TỔNG HỢP ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN NGỮ VĂN NĂM ...
Chuyen de he pt
1. Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
− Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình
không thay đổi.
− Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x1 + x2 + ... + xn
x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn-1xn
...............................
x1x2 ... xn
− Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
− Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức F(x) = a0xn
+ a1xn−1
+... an, a0 ≠ 0, ai ∈ P có nhgiệm trên P là c1, ..., cn thì:
1
1 2
0
2
1 2 1 3 1 2 1 2 3 -1
0
1 1
0
...
... ...
...............................
... ( 1) .
n
n n n
n n
n
a
c c c
a
a
c c c c c c c c c c c c
a
a
c c c
a
+ + + = −
+ + + + + + + =
= −
(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:
1 2
1 2.
b
S x x
a
c
P x x
a
= + = −
= =
Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có
1 2
1 2.
x x S
x x P
+ =
=
thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2
− SX + P = 0.
2. Định nghĩa:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=
=
, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=
=
3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2
4S P≥ .
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x2
+ y2
= S2
– 2P, x3
+ y3
= S3
– 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
+ =
+ =
.
1
2. GIẢI
Đặt S , Px y xy= + = , điều kiện 2
4S P≥ . Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
PSP 30 S
90S(S 3P) 35
S S 35
S
ìïï =ïì =ï ïï ïÛí í æ öï ï- = ÷çï ïî - =÷çï ÷ç ÷ï è øïî
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
ì ì ì ì= + = = =ï ï ï ïï ï ï ïÛ Û Û Úí í í í
ï ï ï ï= = = =ï ï ï ïî î î î
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 3 3
( ) 2
2
xy x y
x y
− = −
− =
.
GIẢI
Đặt , ,t y S x t P xt= − = + = , điều kiện 2
4S P≥ Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ì ì+ = =ï ïï ïÛí í
ï ï+ = - =ï ïî î
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
ì ì ì= = =ï ï ïï ï ïÛ Û Ûí í í
ï ï ï= = = -ï ï ïî î î
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
+ + + =
+ + + =
.
GIẢI
Điều kiện 0, 0x y≠ ≠ .
Hệ phương trình tương đương với: 2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö æ öï ÷ ÷ç çï + + + =÷ ÷ç çï ÷ ÷ç ç÷ ÷ï è ø è øï
í
ï æ ö æ öï ÷ ÷ç ç+ + + =÷ ÷ï ç ç÷ ÷ï ç ç÷ ÷è ø è øïî
Đặt 21 1 1 1
S x y , P x y , S 4P
x y x y
æ ö æ ö æ öæ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + + + = + + ³÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è øè ø
ta có:
2
1 1
x y 4
S 4 S 4 x y
P 4 1 1S 2P 8
x y 4
x y
ì æ ö æ öï ÷ ÷ç çï + + + =÷ ÷ç çïì ì ÷ ÷= =ï ï ç ç÷ ÷ï è ø è øï ï ïÛ Ûí í í æ öæ öï ï ï=- = ÷ ÷ç çï ï ïîî + + =÷ ÷ç çï ÷ ÷ç ç÷ ÷ï è øè øïî
1
x 2 x 1x
1 y 1
y 2
y
ìïï + =ï ì =ïïï ïÛ Ûí í
ï ï =ï ïî+ =ïïïî
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
x y
+ + =
+ =
.
GIẢI
Điều kiện , 0x y ≥ . Đặt 0t xy= ≥ , ta có:
2
xy t= và (2) x y 16 2t+ = -Þ .
Thế vào (1), ta được:
2
t 32t 128 8 t t 4- + = - =Û
Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
ì ì= =ï ïï ïÛí í
ï ï+ = =ï ïî î
.
Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2
4S P≥ (*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
2
3. Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
1
1 3
x y
x x y y m
+ =
+ = −
.
GIẢI
Điều kiện , 0x y ≥ ta có:
3 3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
ì ìï ï+ = + =ï ïï ïÛí í
ï ï+ = - + = -ï ïï ïî î
Đặt S x y 0, P xy 0= + =³ ³ , 2
S 4P.³ Hệ phương trình trở thành:
3
S 1 S 1
P mS 3SP 1 3m
ì ì= =ï ïï ïÛí í
ï ï =- = -ï ïîî
.
Từ điều kiện 2
S 0, P 0, S 4P³ ³ ³ ta có
1
0 m
4
£ £ .
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình 2 2
3 9
x y xy m
x y xy m
+ + =
+ = −
có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
x y xy m (x y) xy m
xy(x y) 3m 9x y xy 3m 9
ì ì+ + = + + =ï ïï ïÛí í
ï ï + = -+ = -ï ïîî
.
Đặt S = x + y, P = xy, 2
S 4P.³ Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
ì + =ïïí
ï = -ïî
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2
t mt 3m 9 0- + - =
S 3 S m 3
P m 3 P 3
ì ì= = -ï ïï ïÞ Úí í
ï ï= - =ï ïî î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3) 21
m m 3 2 3
(m 3) 12 4
é -³
ê +Û Û £ Ú ³ê - ³êë
.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3
x y
x y m
− + − =
+ =
có nghiệm.
GIẢI
Đặt u x 4 0, v y 1 0= - = -³ ³ hệ trở thành:
2 2
u v 4u v 4
21 3mu v 3m 5 uv
2
ì + =ïì ï+ =ï ïï Ûí í -ï ï+ = - =ï ïî ïî
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3m
t 4t 0
2
-
- + = (*).
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm.
/ 3m 130 0 132S 0 m 7
21 3m 3
0P 0
2
ìì -ïï D ³ ïï ³ïï ïï ïÛ ³ Û Û £ £í í
ï ï -ï ï ³³ï ïï ïî ïî
.
3
4. Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10
( 4)( 4)
x y x y
xy x y m
+ + + =
+ + =
có nghiệm thực.
GIẢI
2 22 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ìì ï + + + =ï + + + = ïï Ûí í
ï ï+ + = + + =ï ïî î
.
Đặt 2 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0= + = +³ ³ . Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
ì ì+ = =ï ïï ïÛí í
ï ï- + = - = +ï ïî î
(S = u + v, P = uv).
Điều kiện
2
S 4P
S 0 24 m 1
P 0
ìï ³ïïï -³ Û £ £í
ïï ³ïïî
.
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình: 3 3 3
1
2
x x+ − = .
GIẢI
Đặt:
3
3
x u
1 x v
=
− =
. Vậy ta có hệ:
3 3
3
u v
2
u v 1
+ =
+ =
⇔
2
3
u v
2
(u v) (u v) 3uv 1
+ =
+ + − =
⇔
3
u+v =
2
19
u.v =
36
u, v là hai nghiệm của phương trình: 2 3 19
X - X + = 0
2 36
⇒
9+ 5
u =
12
9 - 5
u =
12
⇒
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x =
12
÷ ÷
÷ ÷
Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =
3 3
9 5 9 5
;
12 12
+ −
÷ ÷ ÷ ÷
.
B. BÀI TẬP
I. Giải các hệ phương trình sau:
1)
4 4
6 6
1
1
x y
x y
+ =
+ =
2)
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
+ =
− + =
3)
30
35
x y y x
x x y y
+ =
+ =
4) 2 2
4
2 8 2
x y
x y xy
+ =
+ + =
5)
2 2
18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y
+ + + =
+ + =
6)
( )
( )2 2
2 2
1
1 5
1
1 49
x y
xy
x y
x y
+ + = ÷
+ + = ÷
7)
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
+ + + =
+ + + =
8)
7
1
78
yx
y x x y
x xy y xy
+ = +
+ =
9)
( )( )2 2 3 3
4
280
x y
x y x y
+ =
+ + =
4
5. 10)
6 6
3 3
2
3 3
x y
x x y y
+ =
− = −
II. Gải hệ phương trình có tham số:
1. . Tìm giá trị của m:
a)
( )5 4 4
1
x y xy
x y xy m
+ − =
+ − = −
có nghiệm.
b) 2 2
2
1
x y xy m
x y xy m
+ + = +
+ = +
có nghiệm duy nhất.
c)
( )
( )
2
2 2
4
2 1
x y
x y m
+ =
+ = +
có đúng hai nghiệm.
2. 2 2
x xy y m
x y m
+ + =
+ =
(1II)
a. Giải hệ phương trình khi m = 5.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
3. 2 2
3 8
x xy y m
x y xy m
+ + =
+ = −
(7I)
a Giải hệ phương trình khi m = 7/2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
4. 2 2
1x xy y m
x y xy m
+ + = +
+ =
(40II)
a. Giải hệ phương trình khi m=2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình:
1. Giải phương trình: 4 4
1 18 3x x− + − = .
2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a. 1 1x x m− + + = b. m x m x m− + + = c. 3 3
1 1x x m− + + =
Phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thêm)
a. §Þnh nghÜa: Lµ hÖ ba Èn víi c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ lµ ®èi xøng.
b. §Þnh lý Vi-et cho ph¬ng tr×nh bËc 3:
Cho 3 sè x, y, z cã:
x + y + z = α
xy + yz + zx = β
xyz = γ
Th× x, y, z ;µ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X3
- αX2
+ βX - γ = 0. (*)
ThËy vËy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0
⇔ [ X2
- (x + y)X + xy ](X - z) = 0
⇔ X3
- X2
z - X2
(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
⇔ X3
- αX2
+ βX - γ = 0.
(*) cã nghiÖm lµ x, y, z ⇒ ph¬ng tr×nh X3
- αX2
+ βX - γ = 0 cã 3 nghiÖm lµ x, y, z.
c.C¸ch gi¶i:
+ Do c¸c ph¬ng tr×nh trong hÖ lµ ®èi xøng nªn ta lu«n viÕt ®îc díi d¹ng α, β, γ
5
6. Khi ®ã ta ®Æt
x + y + z = α
xy + yz + zx = β
xyz = γ
Ta ®îc hÖ cña α, β, γ.
+ Gi¶i ph¬ng tr×nh X3
- αX2
+ βX - γ = 0 (1) t×m ®îc nghiÖm (x, y, z) cña hÖ.
Chó ý: (1) cã nghiÖm duy nhÊt ⇒ hÖ v« nghiÖm.
(1) cã 1 nghiÖm kÐp duy nhÊt ⇒ hÖ cã nghiÖm.
(1) cã 2 nghiÖm : 1 nghiÖm kÐp, 1 nghiÖm ®¬n ⇒ hÖ cã 3 nghiÖm.
(1) cã 3 ngiÖm ⇒ hÖ cã 6 nghiÖm.
d. Bµi tËp:
VD1: Gi¶i hÖ:
2 2 2
3 3 3
x + y + z = 2
x + y + z = 6
x + y + z = 8
Gi¶i: ¸p dông h»ng ®¼ng thøc ta cã:
x2
+ y2
+ z2
= (x + y + z)2
- 2(xy + yz + zx).
x3
+ y3
+ z3
= (x + y + z)3
- 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.
VËy 6 = 22
- 2(xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = -1.
8 = 23
- 3.2.(-1) + 3xyz ⇒ xyz = -2.
⇒ x, y, z lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:t3
- 2t2
- t + 2 = 0 ⇔
t = 1
t = - 1
t = 2
VËy hÖ cã 6 cÆp nghiÖm (1;-1;2); (-1;1;2); (1;2;-1); (-1;2;1); (2;1;-1); (2;-1;1).
VD2: Gi¶i hÖ
x + y + z = 9 (1)
xy + yz + zx = 27 (2)
1 1 1
+ + = 1 (3)
x y z
Gi¶i: §K: x, y, z ≠ 0. Tõ (3) ⇔
xy + yz + zx
= 1
xyz
Do (2) ⇒ xyz = 27
VËy hÖ ⇔
x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27
xyz = 27
Do ®ã (x; y; z) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X3
- 9X2
+ 27X - 27 = 0
⇔ (X - 3)3
= 0
⇔ X = 3.
VËy hÖ cã nghiÖm lµ (3; 3; 3).
VD3: Gi¶i hÖ
2 2 2 2
3 3 3 3
x + y + z = a
x + y + z = a
x + y + z = a
6
8. Trường hợp 1: (I)
3
x = 3x + 8y
x = y
⇔
3
x = 0
x - 11x = 0
x = ± 11
x = y
x = y
⇔ ⇔
.
Trường hợp 2: (I)
( )
2 2
3 3
x +xy+y +5=0
x +y =11 x+y
⇔
(hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
{ } { }(x, y) = (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
4
4
1 1
1 1
x y
y x
+ − =
+ − =
GIẢI
Đặt: 4 4x - 1 = u 0; y - 1 = v 0≥ ≥
Hệ phương trình trở thành
4 4
4 4
u + 1 + v = 1 u + v = 0
v + 1 + u = 1 v + u = 0
⇔
u = 0
v = 0
⇔
(Do u, v ≥ 0)
x = 1
y = 1
⇒
.
Vậy hệ có nghiệm (1,1)
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
2
2
x y y m
y x x m
= − +
= − +
(I)
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải (I)
2 2
22
2 2
2 2
x = ± yx - y = y - y - x + x
x = y - y + mx = y - y + m
x = y x = y
x = y - y + m x - 2x + m = 0
x = - y x = - y
x = y - y + m y + m = 0
⇔ ⇔
⇔ ⇔
a) Hệ phương trình có nghiệm ⇔
'
x
'
y
Δ 0 1 - m 0 m 1
m 0
- m 0 m 0Δ 0
≥ ≥ ≤
⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≥ ≤≥
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔
'
x
'
y
'
x
'
y
Δ = 0
Δ < 0
Δ < 0
Δ = 0
⇔
1 - m = 0
- m < 0
1 - m < 0
- m = 0
⇔ m = 1.
Vậy m = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 3
1 2 2 1x x+ = − .
GIẢI
Đặt 3
2x - 1 = t ⇒ 2x - 1 = t3
.
Ta có hệ
3
3
x + 1 = 2t
t + 1 = 2x
⇔
3
2 2
x + 1 = 2t
(x - t)(x + xt + t + 1) = 0
⇔
3
x - 2x + 1 = 0
x = t
8
9. ⇔
2
(x - 1)(x + x - 1) = 0
x = t
⇒
x = 1
- 1 ± 5
x =
2
Vậy phương trình có 3 nghiệm: 1;
- 1 ± 5
2
.
C. Bài tập:
1.Giải các hệ phương trình sau:
a.
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
+ =
+ =
b.
2
2
3
2
3
2
x y
x
y x
y
+ =
+ =
c.
3
3
1 2
1 2
x y
y x
+ =
+ =
d.
9 9
9 9
x y
y x
+ + =
+ + =
e.
2 2
2 2
x y
y x
+ − =
+ − =
g.
5 2 7
5 2 7
x y
y x
+ + − =
+ + − =
2. Cho hệ phương trình
2
2
( ) 2
( ) 2
x x y m
y x y m
− + =
− + =
.
a. Giải hệ với m = 0.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
3. Tìm m để hệ:
3 2 2
3 2 2
7
7
x y x mx
y x y my
= + −
= + −
có nghiệm duy nhất.
4. Giải các phương trình: a. 2
5 5x x+ + = .
b. 3 3
3 3 2 2x x− + = .
2. HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2, 3 Èn: (§äc thªm)
A. Dïng chñ yÕu lµ ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng b»ng phÐp céng vµ thÕ. Ngoµi ra
sö dông sù ®Æc biÖt trong hÖ b»ng c¸ch ®¸nh gi¸ nghiÖm, hµm sè ®Ó gi¶i.
B. VÝ dô:
Gi¶i hÖ
2
2
2
x + 2yz = x (1)
y + 2zx = y (2)
z + 2xy = z (3)
Gi¶ b»ng c¸ch céng (1), (2), (3) vµ lÊy (1) trõ ®i (2) ta cã hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi hÖ
2
2
x + 2yz = x
(x + y + z) = x + y + z
(x - y)(x + y - 2z - 1) = 0
HÖ nµy ®¬ng t¬ng víi 4 hÖ sau:
2 2
x + 2yz = x x + 2yz = x
x + y + z = 0 (I) x + y + z = 0 (II)
x =y x + y - 2z - 1 = 0
2 2
x + 2yz = x x + 2yz = x
x + y + z = 1 (III) x + y + z = 1 (IV)
x =y x + y - 2z - 1 = 0
9
10. Gi¶i (I):
(I) ⇔
2
x + 2yz = x
2y + z = 0
x = y
⇔
2
x + 2yz = x
z = - 2x
x = y
⇔
2 2
x - 4x = x
z = - 2x
x = y
⇔
-1
x = 0 x =
3
z = - 2x
x = y
∨
VËy (I) cã 2 nghiÖm (0;0;0); (
-1 -1 2
; ;
3 3 3
)
Lµm t¬ng tù (II) cã nghiÖm (
2 -1 -1
; ;
3 3 3
);(
-1 2 -1
; ;
3 3 3
)
HÖ (III) cã nghiÖm (0;0;1); (
1 1 1
; ;
3 3 3
)
HÖ (IV) cã nghiÖm (0;1;0); (1;0;0).
VËy hÖ ®· cho cã 8 nghiÖm kÓ trªn.
VD2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2 2
2 2
2 2
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Gi¶i: HÖ ⇔
2 2
x + y + z = 1
(y - z)(y + z - 1) = 0
(x - z)(x + z - 1) = 0
⇔
2 2 2 2
2 2 2 2
x + y + z = 1 x + y + z = 1
y=z (I) y = z (II)
x=z x + z - 1 = 0
x + y + z = 1 x + y + z = 1
z + y - 1 = 0 (III) z + y -
x = z
1 = 0 (IV)
x + z - 1 = 0
Gi¶i c¸c hÖ b»ng ph¬ng ph¸p thÕ ®îc 5 nghiÖm (-1;-1;-1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1);
1 1 1
; ;
2 2 2
÷
.
VD4: Gi¶i hÖ:
2
2
2
1
1
1
x y
y z
z x
= +
= +
= +
Gi¶i: XÐt hai trêng hîp sau:
TH1: Trong 3 sè Ýt nhÊt cã 2 nghiÖm sè b»ng nhau:
Gi¶ sö x=y cã hÖ
2
2
2
1
1
1
x x
y z
z x
= +
= +
= +
10
11. Tõ ®ã cã nghiÖm cña hÖ (x;y;z) lµ :
1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5
; ; ; ; ;
2 2 2 2 2 2
+ + + − − −
÷ ÷ ÷ ÷
T¬ng tù y=z, z=x ta còng ®îc nghiÖm nh trªn.
TH2 : 3 sè x, y, z ®«i mét kh¸c nhau .
Gi¶ sö x>y>z ,xÐt hµm sè f(t) = t2
trªn D =[ )1;− +∞
a) z 0≥ , x>y>z 0≥ ⇒f(x)>f(y)>f(z)⇒y+1>z+1>x+1⇒y>x>z(v« lý).
b) z<y<x 0≤ ⇒f(x)<f(y)<f(z)⇒y+1<z+1<x+1⇒y<z<x(v« lý).
c) x>0>z>-1 ⇒f(-1)>f(z) ⇒1>x+1⇒x<0 (v« lý)
VËy ®iÒu gi¶ sö lµ sai.
TH2 v« nghiÖm.
VD5:
2
2
2
2
2
2
x x y y
y y z z
z z x x
+ =
+ =
+ =
(V« ®Þch §øc)
Gi¶i:
TH1: Trong x, y, z Ýt nhÊt cã 2 nghiÖm sè b»ng nhau
Gi¶ sö x = y ta cã hÖ
3
2
2
2 0 (1)
2 0 (2)
2 0 (3)
x x x
x z x z
z x z x
+ − =
+ − =
+ − =
Tõ (1) ⇒ x = 0, x = -1.
x = 0. Thay vµo (2), (3) ⇒ z=0.
x = -1. Thay vµo (2), (3) ⇒ v« lý
VËy hÖ cã nghiÖm (0,0,0)
NÕu y = z hay x = z còng chØ cã nghiÖm (0,0,0).
TH2: 3 sè ®«i 1 kh¸c nhau.
Tõ 2x + x2
y = y thÊy nÕu x2
= 1
⇒ ± 2 = 0 (v« lý)
VËy x2
≠ 1 ⇒ 2x + x2
y = y ⇔ 2
2
1
x
y
x
=
−
Hai ph¬ng tr×nh cßn l¹i t¬ng tù ta cã hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi:
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z
= −
=
−
=
−
Gi¶ sö x > y > z (*). XÐt hµm sè:
f(t) = 2
2
1
t
t−
x¸c ®Þnh trªn D = R {±1}
f’
(t) =
2
2 2
2( 1)
0
(1 )
t
t
+
>
−
víi mäi t∈D
⇒ hµm sè ®ång biÕn trªn D
11
13. • Với
1
5
t = : ta có
1
5
y x= , thay vào (*) ta được nghiệm
5 2 2 5 2 2
; , ;
2 2 2 2
− ÷ ÷ ÷ ÷
.
4. Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau:
1)
2 2
2 2
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
2)
2 2
2 2
6 2 56
5 49
x xy y
x xy y
− − =
− − =
3)
3 2
3 2
2 3 5
6 7
x x y
y xy
+ =
+ =
IV. Một số hệ phương trình khác:
Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải.
1.
2 2
2
( , )
2 1 2 2
+ + = −
∈
− − = −
¡
xy x y x y
x y
x y y x x y
.
HD: Biến đổi phương trình 2 2
2xy x y x y+ + = − ⇔ (x + y)(x −2y −1) = 0. ĐS: x = 5; y = 2.
2.
4 3 2 2
2
2 2 9
( , )
2 6 6
+ + = +
∈
+ = +
¡
x x y x y x
x y
x xy x
.
HD: Biến đổi hệ phương trình thành:
2 2
2
( ) 2 9
6 6
2
x xy x
x x
xy
+ = +
+ −
=
. ĐS: x = −4; y =
17
4
.
3.
( )
2 3 2
4 2
5
4
5
1 2
4
+ + + + = −
+ + + = −
x y x y xy xy
x y xy x
.
HD: Biến đổi hệ phương trình thành:
( )
( )
2 2
2
2
5
4
5
4
x y xy x y xy
x y xy
−
+ + + + =
− + + =
. Đặt:
2
u x y
v xy
= +
=
.
ĐS:
3
3
5
1
4
3
25
2
16
x x
y
y
= =
∨ −
= = −
.
4.
( )
3
1 1
1
2 1
x y
x y
y x
− = −
= +
.
HD: (1) ⇒ ( )
1
1 0x y
xy
− + = ÷
. ĐS: ( )
1 5 1 5 1 5 1 5
1;1 , ; , ;
2 2 2 2
− + − + − − − −
÷ ÷ ÷ ÷
5.
( )1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
.
HD: Tìm cách khử logarit để được:
3
4
y
x = . ĐS: ( )3;4
6.
3
2
y x y x
x y x y
− = −
+ = + +
.
13
14. HD: ( )3 3 61 0y x y x y x y x− = − ⇒ − − − = . ĐS: ( )
3 1
1;1 , ;
2 2
÷
7.
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
+
=
+ =
.
HD: Đối xứng loại 2. ĐS: ( )1;1
8.
( )2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
− + − =
− =
.
HD: Tìm cách khử logarit để được: x y= . ĐS: ( ) ( )1;1 , 2;2 .
9.
3
1 1 4
x y xy
x y
+ − =
+ + + =
HD: Đặt t xy= , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm được t=3. ĐS: ( )3;3 .
10.
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y
+ + + =
+ + + = −
. Tìm m để hệ phương trình này có nghiệm thực.
HD: Đặt
1 1
,u x v y
x y
= + = + , điều kiện 2, 2u v≤ ≤ . ĐS:
7
2, 22
4
m m≤ ≤ ≥ .
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
14
