Combinazioni sotto l’albero Corso di formazione per docenti Scuola Media “G. Pascoli” CZ prof. Nicola Chiriano [email_addr...
Aperitivo: la carta truccata Qual è la probabilità che anche la metà coperta nasconda una regina ? 50% 50% R. 2/3 =  66.7%
Calcolo combinatorio <ul><li>Studia i modi di  raggruppare ed ordinare oggetti presi da un insieme assegnato, con l’obiett...
Principio generale del c.c. <ul><li>Se una scelta può essere fatta in  a  modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda...
Antipasto: anagrammi <ul><li>Quanti ne possiede la parola  COMETA ?  </li></ul><ul><ul><ul><li>Vi sono 6 posti nei quali c...
<ul><ul><ul><li>Per inserire le prime tre lettere vi sono </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>6 · 5 · 4 = 120 possibilità </li...
<ul><ul><li>Per la parola  ORO  ? </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>ROO – ORO – OOR: solo 3, ossia 3!/2! </li></ul></ul></ul>...
<ul><li>Esercizio 1.  Quanti anagrammi distinti si possono costruire con la parola MATEMATICA?  [R. 151200] </li></ul><ul>...
1. Permutazioni <ul><li>semplici   (di n oggetti distinti) </li></ul><ul><li>P n =n! </li></ul><ul><li>con ripetizione   (...
Coda al casello <ul><li>4 auto (A, B, C e D) si approssimano ad un casello autostradale con due sole uscite. Come potranno...
2. Disposizioni  (di n oggetti a k a k) <ul><li>Disposizioni semplici  </li></ul><ul><li>D n,k =n!/(n-k)!  </li></ul><ul><...
Targhe italiane 35 6 =1.838.265.625 25x25x10 3 x25x25=390.625.000 10x10x10x10x10x10=10 6 =1mln 10x10x10x10x10x25=2,5mln
<ul><li>Disposizioni con ripetizione </li></ul><ul><li>D’ n,k =n k </li></ul><ul><ul><li>Esempi:  </li></ul></ul><ul><ul><...
Due casseforti Ma guarda un po’ chi si vede!! Ehilà, ma che  combinazione  !
3. Combinazioni semplici <ul><li>Scegliere k oggetti distinti da n </li></ul><ul><ul><li>Esempi:  </li></ul></ul><ul><ul><...
Ttt..rrr…iang….golo
: un gioco iniquo! Quando gioco  la combinazione Ho una probabilità di vincere su Se vinco, riscuoto  la posta giocata per...
Probabilità di un evento <ul><ul><li>(se sono a priori equiprobabili …) </li></ul></ul><ul><ul><li>impossibilità «  0 ≤ P(...
Frequenza <ul><li>Per una prova ripetuta N volte, definiamo: </li></ul><ul><ul><li>Frequenza assoluta il numero F di ripet...
Grandi numeri: T o C ?
Grandi numeri: dado
Ci facciamo un pokerino ? <ul><li>In America si gioca con 52 carte,  in Europa a mazzo ridotto.  </li></ul><ul><li>Calcoli...
<ul><ul><li>Numero dei casi possibili  =  combinazioni  che si ottengono con n carte prese a gruppi di k=5. </li></ul></ul...
Combinazioni di ogni punto “servito” con N=52 Coppia (2 carte dello stesso valore) Doppia coppia (2 coppie) Tris (3 carte ...
<ul><ul><li>N casi favorevoli  = totalità delle  combinazioni  di ogni punto servito </li></ul></ul>Totalità  delle combin...
<ul><ul><li>Calcoliamo infine la probabilità di ogni punto servito secondo i vari mazzi di carte </li></ul></ul>N carte: 5...
Un giro in roulette A = esce il rosso B = esce il 28 numeri da 0 a 36 A = esce il rosso B = esce il pari numeri rossi pari
Probabilità totale <ul><li>Per eventi incompatibili (uno esclude l’altro) </li></ul><ul><li>P(A o B) = P(A) + P(B) </li></...
Un sacco di palline <ul><li>con reinserimento </li></ul>
<ul><li>senza reinserimento </li></ul>
Probabilità composta <ul><li>Per eventi indipendenti (es. estrazione con reinserimento) </li></ul><ul><li>P(A e B) = P(A) ...
Tanti auguri a voi!! p  = probabilità che su N persone almeno 2 compiano gli anni nello st g q = 1−p  (probabilità contrar...
Roulette russa <ul><li>1/6=0.17 </li></ul><ul><li>1/5=0.20 </li></ul><ul><li>1/4=0.25 </li></ul><ul><li>1/3=0.33 </li></ul...
Medie statistiche <ul><li>Se in due mangiamo due polli, in media mangiamo un pollo ciascuno…  </li></ul><ul><li>… ma c’è i...
Il paziente incosciente <ul><li>Lo 0,5% della popolazione soffre di  calcoli </li></ul><ul><li>Il test clinico apposito è ...
Lancio di 2 dadi <ul><li>A ciascuna coppia di risultati assegnamo il valore della loro somma </li></ul><ul><li>Ci sono più...
<ul><li>Abbiamo costruito una funzione tra i possibili risultati e i valori tra 2 e 12 </li></ul>f(  )=5
Variabile aleatoria <ul><li>La funzione così costruita si chiama  variabile aleatoria  e si indica con  X </li></ul><ul><l...
P(E) o P(X=x) ? <ul><li>Abbiamo usato la notazione  P(X)  associata alla  probabilità  di eventi, in cui P è una funzione ...
Variabile aleatoria per 2 dadi <ul><li>Nella corrispondenza coppia-somma, sia n(x) il numero di coppie con la stessa somma...
Istogramma per P(X) Un istogramma è chiamato “distribuzione” poiché rivela graficamente come la probabilità è distribuita ...
Distribuzioni di probabilità (es.) <ul><ul><li>Lancio di un solo dado </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Variabile aleatoria  ...
Vacanze aleatorie <ul><li>Decido di andare al mare o in montagna lanciando una  moneta </li></ul>1/2 1/12 1/7 moneta monet...
Tendenza di una distribuzione di probabilità <ul><li>Data la seguente distribuzione discreta di probabilità (d.d.p): </li>...
Calcolo della  media <ul><li>Quale può essere una loro “media”? </li></ul>N.B. La media non dev’essere necessariamente un ...
Altri indicatori di una d.d.p. <ul><li>Varianza </li></ul><ul><li>Deviazione standard </li></ul>
<ul><li>Es. Numero di pendolari che trovano posto sul treno. </li></ul> = 1,43 x P(x) x P(x) x-  ( x-  ) 2  P(x) 0 0,3...
Indicatori di una “popolazione” <ul><li>Media </li></ul><ul><li>Deviazione standard </li></ul><ul><li>Varianza </li></ul>
Distribuzione normale <ul><li>È la d.d.p. “naturale” nella raccolta di dati. Se l’approssimazione con la  campana di Gauss...
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Probabilità sotto l'albero

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Probabilità sotto l'albero

  1. 1. Combinazioni sotto l’albero Corso di formazione per docenti Scuola Media “G. Pascoli” CZ prof. Nicola Chiriano [email_address]
  2. 2. Aperitivo: la carta truccata Qual è la probabilità che anche la metà coperta nasconda una regina ? 50% 50% R. 2/3 = 66.7%
  3. 3. Calcolo combinatorio <ul><li>Studia i modi di raggruppare ed ordinare oggetti presi da un insieme assegnato, con l’obiettivo finale di contare il numero dei possibili raggruppamenti od ordinamenti </li></ul>
  4. 4. Principio generale del c.c. <ul><li>Se una scelta può essere fatta in a modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in b modi diversi e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte, una terza scelta può essere effettuata in c modi diversi ecc., allora la successione di tutte le scelte può essere compiuta in a·b·c·… modi diversi </li></ul>
  5. 5. Antipasto: anagrammi <ul><li>Quanti ne possiede la parola COMETA ? </li></ul><ul><ul><ul><li>Vi sono 6 posti nei quali collocare le lettere. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Per collocare la C vi sono 6 possibilità: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Ne rimangono 5 per collocare la O . </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>In totale, per collocare C e O ci sono </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>6 · 5 = 30 possibilità </li></ul></ul></ul>… … C …
  6. 6. <ul><ul><ul><li>Per inserire le prime tre lettere vi sono </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>6 · 5 · 4 = 120 possibilità </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>E così via. Per le 6 lettere di COMETA vi sono </li></ul></ul></ul><ul><li>6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 possibilità </li></ul><ul><ul><ul><li>Si tratta del fattoriale di 6: </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 </li></ul></ul></ul>… O C …
  7. 7. <ul><ul><li>Per la parola ORO ? </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>ROO – ORO – OOR: solo 3, ossia 3!/2! </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Per la parola BABBO ? </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>avremo 20 possibilità, ossia 5!/3! </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Per la parola PRESEPE ? </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>avremo 420 possibilità, ossia 7!/2!/3! </li></ul></ul></ul>
  8. 8. <ul><li>Esercizio 1. Quanti anagrammi distinti si possono costruire con la parola MATEMATICA? [R. 151200] </li></ul><ul><li>Esercizio 2. Ciro Express deve consegnare 5 pizze a clienti abitanti in 5 zone diverse della città. In quanti modi può eseguire le consegne? [R. 120] </li></ul><ul><li>Esercizio 3. Quanti numeri naturali diversi di 6 cifre si possono formare con le cifre del numero 775551? [R. 60] </li></ul>
  9. 9. 1. Permutazioni <ul><li>semplici (di n oggetti distinti) </li></ul><ul><li>P n =n! </li></ul><ul><li>con ripetizione (con k oggetti uguali su n) </li></ul><ul><li>P n,k =n!/k! </li></ul>
  10. 10. Coda al casello <ul><li>4 auto (A, B, C e D) si approssimano ad un casello autostradale con due sole uscite. Come potranno accodarsi? </li></ul>N.B. Se non vi piace aspettare, scegliete il Telepass! N = 4 · 3 = 4!/2! <ul><li>Se le auto sono 5: </li></ul><ul><li>N = 5 · 4 = 5!/3! </li></ul>A B A C A D B A B C B D C A C B C D D A D B D C
  11. 11. 2. Disposizioni (di n oggetti a k a k) <ul><li>Disposizioni semplici </li></ul><ul><li>D n,k =n!/(n-k)! </li></ul><ul><ul><li>Esempi: </li></ul></ul><ul><ul><li>possibili cinquine ordinate [D 90,5 ] </li></ul></ul><ul><ul><li>parole con 4 lettere diverse [D 21,4 =143640] </li></ul></ul><ul><ul><li>carte in mano a scopa [D 33,3 =32736] </li></ul></ul><ul><ul><li>prefissi di 2 cifre diverse [D 10,2 =90…] </li></ul></ul>
  12. 12. Targhe italiane 35 6 =1.838.265.625 25x25x10 3 x25x25=390.625.000 10x10x10x10x10x10=10 6 =1mln 10x10x10x10x10x25=2,5mln
  13. 13. <ul><li>Disposizioni con ripetizione </li></ul><ul><li>D’ n,k =n k </li></ul><ul><ul><li>Esempi: </li></ul></ul><ul><ul><li>riporre 2 oggetti distinti in 3 cassetti [ 3 2 ] </li></ul></ul><ul><ul><li>colonne possibili al Totocalcio [ 3 14 ] </li></ul></ul><ul><ul><li>casi possibili lanciando 10 monete [ 2 10 ] </li></ul></ul>
  14. 14. Due casseforti Ma guarda un po’ chi si vede!! Ehilà, ma che combinazione !
  15. 15. 3. Combinazioni semplici <ul><li>Scegliere k oggetti distinti da n </li></ul><ul><ul><li>Esempi: </li></ul></ul><ul><ul><li>terni fissata una cinquina [ ( )=10 ] </li></ul></ul><ul><ul><li>sestine Lotto [ ( )=622.614.630 ] </li></ul></ul><ul><ul><li>estratto semplice al Lotto [ ] </li></ul></ul>coefficiente binomiale 5 3 90 6 casi possibili = cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri <ul><ul><li>casi favorevoli = n. cinquine che contengono il mio numero = n. quaterne costruibili utilizzando gli altri 89 numeri </li></ul></ul>
  16. 16. Ttt..rrr…iang….golo
  17. 17. : un gioco iniquo! Quando gioco la combinazione Ho una probabilità di vincere su Se vinco, riscuoto la posta giocata per Estratto semplice 18 11,232 Ambo 400,5 250 Terno 11.740 4.500 Quaterna 511.038 120.000 Cinquina 43.949.268 6.000.000
  18. 18. Probabilità di un evento <ul><ul><li>(se sono a priori equiprobabili …) </li></ul></ul><ul><ul><li>impossibilità « 0 ≤ P(E) ≤ 1 » certezza </li></ul></ul>
  19. 19. Frequenza <ul><li>Per una prova ripetuta N volte, definiamo: </li></ul><ul><ul><li>Frequenza assoluta il numero F di ripetizioni di un dato </li></ul></ul><ul><ul><li>Frequenza (relativa) il rapporto f=F/N, e quindi 0≤f≤ 1 </li></ul></ul><ul><li>LEGGE DEI GRANDI NUMERI </li></ul><ul><ul><li>Per N ∞ la frequenza tende alla probabilità </li></ul></ul>
  20. 20. Grandi numeri: T o C ?
  21. 21. Grandi numeri: dado
  22. 22. Ci facciamo un pokerino ? <ul><li>In America si gioca con 52 carte, in Europa a mazzo ridotto. </li></ul><ul><li>Calcoliamo la probabilità che un punto si presenti servito , ossia nella prima distribuzione di carte. </li></ul>
  23. 23. <ul><ul><li>Numero dei casi possibili = combinazioni che si ottengono con n carte prese a gruppi di k=5. </li></ul></ul>N carte N combinazioni 52 2.598.960 44 1.086.008 40 658.008 36 376.992 32 201.376 28 98.280 24 42.504
  24. 24. Combinazioni di ogni punto “servito” con N=52 Coppia (2 carte dello stesso valore) Doppia coppia (2 coppie) Tris (3 carte dello stesso valore) Scala - sc.reale (5 carte in valore crescente) Full (tris + coppia) 3744 Colore - sc.reale (5 carte dello stesso seme) Poker (4 carte dello stesso valore) Scala reale (scala dello stesso seme)
  25. 25. <ul><ul><li>N casi favorevoli = totalità delle combinazioni di ogni punto servito </li></ul></ul>Totalità delle combinazioni di ogni punto “servito” N carte: 52 44 40 36 32 28 24 Coppia 1.098.240 506.880 322.560 193.536 107.520 53.760 23.040 Doppia coppia 123.552 71.280 51.840 36.288 24.192 15.120 8.640 Tris 54.912 31.680 23.040 16.128 10.752 6.720 3.840 Scala 10.200 8.160 7.140 6.120 5.100 4.080 3.060 Full 3.744 2.640 2.160 1.728 1.344 1.008 720 Colore 5.148 1.816 980 480 204 68 12 Poker 624 440 360 288 224 168 120 Scala reale 40 32 28 24 20 16 12
  26. 26. <ul><ul><li>Calcoliamo infine la probabilità di ogni punto servito secondo i vari mazzi di carte </li></ul></ul>N carte: 52 44 40 36 32 28 24 1 volta su 1 volta su 1 volta su 1 volta su 1 volta su 1 volta su 1 volta su Coppia 2,37 2,14 2,04 1,95 1,87 1,83 1,84 Doppia coppia 21,04 15,24 12,69 10,39 8,32 6,50 4,92 Tris 47,33 34,28 28,56 23,38 18,73 14,63 11,07 Scala 254,80 133,09 92,16 61,60 39,49 24,09 13,89 Full 694,17 411,37 304,63 218,17 149,83 97,50 59,03 Colore 508,80 598,02 671,44 785,40 987,14 1445,29 3542,00 Poker 4165,00 2468,20 1827,80 1309,00 899,00 585,00 354,20 Scala reale 64974,00 33937,75 23500,29 15708,00 10068,80 6142,50 3542,00
  27. 27. Un giro in roulette A = esce il rosso B = esce il 28 numeri da 0 a 36 A = esce il rosso B = esce il pari numeri rossi pari
  28. 28. Probabilità totale <ul><li>Per eventi incompatibili (uno esclude l’altro) </li></ul><ul><li>P(A o B) = P(A) + P(B) </li></ul><ul><li>Per eventi compatibili (possono verificarsi entrambi) </li></ul><ul><li>P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A e B) </li></ul>
  29. 29. Un sacco di palline <ul><li>con reinserimento </li></ul>
  30. 30. <ul><li>senza reinserimento </li></ul>
  31. 31. Probabilità composta <ul><li>Per eventi indipendenti (es. estrazione con reinserimento) </li></ul><ul><li>P(A e B) = P(A) · P(B) </li></ul><ul><li>Per eventi dipendenti (es. estrazione secca) </li></ul><ul><li>P(A e B) = P(A) · P(B|A) </li></ul>Probabilità condizionata
  32. 32. Tanti auguri a voi!! p = probabilità che su N persone almeno 2 compiano gli anni nello st g q = 1−p (probabilità contraria) = prodotto di N termini (366-i)/365 Per N=3: p = 0.02 q = 364/365 · 363/365 · 362/365 = 0.98 p cresce rapidamente poiché aumentano le probabilità che più di due persone compiano gli anni lo stesso giorno N 10 20 30 40 50 p 0.12 0.41 0.71 0.89 0.97
  33. 33. Roulette russa <ul><li>1/6=0.17 </li></ul><ul><li>1/5=0.20 </li></ul><ul><li>1/4=0.25 </li></ul><ul><li>1/3=0.33 </li></ul><ul><li>1/2=0.50 </li></ul><ul><li>1/1=1.00 </li></ul><ul><li>1/6 </li></ul><ul><li>1/5 x 5/6 </li></ul><ul><li>1/4 x 4/6 </li></ul><ul><li>1/3 x 3/6 </li></ul><ul><li>1/2 x 2/6 </li></ul><ul><li>1/1 x 1/6 </li></ul>0.92 1.53
  34. 34. Medie statistiche <ul><li>Se in due mangiamo due polli, in media mangiamo un pollo ciascuno… </li></ul><ul><li>… ma c’è il rischio che io resti a digiuno! </li></ul><ul><li>Il salumiere è stato sincero: ha detto che per le carni degli hamburger usa lo stesso numero di polli e di asini, un po’ di ciascuno, al 50%... </li></ul><ul><li>… ma un asino pesa 200 kg, un pollo 2 kg! </li></ul>
  35. 35. Il paziente incosciente <ul><li>Lo 0,5% della popolazione soffre di calcoli </li></ul><ul><li>Il test clinico apposito è affidabile al 98% </li></ul><ul><li>Un tale, risultato positivo , non si affligge </li></ul><ul><ul><li>ad es. 50 su 10000 (quindi i sani sono 9950) </li></ul></ul>+ + + - - <ul><ul><li>cioè risultano correttamente 49 e 9751, erroneamente 1 e 199 </li></ul></ul><ul><ul><li>risultano 49+199=248, ma quelli effettivamente malati sono 49/248 = 19.7% </li></ul></ul>
  36. 36. Lancio di 2 dadi <ul><li>A ciascuna coppia di risultati assegnamo il valore della loro somma </li></ul><ul><li>Ci sono più coppie con lo stesso valore </li></ul>
  37. 37. <ul><li>Abbiamo costruito una funzione tra i possibili risultati e i valori tra 2 e 12 </li></ul>f( )=5
  38. 38. Variabile aleatoria <ul><li>La funzione così costruita si chiama variabile aleatoria e si indica con X </li></ul><ul><li>È una funzione , ma la usiamo come una variabile algebrica , tranne che per il fatto che essa può assumere diversi valori secondo la distribuzione di probabilità ad essa associata, quindi: </li></ul><ul><ul><li>non possiamo conoscerne con certezza il valore </li></ul></ul><ul><ul><li>il suo valore varia di caso in caso </li></ul></ul>Alea iacta est!
  39. 39. P(E) o P(X=x) ? <ul><li>Abbiamo usato la notazione P(X) associata alla probabilità di eventi, in cui P è una funzione che associa un evento ad un valore tra 0 e 1 </li></ul><ul><li>Analogamente possiamo scrivere P(X=x)=.5, oppure P(X=3)=.5. Perché non semplicemente, in breve, P(3)=.5? </li></ul><ul><li>In effetti non è “3” ad avere probabilità, ma l’evento X=3 (“X assume il valore 3” e non già “X uguale 3”) </li></ul><ul><li>P(X=3)=.5 significa che 3 è un valore di X che ha probabilità 50% di verificarsi </li></ul>
  40. 40. Variabile aleatoria per 2 dadi <ul><li>Nella corrispondenza coppia-somma, sia n(x) il numero di coppie con la stessa somma x </li></ul><ul><li>Il totale delle somme è 36, quindi: </li></ul>Risultato x n(x) (1,1) 2 1 (2,1),(1,2) 3 2 (3,1),(2,2),(1,3) 4 3 (4,1),(3,2),(2,3),(1,4) 5 4 (5,1),(4,2),(3,3),(2.4),(1,5) 6 5 (6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6) 7 6 (6,2),(5,3),(4,4),(3,5),(2,6) 8 5 (6,3),(5,4),(4,5),(3,6) 9 4 (6,4),(5,5),(4,6) 10 3 (6,5),(5,6) 11 2 (6,6) 12 1
  41. 41. Istogramma per P(X) Un istogramma è chiamato “distribuzione” poiché rivela graficamente come la probabilità è distribuita rispetto ai valori. In realtà un istogramma è solo una rappresentazione grafica della distribuzione, non la distribuzione stessa…
  42. 42. Distribuzioni di probabilità (es.) <ul><ul><li>Lancio di un solo dado </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Variabile aleatoria X = valore della faccia uscita </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Funzione di probabilità </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Lancio di una moneta </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Variabile aleatoria </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Funzione di probabilità </li></ul></ul></ul>
  43. 43. Vacanze aleatorie <ul><li>Decido di andare al mare o in montagna lanciando una moneta </li></ul>1/2 1/12 1/7 moneta moneta+dado rimasti: 1/2-5/12=7/12 favorevoli: 1/12 P = favorevoli/rimasti <ul><li>I miei amici trentini, dopo avermi atteso invano per 5 treni, sperano che stia per arrivare: con che probabilità? </li></ul><ul><li>In ogni caso, sceglierò quale di 6 treni prendere lanciando un dado </li></ul>
  44. 44. Tendenza di una distribuzione di probabilità <ul><li>Data la seguente distribuzione discreta di probabilità (d.d.p): </li></ul>supponiamo di avere 10 valori per X, che si presentano con le esatte proporzioni: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3 x P( X=x ) 1 .3 2 .4 3 .3
  45. 45. Calcolo della media <ul><li>Quale può essere una loro “media”? </li></ul>N.B. La media non dev’essere necessariamente un valore di X.
  46. 46. Altri indicatori di una d.d.p. <ul><li>Varianza </li></ul><ul><li>Deviazione standard </li></ul>
  47. 47. <ul><li>Es. Numero di pendolari che trovano posto sul treno. </li></ul> = 1,43 x P(x) x P(x) x-  ( x-  ) 2 P(x) 0 0,30 0,00 -1,55 0,721 1 0,25 0,25 -0,55 0,076 2 0,20 0,40 0,45 0,041 3 0,15 0,45 1,45 0,315 4 0,05 0,20 2,45 0,300 5 0,05 0,25 3,45 0,595  1,00  =1,55   = 2,047
  48. 48. Indicatori di una “popolazione” <ul><li>Media </li></ul><ul><li>Deviazione standard </li></ul><ul><li>Varianza </li></ul>
  49. 49. Distribuzione normale <ul><li>È la d.d.p. “naturale” nella raccolta di dati. Se l’approssimazione con la campana di Gauss è giustificata, allora: </li></ul><ul><li>circa il 68% dei valori distano entro  dalla media  </li></ul><ul><li>circa il 95% entro 2  </li></ul><ul><li>circa il 99.7% entro 3  </li></ul><ul><li>Ciò è noto come “regola del 68-95-99.7” o “regola empirica” </li></ul>
  50. 50. Correzione prova strutturata

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