1. PERSAMAAN KUADRAT
DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
MAKALAH
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu
Tugas Terstruktur Dalam Mata Kuliah Kalkulus
Warma Yanti
Endang Lastri
Dermi Yanti
Mustafa Husain Hasibuan
Dosen pembimbing
Risnawita, M.Si
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN TARBIYAH
SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)
SJECH M. DJAMIL DJAMBEK BUKITTINGGI

2. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam matematika dikaji berbagai macam persamaan dan pertidaksamaan.
Diantaranya adalah persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat. Ada berbagai
masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
konsep persamaan kuadrat.
Pada umumnya, konsep pertidaksamaan kuadrat digunakan untuk menentukan
batas suatu nilai. Dalam bidang fisika, konsep ini dapat digunakan untuk menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan kecepatan benda,
B. Rumusan Masalah
1. Apakah yang dimaksud dengan persamaan kuadarat?
2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat?
3. Bagaimana membuat persamaan kuadrat baru yang diketahui akar-akarnya?
4. Apakah pengertian dari pertidaksamaan kuadrat?
5. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat?
C. Tujuan
1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan persamaan kuadarat
2. Untuk mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadrat
3. Untuk mengetahui bagaimana cara membuat persamaan kuadrata baru yang diketahui
akar-akarnya.
4. Untuk mengetahu apa yang dmaksud dengan pertidaksamaan kuadrat
5. Untuk mengetahui cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadra

3. BAB II
PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
A. PERSAMAAN KUADRAT
1. Pengertian Persaamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
dengan
x adalah variabel atau peubah
a adalah koefesien dari x
b adalah koefesien dari x
c adalah konstanta atau tetapan
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Pada intinya, menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan nilai-nilai
variabel, misal x, yang memenuhi persamaaan kuadrat tersebut. Selanjutnya, nilai-nilai
x tersebut sebagai penyelesaikan atau akar-akar persamaan kuadrat.
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat diakukan dengan cara :
a. Memfaktorkan
1. Memfaktorkan ax + bx + c = 0, dengan a = 1
Langkah-langkahnya :
 Bentuk ( x +....) (x + .....) disiapkan.
 Titik-titik diisi dengan bilangan, misalnya m dan n yang merupakan faktor
dari c. m x n = c dan m + n = b sehingga x + bx + c = (x + m)(x+n)
Contoh
Faktorkan x -5x + 6 = 0
(x – 2)(x –
x = 2 atau x = 3
2. Memfaktorkan ax + bx + c = 0, dengan a ≠ 1 (a < , a >
Langkah-langkah :
 Bentuk disiapkan

4.  Titik-titik diisi dengan bilangan, misalnya m dan n, denga mxn = ac dan
n+m = b sehingga ax + bx + c =
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Langkah-langkah untuk menyelsaikan x + bx + c = 0 dengan melengkapkan
kuadrat sempurna sebagai berikut :
 Kedua ruas ditambah dengan konstanta yaitu –c (lawan dari c)
x + bx + c - c = - c
 Kedua ruas ditambah dengan kuadrat dari setengah koefesien x, yaitu ( )
x + bx + ( ) - c = - c + ( )
 Ruas kiri di tulis dalam bentuk kuadrat
( ) = ( ) - c
 Kedua ruas diakarkan
( ) = +√( )
 Nilai x ditentukan
x + ( ) = +√( )
x = - + √( ) atau x = - -√( )
Contoh selesaikanlah persamaan kuadrat berikut ini !
x + 8x –
jawab :
x + 8x +( ) ( )
x + 8x + 4
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
x + 4 = +√
x = - +
Jadi, x - +5 = 1 atau x = - - -

5. 3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
Rumus abc ini diturunkan dari cara melengkapkan kuadrat untuk
menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk baru, ax + bx + c = 0 sebagai berikut :
 Kedua ruas ditambah dengan konstanta yaitu –c (lawan dari c)
ax + bx + c - c = - c
 Kedua ruas dibagi dengan a
x +
 Kedua ruas ditambah dengan kuadrat dari setengah koefesien x, yaitu ( )
x + x + ( ) - c = - + ( )
 Ruas kiri ditulis dalam bentuk kuadrat
( ) = -
=
 Kedua ruas diakarkan, sehingga
x + +√ = +√ + √
 Kedua ruas ditambahkan - , sehingga
x = - + √
x =
√
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat
sebagai berikut :
1. Persamaan kuadrat ditulis dalam bentuk baku ax + bx + c = 0
2. Nilai-nilai a, b, dan c ditentukan dengan mengusahakan tetapan-tetapan a, b, dan c
tidak pecahan .
3. Nilai-nilai a, b dan c dimasukan ke dalam rumus kuadrat
x =
√

6. 4. Bentuk penulisan pada ruas kanan disederhanakan sehingga diperoleh suatu
penyelesaian.
Contoh : selesaikanlah persamaan kuadrat 2x + 5x + + 3 + 0
Jawab
2x + 5x + + 3 + 0, a = 2, b = 5, c =3
x =
√
x1 =
√
=
√
=
√
Jadi, penyelesaiannya adalah
x1 = atau x =
4. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Jenis dan banyaknya akar suatu persamaan kuadrat ditentukan oleh b-4ac.
Bentuk b-4ac disebut diskriminan, dinotasikan denganD. Diskriminan membedakan
jenis akar.
a. Jika D >0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang berlainan
b. Jika D = 0, persamaaan kuadrat mempunyai dua akar riil yang sama
c. Jika D < 0, persamaan kuadrat tidak mempunyai nilai riil atau kedua akarnya
merupakan bilangan imajiner .
5. Jumlah dan Hasil Kali akar-akar Persamaan Kuadrat
Misalkan x1 dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, maka kita
dapat membentuk rumus-rumus untuk x1 + x dan x1.x melalui rumus abc.
Diketahui rumus abc adalah :
x =
√
dari rumus abc tersebut diperoleh

7. a. x 1 + x =
√
+
√
=
√ √
=
b. x1.x = [
√
] [
√
]
=
(√ )
=
=
=
6. Menyusun Persamaan Kuadrat Yang Diketahui Akar-akarnya
1. Menggunakan persamaan (x+x1)(x+x ), jikadiketahui akar-akarnya
2. Menggunakan persamaaan x (x1+x )x + (x1.x
Contoh :
 Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 3!
Jawab
x1 dan x
(x+x1)(x+x
(x+2)(x+3)= 0
x + 2x + 3x + 2.3 = 0
x + 5x + 6 = 0
 Jika x1dan x adalah akar-akar dari persamaan x – 2x – , susunlah persamaan
kuadrat yang akar-akarnya 2x1 dan 2x
Jawab
x – 2x – , a = 1, b = -2, c =-
x1 + x = -

8. = -
x 1.x =
=
x (α β x + (α β
(α β 2x1 + 2x = 2 (x1+x )
(α β 2x1.2x =4(x1.x - 1
x (α β x + (α β
x + 4x - 1
Jadi persamaan kuadrat barunya adalah x + 4x - 1
B. Pertidaksamaan Kuadarat
1. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya
berpangkat paling tinggi 2. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
a + bx + c >0
a + bx + c <0
a bx c ≥
a bx c ≤
2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, yang kita lakukan adalah
menentukan himpunan bilanganyang memenuhi pertidaksamaan kuadrat tersebut.

9. Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat :
a. Pertidaksamaan ditulis dalam bentuk baku
b. Pertidaksamaan diubah menjadi persamaan ax +bx+c=0, kemudian akar-akar x1
dan x ditentukan.
c. x1dan x digambar pada garis bilangan sehingga diperoleh interval-interval yang
batas-batasnya adalah x1dan x .
x<x1,x<x<x , dan x<x
d. Tanda-tanda pada masing-masing interval ditentukan dengan cara mengambil satu
titik uji x pada interval.
1. Jika x1 ≠ x dengan x1< x
Misal kita ambil titik uji x = k dengan x1<k<x
Jika a(k) + bk + c >0 maka tanda pada interval x1<x<x adalah “+”, tanda
pada interval yang lainnya yaitu x<x1 dan x>x adalah “-“. Jika a(k) + bk + c<
0, maka tanda pada interval x1<x<x adalah “-“, tanda pada interval lain adalah
“+”.
2. Jika x1 = x
Misal kita ambi titik uji x = k dengan x1<k maka tanda pada interval sebelah
kiri dan sebelah kanan x1 memiliki tanda sama.
e. Himpunan penyelesainyya adalah interval-interval yang tandanya sesuai
dengantanda pertidaksamaan.
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan x – x – ≤ !
Jawab
x – x – ≤
x – x –
(x + 2)(x –
x1 = -2 atau x
-

10. Jadi HP =
3. Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat
Diskriminan dapat digunakan untuk menentukaan koefesien-koefesien
persamaan kuadrat (PK) yang akar-akarnya memenuhi sifat tertentu.
Sifat-sifat persamaan kuadrat :
1. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar positif, syaratnya (x1 dan x
a. D > 0
b. x1 + x >
c. x1.x >
2. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar negatif, syaratnya (x1<0, x < )
a. D ≥
b. x1+x <
c. x1.x >
3. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar berbeda tanda, syaratnya (x1> dan x <
atau x1< dan x >
a. D>0
b. x1+x <
4. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar berlawanan, syaratnya (x1=-x)
a. D>0
b. x1+x
c. c
5. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar berkebalikan, syaratnya (x = )
a. D>0
b. x1.x =
c. c=a
Contoh : Jika persamaan x – kx + 4 = 0, akar-akarnya tidak real, tentukan
himpunan harga k yang bulat !
Jawab :
x – kx + 4 = 0
a = 1, b = -k, c = 4
D = b -4ac

11. D = (-k) – 1
D = k -1
Akar-akar persamaan kuadrat tidak real, berarti :
D<0
k -1 <
k2 = 16
k = +√ ↔k = +
k = 4 atau k - -
Gambar akar-akar pada garis bilangan
Ambilah salah satu nilai k pada interval -4<k<4, misal k = 0 maka
k -1 -1 -1 adalah “-“
Jadi, tanda pada interval -4<k<4 adalah “-“ dan pada interval yang lain “+”
++ - - - ++
Interval yang memenuhi pertidaksaman k -1 < adalah interval -4<k<4. Bilangan
buat dalam interval ini adalah - , - , - , , , , .
Jadi HP - , - , - , , , , .
-
-

12. BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah .
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara-cara sebagai
berikut :
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat sempurna, dan
3. Menggunakan rumus abc
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya
berpangkat paling tinggi 2. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
a + bx + c >0
a + bx + c <0
a bx c ≥
a bx c ≤
B. Saran
Aplikasi persamaan dan pertidaksamaan kuadrat tidak hanya digunakan dalam
matematika, tetapi juga dalam fisika. Maka sebagai seorang mahasiswa Jurusan
Matematika hendaknya memahami apa itu persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

13. Pembahasan soal oleh Endang Lastri 2412.089
1. Jika persamaan kuadrat (p+1)x -2(p+3)x +3p=0 mempunyai dua akar yang sama, maka
konstanta p =...............
Jawab :
Dua akar yang sama ↔ D = 0
D = b - 4ac
(-2(p+3) – 4 (p+1).3p = 0
4(p+3) – 4 (p+1).3p = 0
(p+3) – 3p(p+1) = 0
p + 6p + 9 -3p -3p = 0
2p – 3p –
(2p+3)(p-
p1= atau p
Jadi nilai p adalah atau 3
2. Akar-akar persamaan kuadrat x + bx – adalah satu lebih kecil dari tiga kali akar-
akar persamaan kuadrat x + x + a = 0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya a dan b
adalah ...
Jawab :
Akar-akar persamaan : x + x + a = 0; x1 dan x
x1+x -1
x1.x = a
Akar-akar persamaan x + bx – ; x3 dan x4.
x =(3x1-1) dan x = (3x -1
x +x = -b
(3x1-1) + (3x -1) = -b
3(x1+x )-2 = -b
3 (-1)-2 = -b
-3-2 = -b
b=5
x .x -
(3x1-1 + (3x -1 -
9x1x -3x1-3x 1 -
9x1x - 3(x1+x 1 -
9(a)- (-1 1 -
9a+4= -
9a = -
a = -
PK yang akar-akarnya -6 dan 5 adalah
(x+6)(x-
x -x-
3. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x -(k+1)x + (k+3) = 0 adalah dua kali akar-akar
lainnya, maka nilai k adalah .........
Jawab :
PK x -(k+1)x + (k+3) = 0mempunyai akarx1, x

14. Jika x1 – 2x
x1 + x = k + 1
x = Dan
x1 =
x1.x = (k + 3)
= (k + 3)
k1 = 5 atau k =
4. Persamaan kuadrat yang masing-masing akarnya tiga kali akar persamaan kuadrat x + px
+ q = 0adalah.....
Jawab :
Akar-kar PK x + px + q = 0 adalah x1, x2.
Persamaan baru yang akar-akarnya 3x1 dan 3x adalah ;
x – (3x1 + 3x )x + 3x1.3x
x – 3 (x1+x )x + 3 (x1.x
x + 3px + q. 3
x + 3px + 9q
5. Akar-akar persamaan kuadrat x – αx + α – adalah x1 dan x . Jika 2x1 – x ,
maka nilai α adalah...........
Jawab :
Akar-akar persamaan x – αx + α – adalah x1 dan x .
Jika 2x1 – x ,
x1 + x α
3x1 α
x1= ( ), x = 2x1 -
x = ( )
Makax1.x α –
( ) ( )
α α – 18α –
α - 11α 1
( α – (α –
α1= atau α
6. Solusi pertidaksamaan adalah ...........
Jawab:
Titik kritisnya adalah - , ,

15. HP = - <x<
7. berlaku untuk............
=
Titik kritis - , - , ,
Jadi Himpunan Penyelesaiaan dari adalah
8. Pertidaksamaan mempunyai penyelesaian .......
Jawab
Titik kritis, - , ,
Jadi, penyelesaian dari adalah
9. Penyelesaian dari dan adalah .......
Jawab :
√ √

16. Jadi HP = 0<x +√
10. Penyelesaian dari adalah..............
Jawab
Jadi, himpunan penyelsainyya adalah x<- atau 2<x<6