bdt dua ve mot bien

1. Nguyen Tât Thu
1
www.VNMATH.com
PHƯƠNG PHÁP ðƯA VÊ MOT BIÊN
TRONG CÁC BÀI TOÁN CC TR VÀ CH NG MINH BðT
BðT và cc tr thưng gây khó khăn cho không ít thí sinh trong các kì thi ðH – Cð . Trong bài
viêt này tôi xin gi
i thieu v
i các b

2. n mot kĩ thuat quen thuoc mà chúng ta thưng gap trong chng
minh BDT ñó là kĩ thuat “ðưa vê mot biên”
Ví d
1. Cho 5
x y x + y = . Chng minh : 4 1
0, 0 và
4
+ ³ 5
(1)
x 4y
Li gi

3. i: Ta có 5
x + y = ⇒ 4 y = 5 - 4 1
4
x 4
⇒ Û + ³
(1) 5
-
x 5 4x
.
Xét ( ) 4 1 5
, 0;
( )
-   f x x
5 4 4
x x
 
= + Î  
( ) 2 2
4 4
⇒ = - + = Û =
' , ' 0 1
f x f x x
( -
)
x x
5 4
T bng biên thiên ta ñưc: ( ) ( )
min f x f 1 5
 5

 0;

 4

= = , t ñó suy ra 4 1
+ ³ 5
.
x 4y
ðang thc xy ra khi 1
x = 1,
y = .
4
Ví d
2. Cho x,y Î -3;2 tha 3 3 x + y = 2. Tìm GTLN, GTNN ca bieu thc
2 2 P = x + y .
Li gi

4. i.
T gi thiêt ta suy ra ñưc x = 3 2 - y3 thay vào P ta ñưc
2 P = 3 (2 - y3)2 + 3 ( y3 )= 3 (2 - t)2 + 3 t2 = f (t)
Trong ñó ta ñã ñat t = y 3 . Vì x Î -3;2 ⇒ x 3 Î -27;8 ⇒ -27 £ 2 - y 3 £ 8 Û -6 £ y 3 £ 29 ,
do y 3 Î -27;8 ⇒t Î -6;8 .
Xét hàm sô trên 2 2
f (t) D = -6;8 , ta có:
= -
3 3
'( )
3 3. 2
f t
-
t t
3 3 ⇒ f '(t) = 0 Û 2 - t = t Û t = 1.
Da vào bng biên thiên ta có ñưc
3 min min ( ) (0) (2) 4
P = f t = f = f =
D
ð

5. t ñưc khi { 3 } x,y Î 0, 2 .
t -6 0 1 2 8
f ' - || + 0 - || +
f
P = f t = f - = + . ð

6. t ñưc khi { 3 } x,y Î - 3;2 .
3 max max ( ) ( 6) 4 36
D
Nhan xét:
* Cách gii trên ch ñòi hi chúng ta kĩ thuat kho sát hàm sô. Cái khó ca bài toán trên là ñiêu kien
h

7. n chê ca x,y Î -3;2 ! Nêu x,y không b ràng buoc bi ñiêu kien này thì bài toán tr nên ñơn
gin và ta có the gii bài toán trên theo cách chuyen qua tong và tích ca x,y .

8. Nguyen Tât Thu
2
ðat
www.VNMATH.com
 3
-   3 - =   = 3
= + = Û - ⇒   ⇒ £ Û £
2 3
 ³  ³ - 
2
2
3 2 3 8 , 0 0 2
4 2 3
4
3
a
a ab b a a x y b xy a a
a b a a
a
a
Khi ñó:
3 2
= 2 - 2 = 2 - 2 a - 4 = a
+ 4
= ( )
.
P a b a f a
3 3 3
a a
Xét hàm sô f (a) v
i a ÎD = (0;2] có:
3
= - = -
2 a 4 2 a
4
2 2
'( )
3 3 3
f a
a a
3 ⇒ f '(a) = 0 Ûa = 2 . Lap bng biên thiên ta có ngay 3 3 minP = f ( 2) = 4
ð

9. t ñưc khi { 3 } x,y Î 0, 2 .
lim ( )
a
0
f a P
® +
= +¥ ⇒ không có GTLN.
* Khi gap bài toán mà các bieu thc có trong bài toán là các bieu thc ñôi xng hai biên thì ta có the
chuyen vê bài toán ca tong và tích hai biên ñó v
i lưu ý 2 S ³ 4P .
Ví d
3. Cho a,b,c là các sô thc dương tha mãn: ab + a + b = 3 . Chng minh:
3 a + 3 b + ab
£ a 2 + 3
b
2 +
1 1 2
+ + +
b a a b
(1).
Li gi

10. i.
Nhan thây các bieu thc có trong bài toán là các bieu thc ñôi xng hai biên a,b nên ta ñat
t = a + b ⇒ab = 3 - t và a2 + b2 = t2 - 2(3 - t) = t2 + 2t - 6
Vì (a + b)2 ³ 4ab ⇒ t2 ³ 4(3 - t)Û t2 + 4t - 12 ³ 0 Û t ³ 2 (do t 0 )
Khi ñó :
2 2
Û + + + + - + £
3( a b ) 3( a b ) ab
2 2 3
(1) ( a b
)
+ + +
( a 1)( b 1) a b
2
2
3 6 18 3 3 2 3
Û t + t - + t + - t
- t - 12
2 t
+ 6
£ 2 4 t
2
Û - t + t + £ 4
(1.1)
t
Xét hàm sô : 2 12
= - + + v
i t ³ 2 . Ta có :
f (t) t t
t
12
= - + - ³
f '(t) 2t 1 0 t 2
2
t
⇒ f (t) ³ f (2) = 4 t ³ 2 ⇒ (1.1) ñúng⇒ñpcm. ðang thc xy ra Û a = b = 1.
Ví d
4. Cho các sô thc x, y thay ñoi và tho mãn + 2 + ³ (x y) 4xy 2 . Tìm giá tr nh nhât ca
bieu thc : = 4 + 4 + 2 2 - 2 + 2 + A 3(x y x y ) 2(x y ) 1.
Li gi

11. i.
Ta có:
 
( x + y ) 3
+ 4 xy
³ 2
 ⇒ + 3 + + 2
- ³
+ 
2
- ³ ( ) ( ) 2 0
( ) 4 0
x y x y
x y xy
⇒ x + y ³ 1.
( 4 4 2 2 ) 2 2 A = 3 x + y + x y - 2(x + y ) + 1 2 2 2 2 2 2 2 = 3 (x + y ) - x y  - 2(x + y ) + 1
 ( x 2 + 2 2
 ³  2 + 2 2 - y
)  - 2 + 2
+
3 ( x y ) 2( x y
) 1
4
 
9 2 2 2 2 2
( ) 2( ) 1
4
= x + y - x + y +

12. Nguyen Tât Thu
3
ðat
= 2 + 2 ³ ( x + y
) 2
³ 1
1
t x y
2 2
⇒ t ³ và 2 9
2
A ³ t - 2 t + 1
.
4
Xét hàm sô: 9 2 1
f t = t - t + t ³ có 9 1 1 9
( ) 2 1,
4 2
f '( t ) = t - 2 0 t ³ ⇒ f ( t ) ³ f ( )
=
2 2 2 16
⇒ A ³ . ðang thc xy ra 1
9
16
Û x = y = . Vay giá tr nh nhât ca A bang 9
2
16
.
Ví d
5. Cho hai sô thc a,b ³ 0 . Chng minh : a4 + b4 ³ a3b + b3a (1).
Li gi

13. i :
* Nêu mot trong hai sô a,b bang 0 thì (1) luôn ñúng.
* V
i a ¹ 0 , ñat b = ta . Khi ñó (1) tr thành
a4(1 + t4 ) ³ a4(t + t3) Û t4 - t3 - t + 1 ³ 0 .
Xét hàm sô f (t) = t4 - t3 - t + 1, có :
f '(t) = 4t3 - 3t2 - 1 = (t - 1)(4t2 + t + 1)⇒ f '(t) = 0 Û t = 1.
Lap bng biên thiên, t ñó suy ra f (t) ³ f (0) = 0 ñpcm.
Nhan xét : * Bài toán trên ta ch cân biên ñoi trc tiêp là có ñưc kêt qu
* Cách gii trên ñưc trình bày ñe lưu ý v
i chung ta vê mot tính chât ñó là tính chât ca bieu thc
ñang câp hai biên.
C the :Bieu thc f (x,y) ñưc g#i là bieu thc ñang câp bac k nêu : f ( mx , my ) = m k f ( x , y ) .
Khi gap bài toán chng minh BðT hai biên có d

14. ng : f ( x , y
)
( , )
p
g x y
³ , trong ñó f (x,y) và g(x,y) là
nh$ng bieu thc ñang câp bac k hai biên, ta có the ñat x = ty (y ¹ 0) . Khi ñó BðT cân chng
minh tr thành : f ( t
,1)
( ,1)
p
g t
³ ñây là BðT mot biên. ðe chng minh BðT này ta có the s% dng
phương pháp kho sát hàm sô.
* Khi gap bieu thc ñang câp ba biên a,b,c ta có the ñat b = xa,c = ya và chuyen vê bài toán hai
biên.
Ví d
6. Cho hai sô thc x,y thay ñoi và tha mãn he thc x2 + y2 = 1. Tìm GTLN, GTNN ca
bieu thc
2
2
6
= +
x xy
+ +
1 2 2
P
xy y
( B – 2008 ).
Li gi

15. i:
Ta có:
2 2
= + = +
6 6
x xy x xy
2 2 2
+ + + +
1 2 2 2 3
P
xy y x xy y
* Nêu y = 0 ⇒ P = 1.
2 2 2 2
* Nêu y ¹ 0 thì ñat : x = ty ⇒ P = t y + 6 ty = t + 6
t
=
f ( t
) 2 2 2 2 2
+ + + +
2 3 2 3
t y ty y t t
Ta có : ( )
( ) 2
= - + + = Û = = -
4 t 6 t
18 3
' , ' 0 3,
f t f t t t
( )
2 1 2
2
2
+ +
2 3
t t
, lim ( ) 1
®±¥
=
t
f t
www.VNMATH.com

16. Nguyen Tât Thu
4
www.VNMATH.com
 
-  £ £ ⇒ - £ £
 
Lap bng biên thiên ta ñưc: 3 f f ( t ) f ( 3 ) , t 3
f ( ) 3
t
2 2
.
Vay minP = -3 ñ

17. t ñưc khi

2 2 2
 + 
=  1
 = ±
Û   
 = -   = 13
3 3
2
13
x y y
x y x
∓
.
3
max
P = ñ

18. t ñưc khi
2
 = ±  2 + 2
=  Û   
 =  = ±
1

1 10
3 3
10
y
x y
x y
x

.
Ví d
7. Cho các sô thc x,y tha 2 2 x + xy + y £ 3 . Tìm GTLN, GTNN ca bieu thc
2 2 P = x - xy + 2y .
Li gi

19. i.
ðat 2 2 a = x + xy + y ⇒ 0 £ a £ 2
* Nêu a = 0 Û x = y = 0 ⇒ P = 0 (1)
* Nêu a ¹ 0 , ta gi s% y ¹ 0 . ðat x = ty
2 - + 2 2 2
⇒ = = - + 2
=
+ + + +
2 2 2
( )
1
P x xy y t t
f t
a x xy y t t
Kho sát hàm sô f (t) ta có:
2
= - - = Û = ±
2 t 2 t
3 1 7
'( ) , '( ) 0
f t f t t
+ +
2 2
( t t
1) 2
= + = - ; 1 7 7 2 7
T ñó ta có ñưc 1 7 7 2 7
min ( ) ( )
2 3
f t f
= - = +
max ( ) ( )
2 3
f t f
⇒ 7 - 2 7 £ P
£ 7 + 2 7 ⇒ 7 - 2 7 a £ P £ 7 + 2 7
a
£ 7 + 2 7
.
3 a
3 3 3
Vay minP = 0 ; maxP = 7 + 2 7 .
Ví d
8. Chng minh rang v
i m#i sô thc dương x,y,z tho x(x +y +z) = 3yz (*), ta luôn có:
3 3 3 (x +y) +(x +z) + 3(x +y)(y +z)(z +x) ≤ 5(y +z) (1).
Li gi

20. i.
Vì gi thiêt và BðT (1) là nh$ng bieu thc ñang câp ñông thi gi thiêt và BðT cân chng minh
ñôi xng ñôi v
i y và z nên ta nghĩ t
i cách ñat y = ax;z =bx .
Khi ñó (*) tr thành: 2 x(x +ax +bx) = 3abx ⇔ 1+a +b = 3ab (**) và (1) tr thành:
3 3 3 (x +ax) +(x +bx) + 3(x +ax)(ax +bx)(bx +x) ≤ 5(ax +bx)
3 3 3 ⇔ (1+a) +(1+b) + 3(1+a)(1+b)(a +b) ≤ (a +b) (2).
Vì (**) và (2) là nh$ng bieu thc ñôi xng ñôi v
i a,b nên ta nghĩ t
i cách ñat S = a +b;P = ab
Moi quan he gi$a S và P là

 2
 1
+ ≥ 
 =  ⇔  + =    2
− − ≥ 

S P P
4
3
S
1 S 3 P 3 S 4 S
4 0
 +  = ⇔ 
1
3
2
S

P
S
≥ 

.
Khi ñó : 1 4(1 )
(1 )(1 ) 1 1
S S
3 3
a b a b ab S
+ +
+ + = + + + = + + =

21. Nguyen Tât Thu
5
3 3 ( )3
www.VNMATH.com
(1 + a ) + (1 + b ) = 2 + a + b − 3(1 + a )(1 + b )(2 + a +
b
)
3
= + − + +
(2 S ) 4(1 S )(2 S
)
Nên 3 2 3 (2) ⇔(2 +S) −4(S + 3S +2)+ 4S(1+S) ≤ 5S
2 ⇔ 2S −3S −2 ≥ 0 ⇔(2S +1)(S −2) ≥ 0 luôn ñúng do S ≥ 2.
Vay bài toán ñã ñưc chng minh.
Ví d
9. Cho x,y, z là sô thc tha mãn 2 2 2 x + y + z = 2 . Tìm giá tr l
n nhât, nh nhât ca bieu
thc: 3 3 3 P = x + y + z - 3xyz .
Li gi

22. i:
T các ñang thc : 2 2 2 2 x + y + z + 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)
3 3 3 2 2 2 x + y + z - 3xyz = (x + y + z)(x + y + z - xy - yz - zx)
và ñiêu kien ta có:
2 2 2 P = (x + y + z)(x + y + z - xy - yz - zx)
2 ( ) 2
( ) 2
x y z
2
x y z
 + + - 
= + +  - 
 
ðat t = x + y + z ⇒ - 6 £ t £ 6 . Ta có:
t 2 - 2
3 P = t - = - t
+ t =
f t
(2 ) 3 ( )
2 2
Xét hàm sô f (t) v
i - 6 £ t £ 6 .
Ta có: 3 2
f t = -t + ⇒ f t = Û t = ±
'( ) ( 2) '( ) 0 2
2
⇒ = = = - = -
max f (t) f ( 2) 2 2; min f (t) f ( 2) 2 2
-  6; 6  -    6; 6

Vay max P = 2 2 ñ

23. t ñưc khi x = 2;y = z = 0
minP = -2 2 ñ

24. t ñưc khi x = - 2;y = z = 0.
Ví d
10. Cho 0 a b 1. Chng minh rang: 2 2 a lnb - b lna lna - lnb .
Li gi

25. i.
Bât ñang thc cân chng minh
ln ln
1 1
b a
b a
Û
2 2
+ +
Xét hàm sô
=
2
ln
( ) , 0 1
1
t
f t t
t
+
. Ta có:
1
(1 ) 2 ln
+ 2
- = =
+ - 2 2
1 2 ln
t t t
t t t t f t
+ +
2 2 2 2
'( )
(1 t ) t (1 t
)
Do 0 t 1⇒ lnt 0 ⇒ f '(t) 0 t Î (0;1)
⇒ f (t) là hàm ñông biên trên (0;1) nên v
i 1 b a 0 thì ta có
ln ln
b a
Û
2 2
( ) ( )
+ +
1 1
f b f a
b a
(ñpcm).
Lưu ý: Khi gap BðT có d

26. ng f (a) ³ f (b), a ³ b (a £ b ) ta liên tưng t
i tính ñơn ñieu ca hàm
sô. Khi ñó ta ñi chng minh hàm f (t) là hàm ñông biên (nghch biên).
Ví d
11. Cho x,y là các sô thc thay ñoi. Tìm giá tr nh nhât ca bieu thc:
( ) ( ) 2 2 2 2 P = x −1 +y + x +1 +y + y −2 .
Li gi

27. i. Trong he t#a ño Oxy, xét u (x −1;y),v (x +1;y)
.

28. Nguyen Tât Thu
6
Do u + v ≥ u +v
nên ta có:
www.VNMATH.com
( 2 2 x −1 ) +y 2 + ( x +1 ) +y 2 ≥ 4 + 4y 2 = 2 1+y 2 .
Do ñó A ≥ 2 1+y 2 + y −2 = f ( y
) * V
i y ≤ 2 ⇒ f ( y ) = 2 1+y 2 +2−y .
Lap bng biên thiên suy ra ngay ( ) 1
f y ≥ f ( ) = 2 + 3
.
3
* V
i y 2 ( ) 2 2 ⇒ f y = 2 1+y + y −2 2 1+y 2 5 2 + 3
Vay giá tr nh nhât ca P bang 2 + 3 .
Lưu ý: Khi gap bieu thc trong căn có d

29. ng tong hai bình phương ta liên tưng ñên phương pháp
hình h#c v
i ñánh giá quen thuoc sau:
Cho k véc tơ 1 2 , ,..., k u u u
, khi ñó ta có:
k k
Σ ³ Σ
u u
i i
= =
1 1
i i
.
Ví d
12. Cho a,b,c là các sô thc dương tho 4
ab +bc +ca ≥ . Chng minh rang
3
1 1 1 181
+ + + + + ³
2 2 2
a b c
+ + +
2 2 2
( b 1) ( c 1) ( a
1) 5
(1)
Li gi

30. i. G#i P là bieu thc vê trái ca (1)
Xét ba véc tơ sau: 1 1 1
    = =   =   +  +   +     
( ; ), ; , ;
u a v b m c
1 1 1
b c a
.
Áp dng BðT u + v + m ≥ u +v +m
ta có:
2
 2  1 1 1
≥ ( + + )
++ +    + 1 + 1 + 1

 P a b c
b c a
2
2
81
( )
( 3)
a b c
a b c
≥ + + +
+ + +
ðat t = a +b +c ⇒t ≥ 3(ab +bc +ca) = 2
Xét hàm sô 2
= + ≥
f t t t
2
81
( ) , 2
( t
+
3)
. Ta có:
162 2[ g ( t
) 169]
3 3
'( ) 2
( 3) ( 3)
f t t
t t
+
= − =
+ +
Trong ñó: 3 2 g(t) = (t −2)(t +11t + 49t +125)+169
⇒g(t) ≥ 0 ∀t ≥ 2 ⇒ f '(t) ≥ 0 ∀t ≥ 2
181
⇒ f t ≥ f = ∀t ≥
( ) (2) 2
25
181
5
⇒P ≥ .
ðang thc xy ra 4
⇔a =b = c = .
9
Ví d
13. Cho các sô thc dương a,b,c tha mãn ( )3
a + b + c = 32abc
Chng minh rang :
4 4 4
- £ + + £
383 165 5 a b c
9
( )
4
2 128
+ +
a b c
(1).

31. Nguyen Tât Thu
7
Li gi

32. i :
Không mât tính tong quát, ta gi s%: a + b + c = 4 ⇒abc = 2
- Khi ñó (1) Û 383 165 5 £ 1 ( a 4 + b 4 + 4 ) £
9
c
2 256 128
ðat t = ab + bc + ca . Ta có :
( ) 2
2 2 2 ( 2 2 2 2 2 2
)
( ) ( ) ( ) ( )
= + + - + +
   
=  + + - + +  -  + + - + + 
   
( ) ( ) ( ) 2
P a b c a b b c c a
2
2
2 2
2 2 2
a b c ab bc ca ab bc ca abc a b c
= 42 - 2t - 2 t2 - 16 = 2 t2 - 32t + 144 .
( ) ( ) 2 2 2
= + + = + + = - + = - + +
t ab bc ca a b c bc a 4 a a 4a
a a
Mà ( ) ( ) ( )( ) 2 2 8 2
+ ³ Û - ³ Û - - + ³
b c 4bc 4 a a 2 a 6a 4 0
a
Û 3 - 5 £ a £ 2 (vì 0 a 4)
= - + + Î - ⇒ £ £ -
Xét 2 2 5 5 1
4 , [3 5;2] 5
2
t a a a t
a
Xét ( ) ( 2 ) 5 5 1
= - 2 - 32 + 144 , Î [5; ]
⇒ñiêu cân chng minh.
2
f t t t t
Trong mot sô bài toán ta phi ñánh giá rôi m
i ñat an ph ñưc.
Ví d
14. Cho các sô dương a,b,c v
ia + b + c £ 1.
( )  Chng minh rang : + + + 1 + 1 + 1

3 a b c 2   ³
21
a b c
 
.
   
Li gi

33. i: Ta có: ( ) 3 3 1 1 1 1
+ +  + +  ³   =      
a b c 3 abc 3 9
a b c abc
1 1 1 9
a b c a b c
⇒ + + ³
+ +
.
   
Do ñó : 3 ( a + b + c ) + 1 1 2  + + 1  ³ 3 ( + 18 6 a b + c ) + = 3  t +  =
3f ( t
)
 a b c  a + b + c  t

Trong ñó ( ) 6
= + + £ = + .
0 t a b c 1 và f t t
t
Ta có : ( ) 2
= - 6 = t
- 6
Î , nên hàm sô nghch biên trên (0;1]
' 1 0, (0;1]
f t t
2 2
t t
⇒ f (t ) ³ f (1) = 7,t Î(0;1] .
Ví d
15: Cho a,b,c 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Chng minh rang:
1 1 1 ( )
+ + - a + b + c ³ 2 3
.
a b c
Li gi

34. i. ðat t = a + b + c £ 3 (a2 + b2 + c2 ) ⇒ 0 t £ 3 .
Ta có: 1 1 1 9
+ + ³
+ +
a b c a b c
www.VNMATH.com

35. Nguyen Tât Thu
8
www.VNMATH.com
1 1 1 ( ) 9 ( ) 9 ( )
⇒ + + - + + ³ - + + = - =
a b c a b c t f t
+ +
a b c a b c t
.
Xét: ( ) 9 ( ) 9
2
= - Î ⇒ = - - vay hàm sô nghch biên
f t t, t (0; 3] f ' t 1 0
t t
trên(0; 3]⇒ f (t ) ³ f ( 3 ) = 2 3,t Î(0; 3] .
Ví d
16: Cho 4 sô thc a,b,c,d tho mãn:a2 + b2 = 1; c - d = 3 .
F ac bd cd
= + - £ + .
Chng minh rang: 9 6 2
4
Li gi

36. i: Ta có: F £ (a2 + b2)(c2 + d2) - cd = 2d2 + 6d + 9 - d2 - 3d = f (d)
Ta có
2
- d
+ +
2
3 9
1 2( )
'( ) (2 3) 2 2
2 6 9
f d d
d d
= +
+ +
.
Vì
2
- d
+ +
2
3 9
1 2( )
2 2 0
2 d 6 d
9
+ +
£ - = + ta có ñpcm.
nên 3 9 6 2
( ) ( )
2 4
f d f
Ví d
17. Cho các sô thc không âm a,b,c tha mãna + b + c = 1.
Chng minh rang: - 3 £ ( a - b )( b - c )( c - a ) £
3
18 18
Li gi

37. i: Kí hieu: F (a;b;c) = (a - b)(b - c)(c - a )
Vì F (a;c;b) = (a - c)(c - b)(b - a ) = -F (a;b;c) suy ra miên giá tr ca F là tap ñôi xng vì vay
ta ch cân chng minh : ( ) 3
F a ; b ;
c £ .
18
* Nêu trong ba sô a,b,c có hai sô bang nhau thì ( ) 3
; ; 0
18
F a b c =
* Nêu a,b,c ñôi mot khác nhau thì không mât tính tong quát gi s% a = max {a;b;c} khi ñó nêu
b c thì ( ) 3
F a ; b ; c 0
do vay ta ch cân xéta c b . ðat x = a + b ⇒c = 1 - x .
18
Ta có: F (a;b;c) = (a - b)(c - b)(a - c) £ (a + b)c (a + b - c) = x (1 - x )(2x - 1) = h (x )
Xét ( ) ( )( ) 1
= - + - = Û = + .
h x = x - x x - x £ , ( ) 2 3 3
1 2 1 , 1
2
' 6 6 1 0
6
h x x x x
 +  £   =  
Lap bng biên thiên ta ñưc: ( ) 3 3 3
6 18
h x h
 
v
i m#i 1
x Î .
( ;1]
2
a b c
= + = = - .
ðang thc xy ra khi 3 3 3 3
, 0,
6 6
Ví d
18. Cho ba sô thc dương a,b,c tha mãn : 21ab + 2bc + 8ca £ 12 .

38. Nguyen Tât Thu
9
www.VNMATH.com
Chng minh rang: 1 2 3 15
+ + ³ .
a b c 2
Li gi

39. i: ðat: 1 2 3
= = = ⇒ .
x ,y , z x,y, z 0
a b c
Khi ñó: 2 2 3 1 2 3
+ + £ Û + + £ Û 2x + 4y + 7z £ 2xyz
21ab 2bc 8ca 12 4. 7. 2. . .
a b c a b c
Ta cân chng minh: 15
x + y + z ³ .
2
+ + £ ⇒ - ³ + ⇒ ³ +
T: ( ) 2 4
2 4 7 2 2 7 2 4
x y
2 7
x y z xyz z xy x y z
xy
-
2 ( ) 14
+ + ³ + + + - 2 x + 2 xy
- 7
+ = + + +
2 4 2 7 7
2 7 2 2 2 7
x y xy x x x y z x y x
- -
xy x x xy
2 ( ) 14 14
- 2 x + 2 xy - 7 + 2
x
+ = + 2 7 + 7 + = + 11 + 2 - 7
+
xy x x xy x x x
- -
2 x 2 x 2 xy 7 2 x 2 x 2 xy
7
Áp dng bât ñang thc AM-GM ta có:
2
14 14
- 2 x + - 2
x
+ + ³ = +
2 7 2 7 7
xy x xy x
2 . 2 1
- -
2 2 7 2 2 7
x xy x xy x
Do ñó : 11 7
( ) 2
+ + ³ + + 2 1
+ = .
x y z x f x
2
x x
Ta có: ( ) 2
3
2
11 14
' 1
2 7
1
f x
x
x
x
= - -
+
.
Ta thây f ' (x ) tăng khi x 0 và f ' (3) = 0. ( ) 15
⇒ x + y + z ³ f 3
= .
2
ðang thc xy ra khi:
 = 
  =  =  +    -    = Û  = Û  =
 -  
 +  =  =  =    - 
3 1
14 3 2 3
2 7 5 4
2 2 7 2 5
2 4 2 3
2 7 2
x
x a
x
xy x y b
x xy
x y z z c
xy
.
Bài tap.
1) Chox + y = 2 . Chng minh rang: x2010 + y2010 ³ 2 .
2axy + b ( x 2 -
y
2 )
2) Cho x2 + y2 ¹ 0 . Chng minh: 2 2 2 2
- + £ £ +
a b a b
2 2
+
x y
3) Cho các sô thc x,y thay ñoi và tha mãn x2 - xy + y2 £ 3 . Chng minh rang:
-1 - 2 7 £ x2 + xy - 2y2 £ -1 + 2 7 .

40. Nguyen Tât Thu
10
www.VNMATH.com
4) Chng minh v
i tam giác ABC nh#n ta có:
a) tanA + tanB + tanC + sinA + sinB + sinC 2p
b) 1 ( ) 2 ( )
A + B + C + A + B + C p
tan tan tan sin sin sin
3 3
5) Chng minh m#i tam giác ABC ta luôn có:
a)
A B C
+ + +
1 c os 1 c os 1 c
os
2 2 2 3 3
+ +
A B C
 
b) 1 1 1
+ + + £  + + 
cot cot cot 3 3 2
sin sin sin
A B C
A B C
 
c) 1 13
+ + + £
cos cos cos
+ +
cos cos cos 6
A B C
A B C
d) 1 65
sin sin sin
+ ³
2 2 2 8
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
6) Cho tam giác ABC có 0 A £ B £ C 900 . Chng minh:
- + ³ .
2 cos 3 4 cos 2 1
2
C C
cos
C
7) Cho 0 x y £ z £ 1. tha: 3x + 2y + z £ 4 .Chng minh rang :
2 2 2 16
x + y + z £ .
3 2
3
8) Chng minh:
3 3 3
£ + + £
16 16
( )
3
16
81
a b c
+ +
a b c
v
i a,b,c ³ 0 và a + b + c 0 .
9) Cho a,b,c là ba c

41. nh ca mot tam giác có chu vi bang 3. Chng minh :
3 (a2 + b2 + c2 )+ 4abc ³ 13
10) Cho bôn sô nguyên a,b,c,d thay ñoi tha: 1 £ a b c d £ 50
Chng minh: 53
175
a c
b d
+ ³ .
11) Chox,y 0 . Chng minh rang :
2
4 1
3
2 2
8
4
xy
x x y
£
   + + 
 
.
12) Cho hai sô thc a,b 0 tha a + b = 1 và1 £ k £ 2 . Chng minh rang:
( ) 3(1 )
- + £ .
k k k k k a b a b
2
13) Cho hai sô x,y ¹ 0 thay ñoi tha mãn (x + y )xy = x2 + y2 - xy . Chng minh:
1 1
+ £ .
3 3
16
x y
14) V
i x,y khác không chng minh rang:
 
4 4 2 2
4 4 2 2
2
x y x y x y
y x y x y x
+ -  +  + + ³ -  
 
15) V
i x,y,z là sô dương và xyz ³1 . Chng minh:

42. Nguyen Tât Thu
11
3
2
www.VNMATH.com
x y z
+ + ³
+ + +
x yz y xz z xy
.
16) Cho x,y, z ³ 0 x + y + z = 1 Cmr:
x y z
x y z
+ + £
+ + +
2 2 2
9
1 1 1 10
.
17) Cho
 ³ 
, , 0
1
x y z
x y z
+ + = 
Cmr : 4 4 4 1
x ( y - z ) + y ( z - x ) + z ( x - y )
£ .
12
b a
   
 +  £  + 
   
18) Cho hai sô thc a ³ b 0 . Chng minh rang: a 1 1
2 2
b
a b
2 2
(D-2007).
19) Cho x,y, z 0 tha x + y + z £ 1. Chng minh rang
1 1 1
+ + + + + ³ (A – 2003 ).
2 2 2
x y z 82
2 2 2
x y z
( x 3 + y 3 ) - ( x 2 +
y
2 )
20) Cho x,y ÎR và x,y 1. Tìm giá tr nh nhât ca bieu thc: ( 1)( 1)
P
x y
=
- -
.
x y
£ £ p £ £ p . Chng minh rang:
21) Cho các sô thc x,y tho mãn 0 , 0
3 3
cos x + cosy £ 1 + cos (xy) (D1-2008)
22) Cho các sô thc không âm x, y thay ñoi và tha mãn x + y = 1. Tìm giá tr l
n nhât và giá tr
nh nhât ca bieu thc: ( 2 )( 2 ) S = 4x + 3y 4y + 3x + 25xy .(D-2009).
Chúc các em h#c gii
Mi các b

43. n tham gia: http://www.lehongphongbh.com ñe tho luan.
Tác gi: Nguyen Tât Thu – GV Trưng THPT Lê Hông Phong Biên Hòa
Trân Văn Thương – GV Trưng THPT Trân Hưng ð

44. o – Bà Ra Vũng Tàu