เอกสารประกอบการสอน เรื่อง การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

1. 1
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
บทที่ 8 การเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย
ทบทวนการเคลื่อนที่แบบหมุน
1. ปริมาณตางๆที่เกี่ยวของกับการหมุน
วัตถุที่ไมเปลี่ยนรูปรางเมื่อเคลื่อนที่หรือมีแรงมากระทํา เรียกวา วัตถุแข็งเกร็ง (Rigid body)
 คือ วัตถุที่มีแรงกระทําในแนวไมผานจุดศูนยกลางมวล (C.M) จะมีโมเมนตของแรงที่ไมเปนศูนย
มามากระทํา (ทอรก) สงผลใหวัตถุมีการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบจุดศูนยกลางมวล หรือหมุนอยูกับที่
รอบแกนคงตัว
 ตัวอยางเชน การเคลื่อนที่ของลูกขาง พัดลม ลอรถ ลูกปงปอง ลูกฟุตบอล เปนตน
 ปริมาณตางๆที่เกี่ยวของกับเคลื่อนที่แบบหมุน มีดังนี้ การหมุน
1.1 การกระจัดเชิงมุม (angular displacement)
 หมายถึง มุมที่กวาดไปไดรอบแกนหมุน เมื่อวัตถุหมุนเปนวงกลม
 สัญลักษณ คือ  มีหนวยเปน เรเดียน หรือ รอบ (rad)
 โดยหาไดจากสมการ
r
s

1.2 ความเร็วเชิงมุม (angular Velocity)
 หมายถึง การกระจัดเชิงมุมที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหนวยเวลา
 สัญลักษณ คือ 

มีหนวยเปน เรเดียน/วินาที (rad/s)
 โดยหาไดจากสมการ
T
f
t




2
2 





1.3 ความเรงเชิงมุม (angular acceleration)
 หมายถึง ความเร็วเชิงมุมที่เปลี่ยนไปในหนึ่งหนวยเวลา
 สัญลักษณ คือ 

มีหนวยเปน เรเดียน/วินาที2 (rad/s2)
 โดยหาไดจากสมการ
r
t
2


 





นอกจากนี

2. 2
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ตาราง เปรียบเทียบสมการการเคลื่อนที่แนวเสนตรง กับสมการการเคลื่อนที่แบบหมุน
การเคลื่อนที่ในแนวเสนตรง การเคลื่อนที่แบบหมุน เปรียบเทียบ
asuv
t
vu
S
atutS
atuv
2
2
2
1
22
2






 











S
a
v
u 0
การเคลื่อนที่แบบฮารมอนิก (harmonic motion)
ลักษณะการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิก
-เคลื่อนที่กลับไปมาซ้ํารอยเดิม
-มีการสั่น (vibration) หรือ การแกวงกวัด(oscillation)
ตัวอยางการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกที่พบในชีวิตประจําวัน

3. 3
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
การเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย (Simple harmonic motion)
1. ลักษณะการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย
การเคลื่อนที่กลับไปกลับมาซ้ํารอยเดิม ผานตําแหนงสมดุลโดยมีแอมพลิจูดและคาบคงที่
พิจารณาการเคลื่อนที่ของรถทดลองติดปลายสปริงที่ตําแหนงตาง ๆ ดังรูป

4. 4
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ตัวอยางที่ 1วัตถุชิ้นหนึ่งติดที่ปลายสปริง มีตําแหนงสมดุลที่ x = 0 ดึงวัตถุไปตําแหนง x = 0.1 เมตร จากตําแหนง
สมดุล แลวปลอยวัตถุพรอมเริ่มจับเวลา พบวาวัตถุเคลื่อนที่กลับมาที่ตําแหนง x = 0.1 เมตร อีกครั้ง
ใชเวลา 2.2 วินาที (ในหนังสือเรียน หนา 4)
จงหา ก. แอมพลิจูด ข. คาบ และ ค. ความถี่
ลองฝกทํานะคะ
วัตถุชิ้นหนึ่งติดที่ปลายสปริง มีตําแหนงสมดุลที่ x = 0 ดึงวัตถุไปตําแหนง x = 30 เซนติเมตร จากตําแหนงสมดุล แลว
ปลอยวัตถุพรอมเริ่มจับเวลา พบวาวัตถุเคลื่อนที่กลับมาที่ตําแหนง x = 30 เซนติเมตร อีกครั้ง ใชเวลา 5.5 วินาที
จงหา ก. แอมพลิจูด ข. คาบ และ ค. ความถี่
คําถามตรวจสอบความเขาใจ 8.1 (ในหนังสือเรียน หนา 5)
1. การเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายมีลักษณะอยางไร
2. จงอธิบายตําแหนงสมดุล
3. การเคลื่อนที่แบบวงกลมของจุกยาง การแกวงของลูกตุมอยางงาย เปนการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย
หรือไม เพราะเหตุใด

5. 5
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
แบบฝกหัด 8.1 (ในหนังสือเรียน หนา 5)
1. ถาอนุภาคสั่นครบ 20 รอบ ในเวลา 40 วินาที จงหา
ก. ความถี่ ข. คาบ
2. จงหาคาบตอไปนี้ (ในหนวยวินาที)
ก. ชีพจรเตน 29 ครั้ง ใน 20 วินาที ข. เครื่องยนตหมุน 3200 รอบตอนาที
3. จงหาความถี่ของเหตุการณตอไปนี้ (ในหนวยตอวินาทีหรือเฮิรตซ)
ก.สายซอสั่น 43 รอบ ใน 0.1 วินาที
ข. ใบพัดเครื่องปนอาหารหมุน 13000 รอบ ใน 1 นาที
4. คันเคาะเครื่องสัญญาณเวลาทําใหเกิดจุดบนแถบกระดาษ 1200 จุด ใน 1 นาที
คาบและความถี่ของคันเคาะมีคาเทาใด (ในหนวยวินาที และตอวินาทีหรือเฮิรตซ ตามลําดับ)

6. 6
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
2.ปริมาณที่เกี่ยวของกับการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย
1) แอมพลิจูด (A) คือ ขนาดของการกระจัดของวัตถุที่วัดจากตําแหนงสมดุลถึงจุดปลายทั้งสองขาง ซึ่งมีคา
มากที่สุดและมีคาคงที่เสมอ
2) คาบ (T) คือ ชวงเวลาที่วัตถุเคลื่อนที่ครบ 1รอบ มีหนวยเปนวินาทีตอรอบ หรือวินาที
3) ความถี่ (f) คือ จํานวนรอบที่วัตถุเคลื่อนที่ไดในหนึ่งหนวยเวลา มีหนวยเปนรอบตอวินาที หรือเฮิรตซ
4) ณ ตําแหนงจุดปลาย v=0 (หยุดชั่วขณะ)
x มีคามากที่สุด
F มีคามากที่สุด (F=kx)
a มีคามากที่สุด (F=ma)
5) ณ ตําแหนงสมดุล x=0
F=0
a =0
v มีคามากสุด
6) เฟส
ในระบบเอสไอ มุมมีหนวยเปน เรเดียน (radian) เชน
- มุม π เรเดียน มีคาเทากับมุม 180 องศา
- มุม 2π เรเดียน มีคาเทากับมุม 360 องศา

7. 7
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
เมื่อแผงโคมไฟฉายแสงในแนวดิ่งและแนวราบ เงาของอนุภาคที่เคลื่อนที่เปนวงกลมรัศมี A ใน
แนวราบและแนวดิ่งดวยอัตราเร็วคงที่ เงาของอนุภาคบนฉากซึ่งวางในแนวนอนและในแนวตั้งจะเคลื่อนที่กลับไป
กลับมาในแนวตรงตามแนวระดับและแนวดิ่ง
-กรณีแผงโคมไฟฉายลําแสงในแนวดิ่ง ทําใหเกิดเงาบนฉากดานลาง
การหาการกระจัดของการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายในแนวระดับ (x)
จากรูป 𝒙 = 𝑨𝒔𝒊𝒏𝜽
จาก 𝜽 = 𝝎𝒕 𝒙 = 𝑨𝒔𝒊𝒏𝜔𝑡
ลําแสง
ลําแสง
พิจารณาการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่เคลื่อนที่เปนวงกลมดวยอัตราเร็ว
เชิงมุมคงตัว เมื่อเวลา t ใดๆ แผนกลมจะจะหมุนไปเปนมุม 𝜃 เงาของอนุภาคมี
การเคลื่อนที่ตําแหนงเริ่มตน x=0 ไปยังตําแหนงใด ๆ (Xi)
𝒙 = 𝑨𝒔𝒊𝒏𝜔𝑡

8. 8
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ขอสังเกต
อัตราเร็วเชิงมุม (angular speed)
-กรณีแผงโคมไฟฉายลําแสงในแนวระดับ ทําใหเกิดเงาบนฉากแนวดิ่ง (y)
และ จากรูป 𝒚 = 𝑹𝒔𝒊𝒏𝜽
𝒚 = 𝑨𝒔𝒊𝒏𝜔𝑡
จาก 𝜃( 𝑡) = ∅ + 𝜔𝑡
จะได 𝒚 = 𝑨𝒔𝒊𝒏( 𝜔𝑡 + ∅)
กรณีเงาอนุภาคไมไดอยูที่ตําแหนงสมดุล ดังรูป เรียกมุม∅วาเฟสเริ่มตนของเงา
เมื่อเวลาผานไป t หมุดเคลื่อนที่ไปจนมีมุม ∅ + 𝜔𝑡 เรียกวา มุมเฟส (phase angle)
ของเงาขณะนั้น ดังสมการ
𝜃( 𝑡) = ∅ + 𝜔𝑡
เขียนสมการความสัมพันธการกระจัดของเงาที่ขึ้นอยูกับเวลา ในรูปทั่วไป ไดเปน
𝒙 = 𝑨𝒔𝒊𝒏( 𝜔𝑡 + ∅)
𝜃
กรณีวัตถุเคลื่อนที่ไปบนเสนรอบวงกลมในชวงเวลา ∆𝑡 วัตถุจะมีการกระจัด ∆𝜃
สามารถหาอัตราเร็วเชิงมุม ไดจากความสัมพันธ 𝜔 =
∆
∆
เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ (∆𝑡 = 𝑇) จะได 𝜔 = = 2𝜋𝑓A
B
ความถี่เชิงมุม (angular frequency)
กรณีที่เงาของหมุดทรงกระบอกเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย ในชวงเวลา ∆𝑡 จะไมปรากฏมุม∆𝜃
สามารถหา 𝜔 ของการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายไดจาก 𝜔 = = 2𝜋𝑓
และเรียก 𝜔 วาความถี่เชิงมุม มีหนวยเปน rad/s
สมการการกระจัดของการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายของวัตถุเปนฟงกชันของเวลา
𝜔𝑡
∅𝜔
1

9. 9
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ตัวอยางที่ 2 จงเขียนสมการการกระจัดที่ขึ้นกับเวลาของวัตถุติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายมี
ตําแหนงเริ่มตนที่จับเวลาตางกันในตาราง (กําหนดให ความถี่เชิงมุมเทากับแอมพลิจูดเทากับ A)

10. 10
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ตัวอยางที่ 3 วัตถุชิ้นหนึ่งที่มีการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายบนพื้นราบแนวระดับ กราฟระหวางการกระจัดกับ
เวลาเปนดังรูป
จงหา ก.การกระจัดของวัตถุเปนศูนย ที่เวลาใด
ข.ที่เวลา t = 2.5 s การกระจัดของวัตถุมีเทาใด
ค.ระยะทางที่เคลื่อนที่ไดทั้งหมดเปนเทาใด
ง.ความเร็วของวัตถุมีคาเปนศูนย ที่เวลาใด

11. 11
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ตัวอยางที่ 4 อนุภาคหนึ่งมีการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย มีการกระจัดเปน
x = (0.10m)sin(πt)
ก. จากสมการในโจทย จงระบุ
- มุมเฟส
- เฟสเริ่มตน
- ความถี่เชิงมุม
- แอมพลิจูด
ข. ที่เวลา t = 1.0 วินาที มุมเฟสและการกระจัดของอนุภาคมีคาเทาใด
การหาความเร็วของการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย
จากรูป กรณีแผงโคมไฟฉายลําแสงในแนวดิ่ง ทําใหเกิดเงาบนฉากดานลาง(X)
𝜃
𝑣 = 𝐴𝜔
𝑣 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
ความเร็วของเงาหาไดจากความเร็วของวัตถุที่กําลังเคลื่อนที่
แบบวงกลมดวยอัตราเร็ว 𝑣
โดย ความเร็วของเงาเทากับความเร็วตามแนวระดับของหมุด
𝑣 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
จาก 𝜃(𝑡) = ∅ + 𝜔𝑡 และ 𝑣 = 𝐴𝜔 จะได
𝑣 = 𝐴𝜔cos(𝜔𝑡 + ∅)

12. 12
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
จากรูป กรณีแผงโคมไฟฉายลําแสงในแนวราบ ทําใหเกิดเงาบนฉากแนวดิ่ง (y)
ความเร็วกับเวลาของเงามีความสัมพันธเปนฟงกชันลักษณะแบบโคไซนเมื่อ ∅ = 0
เขียนกราฟความสัมพันธของความเร็วกับเวลาของเงาเมื่อเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ(ดังรูป)
สมการความเร็วของเงาหาไดจาก
𝑣 = 𝐴𝜔cos(𝜔𝑡 + ∅)
ความเร็วของเงาหาไดจากความเร็วของวัตถุที่กําลังเคลื่อนที่
แบบวงกลมดวยอัตราเร็ว 𝑣
โดย ความเร็วของเงาเทากับความเร็วตามแนวระดับของหมุด
𝑣 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
จาก 𝜃(𝑡) = ∅ + 𝜔𝑡 และ 𝑣 = 𝐴𝜔 จะได
𝑣 = 𝐴𝜔cos(𝜔𝑡 + ∅)
𝑣
2

13. 13
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ความเรงของการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย
จากรูป กรณีแผงโคมไฟฉายลําแสงในแนวดิ่ง ทําใหเกิดเงาบนฉากดานลาง(X)
จากรูป กรณีแผงโคมไฟฉายลําแสงในแนวราบ ทําใหเกิดเงาบนฉากแนวดิ่ง (y)
ความเรงกับเวลาของเงามีความสัมพันธเปนฟงกชันลักษณะแบบไซน เมื่อ ∅ = 0
เขียนกราฟความสัมพันธของการกระจัดของเงากับเวลาเมื่อเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบ(ดังรูป)
ความเรงของเงาหาไดจากความเรงในแนวระดับของหมุด
โดยที่ขนาดความเรงของเงาเทากับขนาดความเรงในแนวระดับของหมุด
แตมีทิศตรงขามกับการกระจัด ขณะเวลาใดๆ (t) ความเรงของเงาหาไดจาก
𝑎 = −𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃
จาก 𝜃(𝑡) = ∅ + 𝜔𝑡 และ 𝑎 = 𝐴𝜔 จะได
𝑎 = −𝐴𝜔 sin(𝜔𝑡 + ∅)
ความเรงของเงาหาไดจากความเรงในแนวดิ่งของหมุด
โดยที่ขนาดความเรงของเงาเทากับขนาดความเรงในแนวดิ่งของหมุด
แตมีทิศตรงขามกับการกระจัด ขณะเวลาใดๆ (t) ความเรงของเงาหาไดจาก
𝑎 = −𝑎 𝑠𝑖𝑛𝜃
จาก 𝜃(𝑡) = ∅ + 𝜔𝑡 และ 𝑎 = 𝐴𝜔 จะได
𝑎 = −𝐴𝜔 sin(𝜔𝑡 + ∅)
สมการความเรงของเงาหาไดจาก
𝑎 = −𝐴𝜔 sin(𝜔𝑡 + ∅) 3

14. 14
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
สามารถหาสมการความสัมพันธระหวางความเรงกับการกระจัดของเงาที่เคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายได
จาก 𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + ∅)
จะได
𝑎 = −𝜔 x
ขนาดของความเรงแปรผันตรงกับขนาดของการกระจัด แตมีทิศทางตรงขามกัน
พิจารณาความเร็วสัมพันธกับการกระจัด ไดดังนี้
จาก 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + ∅) = …………………….A
และ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∅) = .........................B
นําสมการ 𝐴 + 𝐵 จะได
𝑣 = ±𝜔 𝐴 − 𝑥
จากสมการ 2 ขนาดความเร็วมีคาสูงสุด เมื่อ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∅) = 1
ดังนั้น ขนาดความเร็วสูงสุด (vmax)
𝑣 = 𝐴𝜔
จากสมการ 3 ขนาดความเร็วมีคาสูงสุด เมื่อ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + ∅) = 1
ดังนั้น ขนาดความเรงสูงสุด (amax)
𝑎 = 𝐴𝜔
ดังนั้นสมการ 2 และ 3 เขียนไดเปน
𝑣 = 𝑣 cos(𝜔𝑡 + ∅)
𝑎 = 𝑎 sin(𝜔𝑡 + ∅)
4
5
6
7
8
9

15. 15
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ตัวอยางที่ 5 จากตัวอยาง 4 อนุภาคมีการกระจัดเปน x = (0.10m)sin(πt) สมการความเร็วของอนุภาคเปน
อยางไร และที่เวลา t = 1.0 วินาที ความเร็วของอนุภาคมีคาเทาใด
ตัวอยางที่ 6 จากตัวอยาง 4 สมการความเรงของอนุภาคเปนอยางไร และที่เวลา t = 1.0 วินาที ความเรงของอนุภาค
มีคาเทาใด
ตัวอยางที่ 7 วัตถุเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย มีความถี่ 2 รอบตอวินาที ณ ตําแหนงที่มีการกระจัด
7 เซนติเมตร วัตถุจะมีความเรงเทาใด
ตัวอยางที่ 8 วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายรอบตําแหนงสมดุล โดยมีความถี่เชิงมุม 0.4 เรเดียนตอวินาที
และขนาดการกระจัดสูงสุด 10 เซนติเมตร ขณะที่วัตถุอยูหางจากตําแหนงสมดุลเปนระยะ 8 เซนติเมตร วัตถุมี
อัตราเร็วเทาใด

16. 16
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
คําถามตรวจสอบความเขาใจ 8.2 (หนา 14)
1.กราฟระหวางการกระจัดกับเวลาของวัตถุชิ้นหนึ่งที่มีการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย ใหขอมูลอะไรบาง
2. จากกราฟในตัวอยาง 8.3 จงบรรยายการเคลื่อนที่ของวัตถุ
3.ขณะที่วัตถุสั่นแบบฮารมอนิกอยางงายปริมาณใดที่มีทิศทางตรงขามกันเสมอ
4.วัตถุที่สั่นแบบฮารมอนิกอยางงายโดยมีแอมพลิจูดเทากับ A วัตถุจะเคลื่อนที่ไดระยะทางเทาใด ในเวลา 1 คาบ
5.จงอธิบายรายละเอียดของปริมาณตางๆ ในสมการการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย x = Asin(ωt + ∅)
6.มุมเฟสและเฟสเริ่มตนตางกันอยางไรและมีความสําคัญอยางไร

17. 17
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
แบบฝกหัด 8.2 (หนา 14-15)
1. วัตถุเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย มีแอมพลิจูด 30 cm มีคาบการเคลื่อนที่ 4 วินาที อัตราเร็วสูงสุดของการ
เคลื่อนที่มีคาเทาใด
2. วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายดวยความถี่ 30 รอบตอนาที มีขนาดการกระจัดสูงสุด 20 เซนติเมตร
ขนาดความเรงสูงสุดของวัตถุนี้มีเทาใด
3. จงเขียนสมการการกระจัดที่ขึ้นกับเวลาของวัตถุติดปลายสปริงที่เคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายมีตําแหนง
เริ่มตนที่จับเวลาตางกันในตาราง (กําหนดใหความถี่เชิงมุมเทากับω แอมพลิจูดเทากับ A)

18. 18
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
4. วัตถุเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายดวยความถี่ 5 รอบตอวินาที จงหา
ก. เมื่อเวลาผานไป2 วินาที วัตถุอยูในมุมเฟสตางจากเดิมเทาใด
ข. เมื่อวัตถุอยูในเฟสตางจากเดิม 21π/2 เรเดียน วัตถุเคลื่อนที่ไดกี่รอบ
5. วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายรอบจุดสมดุล O โดยมีอัตราเร็วสูงสุด 5.0เซนติเมตรตอวินาที และ
มีคาบการสั่นเทากับ 4π วินาที ขณะที่วัตถุมีอัตราเร็ว 3.0 เซนติเมตรตอวินาที วัตถุอยูหางจากจุดสมดุล O
เปนระยะกี่เซนติเมตร
ปญหา บทที่ 8 (หนา 39-41)
1.สอมเสียงอันหนึ่งสั่น 5000 รอบในเวลา 20 วินาที คาบและความถี่ของสอม เสียงมีคาเทาใด
2.ในการบันทึกภาพการกระพือปกของนกชนิดหนึ่ง พบวานกกระพือปกดวยความถี่ 20 เฮิรตซคาบและความถี่เชิงมุม
ของการกระพือปกเปนเทาใด

19. 19
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
3. วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายตามแนวแกน x มีคาบการเคลื่อนที่เปน 6 วินาที
มีสมการการเคลื่อนที่เปน x = Asin(2πt/T) เมื่อ A และ T เปนคาคงตัว t เปนเวลา เวลาที่ใชเคลื่อนที่จากตําแหนง
x = 0 ไป x = A/2 มีคาเทาใด
4. รถทดลองติดอยูกับปลายขางหนึ่งของสปริงที่วางบนพื้นราบลื่น ตรึงปลายอีกขางของสปริงไว ดังรูป
ถารถเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย โดยมีแอมพลิจูด 0.4 เมตร และอัตราเร็วสูงสุดเปน 2.0 เมตรตอวินาที ในเวลา
10 วินาที รถวิ่งกลับไปกลับมาไดกี่รอบ (ใหคําตอบติดคา π)
5. อนุภาคมวล 0.2 กิโลกรัม เคลื่อนที่เปนวงกลมรัศมี 5.0 เซนติเมตร ดวยอัตราเร็วเชิงมุมคงตัว 40π เรเดียนตอ
วินาที ทําใหเงาของวัตถุบนฉาก เคลื่อนที่กลับไปกลับมาแบบฮารมอนิกอยางงาย รอบจุด O’ ถาวัตถุเริ่มเคลื่อนที่จาก
ตําแหนง A ถึง B โดยใชเวลา 0.04 วินาทีดังรูป ขณะวัตถุอยูที่ตําแหนง B จงหาขนาดของ
ก. การกระจัด ข. ความเร็ว ค.ความเรง

20. 20
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
6.สมการการเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายของอนุภาคเปน x = (5.00 cm) cos (πt/60) เมื่อ x เปนการกระจัด
ในหนวยเซนติเมตร t เปนชวงเวลาการเคลื่อนที่ในหนวยวินาที ที่เวลา t = 10.0 วินาที
ก. การกระจัดของอนุภาค ข. ความเร็ว ค. ความเรง
7.อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย มีแอมพลิจูด 30 เซนติเมตร มีคาบการเคลื่อนที่ 4 วินาที อัตราเร็ว
สูงสุดของการเคลื่อนที่มีคาเทาใด
8.กราฟระหวางความเร็วกับเวลาของอนุภาคหนึ่ง เปนดังรูป
ที่เวลา 5 ×10-2 วินาที อนุภาคมีขนาดความเรงเทาใด (ใหคําตอบติดคา π)

21. 21
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
9.วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายดวยแอมพลิจูด 2.00 เซนติเมตร ในแนวระดับ ความเร็วของวัตถุที่
ตําแหนงใดจากตําแหนงสมดุลมีคาเปนครึ่งหนึ่งของความเร็วสูงสุด
10. รถทดลองติดปลายลวดสปริงเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงาย ดวยแอมพลิจูด 15 เซนติเมตร
และความถี่ 4 รอบตอวินาที จงหาความเร็วสูงสุดและความเรงสูงสุดของรถทดลอง

22. 22
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
3. แรงกับการสั่นของมวลติดปลายสปริงและลูกตุมอยางงาย
3.1 การสั่นของมวลติดปลายสปริง
เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ออกจากตําแหนงสมดุลมีแรงกระทําตอวัตถุหรือไม อยางไร???
 เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ออกจากตําแหนงสมดุลจะมีแรงดึงวัตถุกลับมายังตําแหนงสมดุล ซึ่งเปนแรงที่ทําใหวัตถุ
เคลื่อนที่กลับไปมาซ้ําทางเดิม เรียกแรงนี้วา แรงดึงกลับ (restoring force)
 แรงที่สปริงกระทําตอวัตถุมีขนาดเทากับคาคงตัวสปริงคูณกับขนาดการกระจัด
แตมีทิศตรงขามกับทิศของการกระจัด  Fspring = -kx
 จากกฎการเคลื่อนที่ขอที่สองของนิวตัน ระบบการเคลื่อนที่ของวัตถุติดปลายสปริงมีแรงกระทําตอวัตถุเพียง
1 แรง คือ แรงดึงกลับ  Fspring = ma
ดังนั้นจะไดวา -kx = ma
จะไดความสัมพันธระหวางความเรงกับการกระจัด ตามสมการ
𝑎 = − 𝑥
ความสัมพันธระหวางคาคงตัวสปริง (k) มวลของวัตถุ (m) กับความถี่เชิงมุมโดยเปรียบเทียบสมการ 4 และ 10
𝜔 =
จากความสัมพันธระหวางความถี่เชิงมุมกับคาบ ω = และความถี่เชิงมุมกับความถี่ ω = 2𝜋𝑓
จากความสัมพันธของ k m กับ f และ T จะไดสมการ ดังนี้
ความถี่ ; 𝑓 =
คาบ ; 𝑇 = 2𝜋
ตําแหนงสมดุล
10
11
12
13

23. 23
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ตัวอยาง 9 วัตถุมวล 0.5 กิโลกรัม ติดอยูปลายสปริงที่มีคาคงตัวสปริง 5.0 นิวตันตอเมตร อยูบนพื้นลื่น ดังรูป
เมื่อดึงวัตถุออกจากตําแหนงสมดุล แลวปลอยใหเคลื่อนที่กลับไปกลับมาแบบฮารมอนิกอยางงาย คาบการเคลื่อนที่
เปนเทาใด
ตัวอยาง 10 วัตถุมวล 200 กรัม ติดที่ปลายสปริงซึ่งมีคาคงตัว 5 นิวตันตอเมตร ถาวัตถุเคลื่อนที่แบบ
ฮารมอนิกอยางงายที่ตําแหนง x = 0.05 เมตร จากตําแหนงสมดุล วัตถุมีความเร็วเปนศูนย จงหา
ก. ความถี่เชิงมุม ข. ความเรงที่ตําแหนง x = 0.02 m ค. ขนาดความเรงสูงสุด
ตัวอยาง 11 วัตถุมวล 200 กรัม ติดที่ปลายสปริงซึ่งมีคาคงตัว 5.0 นิวตันตอเมตร ถาดึงวัตถุและปลอยจากหยุดนิ่งที่
ตําแหนง x = 0.05 เมตร จงหา
ก. ความเร็วของวัตถุที่ตําแหนง x = 0.03 m ข. ขนาดความเร็วที่มีคาสูงสุด
m
ตําแหนงสมดุล

24. 24
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
3.2 การแกวงของลูกตุมอยางงาย
ภาพที่หนึ่ง ลูกตุมแขวนที่ปลายเชือกเบาที่มีความยาว l ในแนวสมดุล
ภาพที่สอง ถาดึงลูกตุมใหทํามุม θ กับแนวดิ่ง โดย θ นอยกวา 10 องศา
หลังปลอยมือลูกตุมจะเคลื่อนที่ผานตําแหนงสมดุลไปอีกดานหนึ่งและเคลื่อนที่กลับมายังตําแหนงเริ่มตน
และหากเปลี่ยนความยาวเชือกจะมีผลตอการเคลื่อนที่ อยางไร???
 เมื่อความยาวเชือกเพิ่มขึ้น คาบการแกวงลูกตุมอยางงายมีคาเพิ่มขึ้น
ตามสมการ 𝑇 = 𝑘√𝑙
แนวสมดุล
แนวสมดุล
θ
แนวสมดุล
mg
𝜃
𝜃
𝑠
𝑙
หลังจากปลอยมือจะมีแรงดึงกลับ F กระทําตอลูกตุมมวล m ดึงใหลูกตุมเคลื่อนที่
กลับไปอีกดานผานตําแหนงสมดุลและเคลื่อนที่กลับมาตําแหนงเดิม แรงดึงกลับมีคา
ตามสมการ F = - mgsinθ
** ถามุม θ มีคานอยมากๆ **คิดเปนมุมในหนวยเรเดียน
เชน θ = 9.00° เทากับ θ = 0.1571 rad
และมีคา sin (0.1571 rad) = 0.1565
จึงสามารถประมาณไดวามุมในหนวยเรเดียน sin θ = θ
จึงเขียนสมการไดวา F = - mgθ
มุม θ หาไดจากอัตราสวนระหวางความยาวสวนโคงกับรัศมีของวงกลม
θ = s/l

25. 25
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
จะเห็นวามีแรงเพียงหนึ่งแรงที่กระทําตอระบบ คือ แรงดึงกลับ
จากกฎการเคลื่อนที่ขอที่สองของนิวตัน  F = ma
แทนคาแรงดึงกลับ F = ma ในสมการ F = - mg(s/l)
จะได ma = - mg(s/l)
a = - g(s/l)
เมื่อนําสมการ 5 มาเปรียบเทียบกับสมการ 14 จะไดความสัมพันธระหวางความถี่เชิงมุมกับความยาวเชือก
ตามสมการ 𝜔 =
จากความสัมพันธระหวางความถี่เชิงมุมกับคาบ ω = และความถี่เชิงมุมกับความถี่ ω = 2𝜋𝑓
จากความสัมพันธของ ω กับ T และ f จะไดสมการ ดังนี้
ความถี่ ; 𝑓 =
คาบ ; 𝑇 = 2𝜋
ตัวอยาง 12 ลูกตุมอยางงายมีความยาวของสายลูกตุม 50 เซนติเมตร คาบมีคาเทาใด
14
15
16
17

26. 26
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
ตัวอยาง 13 ลูกตุมอยางงายมีคาบบนผิวโลกเทากับ 3.0 วินาที ถานักบินอวกาศนําลูกตุมอยางงายอันเดิมไปหาคาบ
บนดวงจันทรได 7.4 วินาที
(ใหหาคาความเรงโนมถวงบนดวงจันทร ใหความเรงโนมถวง g บนผิวโลกเทากับ 9.8 m/s2)
คําถามตรวจสอบความเขาใจ 8.3 (หนา 31)
1.จงอธิบายแรงดึงกลับ
2.ถาตองการเพิ่มคาบการสั่นของวัตถุติดปลายสปริงสามารถทําไดดวยวิธีใดบาง
3.ถาตองการเพิ่มความถี่เชิงมุมของลูกตุมอยางงาย ทําไดดวยวิธีใดบาง
4.ถาความยาวเชือกเทากับ 60 เซนติเมตร คาบของลูกตุมอยางงาย มวล m และ 2m มีคาเทากันหรือไม อยางไร

27. 27
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
แบบฝกหัด 8.3 (หนา 32)
1. แขวนมวล 4.9 กิโลกรัมกับสปริง แลวปลอยใหสั่นขึ้นลง วัดคาบของการสั่นได 0.5 วินาที ถาเอามวล 4.9 กิโลกรัม
ออก สปริง จะสั้นกวาตอนที่แขวนมวลอยูเทาใด
2. เมื่อนํามวล 0.5 กิโลกรัม แขวนกับปลายสปริงในแนวดิ่ง ทําใหสปริงมีความยาวเพิ่มขึ้น 4.9 เซนติเมตร ถาทําให
มวลติดสปริงสั่นในแนวดิ่งจะสั่นไดกี่รอบในเวลา 1 วินาที (ใหคําตอบ ติดคา π)
3.จากรูป เปนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางการกระจัดกับเวลาของการเคลื่อนที่ของวัตถุมวล 50.0 กรัม ซึ่งติดไว
กับปลายขางหนึ่งของลวดสปริงเบา ถาไมคิดแรงเสียดทานที่กระทําตอวัตถุ และลวดสปริงคาคงตัวของลวดสปริงมีคา
เทาใดในหนวยนิวตันตอเมตร

28. 28
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
4. ลูกเหล็กทรงกลมมวล 1 กรัม แกวงแบบฮารมอนิกอยางงาย มีแอมพลิจูด 2 มิลลิเมตร ความเรง ที่จุดปลายของการ
แกวงมีคา 8 ×103เมตรตอวินาที2
ก. จงหาความถี่ของการแกวง ข. จงหาความเร็วที่จุดสมดุล
ค.จงเขียนสมการแสดงแรงที่กระทําตอใหลูกเหล็กทรงกลมใหเปนฟงกชันของตําแหนงและเวลา
5. จากรูป เปนกราฟแสดงความสัมพันธระหวางคาบการแกวงของลูกตุมกับรากที่สองของความยาวเชือกบนดาวดวง
หนึ่ง ถาลูกตุมเคลื่อนที่แบบฮารมอนิกอยางงายคาความเรงโนมถวง เนื่องจากดาวดวงนี้เปนเทาใด

29. 29
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
4. ความถี่ธรรมชาติและการสั่นพอง
4.1 ความถี่ธรรมชาติ
เมื่อวัตถุถูกกระตุนใหสั่นหรือแกวงอยางอิสระ วัตถุจะสั่นหรือแกวงดวยความถี่คงตัวคาหนึ่ง เรียกวา
ความถี่ธรรมชาติ (natural frequency) โดยความถี่ธรรมชาติ คือ ความถี่ในการสั่นของวัตถุหรือระบบที่มี
แนวโนมที่สั่นเมื่อถูกรบกวน ซึ่งขึ้นอยูกับลักษณะเฉพาะของแตละระบบ
คําถาม >> ถาทําใหลูกตุมอยางงายในระบบหนึ่งแกวงดวยแรงจากภายนอกที่มีความถี่ตางกัน ระบบจะมีการ
เปลี่ยนแปลงอยางไร??
ตัวอยาง 14 ลูกตุมขนาดเล็กมีความยาวเชือกคงตัวคาหนึ่งใชเวลาในการแกวงครบ 1 รอบ เทากับ 0.5 วินาที
การแกวงของลูกตุมนี้มีความถี่ธรรมชาติเทาใด
กิจกรรม 8.3 ความถี่ธรรมชาติและการสั่นของวัตถุ
คําถาม >> ถาแกวงลูกตุมใหญ ลูกตุมเล็กจะเกิดการเปลี่ยนแปลงอยางไร
 เมื่อลูกตุมขนาดใหญแกวง ลูกตุมขนาดเล็กทุกลูกจะแกวง โดยลูกตุมขนาดเล็กที่มีความยาว
เชือกใกลเคียงกับความยาวเชือกของลูกตุมขนาดใหญจะแกวงโดยมีการกระจัดมากที่สุด เมื่อเทียบกับลูกตุม
ขนาดเล็กลูกอื่นๆ

30. 30
เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาฟสิกสเพิ่มเติม 3 รหัสวิชา ว30203
 ครูสุนันทา เอี่ยมประเสริฐ
4.2 การเกิดการสั่นพอง
เมื่อวัตถุถูกกระตุนตอเนื่องใหสั่นอยางอิสระดวยแรงหรือพลังงานที่มีความถี่เทากับหรือใกลเคียงความถี่ธรรมชาติ
ของวัตถุ วัตถุนั้นจะสั่นดวยความถี่ธรรมชาติของวัตถุนั้น และสั่นดวยแอมพลิจูดที่มีคามาก เรียกปรากฏการณนี้วา
การสั่นพอง (resonance)
คําถามตรวจสอบความเขาใจ 8.4 (หนา 36)
1.ในการกระตุนใหวัตถุสั่นอยางอิสระ พบวา ทุกครั้งวัตถุสั่นดวยความถี่คาเดิมเสมอ ความถี่นี้เรียกวาอะไร
2.จากกิจกรรม 8.3 การที่ลูกตุมที่มีความยาวเชือกเทากับลูกตุมลูกใหญแกวงดวยการกระจัดมากที่สุดเพราะเกิด
ปรากฏการณใด
แบบฝกหัด 8.4 (หนา 36)
1. จงหาความถี่ธรรมชาติของการแกวงของลูกตุมอยางงายที่ผูกติดกับเชือกเบาที่มีความยาว 50 เซนติเมตร
2. จงหาความถี่ธรรมชาติของวัตถุติดปลายสปริง เมื่อวัตถุมีมวล 0.1 กิโลกรัมและสปริงมีคาคงตัวของสปริง
1000 นิวตันตอเมตร