การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิกส์

1. 1
4.3 การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
การเคลื่อนที่แบบสั่นจะมีลักษณะพิเศษคือ จะมีการเคลื่อนที่แบบซ้ารอบรอยเดิมกลับไป
กลับมาจากอิทธิพลของแรงที่มีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา
การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple harmonic motion - SHM) เป็นการเคลื่อนที่
อีกแบบหนึ่ง การกระจัดของวัตถุซึ่งมีการเคลื่อนที่แบบนี้จะวัดจากตาแหน่งเดิมของวัตถุ เมื่อไม่ถูก
แรงภายนอกใดๆ มากระทา เรียกตาแหน่งนี้ว่า แนวสมดุล
การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มแบบ SHM
จากภาพข้างต้น ออกแรงเลื่อนให้ลูกตุ้มอยู่ในตาแหน่ง A แล้วปล่อยให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่
ลูกตุ้มจะแกว่งจาก A ไป B, C, D และ E เมื่อลูกตุ้มกลับมายัง E หรือกลับมายังจุดเริ่มต้นอีกครั้งจะ
เรียกว่า เป็นการสั่นครบ 1 รอบ
จงตอบคาถามต่อไปนี้
1. ลูกตุ้มเคลื่อนที่อยู่ในตาแหน่งใดจะมีการกระจัดน้อยที่สุดหรืออยู่ในแนวสมดุล (B และ D)
2. ลูกตุ้มเคลื่อนที่อยู่ในตาแหน่งใดจะมีการกระจัดมากที่สุด (C และ A)
3. นักเรียนคิดว่า ลูกตุ้มเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัวในทุกตาแหน่งหรือไม่ ถ้าความเร็วไม่คงตัว
ตาแหน่งใดมีความเร็วมากที่สุด และตาแหน่งใดมีความเร็วน้อยที่สุด
(ความเร็วของลูกตุ้มจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา โดยจะมีความเร็วมากที่สุด เมื่อลูกตุ้มผ่านแนว
สมดุล (ตาแหน่ง B และ D ) และจะมีความเร็วน้อยที่สุดหรือหยุดนิ่ง เมื่อลูกตุ้มเคลื่อนห่างจาก
สมดุลมากที่สุด (ตาแหน่ง C และ A ))
4. นักเรียนคิดว่า ในการเคลื่อนที่แบบสั่นนี้ วัตถุมีความเร่งหรือไม่ ถ้ามีความเร่งจะคงตัวหรือไม่
ขึ้นอยู่กับปัจจัยใด
(ลูกตุ้มมีการเปลี่ยนแปลงความเร็วตลอดเวลา ดังนั้นจึงน่าจะมีความเร่ง ส่วนความเร่งก็จะมีค่าไม่
คงตัว เนื่องจากแรงที่กระทาต่อลูกตุ้มทาให้เกิดการเคลื่อนที่แบบสั่นมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา
ด้วย)

2. 2
5. ระยะที่ลูกตุ้มเคลื่อนที่ออกห่างจากแนวสมดุล ณ ตาแหน่งใดๆ เรียกว่าอะไร
(การกระจัด)
6. ระยะที่ลูกตุ้มเคลื่อนที่ออกห่างจากแนวสมดุลมากที่สุด เรียกว่าอะไร
(แอมพลิจูด (A))
การเคลื่อนที่ของสปริง
แรงที่ทาให้วัตถุในกรณีนี้เคลื่อนที่แบบ SHM คือ แรงยืดหยุ่น
เมื่อทาให้สปริงมีความยาวเปลี่ยนไปหรือ
เปลี่ยนตาแหน่งจากแนวสมดุล จะมีแรงที่ดึง
กลับ พยายามมาทาให้วัตถุรักษาสภาพเดิมไว้
แรงนี้คือ แรงยืดหยุ่น F = -ks
กาหนดให้  แทนการกระจัดเชิงมุมของวัตถุ มีหน่วยเป็นเรเดียน (rad) เป็นการบอก
ตาแหน่งของการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่แบบสั่นของวัตถุ โดยถ้าวัตถุเคลื่อนที่ได้ 1 รอบ  จะมีค่า
เปลี่ยนไป 
2 rad
จากความสัมพันธ์  = t
ดังนั้น การกระจัด ณ ตาแหน่งใดๆ
ความเร็ว ณ ตาแหน่งใดๆ
s = A cos t
v = -A sin t = 
 2
2
s
A 
ความเร่ง ณ ตาแหน่งใดๆ
จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ข้อ 2
สาหรับ การเคลื่อนที่แบบ SHM
a = -2 A cos t = -2s
F

= a
m

F = -m2s
F = -ks

3. 3
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
……………..……
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
……………..……
1. จากนิยามของแรงยืดหยุ่น และแรงที่ทาให้เกิดการเคลื่อนที่แบบ SHM จะได้ความสัมพันธ์ของ
ความเร็วเชิงมุมหรือความถี่เชิงมุม () ในรูปแบบใด
(จาก x
F = -m 2s
-ks = -m 2s
k = m 2 หรือ  = m
k )
2. ความถี่เชิงมุม () มีความสัมพันธ์กับคาบและความถี่อย่างไร
( = 2 f = T
2π )
3.
4. จากข้อ 3 ถ้า kA > kB แต่ mA = mB วัตถุใดจะสั่นได้เร็วกว่ากัน
การเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม
การสั่นของลูกตุ้ม
เมื่อดึงให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่จากแนวสมดุลในภาพ (a) จะมีแรงที่ดึงกลับพยายามให้วัตถุรักษา
สภาพเดิมไว้ในที่นี้คือ แรง -mg sin  เมื่อ  เป็นมุมระหว่างแนวเชือกกับแนวดิ่ง
แรงที่ทาให้วัตถุในกรณีนี้เคลื่อนที่แบบ SHM คือ -mg sin 
จากภาพถ้า kA = kB แต่ mA > mB เมื่อทาให้
A และ B เคลื่อนที่แบบ SHM วัตถุใดจะสั่น
ได้เร็วกว่ากัน (B)
คาถาม
สาหรับการเคลื่อนที่แบบ SHM ของสปริง ω =
m
k
T =
m
k
2π , f =
k
m
2π
k

4. 4
คาถาม
1. ความสัมพันธ์ของความเร็วเชิงมุมหรือความเร่งเชิงมุม () ในกรณีนี้มีลักษณะอย่างไร
(จาก -mg sin  = -m2 s
g sin  = 2 s
จากภาพ ถ้า  เป็นมุมเล็กๆ s  x
และ L
x = sin 
จึงได้ว่า เมื่อ เป็นมุมเล็กๆ L
x = sin 
หรือ s
2
ω
L
s
g  ดังนั้น = L
g
ω )
2.
3.
สรุปสูตรการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
1.แรงที่กระทาให้วัตถุเคลื่อนที่แบบิิมเปิลฮาร์มอนิก แรงนี้เรียกแรงย้อนกลับมีทิศเข้าสู่แนวสมดุล
และแปรผันตามการขจัดตามสมการ
F = -ks
จากภาพ ถ้า mA = mB เมื่อแกว่งให้ A และ B
เคลื่อนที่แบบ SHM วัตถุใดจะสั่นได้เร็วกว่า
กัน (B)
จากภาพ ถ้า LA = LB เมื่อแกว่งให้ A และ B
เคลื่อนที่แบบ SHM วัตถุใดจะสั่นได้เร็วกว่า
กัน (ทั้งคู่สั่นได้เร็วเท่ากัน)
สาหรับการเคลื่อนที่แบบ SHM ของลูกตุ้ม  =
l
g
T =
g
L
2π , f =
L
g
2π
1

5. 5
2.คาบเวลาของการเคลื่อนที่แบบิิมเปิลฮาร์มอนิก
T =
k
m
2
โดย k คือค่าของการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิก
3.คาบเวลาการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา
3.1ลูกตุ้มนาฬิกาแก่งในระบบหยุดนิ่ง
T = 2
g


3.2ลูกตุ้มนาฬิกาแก่งในระบบที่วิ่งด้วยความเร่ง
T = 2
a
g





4.คาบเวลาการแกว่งของมวลผูกปลายสปริง
T =
k
m
2
5.การต่อสปริงแบบต่างๆ
5.1 การต่อแบบอนุกรม



2
1
e k
1
k
1
k
1
…
5.2 การต่อสปริงแบบขนาน
2
1
e k
k
k 
 + …
ตัวอย่างที่ 1 อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ซิมเปิลฮาร์มอนิกบนพื้นระดับที่มีแอมพลิจูด 10 ซม ที่จุด
ซึ่งห่างจากจุดสมดุล 6 ซม มีความเร็ว24 ซม/วินาที จงหาคาบเวลา
วิธีทา หา  จาก v = 2
2
S
A 

จากโจทย์ A = 10x10-2
m , S = 6x10-2
m , V =24x10-2
m/s
แทนค่า 24x10-2
=  2
2
2
2
)
10
6
(
)
0
1
10
( 

 x
x
 = 3
แต่  =
21
44
3
2
2







คาบเวลาการเคลื่อนที่ = 2.1 วินาที/รอบ ตอบ

6. 6
ตัวอย่างที่ 2 อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ซิมเปิลฮาร์มอนิกบนพื้นระดับที่มีแอมพลิจูด 10 ซม ที่จุด
ซึ่งห่างจากจุดสมดุล 8 ซม มีความเร็ว 18 ซม/วินาที จงหาคาบเวลา
ตัวอย่างที่ 3 อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ซิมเปิลฮาร์มอนิกบนพื้นระดับที่มีแอมพลิจูด 5 ซม ที่จุดซึ่ง
ห่างจากจุดสมดุล 3 ซม มีความเร็ว 12 ซม/วินาที จงหาคาบเวลา
ตัวอย่างที่ 4 นามวล m มาผูกติดกับสปริงซึ่งมีค่านิจสปริง K และแขวนในแนวดิ่งจุดสมดุล
ปกติของสปริงแล้วปล่อยมือ มวล m จะเริ่มเคลื่อนที่โดยมีความเร็วต้นเป็น 0 และ
สั่นแบบ SHM ถ้ากาหนดให้ m = 4 kg , K = 16 2
 N/m และ g = 9.8
m/s2 2

 m/s2
จงหา
ก . คาบของการสั่น
ข . คามถี่ของกการสั่น
ค . ความเร็วเชิงมุม

7. 7
ก. คาบ
k
m
2


แทนค่า 2
16
4
2




 = 1 วินาที/รอบ
ข. ความถี่ f = 1
1
1
1



รอบ/วินาที
ค. ความเร็วเชิงมุม 


 2
1
2
2



 เรเดียน/วินาที
ตัวอย่างที่ 5 นามวล m มาผูกติดกับสปริงซึ่งมีค่านิจสปริง K และแขวนในแนวดิ่งจุดสมดุล
ปกติของสปริงแล้วปล่อยมือ มวล m จะเริ่มเคลื่อนที่โดยมีความเร็วต้นเป็น 0 และ
สั่นแบบ SHM ถ้ากาหนดให้ m = 4 kg , K = 16 2
 N/m และ g = 9.8
m/s2 2

 m/s2
จงหา
ก . คาบของการสั่น
ข . คามถี่ของกการสั่น
ค . ความเร็วเชิงมุม

8. 8
ตัวอย่างที่ 6 สปริงหนึ่งมีค่านิจ 100 นิวตันต่อเมตร ปลายสปริงข้างหนึ่งติดกับมวล 0.49 กิโลกรัม
ส่วนปลายอีกด้านหนึ่งของสปริงติดกับผนัง เมื่อดึงมวลแล้วปล่อยให้สปริงเคลื่อนที่แบบ SHM บน
พื้นลื่น จะมีคาบของการเคลื่อนที่เท่าใด
วิธีทา จาก T = 2
k
m
ตัวอย่างที่ 7 สปริงหนึ่งมีค่านิจ 100 นิวตันต่อเมตร ปลายสปริงข้างหนึ่งติดกับมวล 0.64 กิโลกรัม
ส่วนปลายอีกด้านหนึ่งของสปริงติดกับผนัง เมื่อดึงมวลแล้วปล่อยให้สปริงเคลื่อนที่แบบ SHM บน
พื้นลื่น จะมีคาบของการเคลื่อนที่เท่าใด
วิธีทา จาก T = 2
k
m
ตัวอย่างที่ 8 แขวนลูกตุ้มด้วยเชือกยาว 0.4 เมตร จะแกว่งด้วยคาบเวลาเท่าไร
วิธีทา จาก T = 2
g
L
ตัวอย่างที่ 9 แขวนลูกตุ้มด้วยเชือกยาว 0.64 เมตร จะแกว่งด้วยคาบเวลาเท่าไร
วิธีทา จาก T = 2
g
L

9. 9
ตัวอย่างที่ 10 ลูกตุ้มแขวนด้วยเชือกยาว 1 เมตร แกว่งไปมาด้วยคาบ 2 วินาที ถ้าลูกตุ้ม
แขวนด้วยเชือกยาว 16 เมตร จะแกว่งด้วยคาบเท่าไร
วิธีทา คาบการแกว่ง
g


2

 - - - - - - - - -
ถ้า  1=1 m T1= 2 s จะได้T1 = g
1
2 
 - - - - - - - - -
ถ้า  2=16 m T2= ? จะได้ g
2
T 2
2 

 - - - - - - - -
/ ;
1
2
1
2





แทนค่าจะได้
1
16
2
2


2
 = 8 วินาที ตอบ
ตัวอย่างที่ 11 ลูกตุ้มแขวนด้วยเชือกยาว 1 เมตร แกว่งไปมาด้วยคาบ 3 วินาที ถ้าลูกตุ้ม
แขวนด้วยเชือกยาว 9 เมตร จะแกว่งด้วยคาบเท่าไร
ตัวอย่างที่ 12 ลูกตุ้มแขวนด้วยเชือกยาว 0.4 เมตร แกว่งไปมาด้วยคาบ 4 วินาที ถ้าลูกตุ้ม
แขวนด้วยเชือกยาว 3.6 เมตร จะแกว่งด้วยคาบเท่าไร

10. 10
ตัวอย่างที่ 13 ลูกตุ้มนาฬิกาแขวนด้วยเชือกยาว 2 เมตร จงหาความถี่ของลูกตุ้มในกรณี
ต่อไปนี้
ก. แกว่งบนพื้นโลก
ข. แกว่งในลิฟท์ขึ้นด้วยความเร่ง 2 m/s2
ค. แกว่งในลิฟท์ลงด้วยความเร่ง 2 m/s2
วิธีทา ก. แกว่งบนพื้นโลกจะได้ f =

g

2
1
แทนค่าจะได้ f =

 2
5
2
10
2
1

= 0.356 รอบ/วินาที ตอบ
ข.เมื่อแกว่งในลิฟท์ที่เคลื่อนที่ขึ้นด้วยความเร่ง 2 m/s2
ขนาดของความเร่งลัพธ์ของลูกตุ้มเมื่อเทียบกับคนในลิฟท์
a
g


 = 10 + 2 = 12 m/s2
ความถี่ของการแกว่ง f =



a
g 

2
1
แทนค่า f =
2
12
2
1

= 0.39 รอบ/วินาที ตอบ
ค. เมื่อแกว่งในลิฟท์ที่เคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง 2
ขนาดของความเร่งลัพท์ของลูกตุ้มเทียบกับคนในลิฟท์
a
g


 = 10-2 = 8 m/s2
ความถี่ของการแกว่ง f =



a
g 

2
1
แทนค่า f =
2
8
2
1

= 0.318 รอบ/วินาที ตอบ
ตัวอย่างที่ 14 ลูกตุ้มนาฬิกาแขวนด้วยเชือกยาว 0.1 เมตร จงหาความถี่ของลูกตุ้มในกรณี
ต่อไปนี้
ก. แกว่งบนพื้นโลก
ข. แกว่งในลิฟท์ขึ้นด้วยความเร่ง 3.6 m/s2
ค. แกว่งในลิฟท์ลงด้วยความเร่ง 6.4 m/s2

11. 11
ตัวอย่างที่ 15 จากรูปต่อไปนี้ จงหาคาบเวลาการแกว่งของมวล m
วิธีทา ในแต่ละรูปที่โจทย์กาหนดให้มา ทาการยุบเป็นสปริงเส้นเดียวเสียก่อน จึงหา
คาบเวลา
จาก
m
k

2



12. 12
จากรูปสปริง 3 ตัวต่ออย่างอนุกรมกัน ยุบให้เหลือสปริง 1 ตัว ดังรูป
3
2
1
e k
1
k
1
k
1
k
1



3
2
1
2
1
1
3
3
2
e k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
1 


จากสูตร
e
k
m
2


แทนค่าจะได้
3
2
1
2
1
1
3
3
2
k
k
k
)
k
k
k
k
k
k
(
m
2




 ตอบ
จากรูป สปริง k1 และ k2 ต่อขนานกันยุบเป็น 1 ตัว แลละต่ออนุกรมกับ k3 ดังรูป
3
2
1
e k
1
k
k
1
k
1



3
2
1
2
1
3
e k
)
k
k
(
k
k
k
k
1



จาก
e
k
m

2


3
2
1
3
2
1
k
)
k
k
(
)
k
k
k
(
m
2





 ตอบ
16. สปริง S1 และ S2 มีค่านิจ K1 และ K2 ตามลาดับ ผูกติดกัน แล้วผูกติดกับมวล m ดังรูป มวล
m จะสั่น ด้วยคาบเวลาเท่าใด
ก. 









2
1 k
1
k
1
m
2 ข.
2
1 k
k
m
2


ค.
2
1
2
1
k
k
k
mk
2

 ง.  
2
1 k
k
/
m
2
2 


13. 13
17. สปริง S1 และ S2 มีค่านิจ K1 และ K2 ตามลาดับ ผูกติดกัน แล้วผูกติดกับมวล m แขวน
ในแนวดิ่ง ดังรูป มวล m จะสั่นด้วยคาบเวลาเท่าใด
ก. m
)
k
k
(
2 2
1 
 ข. 2  )
k
k
/
m 2
1 
ค. 2  )
k
k
/
m
2 2
1 
 ง. 2  )
k
k
/
k
mk 2
1
2
1 

18. สปริง S1, S2 และ S3 มีค่านิจ K1 , K2 และ K3 ตามลาดับ ผูกติดกับมวล m ดังรูป ค่านิจรวม
ของสปริงเท่ากับเท่าใด
ก.  
3
2
1 k
k
k
3
1

 ข. 3
2
1 k
k
k 

ค. 3
3
2
1 k
.
k
.
k ง.
3
2
1 k
1
k
1
k
1


19.จากรูป ค่านิจรวมของสปริงทั้งสามเท่ากับเท่าใด ถ้า K1 , K2 และ K3 เป็นค่านิจของสปริงทั้ง
สาม
ก.
3
2
1 k
1
k
1
k
1

 ข. 









3
2
1 k
1
k
1
k
1
/
1
ค. 3
2
1 k
k
k 
 ง.  
3
2
1 k
k
k
3
1

