Operazioni con gli insiemi

1. Indice della lezione - Gli insiemi
Gli insiemi
Concetti fondamentali della teoria degli insiemi
Storia della teoria matematica degli
insiemi
Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Sottoinsiemi Insieme delle parti e partizioni
Lavorare con gli insiemi
Operazione fra insiemi Proprietà delle operazioni fra insiemi
Numero degli elementi di un insieme Insiemi finiti ed infiniti

2. Gli insiemi
Lavorare con gli insiemi

3. Operazioni fra insieme
L'intersezione tra due insiemi non vuoti A e B è una operazione che dà come risultato
l'insieme C, contenente tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B.
B}xeAx|{xBA=C ∈∈=∩
Esempio
Siano dati i due insiemi A={1,2,3,4} e
B={1,2,5,6}, l'insieme C=A∩B è
quell'insieme formato da tutti gli elementi
che appartengono sia ad A che a B, cioè
C={1,2}.
Intersezione

4. Operazioni fra insieme
Esempio
Siano dati i due insiemi A={3,4} e B={5,6}, l'insieme C=A∩B è quell'insieme formato da tutti gli
elementi che appartengono sia ad A che a B, cioè C=∅.
Se i due insiemi A e B sono non vuoti e disgiunti, l’insieme C, intersezione fra A e B,
corrisponde all’insieme vuoto ∅.

5. Operazioni fra insieme
Per l’operazione di intersezione valgono le seguenti proprietà:
BBABSe =∩⊆ alloraA acommutativproprietàABBA ∩=∩
toassorbimenφφ =∩A aidempotenzAAA =∩
( ) ( ) aassociativCBACBA ∩∩=∩∩ neutroelementoAUA =∩

6. Operazioni fra insieme
L'unione tra due insiemi non vuoti A e B è una operazione che dà come risultato
l'insieme C, contenente tutti gli elementi che appartengono ad A oppure a B.
B}xoAx|{xBA=C ∈∈=∪
Esempio
Siano dati due insiemi A={1,2,3,4} e
B={1,2,5,6}, l'insieme A∪B è
quell'insieme formato da tutti gli elementi
che appartengono ad A o a B, cioè
C={1,2,3,4,5,6}.
Unione

7. Operazioni fra insieme
Esempio
Siano dati i due insiemi A={3,4} e B={5,6}, l'insieme C=A∪B è quell'insieme formato da
tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B, cioè C={3,4,5,6}.
Se i due insiemi A e B sono non vuoti e disgiunti, l’insieme C, unione fra A e B,
corrisponde all’insieme contiene tutti gli elementi di A e B.

8. Operazioni fra insieme
Per l’operazione di unione valgono le seguenti proprietà:
ABABSe =∪⊆ alloraA acommutativproprietàABBA ∪=∪
neutroelementoA=∪ φA toassorbimenUUA =∪
aidempotenzAA =∪A ( ) ( ) aassociativCBACBA ∪∪=∪∪

9. Operazioni fra insieme
Siano A e B due insiemi non vuoti, l'operazione di differenza, A-B, restituisce un'insieme C
formato da tutti gli elementi di A che non sono elementi di B.
B}xeAx|{xBA=C ∉∈=−
Esempio
Siano dati i due insiemi A={1,2,3,4} e
B={1,2,5,6}, l’insieme C=A-B è
quell'insieme formato da tutti gli elementi
che appartengono solamente ad A,
quindi escludendo tutti quelli che
appartengono a B, cioè C={3,4}.
Se i due insiemi A e B sono non vuoti e disgiunti, l’insieme C, differenza fra A e B,
corrisponde all’insieme A.
Differenza
L’insieme differenza corrisponde all’insieme complementare BABA −=

10. Operazioni fra insieme
Per l’operazione di differenza valgono le seguenti proprietà:
ABCalloraA ==⊆ B-ABSe AA =
φ=U U=φ
φ=∩ AA
acommutativproprietàlavalenonABBA −≠−
UAA =∪

11. Proprietà delle operazioni fra insiemi
Le operazioni di unione ed intersezione sono commutative, mentre non lo è l’operazione
di differenza.
Nella tabella sono evidenziate le principali proprietà dell’unione e dell’intersezione, che
possono essere agevolmente verificate tramite i diagrammi di Eulero-Venn.
Proprietà delle operazioni fra insiemi
Proprietà Unione Intersezione
Elemento neutro
Commutativa
Associativa
Idempotenza
Assorbimento
A=∪φA
ABBA ∪=∪
AA =∪A
( ) ( )CBBA ∪∪=∪∪ AC
UU =∪A
AU =∩A
ABBA ∩=∩
( ) ( )CBBA ∩∩=∩∩ AC
AA =∩A
φφ =∩A

12. Proprietà delle operazioni fra insiemi
Le operazioni di unione ed intersezione sono unite dalle seguenti proprietà:
Le due proprietà possono essere dimostrate con l’aiuto dei diagrammi di Eulero-Venn.
( ) ( ) ( )CA ∩∪∩=∪∩ BACBA
( ) ( ) ( )CA ∪∩∪=∩∪ BACBA
Proprietà distributiva rispetto all’unione
Proprietà distributiva rispetto all’intersezione

13. Proprietà delle operazioni fra insiemi
Proprietà distributiva rispetto all’unione
Proprietà distributiva rispetto all’intersezione

14. Proprietà delle operazioni fra insiemi
Valgono inoltre le seguenti leggi di De Morgan:
Anche queste due proprietà possono essere dimostrate con l’aiuto dei diagrammi di
Eulero-Venn.
BABA ∩=∪
BABA ∪=∩
prima legge
seconda legge

15. Proprietà delle operazioni fra insiemi
Prima legge di De Morgan
Seconda legge di De Morgan

16. Numero degli elementi di un insieme
In realtà, nel contare gli elementi di un insieme, li si confronta con un altro insieme del
quale si conosce già il numero degli elementi. L’uomo sin dall’antichità ha considerato
questo metodo usando le dita, i sassolini, il pallottoliere ed altro ancora.
Definizione
Due insiemi finiti A e B hanno lo stesso
numero di elementi se è possibile
associare ad ogni elemento di A uno ed un
solo elemento di B e viceversa.
Si chiama potenza di un insieme il numero degli elementi di un insieme,
inoltre due insiemi aventi lo stesso numero di elementi si dicono equipotenti.
Insiemi finiti
Per conoscere il numero degli elementi appartenenti ad un insieme, il modo più semplice
è quello di contarli.

17. Numero degli elementi di un insieme
Siano A e B due insiemi finiti con , la potenza di A è maggiore della potenza di
B poiché esiste almeno un elemento di A, che non appartiene a B, al quale non
corrisponde nessun elemento di B.
AB ⊂
Esempi
• In una azienda, il numero dei dipendenti non sposati è sicuramente minore a tutti i
dipendenti dell’azienda.
• In una scuola, il numero delle professoresse è sicuramente minore del numero di tutti i
professori che insegnano nell’istituto.

18. Numero degli elementi di un insieme
Nn∈
n2 Nn∈ n
n
2........12108642
..........
...........654321

L’insieme dei numeri naturali N è infinito, come l’insieme dei numeri pari P.
Considerato l’insieme dei numeri naturali N
ed il suo sottoinsieme proprio dei numeri
pari P, è possibile associare ad ogni
numero naturale il corrispondente
numero pari dato da con .
Insiemi infiniti
La successione dei numeri naturali N è un esempio di insieme con un numero infinito di
elementi, poiché, considerato un qualsiasi elemento n, anche molto grande, è sempre
possibile trovare l’elemento successivo ad esso, n+1.
Definizione
Un insieme è formato da un numero infinito di elementi quando è possibile porlo in
corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

19. Numero degli elementi di un insieme
Si dicono insiemi infiniti numerabili tutti gli insiemi che possono essere messi in
corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali; inoltre sono numerabili tutti
gli insiemi infiniti discreti, cioè quegli insiemi in cui ad ogni elemento è possibile
associare un successivo.
{ };.......2;;......12;10;8;6;4;2;0 += nnP
{ };.......2;;......13;11;9;7;5;3;1 += nnD
{ };.......3;;......21;18;15;12;9;6;3 += nnT
{ };.......4;;......28;24;20;16;12;8;4 += nnQ
Insiemi numerabili
Sono tali gli insiemi dei:
• numeri pari
• numeri dispari
• multipli di 3
• multipli di 4