広島ベイズ塾で発表した，負の二項分布についての資料です。

1. 負の二項分布
魁!!広島ベイズ塾
@simizu706

2. 二項分布
• Binomial Distribution
– ベルヌーイ試行において，成功率pで試行数n回中に
x回成功する確率
– 試行数nを固定すれば，パラメータは成功率pだけに
なる
• パラメータpの共役事前分布はベータ分布

3. 負の二項分布
• Negative Binomial Distribution
– 離散分布
– 成功率pで，r回成功するまでに必要な試行数の
確率
– 二項分布の成功数と試行数を入れ替えた分布
負の二項分布「私はあと2回の変身を残しています」

4. 別の表現
• 負の二項分布
– ベルヌーイ試行において，成功率pでr回成功す
るまでに必要な失敗回数についての確率
– 普通はこっちのバージョンを使う

5. 連続変量に拡張
• ガンマ関数を用いて，成功数が整数でなくて
もいけるように拡張
– ガンマ関数

6. 分布感（謎
• Rで負の二項分布を描く
x <- rep(0:20)
plot(x,dnbinom(x,size = 5,prob=0.5),type="b")

7. 分布感（謎
• Rで負の二項分布を描く
x <- rep(0:20)
plot(x,dnbinom(x,size = 5,prob=0.6),type="b")

8. 分布感（謎
• Rで負の二項分布を描く
x <- rep(0:20)
plot(x,dnbinom(x,size = 5,prob=0.8),type="b")

9. 分布の実質科学的な意味
• 二項分布の試行数バージョン
– 例えば裸眼の参加者を10人集めたい場合，何人
に声をかければいいか
• 裸眼率がわかっていれば，95%以上の確率で裸眼10
人集めるのに必要な人数がわかる
• ポアソン分布の過分散推定のため
– 統計モデリングでは，ほぼこの目的で使われる

10. ポアソン分布との関係
• ポアソン分布
– レアな確率で起こる事象がある時間内で起こる
回数についての確率
• 1分で1回起こる事象が5分の間に何回起こるかについ
ての確率は，λ=5のポアソン分布に従う

11. λの変動を考える
• λの確率的な変動を考慮したポアソン分布
– λがガンマ分布(gamma(φ, μφ-1))に従うとする
• このとき，混合した確率分布は
– 負の二項分布になる
• 成功率： p = φ / (μ+φ), 成功数: r=φ

12. ポアソンと負の二項分布
• もともとの負の二項分布
– 成功率pで，r回の成功までの失敗回数yの分布
• ポアソンのλが変動すると考えた分布
– 成功率φ/(μ+φ)で， φ回の成功までの失敗回数y
の分布

13. ポアソンと負の二項分布
• 負の二項分布の平均と分散は・・・
– 平均= μ
– 分散= μ + μ2 / φ
• 負の二項分布において・・・
– μ=λで，φ=∞のとき，ポアソン分布になる
– 平均= λ
– 分散= λ + λ2 / ∞ = λ
• つまりφ（の逆数）が過分散パラメータになる

14. ポアソンと負の二項分布
• 負の二項分布 別バージョン
plot(x,dnbinom(x,mu=5,size = 1000000),type="b")
plot(x,dpois(x,5),type="b")

15. 負の二項分布の使いどころ
• 分散がλより大きいポアソン分布
– ポアソン分布の過分散を考慮した分布
– ポアソンは負の二項分布に完全にネストされてい
るので，AICなどの情報量規準による比較が可能
• 過分散を仮定するべきかどうかを知ることができる
• ポアソン過程のデータに使える
– 単位時間で平均λ回生じる事象が生起する回数
についての確率分布
• ただし，λはガンマ分布に従って変動する

16. GLMMとの関係
• ポアソン＋正規分布のGLMMとの違い
– GLMMではlog(λ)を正規分布で推定
– 負の二項分布はλをガンマ分布で推定
– ほとんどAICはかわらない

17. Stanでの負の二項分布
• neg_binomial(α，β)
• neg_binomial2(μ, φ)

18. 他の分布との関係
• 幾何分布
– 成功率pにおいて，1回成功するまでに必要な試
行数の分布
– r=1の場合の負の二項分布といえる
• 一般化ポアソン分布
– ポアソン分布の過小分散も考慮できる分布
– ほとんど使われることはない

19. まとめ
• 負の二項分布
– 二項分布の成功数と試行数のパラメータを逆転
させた分布
– ベルヌーイ試行において，成功率pでr回成功す
るまでに必要な失敗回数についての分布
• ポアソン分布＋過分散
– GLMの文脈では，平均と分散が等しくない場合の
分布として利用されることが多い