1. Бүлэг – 1 Механик: лекц -12цаг, сем – 12цаг, лаб-16цаг
Материал цэгийн хөдөлгөөний кинематик
Бүлэг-I, хичээл -1 лекц – 1
Боловсруулах асуудлууд:
Физикийн шинжлэх ухааны судлах зүйл, судалгааны арга, бусад шинжлэх
ухаантай холбогдох нь, Физик хэмжигдэхүүнүүд
Материал цэг, хатуу биеийн давших хөдөлгөөний кинематик: классик ба
релятив мехиник, абсолют хатуу бие
Механик хөдөлгөөн, тооллын систем, тэгш өнцөгт, туйл, цлиндр, бөмбөрцөг
координатын систем, тэдгээрийн холбоо.
Механик хөдөлгөөн траектор, радиус вектор, зам, шилжилт, хурд хурдатгал
тэдгээрийн вектор ба скаляр тэгшитгэлүүд.
Эргэх хөдөлгөөний кинематик: эргэлтийн өнцөг шилжилт, өнцөг хурд,
хурдатгал, шугаман хурд, хурдатгал, тэдгээрийн кинематик тэгшитгэлүүд.
Физик нь байгаль буюу “физюс” гэсэн грек үгнээс гаралтай материйн хөдөлгөөний
хамгийн энгийн хуулиудын тухай шинжлэх ухаан юм. Нөгөө талаас туршлагын шинжлэх
ухаан бөгөөд судлах үзэгдлээ ажиглах турших нь физикийн судалгааны үндсэн аргуудын
нэг юм. Туршилт ба сорилтын үр дүнд гарсан таамаглал, онол нь хууль болно. Ийнхүү
физикийн онол нь байгалийн бодит зүй тогтлыг тусгасан, туршлагын баримт сэлтийг
нэгтгэсэн гол үзэл санааны цогц юм. Физик оннол хууль нь байгалийн бүхий л юмс
үзэгдлийг нэгдмэл нэг үзлийн үүднээс тайлбарладаг онолын зөв үнэн эсэхийг практик
туршилтын үр дүнтэй тохирч буйгаар тодорхойлно. Онол практикийн нэгдлийг физикийн
аль ч бүлэг хэсгийн жишээгээр харулж болно. Орчин үеийн үйлдвэрлэл технологийн
ямарч салбарыг хөгжүүлэх зам нь физиктэй нягт холбоотой учраас аль ч мэргэжлийн
инженерүүд физикийн шинжлэх ухааныг үйл ажиллагаандаа хэрэглэж чаддаг байхуйц
хэмжээнд судлах шаардлагатай.
Физикийн шинжлэх ухаан нь XIX зууны сүүл хагас XX зуунд байгалийн шинжлэлийн
бусад шинжлэх ухаантай нягт холбоотойгоор асар их хурдацтай хөгжиж иржээ. Тухайлбал
физик нь философийн шинжлэх ухаантай нягт холбоотой ба түүний гарамгай нээлтүүд
болох энерги хадгалагдах ба хувирах хууль, термодинамик, атом цөмийн тухай онолууд
нь философийн янз бүрийн үзэл баримтлалуудын баталгаа болж ертөнцийг үзэх шинжлэх
ухааны тууштай үзэл төлөвшихөд чухал юм. Цахилгаан соронзон орны Максвеллийн онол
гарч цахилгаан соронзон долгион нэээн судалснаар цахилгаан техник, радио техникийн
хөгжил эхэлсэн билээ. Атом, цөм, квант механик зэрэг нь хөгжсөнөөр эмнэлэг, биологи,
геологи болон үйлдвэрлэлийн бүх салбарт үндэс суурь нь болжээ. Хагас дамжуулагч
плазмын физикийн амжилт нь элетроник, радио техник, тооцоолох техникт шинэ хувьсал
болжээ. Иймд физикийн шинжлэх ухааныг эдгээр ололтын ач холбогдол болоод утга
учрыг тайлбарлаж чаддаг болохуйц хэмжээнд судлах шаардлагатай. Техникийн дэвшил
нь эргээд физикийн хөгжилд ихээхэн нөлөө үзүүлдэг бөгөөд техникийн хөгжил физикийн
судалгааны туршлагын аргуудыг боловсронгуй болгож, цэнэгт бөөмсийн хурдасгуур,

2. дэлхийн хиймэл дагуул, сансрын станц, радио холч дуран, масс спектроскоп, лазер,
тооцоолох электрон машин зэрэг багаж төхөөрөмжүүдийг хийж ашиглаж байна.
Материал цэг, хатуу биеийн давших хөдөлгөөний кинематик: Биесийн харилцан
үйлчлэл ба хөдөлгөөний зүй тогтлыг судалдаг физикийн салбарыг механик гэнэ. Биес
тэдгээрийг бүрдүүлэгч жижиг хэсгүүдийн харилцан байрлал өөрчлөгдөх маш энгийн
хялбар хөдөлгөөнийг механик хөдөлгөөн гэнэ. Механикийг классик (сонгодог) Ньютоны,
Релятив (харьцангуй онол) Энштейний гэсэн хоѐр онолоор судалдаг. Харьцангуй бага
хурдтай ( <<c; c=3.108м/c) хөдөлж буй биеийн хөдөлгөөнийг судалдаг механикийг классик
гэх ба үндсийг И.Ньютон боловсруулсан тул Ньютоны механик гэж нэрлэдэг. Гэрлийн
хурдтай ойролцоо хурдтай ( c) хөдлөх биеийн хөдөлгөөнийг судлах механикийг
релятив буюу Эйнштейны механик гэх ба харьцангуйн тусгай онолд үндэслэгддэг.
Механик хөдөлгөөний үүссэн шалтгааныг авч үзэлгүйгээр хөдөлгөөнийг судалдаг
механикийн салбарыг кинематик гэнэ. Механикт бодит биесийг материаллаг цэг, абсолют
хатуу бие, абсолют харимхай, харимхай бус гэх мэт янз бүрийн хялбарчилсан загвар
моделийг ашигладаг. df: Тухайн нөхцөлд хэлбэр ба хэмжээг нь авч үзэхгүй байж болох
биеийг материал цэг гэнэ. Механикт хөдөлгөөнийг судалахад бүх биеийг материал цэг гэж
үзэж болохгүй. Тухайлбал нарыг тойрох дэлхий болоод бусад гаригуудын хөдөлгөөнийг
судлахад тэдгээрийн хэмжээ нь тойрог замынхаа хэмжээтэй харьцуулахад олон дахин
бага тул гаригуудыг материал цэг гэж үзэж болно. df: Биес болон системийг бүрдүүлж
байгаа аль нэг хоѐр цэгийн хоорондох зай өөрчлөгдөхгүй тогтмол байвал түүнийг
абсолют хатуу бие гэнэ. Нөгөө талаас абсолют хатуу биетийг өөр хоорондоо бат бэх
холбогдсон материал цэгүүдийн систем гжэж үзэж болно.
Аливаа биес эзэлхүнтэй тодорхой орон зайд оршиж байдаг. Цаг хугацаа нь аливаа
процессын үргэлжлэх хэмжүүр юм. Тухайн бие болон системийн байрлал сонгож авсан
өөр биетэй харьцангуй өөрчлөгдөх үзэгдлийг механик хөдөлгөөн гэдэг. Иймд хугацааны
ямарч агшинд судалж буй биесийн байрлалыг нэг утгатай тодорхойлохын тулд тооллын
системийг сонгож авах хэрэгтэй болно. Хугацөаны янз бүрийн агшинд бусад биесийн
байрлалыг харьцуулан тодорхойлох тооллын бие түүнтэй бат бэх холбоотой координатын
систем, хугацааны тоолол гурав нийлж механик хөдөлгөөнийг тодорхойлох тооллын
системийг үүсгэнэ. Цаг хугацааны нэгэн төрөл байдлаас тооллын эхийг дураар сонгож
болох бөгөөд хугацааны үргэлжлэл бүхий л тооллын системд ижил байна гэж үзнэ.
Ньютоны механикт орон зайн огторгуйн шинж чанар Евклидын геометрээр
тодорхойлогдох ба цаашид дэлхийтэй холбосон тооллын системийг авч үзнэ. Ихэнхидээ
Декартын буюу тэгш өнцөгт координатын системийг өргөн ашигладаг бөгөөд мөн туйлын,
цлиндр, бөмбөрцөг координатын системийг хэрэглэж болно. Декартын координатын
  
системийн i , j , k -нь харилцан перпиндикуляр нэгж векторууд бөгөөд нормчлогдсон суурь
үүсгэх координатын системийн ортууд болно. Энд ямар нэг цэгийн байрлалыг (x,y,z)

координатууд ба тооллын эхээс тухайн материал цэг хүртэлх радиус вектор r -ээр
тодорхойлогдно. Радиус векторыг координатуудаар нэгж векторын сууриар задалж болно.
   
r ix jy kz (1.1)

3. Материал цэг х1,у1,z1 координаттай М цэгээс х2,у2,z2 координаттай И цэгт хугацааны t
агшинд шилжиж хөдөлсөн гэж үзье. Одоо хөдөлгөөнийг тодорхойлох физик
хэмжигдхүүнүүдийг авч үзье.
df: Тооллын системтэй харьцангуй М цэгээс И цэгт шилжихдээ дайрч өнгөрсөн
цэгүүдийг холбосон муруйг траектор гэнэ. Тодорхой хугацаанд цэгийн траекторын дагуух
туулсан зайг зам гэнэ. (  )
df: Тодорхой хугацаанд цэгийн радиус векторын шилжих шилжилтийн хэмжээг цэгийн
   
шилжилт гэнэ. S r r2 r1

4.  
r r (t )
s s (t )
x x (t )
y y (t )
z z (t )
Материал цэгийн хөдөлгөөний координат, радиус вектор болон хөдөлгөөнийг
тодорхойлох зам, шилжилт, хурд, хурдатгалын хугацаанаас хамааран өөрчлөгдөх вектор
ба скаляр тэгшитгэлүүдийг хөдөлгөөний кинематик тэгшитгэл гэнэ.
Координатуудын хоорондын хамаарлын тэгшитгэлийг траекторын тэгшитгэл гэнэ.
y y ( x ); z z ( x, y )
Материал цэгийн хурд ба хурдатгал:
df: Чиглэлээрээ шилжилтийн вектортой давхцах, хэмжээгээрээ шилжилтийг
шилжилт болсон хугацааны өөрчлөлтөнд харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлогдох физик
хэмжигдэхүүнийг хурд гэнэ. Хугацааны интервалыг маш бага болгоод байвал радиус
вектор ба шилжилтээс авсан хязгаар нь дифференциал буюу уламжлал болно.
  
 r r dr 
lim ; r ' (t ) s ' ( t ) áîëíî . Үүнийг агшин зуурын хурд гэнэ. Өөрөөр хэлбэл
t t 0 t dt
радиус вектор ба шилжилтээс хугацаагаар авсан нэг удаагийн уламжлал буюу
дифференциалтай тэнцүү хэмжигдэхүүнийгагшин зуурын буюу хоромхон хурд гэнэ.
Чиглэл нь хөдөлгөөний дагуу траекторт шүргэгчээр чиглэнэ.
  
Хурдны векторыг i , j , k сууриар буюу ТӨКС-д байгуулагч болгон задалбал:

5.    
i x
j y
k z
áîëîõ
-г хурдны векторын x,y,z тэнхлэг дээрх проекцууд гэнэ. Хурдны
áà x
, y
, z

векторын модуль нь:
2 2 2
x y z
áàéíà .
Хөдөлгөөнийг траектор болон хурдаар нь дараахь байдлаар ангилдаг. Үүнд:
траектороор нь шулуун ба муруй, хурдаар нь тогтмол (жигд) ба хувьсах (жигд хувьсах,
жигд бус хувьсах гэх мэт).Жигд бус хөдөлгөөний үед материал цэгийн хөдөлгөөний
дундаж хурдыг тодорхойлохдоо траекторын тухайн нэг хэсэгт жигд хөдөлгөөн гэж үзээд
энэ хэсэгт харгалзах замыг хагалзах хугацаанд харьцуулан тодорхойлно.
Шулуун жигд хөдөлгөөнөөс бусад бүх тохиолдолд материал цэгийн хурд
хугацаанаас хамааран өөрчлөгдөнө.
df: Нэгж хугацаанд өөрчлөгдөх материал цэгийн хурдны хэмжээг хурдатгал гэнэ. Ямарваа
 
материал цэг t хугацааны агшинд (t ) хурдтай байснаа t хугацааны дараа буюу
 
t t агшинд 2
t ) хурдтай болсон гэе. Тэгвэл хурдны өөрчлөгдөх хэмжээ нь
(t

   
2
(t t) 1
( t ) болно. Хурдатгал нь: a болох ба хугацаа нь тэг рүү тэмүүлэх
t
үед хязгаарт шилжин дараахь байдалтай болно.
       d 2z
 (t t) (t ) d   d
2
d r d x
2
d x
2
2 1
a lim lim ' (t ) ; a 2
i 2
j 2
k 2
t 0 t t 0 t dt dt dt dt dt dt
2 2 2
d x d y d z
ax 2
;ay 2
;az 2
Эндээс материал цэгийн хурдатгал нь хурдны вектороос
dt dt dt
хугацаагаар авсан нэгдүгээр эрэмбийн уламжлал буюу дифференциал, радиус вектороос
авсан хоѐрдугаар эрэмбийн уламжлал буюу дифференциалтай тэнцүү байна. Материал
цэгийн хурдатгалыг траекторт шүргэгч тангенциал ба түзүнд перпиндикуляр нормаль
гэсэн хоѐр байгуулагч болгон задалж болно. Тэгвэл тангенциал байгуулагч буюу
тангенциал хурдатгал нь a , хурдны хэмжээ өөрчлөгдөхөд үүсэх бачиглэлээрээ хурдны
векторын шулуун дээр орших ба дагуу болон эсрэг чиглэж болно. Харин нормаль
байгуулагч буюу нормаль хурдатгал нь хурдны чиглэл өөрчлөгдөхөд үүсэх ба хурдны
2
векторт перпиндикуляраар чиглэх ба хэмжээ нь a n байна.
r

6.    
n a n модуль нь a
2 2
a a a an
Эргэх хөдөлгөөний кинематик: Хатуу биетэй бат бэх холбоотой ОО’ шулуунтай (эсвэл
үл хөдлөх цэгтэй) харьцангуй биеийн байрлал өөрчлөгдөхийг эргэх хөдөлгөөн гэнэ.
Жишээ нь: хаалга, эргэвчүүд, хөшүүрэг, бүх төрлийн тойрог хөдөлгөөнүүд гэх мэт.
Эргэх хөдөлгөөанийг тодорхойлдог өнцөг шилжилт, өнцөг хурд, шугаман
хурд, өнцөг хурдатгал, шугаман хурдатгал гэх мэт физик хэмжигдэхүүнүүдийг авч үздэг.
df: Үл хөдөлх тэнхлэг буюу цэгтэй харьцангуй бие t хугацаанд шилжих шилжилтийг
өнцөг шилжилт гэнэ. Чиглэл нь баруун шургын дүрэм ѐсоор эргэлтийн дагуу чиглэнэ.
df: Нэгж хугацаанд өөрчлөгдөх өнцөг шилжилтийн хэмжээг өнцөг хурд
d
гэнэ. lim ' (t ) болох ба өнцөг хурд нь өнцөг шилжилтээс
t t 0 t dt
хугацаагаар авсан нэгдүгээр эрэмбийн уламжлал буюу дифференциалтай тэнцүү байна.
Эргэх биеийн аль нэг цэгийн хурдыг тодорхойльѐ.
ds rdt
ds rd r dt ; r шугаман хурд
dt dt
df: Бие ямар нэг тогтмол өнцөг хурдтайгаар нэг 2 бүтэн эргэх хугацааг эргэлтийн үе
буюу улирал (T) гэнэ.
df: тогтмол өнцөг хурдтай эргэх хөдөлгөөний эргэлтийн тоог эргэлтийн давтамж
1
гэнэ. ; Ãö
T 2
df: Нэгж хугацаанд өөрчлөгдөх өнцөг хурдны хэмжээг өнцөг хурдатгал
2
d d
гэнэ. lim ' (t ) 2
" (t )
t t 0 t dt dt

7.  2
 d d  d d  d 
Шугаман хурдатгал: a ( r) ( r) r 2
r
dt dt dt dt dt
Хатуу бие жигд эргэх хөдөлгөөн хийж байвал 0; const ; dt 0
t;
const ; dt 0
t;
Хэрэв жигд хувьсах хөдөлгөөн хийж байвал 2
t
dt 0 0
t
2
2
d d d
Жигд бус хувьсах хөдөлгөөн хийж байвал 2
; ; dt ; dt
dt dt dt
тэгшитгэлүүдийг шинжлэх замаар хөдөлгөөнийг тодорхойлж болно.