sempurna. Penawaran
trafik A = 4,5 Erlang. Waktu pendudukan rata-rata h = 120 detik. Panggilan
dilayani sesuai dengan urutan datangnya. Ditanyakan:
– P(t>0) = ?
– Waktu tunggu rata-rata dari panggilan yang harus menunggu
– Waktu tunggu rata-rata dari semua panggilan
– P(t>60 detik) = ?
• Hitung lagi untuk A = 4,5 Erlang, N = 5 saluran, h = 120 detik, dan x = 60 detik
• Untuk latihan, turunkan P(t>0) =
• Suatu tingkat group selector mengolah trafik pembicaraan = 360 Erl dilayani oleh
1 marker. Waktu pembicaraan rata-rata = 3 menit = 0,05 jam. Waktu kerja marker
(untuk 1 panggilan) rata-rata = 100 mdet. Ditanyakan:
– Tr = ?
– Tt = ?
– P(t>300 mdetik) = ? )
R
A
N
(
A
RN



69. BEBERAPA RUMUS BENTUK LAIN
• Dalam suatu sistem terdapat pengertian utilization factor atau facility utilization
atau faktor pemakaian
• Faktor pemakaian ini didefinisikan sebagai berikut: (waktu pendudukan per
fasilitas)/(waktu yang tersedia)
• Menurut rumus yang dikembangkan oleh Khintchine dan Pollaczek, jumlah
pelanggan rata-rata dalam sistem adalah
• Bila waktu pelayanan konstan (sistem M/D/1): h = 0
• Bila waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif: h = h
• Waktu lamanya rata-rata dlm sistem : s
)
1
(
2
t
N
2
h
2
2
t


l


l







)
1
(
2
N
2






























1
h
1
1
h
s
1
1
N
2

70. ANTRIAN MELEBIHI HARGA TERTENTU
• Probabilitas yang antri melebihi harga tertentu
– Probabilitas (nN) =
– Dapat diturunkan dari persamaan kesetimbangan
• Kedatangan yang enggan
– Koefisien kelahiran bn =
– Koefisien kematian dn = m
– Dari persamaan kesetimbangan akan didapat hasil
– Waktu lamanya rata-rata dalam sistem
N
N
n
n
)
1
( 

 




1
n 

  m

m
 
 e
.
!
n
)
n
(
P
n
)
e
1
(
N
S /
2 m

m

l 



























1
h
1
1
h
s
1
1
N
2

71. CONTOH SOAL

72. CONTOH
• Pada gateway jaringan, pengukuran menunjukkan
bahwa paket tiba dengan laju rata-rata 125 paket per
detik (pps) dan gateway membutuhkan waktu sekitar
2 ms untuk forward. Dengan asumsi model M/M/1,
berapa probabilitas overflow jika gateway hanya
memiliki 13 buffer. Berapa buffer yang dibutuhkan
untuk menjaga packet loss di bawah 1 paket per
sejuta?

73. CONTOH
• Pengukuran gateway jaringan:
– Laju kedatangan rata-rata (l): 125 paket/dt
– Waktu respon rata-rata (m): 2 ms
• Asumsi kedatangan eksponensial
– Berapa utilisasi gateway?
– Berapa probabilitas n paket di gateway?
– Jumlah rata-rata paket di gateway?
– Jumlah buffer sehinnga P(overflow) < 10-6?

74. CONTOH
• Laju kedatangan λ =
• Laju layanan μ =
• Utilisasi gateway ρ = λ/μ =
• Probabilitas n paket berada di gateway =
• Jumlah paket rata-rata dalam gateway =

75. CONTOH
 Laju kedatangan λ = 125 pps
 Laju layanan μ = 1/0.002 = 500 pps
 Utilisasi gateway ρ = λ/μ = 0.25
 Probabilitas n paket di gateway =
 Jumlah paket rata-rata di gateway =
n
n
)
25
.
0
(
75
.
0
ρ
)
ρ
1
( 

33
.
0
57
.
0
25
.
0
ρ
1
ρ




76. CONTOH
• Probabilitas buffer overflow:
• Untuk membatasi probabilitas loss kurang dari
10-6:

77. CONTOH
 Probabilitas buffer overflow:
= P(lebih dari 13 paket berada di
gateway)
 Untuk membatasi probabilitas loss
kurang dari 10-6:

78. CONTOH
 Probabilitas buffer overflow:
= P(lebih dari 13 paket di gateway)
= ρ13 = 0.2513 = 1.49x10-8
= 15 paket per milyar paket
 Untuk membatasi probabilitas loss
kurang dari 10-6:

79. CONTOH
 Probabilitas buffer overflow:
= P(lebih dari 13 paket di gateway)
= ρ13 = 0.2513 = 1.49x10-8
= 15 paket per milyar paket
 Untuk membatasi probabilitas loss
kurang dari 10-6:
6
10
ρ 

n

80. CONTOH
 Agar probabilitas loss kurang dari 10-6:
 atau
= 9.96
   
25
.
0
log
/
10
log 6


n
6
10
ρ 

n

81. CONTOH I M/M/1
Trafik ke suatu pusat message switching untuk salah
satu saluran komunikasi outgoing datang dengan
pola acak dan laju rata-rata 240 pesan per menit.
Saluran memiliki laju transmisi 800 karakter per
detik. Panjang pesan (termasuk karakter kontrol)
kira-kira mengikuti distribusi eksponensial dengan
panjang rata-rata 176 karakter. Hitung ukuran
statistik dasar untuk kinerja sistem berikut ini,
asumsikan tersedia kapasitas buffer pesan yang
sangat besar

82. CONTOH I M/M/1
1. Jumlah pesan rata-rata dalam sistem?
2. Jumlah pesan rata-rata dalam antrian yang menunggu
untuk dikirimkan
3. Waktu rata-rata suatu pesan berada dalam sistem
4. Waktu rata-rata suatu pesan menunggu transmisi
5. Probabilitas 10 pesan atau lebih menunggu untuk
dikirimkan

83. CONTOH I M/M/1
E[s] = Panjang pesan rata-rata/laju saluran
= {176 char/pesan} / {800 char/sec}
= 0.22 sec/pesan
m = 1 / 0.22 {pesan / sec}
= 4.55 pesan / sec
l = 240 pesan / min
= 4 pesan / sec
 = l E[s] = l / m
= 0.88

84. CONTOH I M/M/1
1. N=  / (1 - ) = 7.33 (pesan)
2. Nq = 2 / (1 - ) = 6.45 (pesan)
3. W = E[s] / (1 - ) = 1.83 (sec)
4. Wq =  × E[s] / (1 - ) = 1.61 (sec)
5. P [11 pesan atau lebih dalam sistem]
= 11 = 0.245

85. CONTOH II M/M/1
Kantor cabang dari suatu perusahaan rekayasa
memiliki 1 terminal online yang terhubung ke sistem
komputer pusat selama 8 jam pada hari kerja normal.
Insinyur yang bekerja di dalam kota, selalu
menggunakan terminal tersebut untuk kalkulasi
rutin. Statistik yang dikumpulkan selama periode
waktu tertentu menunjukkan bahwa pola
kedatangan orang di kantor cabang untuk
menggunakan terminal mengikuti distribusi Poisson
(acak) dengan rata-rata 10 orang datang tiap hari.
Distribusi waktu yang dihabiskan oleh insinyur di
terminal tersebut adalah eksponensial dengan

86. CONTOH II M/M/1
rata-rata 30 menit. Kantor cabang menerima keluhan
dari staf mengenai pelayanan terminal tersebut.
Dilaporkan bahwa seseorang sering menunggu
lebih dari 1 jam untuk menggunakan terminal dan
kadang-kadang memakan waktu 1,5 jam untuk
menyelesaikan sedikit kalkulasi. Manajer cukup
bingung karena statistik menunjukkan bahwa
terminal hanya digunakan rata-rata 5 jam dari 8.
Tingkat utilisasi ini sepertinya bukan merupakan
justifikasi untuk menambah terminal. Apa
penjelasan yang dapat diberikan dari teori antrian?

87. CONTOH II M/M/1
1. {10 orang / hari}×{1 hari / 8 jam}×{1 jam / 60 min}
= 10 orang / 480 min
= 1 orang / 48 min
 l = 1 / 48 (orang / min)
2. 30 menit : 1 orang
= 1 (min) : 1/30 (orang)
 m = 1 / 30 (person / min)
3.  = l / m = {1/48} / {1/30} = 30 / 48
= 5 / 8

88. CONTOH II M/M/1
1. Laju kedatangan
l = 1 / 48 (pelanggan / min)
2. Utilisasi server
 = l / m = 5 / 8 = 0.625
3. Probabilitas 2 pelanggan atau lebih dalam
sistem P[N  2] = 2 = 0.391
4. Jumlah steady-state rata-rata dalam sistem
L = E[N] =  / (1 - ) = 1.667
5. S.D. jumlah pelanggan dalam sistem
N = sqrt() / (1 - ) = 2.108

89. CONTOH II M/M/1
1. Waktu rata-rata pelanggan berada dalam sistem
W = E[w] = E[s] / (1 - ) = 80 (min)
2. S.D. waktu pelanggan berada di sistem
w = E[w] = 80 (min)
3. Jumlah steady-state pelanggan rata-rata dalam
antrian Nq = 2 / (1 - ) = 1.04
4. Panjang antrian steady-state rata-rata dari sistem
yang tidak kosong (nonempty)
E[Nq | Nq > 0] = 1 / (1 - ) = 2.67
5. Waktu rata-rata dalam antrian
Wq = E[q] = ×E[s] / (1 - ) = 50 (min)

90. CONTOH II M/M/1
1. Waktu rata-rata di antrian untuk orang yang
harus menunggu saja
E[q | q > 0] = E[w] = 80 (min)
2. Persentil 90 dari waktu menunggu
pq(90) = E[w] ln (10 )
= 80 * 1.8326
= 146.6 (min)

91. 92
Jaringan dan Teknik Penyambungan Telekomunikasi|S1 TT