Una presentazione sugli insiemi

1. In tutto quanto segue si assume come primitivo il concetto di insieme. Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole: A , B , X , Y , … , gli elementi degli insiemi con lettere minuscole: a , b , x , … Insieme

2. Il simbolo di appartenenza:  x  X si legge " x appartiene ad X ". Per negare questo predicato si utilizza la seguente scrittura x  X si legge " x non appartiene ad X ". Simboli

3. Rappresentazione di un insieme Un insieme X si può rappresentare specificando una proprietà caratteristica relativa agli elementi dell'insieme elencando una ed una sola volta tutti gli elementi appartenenti all'insieme Esempio: X = { x : x è una vocale della parola aiuole} in modo visivo mediante i cosiddetti diagrammi di Eulero-Venn Esempio: Esempio: X = {a, i, u, o, e}

4. Insieme vuoto :  Insieme privo di elementi Insiemi uguali : A = B Due insiemi A e B sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi A = B  ( x  A  x  B )

5. Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive B  A (oppure A  B ) e si legge B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A  x  B : x  A Si osservi che A = B se e solo se ( A  B e B  A )  A (qualunque sia A ) Un sottoinsieme B di A diverso da A e dall'insieme vuoto si dice sottoinsieme proprio e si scrive B  A (oppure A  B ) : Siano A , B , C insiemi qualsiasi, si ha: A  A (proprietà riflessiva) se A  B e B  A allora A = B (proprietà antisimmetrica) se A  B e B  C allora A  C ( proprietà transitiva) B sottoinsieme di A Proprietà della relazione inclusione

6. Insieme delle parti L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A , compresi l'insieme vuoto ed A stesso, si dice insieme delle parti di A (o potenza di A ) e si indica Esempio Sia A = {a, b, c}, si ha = {  ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} Se A contiene n elementi allora contiene 2 n elementi

7. L' unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B L'unione di A e B si scrive A  B = { x : x  A o x  B } Esempio A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8} A  B = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8} Unione

8. L' intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B L'intersezione di A e B si scrive A  B = { x : x  A e x  B } Esempio A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8} A  B = {1, 2} Intersezione

9. La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B La differenza di A e B si scrive A  B = A B = { x : x  A e x  B } Esempio A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8} A B = {0, 3} Differenza

10. La differenza simmetrica di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B e di quegli elementi che appartengono ad B e che non appartengono ad A La differenza simmetrica di A e B si scrive A  B = ( A B )  ( B A ) Esempio A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8} A B = {0, 3}, B A = {5, 7, 8} A  B = {0, 3, 5, 7, 8} Differenza simmetrica

11. Sia A un insieme, sia B un sottoinsieme di A (ossia B  ) si definisce il complementare di B rispetto ad A l'insieme differenza di A e B e si scrive Esempio A = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}, B = {1, 2, 5, 7} Complementazione

12. Proprietà di idempotenza Proprietà Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà distributiva Proprietà assorbimento Proprietà di De Morgan Proprietà involutoria A  A = A Intersezione A  A = A Unione A  A = B  A Intersezione A  B = B  A Unione ( A  B )  C = A  ( B  C ) Intersezione ( A  B )  C = A  ( B  C ) Unione A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) Intersezione A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) Unione A  ( A  B ) = A Intersezione A  ( A  B ) = A Unione

13. Siano X e Y insiemi. L'insieme di tutte le coppie ordinate che hanno il primo elemento appartenente ad X ed il secondo elemento appartenente a Y si dice prodotto cartesiano e si scrive X ´ Y = {( x , y ) : x  X , y  Y } Esempio Siano: X = {a, b}, Y = {  ,  ,  } X ´ Y = {(a,  ), (a,  ), (a,  ), (b,  ), (b,  ), (b,  )} Prodotto cartesiano