12 algo persamaanaljabarlinier
•Download as PPT, PDF•
1 like•492 views
Algoritma dan Pemrograman - 12 - Aljabar Linier
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
Similar to 12 algo persamaanaljabarlinier
Similar to 12 algo persamaanaljabarlinier (20)
More from Arif Rahman
More from Arif Rahman (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (9)
12 algo persamaanaljabarlinier
- 1. Algoritma Persamaan Aljabar Linier Arif Rahman, ST MT 1
- 2. PersamaanAljabarLinier Persamaan aljabar linier dipergunakan untuk memperoleh harga variabel x1, x2,…, xn dari fungsi persamaan linier f1(x1, x2,…, xn), f2(x1, x2,…, xn),…, fm(x1, x2,…, xn), di mana m ≥ n dengan menggunakan matriks m x n Substitusi Eliminasi Eliminasi Gauss Gauss Jordan Matriks Inverse Gauss Seidel Jacobi 2
- 3. ContohPersamaanLinier Persamaan Linier : 0,3 x1 + 0,52 x2 + x3 = -0,01 0,5 x1 + x2 + 1,9 x3 = 0,67 0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5x3 = -0,44 3
- 4. MetodeSubstitusi Metode Substitusi adalah metode mencari harga variabel dengan mensubtitusikan variabel-variabel lainnya berdasarkan persamaan- persamaan lainnya. 4
- 5. MetodeSubstitusi Algoritma : 1. Pilih salah satu persamaan (misalnya persamaan pertama), gunakan untuk mendapatkan taksiran satu harga variabel (misalnya variabel terakhir) dalam bentuk persamaan : xn = (c1 – a11.x1 – a12.x2 – … – a1,n-1.xn-1 ) /an Pilih persamaan berikutnya, ganti/ substitusi variabel dengan persamaan taksiran variabel, gunakan untuk mendapatkan taksiran satu harga variabel berikutnya dalam bentuk persamaan. c2 = a21.x1 + a22.x2 + … + a2n.xn Ulangi langkah 2 hingga tersisa satu variabel dalam persamaan. Cari nilai variabel dari persamaan dengan satu variabel, secara bertahap variabel berikutnya dari persamaan dengan suku variabel lebih banyak 5
- 6. MetodeSubstitusi Persamaan pertama : 0,3 x1 + 0,52 x2 + x3 = -0,01 ⇔ x3 = -0,01 – 0,3 x1 – 0,52 x2 Persamaan kedua : 0,5 x1 + x2 + 1,9 x3 = 0,67 ⇔ 0,5 x1 + x2 + 1,9 x (-0,01 – 0,3 x1 – 0,52 x2) = 0,67 ⇔ -0,07 x1 + 0,012 x2 = 0,689 ⇔ 0,012 x2 = 0,689 + 0,07 x1 ⇔ x2 = 57,417 + 5,833 x1 Persamaan ketiga : 0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5x3 = -0,44 0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5 x (-0,01 – 0,3 x1 – 0,52 x2) = -0,44 -0,05 x1 + 0,04 x2 = -0,435 -0,05 x1 + 0,04 x (57,417 + 5,833 x1) = -0,435 0,183 x1 = -2,732 Penyelesaian : x1 = -14,9 ; x2 = -29,5 ; x3 = 19,8 6
- 7. MetodeEliminasi Metode Eliminasi adalah metode mencari harga variabel dengan mengeliminasikan satu persatu variabel lainnya melalui pengurangan antar persamaan. 7
- 8. MetodeEliminasi Algoritma : 1. Pilih dua persamaan (misalnya persamaan pertama dan kedua), kurangkan satu persamaan dengan persamaan lainnya untuk menghilangkan satu variabel (misalnya variabel terakhir) : c1 = a11.x1 + a12.x2 + … + a1n.xn | x a2n c2 = a21.x1 + a22.x2 + … + a2n.xn | x a1n Ulangi langkah 1 untuk mendapatkan minimal (n-1) persamaan baru hasil eliminasi. Ulangi langkah 2 dengan mengurangkan pasangan persamaan hasil eliminasi. Cari nilai variabel dari persamaan dengan satu variabel, secara bertahap variabel berikutnya dari persamaan dengan suku variabel lebih banyak 8
- 9. MetodeEliminasi Persamaan pertama dan kedua: 0,3 x1 + 0,52 x2 + x3 = -0,01 |x1,9 | 0,57 x1 + 0,988 x2 + 1,9 x3 = -0,019 0,5 x1 + x2 + 1,9 x3 = 0,67 |x1 | 0,5 x1 + x2 + 1,9 x3 = 0,67 . 0,07 x1 – 0,012 x2 = -0,689 Persamaan pertama dan ketiga : 0,3 x1 + 0,52 x2 + x3 = -0,01 |x0,5 | 0,15 x1 + 0,26 x2 + 0,5 x3 = -0,005 0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5x3 = -0,44 |x1 | 0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5 x3 = -0,44 . 0,05 x1 – 0,04 x2 = 0,435 Hasil eliminasi pertama dan kedua : 0,07 x1 – 0,012 x2 = -0,689 |x4 | 0,28 x1 + 0,048 x2 = -2,756 0,05 x1 – 0,04 x2 = 0,435 |x1,2 | 0,06 x1 + 0,048 x2 = 0,522 . 0,22 x1 = -3,278 Penyelesaian : x1 = -14,9 ; x2 = -29,5 ; x3 = 19,8 9
- 10. MetodeEliminasiGauss Metode Eliminasi Gauss adalah metode mencari harga variabel dengan transformasi matriks koefisien persamaan linier menjadi matriks segitiga atas melalui operasi baris elementer. 10 mmnmm n n c c c aaa aaa aaa 2 1 21 22221 11211 −− )1( 2 1 )1( 222 11211 ' 00 ''0 m m m mn n n c c c a aa aaa
- 11. MetodeEliminasiGauss Penyelesaian : x1 = -14,9 ; x2 = -29,5 ; x3 = 19,8 → − − − − 13,0 1,0 3 13,0 5,0 2 44,0 67,0 01,0 5,03,01,0 9,115,0 152,03,0 BB BB → − − − 2133,0 127,0 3 437,0 687,0 01,0 167,0127,00 233,0133,00 152,03,0 BB − − − 089,1 687,0 01,0 055,000 233,0133,00 152,03,0 11
- 12. MetodeGaussJordan Metode Gauss Jordan adalah metode mencari harga variabel dengan transformasi matriks koefisien persamaan linier menjadi matriks identitas melalui operasi baris elementer. 12 mmnmm n n c c c aaa aaa aaa 2 1 21 22221 11211 )( 2 1 " ' 100 010 001 m mc c c
- 13. MetodeGaussJordan Penyelesaian : x1 = -14,9 ; x2 = -29,5 ; x3 = 19,8 → − − − − 13,0 1 13,0 1,0 3 13,0 5,0 2 44,0 67,0 01,0 5,03,01,0 9,115,0 152,03,0 B BB BB → − − − − 2133,0 1 2133,0 127,0 3 2133,0 733,1 1 437,0 687,0 033,0 167,0127,00 233,0133,00 333,3733,11 B BB BB → − − − − − − − − 3055,0 1 3055,0 75,1 2 3055,0 3,0 1 089,1 15,5 96,8 055,000 75,110 3,001 B BB BB − − 8,19 5,29 9,14 100 010 001 13
- 14. MetodeMatriksInverse Metode Matriks Inverse adalah metode mencari harga variabel dengan transformasi matriks koefisien persamaan linier menjadi matriks identitas melalui operasi baris elementer, sehingga matriks identitas menjadi matriks inverse. 14 100 010 001 21 22221 11211 mnmm n n aaa aaa aaa mnmm n n bbb bbb bbb 21 22221 11211 100 010 001
- 15. MetodeMatriksInverse Penyelesaian : x1 = -14,9 ; x2 = -29,5 ; x3 = 19,8 → − − 13,0 1 13,0 1,0 3 13,0 5,0 2 100 010 001 5,03,01,0 9,115,0 152,03,0 B BB BB → − − − − 2133,0 1 2133,0 127,0 3 2133,0 733,1 1 10333,0 01667,1 00333,3 167,0127,00 233,0133,00 333,3733,11 B BB BB → − − − − − − − − − 3055,0 1 3055,0 75,1 2 3055,0 3,0 1 195,025,1 05,75,12 01325 055,000 75,110 3,001 B BB BB −− − − 182,18273,17727,22 818,31727,22273,27 455,5182,18818,31 100 010 001 − − 44,0 67,0 01,0 15
- 16. MetodeDeterminanMatriks Metode Determinan Matriks adalah metode mencari harga variabel dengan membagi determinan matriks substitusi dengan determinan matriks koefisien persamaan linier. Kolom ke-i 16 mnmm n n mnmm n n aaa aaa aaa aac aac aac x 21 22221 11211 2 2222 1121 1 = mnmm n n mnmm n n i aaa aaa aaa aaa aaa aaa x 21 22221 11211 21 22221 11211 = mc c c 2 1
- 17. MetodeDeterminanMatriks Penyelesaian : x1 = -14,9 ; x2 = -29,5 ; x3 = 19,8 5,03,01,0 9,115,0 152,03,0 5,03,044,0 9,1167,0 152,001,0 1 − − =x 5,03,01,0 9,115,0 152,03,0 5,044,01,0 9,167,05,0 101,03,0 2 − − =x 5,03,01,0 9,115,0 152,03,0 44,03,01,0 67,015,0 01,052,03,0 3 − − =x 17
- 18. MetodeGaussSeidel Metode Gauss Seidel adalah metode mencari harga variabel dengan menggunakan taksiran variabel-variabel lainnya. 18
- 19. MetodeGaussSeidel Algoritma : 1. Dengan mengasumsikan taksiran awal dari variabel x2, x3,…, xn bernilai sama dengan nol, hitung taksiran variabel x1 dengan : 2. Secara berurutan hitung taksiran variabel x2, x3,…, xn dengan : 3. Ulangi langkah 2 mulai dari menghitung taksiran variabel x1, x2,…, xn kembali, hingga penyimpangan atau kesalahan taksiran iterasi ke- k dari variabel xi kurang dari batas toleransi. 19 11 12121 1 .. a xaxac x nn−−− = ii n ij j jiji i a xac x ∑ ≠ = − = 1 . toleransibatas%100 1 ≤× − = − k i k i k i x xx ε
- 20. MetodeGaussSeidel Iterasi x1 x2 x3 0 0 0 0 1 2 : : : : j 20 3,0 .1.52,001,0 32 1 xx x −−− = 1 .9,1.5,067,0 31 2 xx x −− = 5,0 .3,0.1,044,0 21 3 xx x −−− =
- 21. MetodeJacobi Metode Jacobi adalah metode mencari harga variabel dengan menggunakan taksiran variabel- variabel lainnya dari iterasi sebelumnya. 21
- 22. MetodeJacobi Algoritma : 1. Dengan mengasumsikan taksiran awal dari variabel x1, x2,…, xn bernilai sama dengan nol. Secara berurutan hitung taksiran variabel x'1, x'2, …, x'n dengan : Hitung penyimpangan atau kesalahan taksiran dari variabel xi . 1. Jika kurang dari batas toleransi, hentikan. 2. Ubah xi = x'i untuk variabel x1, x2,…, xn. Ulangi langkah 2 22 ii n ij j jiji i a xac x ∑ ≠ = − = 1 . ' toleransibatas%100 ' ≤× − = i ii x xx ε
- 23. MetodeJacobi Iterasi x1 x2 x3 0 0 0 0 1 2 : : : : j 23 3,0 .1.52,001,0 32 1 xx x −−− = 1 .9,1.5,067,0 31 2 xx x −− = 5,0 .3,0.1,044,0 21 3 xx x −−− =
- 24. Permasalahan Koefisien pada baris ke-i dan kolom ke-i bernilai 0 Iterasi pencarian divergen atau tidak konvergen sehingga bergerak menjauhi harga sebenarnya mnmm n n mnmm n n bbb bbb bbb aaa aaa aaa 21 22221 11211 21 22221 11211 Pivoting parsial Konvergensi 24
- 25. Akhir Perkuliahan…Akhir Perkuliahan… …… Ada Yang DitanyakanAda Yang Ditanyakan 25
Editor's Notes
- n