1. Лекция №3
Кинематический анализ рычажных механизмов
Задачей
кинематического
анализа
рычажных
механизмов
является
определение кинематических параметров и кинематических характеристик всех
звеньев и характерных точек механизмов по заданному закону движения входного
(ведущего звена).
Характерные точки механизма – это центры масс звеньев, центры
кинематических пар, к которым присоединяются дополнительные кинематические
цепи или исполнительные устройства и др.
Кинематические параметры звеньев – это их положения, скорости и ускорения,
линейные или угловые.
Кинематические параметры точек – это координаты их положения, линейные
скорости и ускорения.
Кинематические характеристики – это зависимости кинематических параметров
от положения ведущего звена механизма во всем диапазоне его работы.
Сложность кинематического анализа зависит не столько от числа звеньев
механизма, сколько от его класса.
Кинематические
характеристики
необходимы
инженеру
для
оценки
работоспособности механизмов не только на стадии проектирования, но и в
эксплуатации (в особенности при модернизации машин).
Анализ выполняют по кинематической схеме, которая в отличии от структурной
схемы содержит размеры звеньев, необходимые для расчета.
Для
кинематического
анализа
рычажных
механизмов
используют
аналитические, графические и экспериментальные методы.

2. Аналитический метод кинематического анализа рычажных механизмов
Наиболее распространенным методом является метод замкнутых векторных
контуров. Для его использования вдоль каждого звена, составляющего замкнутый
контур, направляют вектор. Угловое положение его определяется углом,
положительное направление которого отсчитывается в направлении против
часовой стрелки от положительной полуоси абсцисс. Метод сводится к
совместному решению уравнений проекций на оси координат векторного контура
механизма с последующим дифференцированием полученных уравнений для
определения скоростей и ускорений.
Кривошипно-ползунный механизм. Кинематическая схема механизма приведена
на рис. 2.5, а. Для механизма известны: длины звеньев
,  1 =  OA ;  2 =  AB
угловая
скорость начального звена
;
ω1 = const расположение центра тяжести звена
2 – точки S2 . Необходимо определить кинематические параметры звеньев 2 и 3 в
(ϕтакже закон
функции положения ведущего звена ϕ1 : ϕ 2 (ϕ1 ), ω2 (ϕ1 ), ε 2 (ϕ1 ), x B (ϕ1 ), υB (ϕ1 ), a B а 1 ),
S2 x S 2 (ϕ1 ), yS 2 (ϕ1 ), υS2 (ϕ1 ), a S2 (ϕ1 ).
движения точки :

3. Векторное уравнение замкнутого треугольника имеет вид
 ОВ +  ВА =  ОА
(2.2)
Спроектируем векторное уравнение на оси координат х и у
х В +  2 cos ϕ 2 =  1 cos ϕ1, 

 2 sin ϕ 2 =  1 sin ϕ1.

(2.3)
С помощью второго уравнения системы уравнений (2.3) можно определить угол ϕ2
(2.4)
ϕ2 = 2π + ϕ1 при х F = +1,
2
ϕ 2 = π − ϕ1 при х F = −1,
2
ϕ1 - острый угол
где 2


ϕ1 = arcsin 1 ⋅ sin ϕ1 
2


 2

х F – признак сборки кривошипно-ползунного механизма
(2.5)
Из первого уравнения системы уравнений (2.3) можно определить координату
точки В
(2.6)
х В = − 2 cos ϕ2 +  1 cos ϕ1 = х В (ϕ1 ).

4. Определение скоростей и ускорений звеньев кривошипно-ползунного механизма
Для определения скоростей звеньев 2 и 3 продифференцируем систему двух
уравнений (2.3) по времени
dx В
dϕ
dϕ 
−  2 sin ϕ 2 2 = − 1 sin ϕ1 1 
dt
dt
dt 

dϕ 2
dϕ1

 2 cos ϕ 2
=  1 cos ϕ1

dt
dt

(2.7)
Или с учетом равенств
dx В
= υВ, dϕ2 = ω2 , dϕ1 = ω1
dt
dt
dt
будем иметь систему
υВ −  2 ω2 sin ϕ 2 = − 1ω1 sin ϕ1 ,

 2 ω2 cos ϕ 2 =  1ω1 cos ϕ1

(2.8)
Из второго уравнения системы уравнений (2.8) получим выражение для
, а из
первого – для υB :
(2.9)
 1 cos ϕ1
ω2 = ω1
 2 cos ϕ 2
= ω2 (ϕ1 );
ω2
υВ =  2 ω2 sin ϕ2 −  1ω1 sin ϕ1 = υВ (ϕ1 ).
(2.10)
Повторное дифференцирование системы уравнений (2.8) позволяет получить
выражения для ускорений звеньев 2 и 3. С учетом равенств
dω2
dυВ
dω1
= аВ,
= ε2 ,
= ε1 = 0
dt
dt
dt
эти выражения имеют вид
2
 2 ω2 sin ϕ 2 −  1ω1 sin ϕ1
2
ε2 =
= ε 2 (ϕ1 );
 2 cos ϕ 2
2
a В =  2 ε 2 sin ϕ 2 +  2 ω2 cos ϕ 2 −  1ω1 cos ϕ1 = a В (ϕ1 ).
2
(2.11)
(2.12)

5. Определение закона движения центра тяжести звена 2 (т.
Для определения закона движения центра тяжести звена 2 – точки S2составим
новый замкнутый векторный контур OS 2 A (рис. 2.5, а). Векторное уравнение его
имеет вид
(2.13)
 OS2 +  S2 A =  OA .
Проектируя уравнение на оси координат, получим координаты точки S 2
х S2 = − AS2 cos ϕ2 +  1 cos ϕ1, 

y S2 = − AS2 sin ϕ 2 +  1 sin ϕ1 . 
Первая и вторая производные от x S2 и yS2 дадут значения составляющих
скорости и ускорения точки S2
•
х S2 =  AS2 ω2 sin ϕ 2 −  1ω1 sin ϕ1 ;
•
у = − AS2 ω2 cos ϕ 2 +  1ω1 cos ϕ1 ;
•• S 2
2
х S2 =  AS2 ε 2 sin ϕ 2 +  AS2 ω2 cos ϕ 2 −  1ω1 cos ϕ1 ;
2
••
2
уS 2 = − AS2 ε 2 cos ϕ2 +  AS2 ω2 sin ϕ2 −  1ω1 sin ϕ1.
2
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Значения полных векторов скорости и ускорения точки будут
•2
•2
•• 2
•• 2
VS 2 = x S2 + y S2 ,
(2.19)
a S2 = x S2 + yS2 .
(2.20)
Положение вектора скорости относительно оси определяется углом α V (рис.
•
2.5, б)
y 
•
 S2 
α V = arctg •  при x S 2 > 0;
 x S2 


•
y 
•


α V = arctg • S2  + π при x S 2 < 0.
 x S2 


Аналогично определяется положение вектора ускорения углом α α
(2.21)
)

6. Кинематические характеристики звена 2

7. Кинематические характеристики звена 2

8. Кинематический анализ механизма с гидроцилиндром
аналитическим методом
Постановка задачи
Кинематическая схема механизма приведена на рис. 2.7. Обобщенной координатой
здесь является положение поршня со штоком 2 относительно гидроцилиндра 1  21 .
Известны длины звеньев  АВ ,  СВ =  3 ,  АС =  4 ; угол ϕ4 , определяющий положение стойки ;
скорость поршня относительно цилиндра υ21 . Необходимо определить кинематические
параметры звеньев 1-2 – гидроцилиндра с поршнем и коромысла 3 в функции
обобщенной координаты: ϕ1 = ϕ2 = ϕ1 ( 21 ), ϕ3 ( 21 ), ω1 ( 21 ), ω3 ( 21 ), ε1 ( 21 ), ε 3 ( 21 ).

9. Определение кинематических параметров звеньев механизма
с гидроцилиндром
Векторное уравнение замкнутости контура АВС имеет вид  4 +  АВ =  3.
Проекции векторного уравнения на оси координат х и у дадут систему уравнений, из которой можно
определить искомые углы ϕ1 и ϕ3:
 4 cos ϕ4 +  AB cos ϕ1 =  3 cos ϕ3 ,

 4 sin ϕ4 +  AB sin ϕ1 =  3 sin ϕ3 . 
(2.24)
Здесь  АВ =  AB min +  21 - длина гидроцилиндра со штоком поршня; AB min - расстояние между точками
А и В при вдвинутом поршне.
Для определения угловых скоростей звеньев 1-2 и 3 необходимо продифференцировать по
времени систему уравнений (2.24). С учетом равенств
dϕ
d AB
dϕ
υ cos ϕ1 −  ABω1 sin ϕ1 +  3ω3 sin ϕ3 = 0, 
= υ21 , 1 = ω1 , 3 = ω3 будем иметь систему уравнений 21

dt
dt
dt
υ21 sin ϕ1 +  ABω1 cos ϕ1 −  3ω3 cos ϕ3 = 0.
(2.25)
Решая ее относительно неизвестных ω1 и ω3 путем несложных преобразований получим следующие
выражения для угловых скоростей
υ21
υ21
ω1 ( 21 ) =
; (2.26)
ω3 ( 21 ) = −
.
 AB tg (ϕ1 − ϕ3 )
 3 sin(ϕ3 − ϕ1 ) (2.27)
Аналогично определяются угловые ускорения звеньев. Дифференцирование системы уравнений
(2.25) по времени с учетом равенств
dω
dυ 21
dω
= a 21 ; 1 = ε1 ; 3 = ε 3
дает искомые выражения для угловых ускорений звеньев
dt
dt
dt
2
2
 3 ω3
ω1
2υ ω
ε1 ( 21 ) =
+
− 21 1 ;
(2.29)
 АВ sin(ϕ1 − ϕ3 ) tg(ϕ1 − ϕ3 )
 AB
2
2
ω3
 ABω1
ε 3 ( 21 ) =
−
.
 3 sin(ϕ3 − ϕ1 ) tg(ϕ3 − ϕ1 )
Очевидно, что и ω1 = ω2 и ε1 = ε 2 .
(2.30)

10. Кинематические характеристики звеньев механизма с
гидроцилиндром

11. Графоаналитический метод кинематического
анализа рычажных механизмов
Графоаналитический метод определения кинематических параметров механизмов
сводится к построению планов их положений, скоростей и ускорений.
План положений механизмов – это графическое изображение взаимного расположения
звеньев, соответствующее выбранному расчетному положению начального звена.
План скоростей механизма – это чертеж, на котором изображены в виде отрезков
векторы, равные по модулю и по направлению скоростям различных точек звеньев
механизма в данный момент.
План ускорений – это чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные
по модулю и направлению ускорениям различных точек звеньев механизм в данный момент.
Кривошипно-ползунный механизм. На рис. 2.9, а показан план положений механизма для
значения обобщенной координаты ϕ1 = 315.
План положений позволяет определить угол ϕ2 и координаты точек В и S2 .

12. Построение плана скоростей кривошипно-ползунных механизмов
Для построения плана скоростей должна быть известна кинематическая схема механизма,
построенная в масштабе (рис. 2.9, а), и задан закон движения начального звена (например,ω1 = const ).
Требуется найти линейные скорости точек А, В и S2, и также угловую скорость звена 2.
Построение плана скоростей начинается с определения скорости точки кривошипа υА = ω1 1. (2.33)
Скорость точки В, принадлежащей звену 2, можно представить как векторную сумму скоростей
переносного υ Ве и υВr относительного движений υ В = υ Ве + υ Вr . (2.34)
Переносным движением звена 2 является поступательное движение его со скоростью точки А υ Bе = υ A ,
а относительным – вращательное движение звена 2 вокруг точки А. Если обозначить относительную
скорость через υBA , то υ Br = υBA .
υВ = υА + υВА .
Окончательное векторное уравнение для скорости точки В будет иметь вид // х ⊥ ОА ⊥ ВА
(2.35)
В этом уравнении векторы скоростей, известные по величине и направлению, подчеркнуты двумя
чертами, а известные лишь по направлению – одной чертой.
Для определения указанных неизвестных величин строим план скоростей с выбранным масштабным
коэффициентом К V
м
υA  с 
 . здесь ZυA -длина отрезка, изображающего на плане скорость υA .
Kυ =
ZυA  мм 
υВ > 0;
 
υВ = ZυB ⋅ K υ ;
Величины действительных скоростей определяют по формулам υ = Zυ ⋅ K ; ω2 = υВА  ; ω2 < 0.
BA
BA
υ
2

13. Скорость точки S2 определяется с помощью векторного уравнения:
υS2 = υ A + υS 2 A
(2.39)
⊥ OA ⊥ AS 2
Здесь скорость относительного движения точки S2 υS2 А находится методом
пропорционального деления отрезка ав на плане скоростей, изображающего
относительную скорость υBА
.
as 2 = aв AS 2

AB 


(2.40)
υS2 = ZυS2 ⋅ K υ .
(2.41)
Действительная скорость υS2 А определяется как