Skrypt dla studentów matematyki. Autor: Maciej Czarnecki. Tytuł: Wielościany i objętość

1. Maciej Czarnecki
Geometria szkolna
skrypt dla studentów matematyki
Rozdział III
Wielościany i objętość
Niech (E, V, − ) bedzie przestrzenią afiniczną skończonego wymiaru n.
→
Definicja 1. Niech układ punktów (p0 , . . . , pk ) będzie ciągiem punktów w położeniu
ogólnym. Zbiór conv(p0 , . . . , pk ) nazywamy k–wymiarowym sympleksem rozpiętym na
punktach p0 , . . . , pk , a same te punkty wierzchołkami sympleksu.
Przykład 2. Punkt jest sympleksem zerowymiarowym, a odcinek — sympleksem jed-
nowymiarowym. Sympleks dwumiarowy nazywamy trójkątem, a sympleks trójwymia-
rowy — czworościanem.
Definicja 3. Niech układ punktów (p0 , . . . , pk ) będzie ciągiem punktów w położeniu
ogólnym, a układ (pi0 , . . . , pil ) jego podciągiem. Sympleks conv(pi0 , . . . , pil ) nazywamy
l–wymiarową ścianą sympleksu conv(p0 , . . . , pk ).
Przykład 4. Zerowymiarową ścianą sympleksu jest każdy jego wierzchołek. Jedno-
wymiarowe ściany trójkąta nazywamy bokami. Jednowymiarowe ściany czworościanu
nazywamy krawędziami, a ściany dwuwymiarowe po prostu ścianami.
Definicja 5. Niech p0 ∈ E i niech (v1 , . . . , vk ) będzie liniowo niezależnym układem
wektorów. Zbiór
k
P(p0 ; v1 , . . . , vk ) = p0 + ai vi ; ai ∈ [0, 1], i = 1, . . . , k
i=1
nazywamy k–wymiarowym równoległościanem rozpiętym na wektorach v1 , . . . , vk za-
czepionych w punkcie p0 .
Punkty postaci
k
p0 + εi vi , gdzie εi ∈ {0, 1}
i=1
nazywamy wierzchołkami tego równoległościanu.
Przykład 6. Równoległościanem jednowymiarowym jest odcinek, a równoległościany
dwu– i trójwymiarowy nazywamy odpowiednio równoległobokiem i równoległościa-
nem.
1

2. 2
Twierdzenie 7. Dla dowolnego k ∈ N równoległościan k–wymiarowy jest zbiorem
wypukłym.
Dowód:
Definicja 8. Kompleksem symplicjalnym w przestrzeni afinicznej E nazywamy taki
układ sympleksów (S1 , . . . , Sm ) w tej przestrzeni, że dla dowolnych i, j = 1, . . . , m
zbiór Si ∩ Sj jest pusty lub jest wspólną ścianą sympleksów Si i Sj .
Podzbiór przestrzeni afinicznej E, który można przedstawić jako sumę mnogościową
sympleksów pewnego kompleksu symplicjalnego składającego sie tylko z sympleksów
k–wymiarowych nazywamy k–wymiarowym wielościanem, a jego przedstawienie w
postaci sumy sympleksów kompleksu symplicjalnego — triangulacją.
Wieościan dwuwymiarowy nazywamy wielokątem.
Przykład 9. Każdy podzbiór skończony jest wielościanem zerowymiarowym.
Zbiór posiadający triangulację postaci (p1 p2 , . . . , pm pm+1 ) nazywamy łamaną ot-
wartą, jeżeli punkty p1 , . . . , pm+1 są parami różne, a łamaną zamkniętą — jeżeli
punkty p1 , . . . , pm są parami różne oraz p1 = pm+1 .
Zbiór, który jest sumą sympleksów kompleksu symplicjalnego zawierającego tylko
sympleksy wymiaru nie przekraczającego 1, nazywamy grafem skończonym.
Definicja 10. Dla sympleksu (k − 1)–wymiarowego ∆(k−1) = conv(p0 , . . . , pk−1 ) i
wektora v ∈ lin(− →, . . . , − pk−1 ) zbiór
/ p− 1
0p p− −
0
−→
Q(∆(k−1) , v) = (∆(k−1) + α · v)
0 α 1
nazywamy k–wymiarową przymą o podstawach ∆(k−1) i ∆(k−1) + v.
Punkty p0 , . . . , pk−1 , p0 + v, . . . , pk−1 + v nazywamy wierzchołkami tej pryzmy.
Przykład 11. Równoległobok jest pryzmą dwuwymiarową. Pryzmę trójwymiarową
nazywamy graniastosłupem trójkątnym.
Twierdzenie 12. Dla dowolnego k ∈ N pryzma k–wymiarowa jest zbiorem wypukłym.
Dowód: Rozważmy pryzmę Q(∆(k−1) , v), gdzie ∆(k−1) = conv(p0 , . . . , pk−1 ).
Jeżeli p, q ∈ Q(∆(k−1) , v), to istnieją liczby a0 , . . . , ak−1 , b0 , . . . , bk−1 , α, β ∈ [0, 1]
takie, że
p = a0 p0 + . . . + ak−1 pk−1 + α · v, q = b0 p0 + . . . + bk−1 pk−1 + β · v.
Wówczas dla a ∈ [0, 1]
ap + (1 − a)q =(aa0 + (1 − a)b0 )p0 + . . . + (aak−1 + (1 − a)bk−1 )pk−1
+ (aα + (1 − a)β) · v ∈ Q(∆(k−1) , v),
ponieważ sympleks ∆(k−1) jest wypukły oraz aα + (1 − a)β ∈ [0, 1].
Twierdzenie 13. Dla dowolnego k ∈ N pryzma k–wymiarowa jest wielościanem k–
wymiarowym.
Pewna triangulacja pryzmy Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v) składa się z k sympleksów, z
których każdy jest rozpięty na k wektorach postaci ε1 · − → + . . . + εk−1 · − pk−1 + ε · v,
p− 1
0p p− −
0
−→
gdzie ε1 , . . . , εk−1 , ε ∈ {−1, 0, 1}.

3. 3
Dowód: Zbudujemy triangulację L(k) pryzmy Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v) indukcyj-
nie kładąc
(1) (1)
L(1) = ∆1 , gdzie ∆1 = conv(p0 , p0 + v)
a dla m 2
(m)
L(m) = ∆1 , . . . , ∆(m) ,
m gdzie
(m) (m−1)
∆i = conv ∆i , pm−1 + v dla i = 1, . . . , m − 1
∆(m) = conv(p0 , . . . , pm−1 , pm−1 + v)
m
Fakt, że ciąg sympleksów L(k) jest triangulacją pryzmy i że każdy z tych sympleksów
jest rozpięty na wektorach ε1 · − →, . . . , εk−1 · − pk−1 , ε·v, gdzie ε1 , . . . , εk−1 , ε ∈ {0, 1},
p− 1
0p p− −
0
−→
sprawdzimy tylko dla k ∈ {2, 3}.
Dla pryzmy dwuwymiarowej Q(conv(p0 , p1 ), v) mamy
(1)
∆1 = conv(p0 , p0 + v),
(2)
∆1 = conv(p0 , p0 + v, p1 + v),
(2)
∆2 = conv(p0 , p1 , p1 + v),
(2) (2) (2) (2)
skąd ∆1 ∩ ∆2 = conv(p0 , p1 + v) ∆1 ∪ ∆2 = Q(conv(p0 , p1 ), v) , czyli L(2) jest
(2)
triangulacją tej pryzmy. Ponadto sympleks ∆1 jest zaczepiony w punkcie p0 + v
i rozpięty na wektorach − →, −v, a sympleks ∆2 jest zaczepiony w punkcie p1 i
p− 1
(2)
0p
rozpięty na wektorach −− →, v.
p− 1
0p
Dla pryzmy trójwymiarowej Q(conv(p0 , p1 , p2 ), v) mamy
(3)
∆1 = conv(p0 , p0 + v, p1 + v, p2 + v),
(3)
∆2 = conv(p0 , p1 , p1 + v, p2 + v),
(3)
∆3 = conv(p0 , p1 , p2 , p2 + v),
skąd
(3) (3) (3)
∆1 ∪ ∆2 ∪ ∆3 = Q(conv(p0 , p1 , p2 ), v),
(3) (3)
∆1 ∩ ∆2 = conv(p0 , p1 + v, p2 + v),
(3) (3)
∆1 ∩ ∆3 = conv(p0 , p2 + v),
(3) (3)
∆2 ∩ ∆3 = conv(p0 , p1 , p2 + v),
(3)
czyli L(3) jest triangulacją tej pryzmy. Ponadto sympleks ∆1 jest zaczepiony w punk-
cie p0 + v i rozpięty na wektorach − →, − →, −v, sympleks ∆2 jest zaczepiony w
p− 1 p− 2
(3)
0p 0p
punkcie p1 i rozpięty na wektorach −− →, −− → + − → + v, v, a sympleks ∆3 jest
p− 1 p− 1 p− 2
(3)
0p 0p 0p
zaczepiony w punkcie p2 i rozpięty na wektorach −− →, − → − − →, v.
p− 2 p− 1 p− 2
0p 0p 0p
Twierdzenie 14. Dla dowolnego k ∈ N równoległościan k–wymiarowy jest wielościa-
nem k–wymiarowym.
Pewna triangulacja równoległościanu P(p0 ; v1 , . . . , vk ) składa się z k! sympleksów,
z których każdy jest rozpięty na k wektorach postaci ε1 · v1 + . . . + εk · vk , gdzie
ε1 , . . . , εk ∈ {−1, 0, 1}.

4. 4
Dowód: Przeprowadzimy tylko rozumowanie dla k ∈ {2, 3}.
Równoległościan dwuwymiarowy jest pryzmą dwuwymiarową, zatem wystarczy w
tym przypadku zastosować twierdzenie 13 i zauważyć, że 2! = 2.
Równoległościan trójwymiarowy P(p0 ; v1 , v2 , v3 ) można przedstawić jako sumę mno-
gościową dwóch pryzm trójwymiarowych
P(p0 ; v1 , v2 , v3 ) =Q(conv(p0 , p0 + v1 , p0 + v2 ), v3 )
∪ Q(conv(p0 + v1 , p0 + v2 , p0 + v1 + v2 ), v3 ),
których częścią wspólną jest dwuwymiarowa pryzma (równoległobok)
Q(conv(p0 + v1 , p0 + v2 ), v3 ).
Triangulując obie pryzmy trójwymiarowe jak w dowodzie twierdzenia 13 otrzymu-
jemy 3! = 6 sympleksów:
∆1 = conv(p0 , p0 + v3 , p0 + v1 + v3 , p0 + v2 + v3 ),
∆2 = conv(p0 , p0 + v1 , p0 + v1 + v3 , p0 + v2 + v3 ),
∆3 = conv(p0 , p0 + v1 , p0 + v2 , p0 + v2 + v3 ),
∆4 = conv(p0 + v1 , p0 + v1 + v3 , p0 + v2 + v3 , p0 + v1 + v2 + v3 ),
∆5 = conv(p0 + v1 , p0 + v2 , p0 + v2 + v3 , p0 + v1 + v2 + v3 ),
∆6 = conv(p0 + v1 , p0 + v2 , p0 + v1 + v2 , p0 + v1 + v2 + v3 ).
Wystarczy sprawdzić, ∆i ∩ ∆j , gdzie i = 1, 2, 3, j = 4, 5, 6, jest zbiorem pustym lub
wspólną ścianą sympleksów ∆i i ∆j . Opis wierzchołków sympleksów bezpośrednio
wskazuje, że wektory je rozpinające są żądanej postaci.
Załóżmy od tego miejsca, że w przestrzeni V jest okreslony iloczyn skalarny .,. .
Definicja 15. Podprzestrzenie afiniczne H1 i H2 są prostopadłe, jeżeli S(H1 ) jest
ortogonalna do S(H2 ), tzn. v1 ⊥ v2 dla vi ∈ S(Hi ), i = 1, 2.
Twierdzenie 16. Dla dowolnego punktu p ∈ E i dowolnej k–wymiarowej podprze-
strzeni afinicznej H istnieje dokładnie jedna (n − k)–wymiarowa podprzestrzeń afi-
niczna H ⊥ (p) przechodząca przez punkt p i prostopadła do H.
Dowód: Podprzestrzeń H ⊥ (p) ma przedstawienie liniowe p + (S(H))⊥ , gdzie
(S(H))⊥ jest dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni S(H).
Przykład 17. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną w E, p ∈ E i wektor v = θ jest prostopa-
dły do H (czyli do S(H)), to mówimy, że v jest wektorem normalnym do hiperpłasz-
czyzny H. Wówczas
H ⊥ (p) = p + lin(v), H = {q ∈ E ; − ⊥ v} .
→
pq
W szczególności jeżeli H jest hiperpłaszczyzną w En opisaną równaniem
a1 x1 + . . . + an xn + b = 0,
to wektorem normalnym do H jest v = (a1 , . . . , an ).
Istotnie, jeżeli q = (q1 , . . . , qn ), r = (r1 , . . . , rn ) ∈ H, to
→
− v = (r − q , . . . , r − q ), (a , . . . , a )
qr, 1 1 n n 1 n
=a1 r1 + . . . + an rn + b − (a1 q1 + . . . + an qn + b) = 0.

5. 5
Twierdzenie 18. Dla dowolnej podprzestrzeni afinicznej H i i dowolnego punktu
p ∈ E zbiór H ∩ H ⊥ (p) jest jednopunktowy.
Dowód: Jeżeli r ∈ H oraz r ∈ H ⊥ (p), to z uwagi na V = S(H) ⊕ S H ⊥ (p)
istnieją wektory u ∈ S(H) oraz u ∈ S H ⊥ (p) takie, że − = u + u . Wówczas
→
pq
r + u = r − u ∈ H ∩ H ⊥ (p), czyli zbiór ten jest niepusty.
Z drugiej strony jeżeli q, q ∈ H ∩ H ⊥ (p), to
−
→
qq ∈ S H ∩ H ⊥ (p) = S(H) ∩ S H ⊥ (p) = {θ},
czyli q = q .
Definicja 19. Niech H bedzie podprzestrzenią afiniczną. Rzutem prostopadłym punktu
p ∈ E na podprzestrzeń H nazywamy jedyny punkt πH (p) ∈ H ∩ H ⊥ (p).
Definicja 20. Funkcję d : E × E → R daną wzorem
d(p, q) = |− =
→
pq| → →
− −
pq, pq dla p, q ∈ E
nazywamy odległością w przestrzeni E. Zamiast d(p, q) piszemy często |pq|.
Odległością punktu p od zbioru niepustego A ⊂ E nazywamy liczbę
d(p, A) = inf{d(p, q) ; q ∈ A},
a odległością zbiorów niepustych A, B ⊂ E — liczbę
d(A, B) = inf{d(q, r) ; q ∈ A, r ∈ B}.
Twierdzenie 21. (E, d) jest przestrzenią metryczną, to znaczy dla p, q, r ∈ E speł-
nione są warunki
(1) d(p, q) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy p = q,
(2) d(q, p) = d(p, q),
(3) d(p, q) d(p, r) + d(r, q).
Dowód: Wynika bezpośrednio z własności normy (twierdzenie I.8).
Twierdzenie 22. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną. Punkt πH (p) jest jedy-
nym punktem podprzestrzeni H odległym od punktu p o d(p, H).
−−→ −−→
−− −−
Dowód: Jeżeli q ∈ H, to z uwagi na pπH (p) ⊥ qπH (p) i twierdzenie Pitagorasa
(wn. I.16) otrzymujemy
−−→2
−− −−→2
−−
(d(p, q))2 = |− 2 = pπH (p) + qπH (p) = (d(p, πH (p)))2 + (d(q, πH (p)))2 .
→
pq|
Zatem d(p, q) d(p, πH (p) dla q ∈ H, czyli d(p, πH (p) = d(p, H).
Ponadto na podstawie powyższego równoważne są warunki: d(p, q) = d(p, πH (p));
d(q, πH (p)) = 0; q = πH (p). Tym samym punkt podprzestrzeni H odległy od p o
d(p, H) jest wyznaczony jednoznacznie.
Twierdzenie 23. Jeżeli (p; v1 , . . . , vk ) jest układem współrzędnych podprzestrzeni afi-
nicznej H, to dla dowolnego punktu q ∈ E
det G (v1 , . . . , vk , −
→
pq)
d(q, H) = .
det G(v1 , . . . , vk )

6. 6
−−→ → −−→
−− −−
Dowód: Niech q ∈ E. Wówczas wektor qπH (q) = − pπH (q) różni się od wektora
qp+
→
− o kombinację liniową wektorów v , . . . , v , bo rozpinają one przestrzeń S(H). Stąd
qp 1 k
i z twierdzenia I.21.3-5 otrzymujemy
−−→
−−
det G(v1 , . . . , vk , − = det G(v1 , . . . , vk , qπH (q)).
→
pq)
−−→
−−
Z definicji wyznacznika Grama po uwzględnieniu warunku qπH (q) ⊥ S(H), czyli
−−→
−−
qπH (q) ⊥ vi dla i = 1, . . . k, i twierdzenia 22. dostajemy
−−→2
−−
det G(v1 , . . . , vk , − = qπH (q) det G(v1 , . . . , vk ) = (d(q, H))2 det G(v1 , . . . , vk ).
→
pq)
Teza wynika teraz z dodatniości wyznacznika Grama dla układu liniowo niezależnego
(v1 , . . . , vk ) (tw. I.21.1-2).
Twierdzenie 24. Jeżeli v jest wektorem normalnym do hiperpłaszczyzny H i p ∈ H,
to dla q ∈ E
|− v |
→
pq,
d(q, H) = .
|v|
W szczególności, jeżeli hiperpłaszczyzna H ⊂ En jest określona równaniem a1 x1 +
. . . + an xn + b = 0, to dla q = (q1 , . . . , qn ) ∈ En
|a1 q1 + . . . + an qn + b|
d(q, H) = .
a2 + . . . + a2
1 n
Dowód: Zauważmy, że dla q ∈ E rzut ortogonalny wektora − na kierunek wektora
→
pq
v jest postaci
−−→
−− →
− v
pq,
−qπH (q) = − · v,
|v|2
skąd na mocy twierdzenia 22 otrzymujemy
−−→
−− |− v |
→
pq,
d(q, H) = |qπH (q)| = .
|v|
Dla hiperpłaszczyzny H : a1 x1 + . . . an xn + b = 0 zawartej w En i punktu q ∈ En
wybierzmy dowolny punkt p ∈ H. Wówczas a1 p1 + . . . an pn + b = 0 i korzystając z
wyprowadzonego już wzoru ogólnego oraz faktu, że v = (a1 , . . . , an ) dostajemy
|(q1 − p1 )a1 + . . . + (qn − pn )an | |a1 q1 + . . . + an qn + b|
d(q, H) = = .
a2 + . . . + a2
1 n a2 + . . . + a2
1 n
Twierdzenie 25. Jezeli hiperpłaszczyzny H1 i H2 są równoległe, to dla p1 ∈ H1 i
p2 ∈ H 2
d(H1 , H2 ) = d(p1 , H2 ) = d(p2 , H1 ).
W szczególności, jeżeli hiperpłaszczyzny H1 i H2 są dane odpowiednio równaniami
a1 x1 + . . . an xn + bi = 0, i = 1, 2, to
|b1 − b2 |
d(H1 , H2 ) = .
a2 + . . . + a2
1 n

7. 7
Dowód: Niech najpierw p1 , p1 ∈ H1 , p2 ∈ H2 i niech v bedzie wektorem normal-
nym do hiperpłaszczyzny H2 . Wówczas v jest normalny także do H1 , bo H1 H2 ,
−→
−
skąd wynika, że p1 p1 ⊥ v. Zatem na mocy twierdzenia 24 mamy
−→ −→
− −
| − →, v |
p− 2
1p | p1 p1 + p1 p2 , v |
d(p1 , H2 ) = =
|v| |v|
−→
−
| p p2 , v |
= 1 = d(p1 , H2 ).
|v|
Tym samym odległość punktów hiperpłaszczyzny H1 od hiperpłaszczyzny H2 jest
stała.
Niech teraz q1 ∈ H1 , q2 = πH2 (q1 ). Wówczas −→ ⊥ S(H1 ) = S(H2 ), skąd dla
q− 2
1q
−→ + −→ ⊥ −→, co wraz z twierdzeniem Pitagorasa
−
r1 ∈ H1 oraz r2 ∈ H2 mamy r1 q1 q2 r2− −
q1 q2
daje podobnie jak w dowodzie tw.22, że d(r1 , r2 ) d(q1 , q2 ). Tym samym na mocy
poprzedniego spostrzeżenia
d(H1 , H2 ) = d(q1 , q2 ) = d(q1 , H2 ) = d(p1 , H2 )
i analogicznie d(H1 , H2 ) = d(p2 , H1 ).
Jeżeli w przestrzeni En hiperpłaszczyzna Hi jest dana równaniem a1 x1 +. . .+an xn +
bi = 0, i = 1, 2 oraz q ∈ H1 , to na mocy pierwszej części twierdzenia i twierdzenia 25
otrzymujemy
|a1 q1 + . . . + an qn + b2 |
d(H1 , H2 ) =d(q, H2 ) =
a2 + . . . + a2
1 n
|(a1 q1 + . . . + an qn + b1 ) + (b2 − b1 )| |b2 − b1 |
= = .
a2 + . . . + a2
1 n a2 + . . . + a2
1 n
Wniosek 26. W przestrzeni E3 odległość prostej L od płaszczyzny P , gdzie L P,
jest równa d(P, P1 ), przy czym płaszczyzna P1 zawiera L i P1 P .
Twierdzenie 27. Niech Li = pi + lin(vi ), i = 1, 2, będą prostymi w przestrzeni E3 ,
gdzie układ (v1 , v2 ) je liniowo niezależny. Wówczas
|(v1 ; v2 ; − →)|
p− 2
1p | v1 × v2 , − → |
p− 2
1p
d(L1 , L2 ) = = .
|v1 × v2 | |v1 × v2 |
Dowód: Istnieją takie punkty qi ∈ Li , i = 1, 2, że −→ ⊥ lin(v1 , v2 ). Istotnie,
q− 2
1q
jeżeli q = p + t v , i = 1, 2, to warunek −→ ⊥ lin(v , v ) jest równoważny układowi
i i i i q−q 1 2 1 2
równań
t1 |v1 |2 − t2 v1 , v2 − →, v
p− 2 1
= 1p
t1 v2 , v1 − t2 |v2 |2 = − →, v
p−p
1 2 2
który ma dokładnie jedno rozwiązanie, bo jego wyznacznik jest równy − det G(v1 , v2 ).
Dla tak wyznaczonych q1 i q2 oraz r1 ∈ L1 , r2 ∈ L2 mamy −→ ⊥ −→ + −→ i na
q− 2 r− 1 q− 2
1q 1q 2r
mocy twierdzenia Pitagorasa:
(d(r , r ))2 = |−→| = |−→| + |−→ + −→|
r− q− r− q−
2 2 2
1 2r q 1 2 q r 1 2 1 1 2 2
2
(d(q1 , q2 )) .

8. 8
Zatem d(L1 , L2 ) = d(q1 , q2 ), co wraz z faktem − → + − → ∈ lin(v1 , v2 ) oraz własnością
p− 1 q− 2
1q 2p
z twierdzenia I.24.1 daje
| v1 × v2 , − → | | v1 × v2 , −→ |
p− 2
1p q− 2
1q v1 × v2 −→
= = , q− 2
1q
|v1 × v2 | |v1 × v2 | |v1 × v2 |
= |−→| = d(L1 , L2 ),
q− 2
1q
bo w przestrzeni trójwymiarowej wektor −→ prostopadły do liniowo niezależnych
q− q 1 2
wektorów v1 , v2 jest równoległy do ich iloczynu wektorowego v1 × v2 .
Przykład 28. Jeżeli na płaszczyźnie E2 prosta L jest dana równaniem Ax+By+C = 0,
gdzie A2 + B 2 > 0, oraz p = (x0 , y0 ) ∈ E2 , to
|Ax0 + By0 + C|
d(p, L) = √ .
A2 + B 2
Jeżeli w E2 proste równoległe L1 i L2 opisane są równaniami Ax + By + C1 = 0 i
Ax + By + C2 = 0, odpowiednio, to
|C1 − C2 |
d(L1 , L2 ) = √ .
A2 + B 2
Uwaga 29. Jeżeli dwie poprzestrzenie afiniczne przecinają się chociaż w jednym punk-
cie, to ich odległość wynosi 0.
Dwie równoległe podprzestrzenie afiniczne H1 i H2 wymiaru k < n − 1 można
−−−→
−−−
umieścić w przestrzeni afinicznej E = p1 + S(H1 ) ⊕ lin p1 πH2 (p1 ) wymiaru k + 1,
gdzie p1 ∈ H1 . Będą one wtedy hiperpłaszczyznami kowymiaru 1 i można zastosować
wzór z twierdzenia 25.
Definicja 30. Niech k ∈ N. Miarą k–wymiarową (objętością k–wymiarową) układu
punktów (p0 , . . . , pk ) zawartego w przestrzeni afinicznej E nazywamy liczbę
1
det G(− →, . . . , − →).
volk (p0 , . . . , pk ) = p− 1
0p p− k
0p
k!
Jeżeli wielościan k–wymiarowy P ma triangulację postaci ∆i = conv(pi , . . . , pi ) i=1,...,l
0 k
złożoną z różnych sympleksów, to objętością k–wymiarową wielościanu P nazywamy
sumę objętości k–wymiarowych układów punktów rozpinających sympleksy ∆i , i =
1, . . . , l. Innymi słowy
l
volk (P ) = volk (pi , . . . , pi ).
0 k
i=1
Objętość dwuwymiarową nazywamy polem i oznaczamy przez P , a trójwymiarową
— po prostu objętością i oznaczamy przez V .
Uwaga 31. Z własności wyznacznika Grama wynika, że objętość układu punktów nie
zależy od ich kolejności.
Można udowodnić, że tak funkcja volk nie zależy od triangulacji wielościanu.
Twierdzenie 32. Dla dowolnego k 2 i dowolnego układu punktów (p0 , . . . , pk )
zachodzi równość
1
volk (p0 , . . . , pk ) = d(pk , H) · volk−1 (p0 , . . . , pk−1 ),
k
gdzie H = af(p0 , . . . , pk−1 ).

9. 9
Dowód: Jeżeli układ punktów (p0 , . . . , pk−1 ) jest w położeniu szczególnym, to
także układ (p0 , . . . , pk ) jest w położeni szczególnym i obie objętości są równe 0.
Załóżmy teraz, że układ (p0 , . . . , pk−1 ) jest w położeniu ogólnym. Przyjmując vi =
−→ dla i = 1, . . . , k −1 otrzymujemy, że (p ; v , . . . , v
p− i
0p 0 1 k−1 jest układem współrzędnych
na H = af(p0 , . . . , pk−1 ). Z twierdzenia 23. i definicji objętości otrzymujemy zatem,
że
1
d(pk , H)·volk−1 (p0 , . . . , pk−1 )
k
1 det G(v1 , . . . , vk−1 , − →)p− k
0p 1
= · det G(v1 , . . . , vk−1 )
k det G(v1 , . . . , vk−1 ) (k − 1)!
1
= det G(v1 , . . . , vk−1 , − →) = volk (p0 , . . . , pk−1 , pk ).
p− k
0p
k!
Przykład 33. Pole trójkąta ABC = conv(A, B, C) wyraża się wzorem
1 1
P ( ABC) = vol2 ( ABC) = vol1 (AB) · d(C, af(A, B)) = |AB| · hC ,
2 2
czyli jest połową iloczynu długości podstawy i długości wysokości opuszczonej z
punktu nienależącego do tej podstawy.
Analogicznie objętość czworościanu conv(A, B, C, D) wyraża się wzorem
1
V (conv(A, B, C, D)) =vol3 (conv(A, B, C, D)) = vol2 ( ABC) · d(D, af(A, B, C))
3
1
= P ( ABC) · hD ,
3
czyli jest trzecią częścią iloczynu pola podstawy i długości wysokości opuszczonej z
punktu nienależącego do tej podstawy.
Twierdzenie 34. (objętość sympleksu, pryzmy i równoległościanu) Niech (p0 , . . . , pk )
będzie układem punktów w położeniu ogólnym, vi = −→ dla i = 1, . . . , k oraz v ∈
p− i
0p
S(E). Wówczas
1
(1) volk (conv(p0 , . . . , pk )) = k! det G(v1 , . . . , vk ),
1
(2) volk (Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v)) = (k−1)! det G(v1 , . . . , vk−1 , v),
(3) volk (P(p0 ; v1 , . . . , vk )) = det G(v1 , . . . , vk ).
Dowód:
(1) Każdy sympleks ma triangulację złożoną z niego samego.
(2) Zgodnie z twierdzeniem 13. pryzma Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v) ma triangulację
złożoną z k sympleksów, z których każdy jest rozpięty na k liniowo niezależ-
nych wektorach postaci ε1 v1 + . . . + εk−1 vk−1 + εk vk , gdzie ε1 , . . . , εk−1 , ε ∈
{−1, 0, 1}. Z własności wyznacznika Grama (tw. I.21) wynika, że każdy z tych
sympleksów ma tę samą objętość równą objętości sympleksu rozpiętego na
wektorach v1 , . . . , vk−1 , v. Zatem
volk (Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v)) =k · volk (conv(p0 , p0 + v1 , . . . , p0 + vk−1 , p0 + v))
1
=k · det G(v1 , . . . , vk−1 , v)
k!
1
= det G(v1 , . . . , vk−1 , v).
(k − 1)!

10. 10
(3) Rozumowanie przebiega analogicznie jak dla przyzmy. Korzystamy z twierdze-
nia 14, które orzeka, że pewna triangulacja równoległościanu P(p0 ; v1 , . . . , vk )
składa się z k! sympleksów o objętościach równych objętości sympleksu roz-
piętego na wektorach v1 , . . . , vk . Stąd i z (1) wynika teza.
Wniosek 35. (pole trójkąta i równoległoboku oraz objętość czworościanu i równole-
głościanu) Dla wektorów u, v, w ∈ R3 oraz punktu p ∈ E3 zachodzą wzory
1
(1) P ( (p, p + u, p + v)) = 2 |u × v|,
(2) P (P(p; u, v)) = |u × v|,
(3) V (conv(p, p + u, p + v, p + w)) = 1 |(u; v; w)| = 1 | u × v, w |,
6 6
(4) V (P(p; u, v, w)) = |(u; v; w)| = | u × v, w |.
Dowód: Wzory (1) i (2) wynikają z tw. I.24.2 oraz tw. 34.
Natomiast wzory (3) i (4) są bezpośrednią konsekwencją zależności det(u, v, w) =
(u; v; w), wn. I.20 i tw. 34.
Definicja 36. Prostokątem n-wymiarowym nazywamy równoległościan n–wymiarowy
rozpięty przez układ wektorów wzajemnie prostopadłych. Prostokąt dwuwymiarowy
nazywamy po prostu prostokątem, a prostokąt trójwymiarowy — prostopadłościanem.
Wniosek 37. (pole prostokąta i objętość prostopadłościanu) Załóżmy, że wektory
v1 , . . . , vk są niezerowe i wzajemnie prostopadłe oraz p ∈ E. Wówczas
(1) volk (P(p; v1 , . . . , vk )) = |v1 | · . . . · |vk |,
(2) P (P(p; v1 , v2 )) = |v1 | · |v2 |,
(3) V (P(p; v1 , v2 , v3 )) = |v1 | · |v2 | · |v3 |.
Dowód: Wzory wynikają bezpośrednio z twierdzenia 34. oraz definicji wynacznika
Grama.
Definicja 38. Niech P będzie wielokątem wypukłym, p ∈ E, v ∈ V .
Wielościan trójwymiarowy
Q(P, v) = (P + αv)
0 α 1
nazywamy graniastosłupem o podstawach P i P + v.
Wielościan trójwymiarowy
conv(P, p)
nazywamy ostrosłupem o podstawie P i wierzchołku p.
Twierdzenie 39. Niech P bedzie wielokątem wypukłym zawartym w płaszczyźnie H,
p ∈ E H, v ∈ V S(H). Wówczas
(1) V (conv(P, p)) = 1 P (P) · d(p, H),
3
czyli objętość ostrosłupa jest trzecią częścią iloczynu pola jego podstawy i wy-
sokości opuszczonej na tę podstawę z wierzchołka,
(2) V (Q(P, v)) = P (P) · d(q + v, H) dla dowolnego punktu q ∈ P,
czyli objętość graniastosłupa jest iloczynem pola jego podstawy i wysokości
opuszczonej na tę podstawę z punktu drugiej podstawy.
Dowód: Niech ∆i = conv(pi , pi , pi ),i = 1, . . . , l, będzie dwuwymiarową triangu-
0 1 2
lacją wielokąta P.

11. 11
(1) Czworościany conv(∆i , p), i = 1, . . . , l, stanowią triangulację ostrosłupa conv(P, p).
Ponieważ każdy z trójkatów ∆i jest zawarty w płaszczyźnie H, więc na mocy
twierdzenia 32 dostajemy
l l
1
V (conv(P, p) = V (conv(∆i , p)) = P (∆i ) · d(p, H)
i=1 i=1
3
1
= P (P) · d(p, H).
3
(2) Graniastosłup Q(P, v) jest sumą mnogościową pryzm Q(∆i , v), przy czym czę-
ściami wspólnymi tych pryzm są zbiór pusty lub równoległobok (o objętości
0).
Dla q ∈ P+v i dowolnego i = 1, . . . , l na mocy twierdzenia 25. d(p2 +v, H) =
i
d(q, H), bo płaszczyzny H i H + v są równoległe.
Z twierdzenia 13. wynika, że dla każdego i pryzma Q(∆i , v) posiada triangu-
lację złożoną z trzech czworościanów o objętościach równych objętości czworo-
ścianu conv(p1 , pi , pi , pi +v). Zatem na podstawie twierdzenia 25. dla q ∈ H+v
0 1 2 2
otrzymujemy
l l
V (Q(P, v)) = V (Q(∆i , v)) = 3V (conv(pi , pi , pi , pi + v))
0 1 2 2
i=1 i=1
l
1
= 3 · P (conv(pi , pi , pi )) · d(pi + v, H)
0 1 2 2
i=1
3
l
=d(q, H) · P (∆i ) = P (P) · d(q, H).
i=1