2013年度春学期 画像情報処理 第１１回「マセマティカル・モルフォロジ／Granulometryとスケルトン」
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関西大学総合情報学部 2013年度春学期 画像情報処理 第１１回／ 第３部・マセマティカル・モルフォロジ「Granulometryとスケルトン」 担当・浅野晃 2013/6/19
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2013年度春学期 画像情報処理 第１１回「マセマティカル・モルフォロジ／Granulometryとスケルトン」
- 6. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ ある基本図形とその相似拡大図形との倍率 図形B，サイズrとするとき，r倍のB，すなわち rBは m の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円 形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を rB = {rb|b ∈ B} 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 は，これではおかしなことになります。離散集合 B に のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画 rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回).
- 7. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ ある基本図形とその相似拡大図形との倍率 図形B，サイズrとするとき，r倍のB，すなわち rBは m の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円 形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を rB = {rb|b ∈ B} 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 は，これではおかしなことになります。離散集合 B に のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画 rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回). B
- 8. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ ある基本図形とその相似拡大図形との倍率 図形B，サイズrとするとき，r倍のB，すなわち rBは m の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円 形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を rB = {rb|b ∈ B} 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 は，これではおかしなことになります。離散集合 B に のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画 rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回). B b
- 9. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ ある基本図形とその相似拡大図形との倍率 図形B，サイズrとするとき，r倍のB，すなわち rBは m の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円 形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を rB = {rb|b ∈ B} 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 は，これではおかしなことになります。離散集合 B に のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画 rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回). B b 2b
- 10. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ ある基本図形とその相似拡大図形との倍率 図形B，サイズrとするとき，r倍のB，すなわち rBは m の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円 形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を rB = {rb|b ∈ B} 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 は，これではおかしなことになります。離散集合 B に のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画 rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回). B 2B b 2b
- 11. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散的な図形の場合は 連続な場合と同じ定義ではまずい より一般的には，ある図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r rB = {rb|b ∈ B} と定義します。B をサイズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r と しかし，離散画像の場合は，これではおかしなことになります。 2B を定義すると，図 1 の中のように，すき間が空いてしまいます。そ 集合和を使って rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回 図 1 の右は，この定義による 2B を示しています。 ここで注意したいのは，このように相似拡大を定義した場合，図 型のようですが，2B を見るとわかるように実はひし形であることで きる図形には限界があり，「十字」はこの画素数では表現できないこ Granulometry とサイズ分布 B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = granul
- 12. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散的な図形の場合は 連続な場合と同じ定義ではまずい より一般的には，ある図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r rB = {rb|b ∈ B} と定義します。B をサイズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r と しかし，離散画像の場合は，これではおかしなことになります。 2B を定義すると，図 1 の中のように，すき間が空いてしまいます。そ 集合和を使って rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回 図 1 の右は，この定義による 2B を示しています。 ここで注意したいのは，このように相似拡大を定義した場合，図 型のようですが，2B を見るとわかるように実はひし形であることで きる図形には限界があり，「十字」はこの画素数では表現できないこ Granulometry とサイズ分布 B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = granul B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = gran
- 13. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散的な図形の場合は 連続な場合と同じ定義ではまずい より一般的には，ある図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r rB = {rb|b ∈ B} と定義します。B をサイズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r と しかし，離散画像の場合は，これではおかしなことになります。 2B を定義すると，図 1 の中のように，すき間が空いてしまいます。そ 集合和を使って rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回 図 1 の右は，この定義による 2B を示しています。 ここで注意したいのは，このように相似拡大を定義した場合，図 型のようですが，2B を見るとわかるように実はひし形であることで きる図形には限界があり，「十字」はこの画素数では表現できないこ Granulometry とサイズ分布 B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = granul B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = gran隙間があいてしまう
- 14. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散的な図形の場合は 連続な場合と同じ定義ではまずい より一般的には，ある図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r rB = {rb|b ∈ B} と定義します。B をサイズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r と しかし，離散画像の場合は，これではおかしなことになります。 2B を定義すると，図 1 の中のように，すき間が空いてしまいます。そ 集合和を使って rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回 図 1 の右は，この定義による 2B を示しています。 ここで注意したいのは，このように相似拡大を定義した場合，図 型のようですが，2B を見るとわかるように実はひし形であることで きる図形には限界があり，「十字」はこの画素数では表現できないこ Granulometry とサイズ分布 B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = granul B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = gran隙間があいてしまう こうすればいい
- 15. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散的な図形の場合は 連続な場合と同じ定義ではまずい より一般的には，ある図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r rB = {rb|b ∈ B} と定義します。B をサイズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r と しかし，離散画像の場合は，これではおかしなことになります。 2B を定義すると，図 1 の中のように，すき間が空いてしまいます。そ 集合和を使って rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回 図 1 の右は，この定義による 2B を示しています。 ここで注意したいのは，このように相似拡大を定義した場合，図 型のようですが，2B を見るとわかるように実はひし形であることで きる図形には限界があり，「十字」はこの画素数では表現できないこ Granulometry とサイズ分布 B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = granul B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = gran隙間があいてしまう る「サイズ」とは，ある基本図形（＝集合）とその相似拡大図形との倍率 1cm の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円は「サイズ２の円 図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を，B が連続集合のと rB = {rb|b ∈ B} イズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 合は，これではおかしなことになります。離散集合 B に対して (1) 式のよ 中のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画像の場合は Minko rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回). よる 2B を示しています。 ，このように相似拡大を定義した場合，図 1 下段の例の場合，B を見ると こうすればいい
- 16. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散的な図形の場合は 連続な場合と同じ定義ではまずい より一般的には，ある図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r rB = {rb|b ∈ B} と定義します。B をサイズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r と しかし，離散画像の場合は，これではおかしなことになります。 2B を定義すると，図 1 の中のように，すき間が空いてしまいます。そ 集合和を使って rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回 図 1 の右は，この定義による 2B を示しています。 ここで注意したいのは，このように相似拡大を定義した場合，図 型のようですが，2B を見るとわかるように実はひし形であることで きる図形には限界があり，「十字」はこの画素数では表現できないこ Granulometry とサイズ分布 B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = granul B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = gran B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) 画像 隙間があいてしまう る「サイズ」とは，ある基本図形（＝集合）とその相似拡大図形との倍率 1cm の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円は「サイズ２の円 図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を，B が連続集合のと rB = {rb|b ∈ B} イズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 合は，これではおかしなことになります。離散集合 B に対して (1) 式のよ 中のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画像の場合は Minko rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回). よる 2B を示しています。 ，このように相似拡大を定義した場合，図 1 下段の例の場合，B を見ると こうすればいい
- 17. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散的な図形の場合は 連続な場合と同じ定義ではまずい より一般的には，ある図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r rB = {rb|b ∈ B} と定義します。B をサイズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r と しかし，離散画像の場合は，これではおかしなことになります。 2B を定義すると，図 1 の中のように，すき間が空いてしまいます。そ 集合和を使って rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回 図 1 の右は，この定義による 2B を示しています。 ここで注意したいのは，このように相似拡大を定義した場合，図 型のようですが，2B を見るとわかるように実はひし形であることで きる図形には限界があり，「十字」はこの画素数では表現できないこ Granulometry とサイズ分布 B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = granul B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = gran B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) 画像 隙間があいてしまう る「サイズ」とは，ある基本図形（＝集合）とその相似拡大図形との倍率 1cm の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円は「サイズ２の円 図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を，B が連続集合のと rB = {rb|b ∈ B} イズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 合は，これではおかしなことになります。離散集合 B に対して (1) 式のよ 中のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画像の場合は Minko rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回). よる 2B を示しています。 ，このように相似拡大を定義した場合，図 1 下段の例の場合，B を見ると こうすればいい
- 18. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散的な図形の場合は 連続な場合と同じ定義ではまずい より一般的には，ある図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r rB = {rb|b ∈ B} と定義します。B をサイズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r と しかし，離散画像の場合は，これではおかしなことになります。 2B を定義すると，図 1 の中のように，すき間が空いてしまいます。そ 集合和を使って rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回 図 1 の右は，この定義による 2B を示しています。 ここで注意したいのは，このように相似拡大を定義した場合，図 型のようですが，2B を見るとわかるように実はひし形であることで きる図形には限界があり，「十字」はこの画素数では表現できないこ Granulometry とサイズ分布 B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = granul B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = gran B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) 画像 隙間があいてしまう る「サイズ」とは，ある基本図形（＝集合）とその相似拡大図形との倍率 1cm の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円は「サイズ２の円 図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を，B が連続集合のと rB = {rb|b ∈ B} イズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 合は，これではおかしなことになります。離散集合 B に対して (1) 式のよ 中のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画像の場合は Minko rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回). よる 2B を示しています。 ，このように相似拡大を定義した場合，図 1 下段の例の場合，B を見ると こうすればいい
- 19. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 離散的な図形の場合は 連続な場合と同じ定義ではまずい より一般的には，ある図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r rB = {rb|b ∈ B} と定義します。B をサイズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r と しかし，離散画像の場合は，これではおかしなことになります。 2B を定義すると，図 1 の中のように，すき間が空いてしまいます。そ 集合和を使って rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回 図 1 の右は，この定義による 2B を示しています。 ここで注意したいのは，このように相似拡大を定義した場合，図 型のようですが，2B を見るとわかるように実はひし形であることで きる図形には限界があり，「十字」はこの画素数では表現できないこ Granulometry とサイズ分布 B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = granul B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 画像 構造要素 オープニ = gran B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (a) 画像 隙間があいてしまう る「サイズ」とは，ある基本図形（＝集合）とその相似拡大図形との倍率 1cm の円形を「サイズ１の円」とすると，直径 2cm の円は「サイズ２の円 図形 B に対して，倍率を r とするとき，「r 倍の B」を，B が連続集合のと rB = {rb|b ∈ B} イズ 1 の図形とするとき，rB のサイズは r となります。 合は，これではおかしなことになります。離散集合 B に対して (1) 式のよ 中のように，すき間が空いてしまいます。そこで，離散画像の場合は Minko rB = B ⊕ B ⊕ · · · ⊕ B ((r − 1) 回). よる 2B を示しています。 ，このように相似拡大を定義した場合，図 1 下段の例の場合，B を見ると こうすればいい
- 20. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ちょっと困ることも(a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 図 1: 離散画像の場合のサイズの定義。(a) 正方形。 (b) ひし形。 画像 Granulometry で得られる各画像 XB, X2B, X3B, . . . につい
- 21. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ちょっと困ることも Bは十字形ではなく，ひし形 (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 図 1: 離散画像の場合のサイズの定義。(a) 正方形。 (b) ひし形。 画像 Granulometry で得られる各画像 XB, X2B, X3B, . . . につい
- 22. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ちょっと困ることも Bは十字形ではなく，ひし形 (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 図 1: 離散画像の場合のサイズの定義。(a) 正方形。 (b) ひし形。 画像 Granulometry で得られる各画像 XB, X2B, X3B, . . . につい おもったような図形が表せない
- 23. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. ちょっと困ることも Bは十字形ではなく，ひし形 (a) B {2b | b ∈ B} 2B = B⊕B (b) 図 1: 離散画像の場合のサイズの定義。(a) 正方形。 (b) ひし形。 画像 Granulometry で得られる各画像 XB, X2B, X3B, . . . につい おもったような図形が表せない サイズの定義は，これに限らない（後述）
- 29. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Granulometryとサイズ分布 図形の「形状特徴」と「大きさ」を数値で表すもの Bの相似形（倍率＝「サイズ」） 1B 2B 3B 4B 5B 構造要素(B)図形
- 30. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Granulometryとサイズ分布 図形の「形状特徴」と「大きさ」を数値で表すもの Bの相似形（倍率＝「サイズ」） 1B 2B 3B 4B 5B 構造要素(B)図形 それぞれ opening
- 31. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Granulometryとサイズ分布 図形の「形状特徴」と「大きさ」を数値で表すもの Bの相似形（倍率＝「サイズ」） 1B 2B 3B 4B 5B 構造要素(B)図形 それぞれ opening
- 32. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Granulometryとサイズ分布 図形の「形状特徴」と「大きさ」を数値で表すもの Bの相似形（倍率＝「サイズ」） 1B 2B 3B 4B 5B 構造要素(B)図形 それぞれ opening
- 33. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Granulometryとサイズ分布 図形の「形状特徴」と「大きさ」を数値で表すもの Bの相似形（倍率＝「サイズ」） 1B 2B 3B 4B 5B 構造要素(B)図形 それぞれ opening
- 34. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Granulometryとサイズ分布 図形の「形状特徴」と「大きさ」を数値で表すもの Bの相似形（倍率＝「サイズ」） 1B 2B 3B 4B 5B 構造要素(B)図形 それぞれ opening
- 35. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. Granulometryとサイズ分布 図形の「形状特徴」と「大きさ」を数値で表すもの Bの相似形（倍率＝「サイズ」） 1B 2B 3B 4B 5B 構造要素(B)図形 このopeningの並びがgranulometry サイズに各openingの相対面積を対応させたものが サイズ分布関数 それぞれ opening
- 42. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数 0 1 2 3 4 5 6 差分の相対面積 サイズ 画像間の 差分 5B 1Bで opening 2B 3B 4B原図形
- 43. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数 0 1 2 3 4 5 6 差分の相対面積 サイズ 画像間の 差分 5B 1Bで opening 2B 3B 4B原図形
- 44. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数 0 1 2 3 4 5 6 差分の相対面積 サイズ 画像間の 差分 サイズ密度関数 構造要素Bに 対応する 5B 1Bで opening 2B 3B 4B原図形
- 45. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数 0 1 2 3 4 5 6 差分の相対面積 サイズ 画像間の 差分 サイズ密度関数 構造要素Bに 対応する 5B 1Bで opening 2B 3B 4B原図形
- 46. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数 0 1 2 3 4 5 6 差分の相対面積 サイズ 画像間の 差分 サイズ密度関数 構造要素Bに 対応する 5B 1Bで opening 2B 3B 4B原図形 3Bよりも大きい （除かれない）が 4Bよりも小さい （除かれる）部分
- 47. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数の評価 サイズ密度関数は，確率密度関数と同じ性質をもつ サイズの平均 すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す ，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， 最大のサイズを表します。 E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1) サイズのエントロピー 義すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す 下，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， る最大のサイズを表します。 n) E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 造要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 分散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 す。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 ー (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 構造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， の B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1)
- 48. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数の評価 サイズ密度関数は，確率密度関数と同じ性質をもつ サイズの平均 すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す ，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， 最大のサイズを表します。 E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1) サイズ サイズのエントロピー 義すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す 下，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， る最大のサイズを表します。 n) E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 造要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 分散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 す。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 ー (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 構造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， の B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1)
- 49. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数の評価 サイズ密度関数は，確率密度関数と同じ性質をもつ サイズの平均 すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す ，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， 最大のサイズを表します。 E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1) サイズrの 密度関数の値 サイズ サイズのエントロピー 義すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す 下，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， る最大のサイズを表します。 n) E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 造要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 分散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 す。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 ー (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 構造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， の B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1)
- 50. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数の評価 サイズ密度関数は，確率密度関数と同じ性質をもつ サイズの平均 すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す ，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， 最大のサイズを表します。 E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1) サイズrの 密度関数の値 サイズ 高次のモーメントも 計算できる (granulometric moments) サイズのエントロピー 義すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す 下，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， る最大のサイズを表します。 n) E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 造要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 分散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 す。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 ー (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 構造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， の B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1)
- 51. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ密度関数の評価 サイズ密度関数は，確率密度関数と同じ性質をもつ サイズの平均 すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す ，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， 最大のサイズを表します。 E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1) サイズrの 密度関数の値 サイズ 高次のモーメントも 計算できる (granulometric moments) サイズのエントロピー 義すると，確率密度関数の場合と同様に，次のような量を定義して画像を評価す 下，離散の場合のみ示しますが，連続の場合も総和が積分になるだけです。また， る最大のサイズを表します。 n) E(X, B) = N r=0 rpX,B(r). (6) 造要素 B によるサイズの平均を意味します。平均はすなわち 1 次モーメントです 分散），さらに高次のモーメントも定義でき，これらによってサイズ密度関数を特 す。これらのモーメントを granulometric moments といいます。 ー (entropy) H(X, B) = − N r=0 log pX,B(r). (7) 構造要素 B に対する「平均粗さ (roughness)」を表します。H(X, B) = 0 のときは， の B しか含まないことになり，粗さは最低です。H(X, B) = log(N + 1)/(N + 1) 各サイズをどのくらいまんべんなく含んでいるか
- 52. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 こういう操作ができるためには， XnB ⊇ X(n+1)Bでなければならない 画像間の 差分 5B 1Bで opening 2B 3B 4B原図形
- 53. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 こういう操作ができるためには， XnB ⊇ X(n+1)Bでなければならない 画像間の 差分 5B 1Bで opening 2B 3B 4B原図形
- 54. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 こういう操作ができるためには， XnB ⊇ X(n+1)Bでなければならない 画像間の 差分 5B 1Bで opening 2B 3B 4B原図形
- 55. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 こういう操作ができるためには， XnB ⊇ X(n+1)Bでなければならない 画像間の 差分 5B 1Bで opening 2B 3B 4B原図形 その十分条件は nB ⊆ (n+1)B ではない
- 56. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 もしこうなら， nB ⊆ (n+1)B ではあるが， nB (n+1)B
- 57. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 もしこうなら， nB ⊆ (n+1)B ではあるが， nB (n+1)B X がこうなら
- 58. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 もしこうなら， nB ⊆ (n+1)B ではあるが， nB (n+1)B X がこうなら XnB X(n+1)B
- 59. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 こうなって，XnB ⊇ X(n+1)Bにならない もしこうなら， nB ⊆ (n+1)B ではあるが， nB (n+1)B X がこうなら XnB X(n+1)B
- 60. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 こうなって，XnB ⊇ X(n+1)Bにならない もしこうなら， nB ⊆ (n+1)B ではあるが， nB (n+1)B X がこうなら XnB X(n+1)B この部分が nBよりも 小さいのが原因
- 61. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 可能なサイズの定義 こうなって，XnB ⊇ X(n+1)Bにならない もしこうなら， nB ⊆ (n+1)B ではあるが， nB (n+1)B X がこうなら XnB X(n+1)B この部分が nBよりも 小さいのが原因 正しい十分条件は (n+1)BnB = (n+1)B 「 (n+1)Bは nB-open である」
- 62. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ分布の応用例 A. Asano, S. Hayashi, M. Muneyasu, M. Furumura, and J. Nakayama, "Application of morphological size distribution analysis to the evaluation of anti-aging treatments for skin rejuvenation," Proc. SCIS & ISIS 2006
- 63. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ分布の応用例 真皮コラーゲン画像 光・電磁波を 照射して キメの細かさ を取り戻す A. Asano, S. Hayashi, M. Muneyasu, M. Furumura, and J. Nakayama, "Application of morphological size distribution analysis to the evaluation of anti-aging treatments for skin rejuvenation," Proc. SCIS & ISIS 2006
- 64. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ分布の応用例 真皮コラーゲン画像 ２値化画像 照射前 光・電磁波を 照射して キメの細かさ を取り戻す A. Asano, S. Hayashi, M. Muneyasu, M. Furumura, and J. Nakayama, "Application of morphological size distribution analysis to the evaluation of anti-aging treatments for skin rejuvenation," Proc. SCIS & ISIS 2006
- 65. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ分布の応用例 真皮コラーゲン画像 ２値化画像 サイズ分布 照射前 光・電磁波を 照射して キメの細かさ を取り戻す ←細かい 粗い→ A. Asano, S. Hayashi, M. Muneyasu, M. Furumura, and J. Nakayama, "Application of morphological size distribution analysis to the evaluation of anti-aging treatments for skin rejuvenation," Proc. SCIS & ISIS 2006
- 66. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ分布の応用例 真皮コラーゲン画像 ２値化画像 サイズ分布 照射前 光のみ，３週間後 光・電磁波を 照射して キメの細かさ を取り戻す ←細かい 粗い→ A. Asano, S. Hayashi, M. Muneyasu, M. Furumura, and J. Nakayama, "Application of morphological size distribution analysis to the evaluation of anti-aging treatments for skin rejuvenation," Proc. SCIS & ISIS 2006
- 67. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. サイズ分布の応用例 真皮コラーゲン画像 ２値化画像 サイズ分布 照射前 光のみ，３週間後 光と電磁波 ３週間後 光・電磁波を 照射して キメの細かさ を取り戻す ←細かい 粗い→ A. Asano, S. Hayashi, M. Muneyasu, M. Furumura, and J. Nakayama, "Application of morphological size distribution analysis to the evaluation of anti-aging treatments for skin rejuvenation," Proc. SCIS & ISIS 2006
- 76. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. スケルトン 図形の中心線を求める 原点の集合＝ スケルトン 原図形 構造要素のできるだけ 大きな相似形を配置 構造要素
- 78. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. スケルトン スケルトンのうち，サイズnの 相似形を貼付ける点（スケルトン部分関数） とは「骨格」の意味で，モルフォロジーでは画像中の物体を削り取っ このような骨組みを求める方法には，さまざまなものがありますが， ンでは，スケルトンから逆に物体が再現できるという特徴があります 構造要素 B によるスケルトン SK(X, B) は次のように定義されます Sn(X, B) = (X n ˇB) − (X n ˇB)B, SK(X, B) = n Sn(X, B). らは物体は再現できませんが，Sn(X, B) からは物体が再現できます。 含むスケルトン部分関数の n の値を対応させたものを，medial axis らの物体 X の再現は，次の計算で行なえます。 X = n n (X, B) ⊕ nB . 度春学期） 第１１回 (2013. 6. 19) http://racco.mikeneko.jp/ 跡」をサイズ 1 の構造要素 1B でオープニングしたものです。というこ 以上なので，(X n ˇB) の内部にその中心が位置するような nB のうち が位置するようなものは，それよりもサイズが 1 以上大きい相似形を X 全体を覆うだけの余裕があります。 したがって，(X n ˇB) から (X n ˇB)B を取り除いた (X n ˇB) − ( 体 X の隅に配置されているために，X の内部で n より大きなサイズの の」，すなわち物体 X を構成するのに必須の相似形の中心の位置で，こ + X nB X o– nB B (X o– nB) – (X o– nB)B V V V nB (n+α)B ++ この相似形nBは，Bの内部の それより大きな相似形で覆 うことができない この相似形nBは，Bの内部の それより大きな相似形 (n+α)Bで覆うことができる
- 80. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. スケルトンの応用 (a) 皮質骨形状 ○ △ Taguchi et al. BONE, 2008 歯科パノラマX線画像を用いた骨粗鬆症診断
- 81. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. スケルトンの応用 (a) 皮質骨形状 ○ △ Taguchi et al. BONE, 2008 スケルトン化で自動診断 ○ Nakamoto et al. Dentomaxillofacial Radiology, 2008 歯科パノラマX線画像を用いた骨粗鬆症診断
- 82. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. スケルトンの応用 (a) 皮質骨形状 ○ △ Taguchi et al. BONE, 2008 スケルトン化で自動診断 ○ Nakamoto et al. Dentomaxillofacial Radiology, 2008 骨梁の密度・方向 ○ Asano et al. ICPR, 2006 歯科パノラマX線画像を用いた骨粗鬆症診断
- 83. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. スケルトンの応用 (a) 皮質骨形状 ○ △ Taguchi et al. BONE, 2008 スケルトン化で自動診断 ○ Nakamoto et al. Dentomaxillofacial Radiology, 2008 骨梁の密度・方向 ○ Asano et al. ICPR, 2006 皮質骨厚み Arifin et al. Osteoporosis International, 2006 薄いと骨粗鬆症 歯科パノラマX線画像を用いた骨粗鬆症診断
- 84. 2013年度春学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. スケルトンの応用 (a) 皮質骨形状 ○ △ Taguchi et al. BONE, 2008 スケルトン化で自動診断 ○ Nakamoto et al. Dentomaxillofacial Radiology, 2008 骨梁の密度・方向 ○ Asano et al. ICPR, 2006 皮質骨厚み Arifin et al. Osteoporosis International, 2006 薄いと骨粗鬆症 歯科パノラマX線画像を用いた骨粗鬆症診断