1. Хичээл № 3 лекц № 2
Соронзон орны шинж чанар
-Гүйдэлтэй дамжуулагчийн соронзон орон
-Био-Савар-Лапласын хууль түүний хэрэглээ
-Соронзон орны урсгал,соронзон хүчний хийх ажил
-Соронзон орны циркуляци
1. Гүйдэлтэй дамжуулагчийн эргэн тойронд соронзон орон үүсдэг болохыг
1820 онд Данийн физикч Х.Эрстед туршлагаар тогтоосон. Францын эрдэмтэн
Ж.Био,Ф.Савар нар гүйдэлтэй дамжуулагчийн үүсгэх соронзон орны индукц нь
гүйдлийн хүчинд шууд пропорциональ байхаас гадна дамжуулагчийн хэлбэр
хэмжээ .соронзон орныг тодорхойлох гэж байгаа тухайн цэгийн дамжуулагчтай
харьцуулсан байрлалаас хамаардаг болохыг туршлагаар тогтоосон.
Үүнийг үндэслэн Францын эрдэмтэн П.Лаплас ямарч хэлбэрийн гүйдэлтэй
дамжуулагчийн үүсгэх соронзон орны индукцыг тодорхойлох ерөнхий хуулийг
гаргасан. Б-С-Л-ын хуулиар I гүйдэлтэй дамжуулагчийн dl элементээс r-зайд
орших ямар нэг цэгт үүсэх соронзон орны индукц dB –нь вектор хэлбэрээр:
dB =
 
[
 µµ0 I dl * r ] ба скаляр хэлбэрээр: dB =
µµ 0 Idl sin α
гэж
4πr 4πr 2
илэрхийлэгдэнэ.Энд α -нь дамжуулагчийн dl элемент ба r-векторын хоорондох
  
өнцөг. dB -н чиглэл шургын дүрмээр dl , r векторуудын орших хавтгайд ⊥
чиглэнэ. dl ба I –н чиглэл ижил.
Соронзон орны хувьд цахилгаан орны нэг адил суперпозицын зарчим
биелэнэ. Энэ зарчмаар хэд хэдэн гүйдэл ба хөдөлж буй цэнэгүүдийн үүсгэх
нийлбэр соронзон орон нь гүйдэл ба хөдөлж буй цэнэг тус бүрийн үүсгэх
орнуудын нийлбэриэй тэнцүү. Иймд: B = ∫ dB ⇒ B = ∫
[
µµ0 I dl * r
 
] гэсэн
3
L r
ерөнхий томъёо гарна
Одоо Б-С-Л-ын хуулиар суперпозицын зарчмыг хэрэглэн янз бүрийн гүйдлийн
соронзон орныг бодох жишээ авч үзье
1

2. 1.Шулуун гүйдлийн соронзон орон
I гүйдэлтэй төгсгөлгүй урт шулуун дамжуулагч авч үзье.Дамжуулагчаас
r0зайд орших ямарч А цэгт түүний жижиг хэсэг бүрийн үүсэх орны dB вектор
адилхан зургийн хавтгайд перпендикуляраар чиглэнэ.Иймд dB векторуудын
нийлбэр тэдгээрийн модулийн нийлбэртэй тэнцэнэ.
r0 r x rdα
sin α = ⇒r= 0 x = rdα sin α = ⇒ dl =
r sin α dl sin α
Эдгээрийг орлуулвал
µµ 0 i sin 3 α rdα µµ 0 I sin 2 α r0 dα µµ 0 I sin α
dB = = = dα
2
4πr0 sin α
2
4πr0 sin α 4πr0
Шулуун гүйдлийн хувьд α -нь 0 − π хүртэл хувьсах тул
µµ0 I sin α π µµ0 I µµ0 2 I
B=
4πr ∫ sin αdα = 4πr0 1 − ( − 1) = 4πr
0
болно.
Төгсгөлөг урттай дамжуулагчийн хувьд α нь α1 – ээс α2 хүртэл
өөрчлөгдөх тул
µµ 0 I
B= ( cos α1 − cos α 2 ) болно.
4πr0
2.Дугуй гүйдлийн соронзон орон
Эхлээд I гүйдэлтэй, R радиус бүхий дугуйн 0 төвд үүсэх соронзон орны
индукцийг авч үзье. Гүйдлийн dl -элемент бүрийн үүсгэх соронзон орны
dB -.векторууд цагиргын хавтгайн нормалийн дагуу ижил чиглэлтэй байна.
Бүх жижиг хэсгүүд радиус векторт перпендикуляр учир sin α = 1 Иймд
гүйдэлтэй дугуй дамжуулагчийн төв дэх соронзон индукц нь
2

3. µµ 0 Idl
dB = sin α ⇒
4πr 2
2πR
µµ0 I µµ0 I µµ0 I
B = ∫ dB = ∫ dl = 4πR 2πR =
L 4πR 2 0
2
2R
байна.
Одоо дугуй гүйдлийн тэнхлэг дээр ө.х түүний төвийг дайрсан,
цагиргийн хавтгайд перпендикуляр шулууны аль нэг цэгт үүсэх соронзон
индукцийг олъё. Энд 00 тэнхлэг дээрх ямарваа цэгт цагирагийн янз бүрийн
dl хэсгийн үүсгэх соронзон индукц нь dB чиглэлээрээ давхцахгүй. Харин
диаметрийн дагуу эсрэг орших ижилхэн урттай ( dl1 = dl 2 = dl ) хоёр жижиг
 
хэсгийн тухайн цэгт үүсгэх орны dB1 , dB2 векторууд модулиараа тэнцэнэ.
dl1
dB1
dB
dB2
dl 2
µµ 0 2 Idl
dB1 = dB2 = нийлбэр вектор нь тэнхлэгийн дагуу чиглэх бөгөөд
4πr 2
µµ 0 2 IRdl
dB = 2dB1 sin β =
4πr 3
Нийт дугуй гүйдлийн С цэгт үүсгэх соронзон орны индукцийн вектор В нь
мөнхүү 00 тэнхлэгийн дагуу чиглэх нь эндээс илэрхий байна. Харин түүний
модуль
µµ 0 2 IR πR µµ 0 2πIR 2 µµ 0 2 Pm
= r 2 = R 2 + h 2 , Pm = IπR 2 -ыг тооцвол =
4πr 3 ∫
B= dl =
( )
3
0 r3 4π R 2 + h 2 2
болно.
3

4. µµ 0 2 Pm
гэж гарна.Хэрэв h>>R бол B= хэлбэртэй бичиж болно.
4πh 3
3.Соленоидын соронзон орон
Ерөнхий тэнхлэг болох нэг шулууны дагуу төвүүдтэй дараалан холбогдсон
дугуй гүйдлүүдийн системийг соленоид гэдэг.
Соленойдын соронзон индукцийн вектор нийлбэрээр тодорхойлогдоно.
14.10 –р зурагт I гүйдэл гүйж буй R радис L урттай соленойдын тууш
огтлолыг үзүүлэв. Шургийн дүрэм ёсоор соленоидын тэнхлэгийн ямар ч А
цэгт дугуй гүйдэл тус бүрийн (BI) болон нийлбэр соронзон индукцийн (B)
вектор нь 01 02 тэнхлэгийн дагуу чиглэнэ. Соленоидын нэгж уртад оногдох
ороодосын тоог n гэвэл dl урттай хэсэгт ndl ороодос багтах ба (14.18) ёсоор
А цэгт үүсэх соронзон орны индукц нь
dB=
(14.21)
байна.Зургаас үзвэл r=R/sina баl=R/tga учраас dl=Rda/sin2a болох тул
(14.21)-ийг а өнцгийн хувьсагчаар илэрхийлбэл:
dB=
(14.22)
L урттай соленоидын хязгаар дотор а өнцөг а1 –ээс а2 хүртэл өөрчлөгдөхий
анхааран (14.22)-ийг интегралчилбал А цэг дэх соронзон индукцийн утга
гарна:
В=
(14.25)
Соленоидын соронзон момент нь түүний бүх N=nL ороодсын соронзон
моментын вектор нийлбэртэй тэнцэнэ:
PM=NIS=nILS
(14.26)
Үүнийг S=nR2n. Соронзон моментын модуль нь:
үүний V=LS- соленоидын эзэлхүүн.
4

5. 3. Тодорхой гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцын шугамын тоогоор
тодорхойлогдох хэмжигдхүүнийг соронзон урсгал гэнэ. [Ф = Вб ]
Жижиг ds -гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцын векторын урсгал нь -
   
dФ = Bn ds = Bds -тэй тэнцүү. Үүний ds = ds * n энд n -гадаргын нормаль
Bn = B * cos α α -соронзон индукцын вектор ба гадаргын нормалийн
хоорондох өнцөг. Ямарваа гадаргыг нэвтрэх нийт соронзон урсгал нь

Ф = ∫ Bn ds = ∫ Bds болно. Хэрэв соронзон орон нэгэн төрлийн,гадарга
s s
хавтгай соронзон оронд ⊥ байрлаж байвал соронзон урсгал Ф = B * S
болно. [1Вб = 1Тл * 1м 2 ]
Амперийн хүчний үйлчлэлээр дамжуулагчийн хэсэг соронзон оронд
нэг байрлалаас нөгөө байрлалд шилжвэл соронзон орны гүйцэтгэх ажил
dA = F * dx = IBldx = IBds болно. dx -шилжилт
l * dx = ds -дамжуулагч шилжихэд зурагдсан талбай. dФ = B * ds − г тооцвол
dA = IdФ болно. Соронзон оронд гүйдэлтэй дамжуулагчийг шилжүүлэхэд
Ф2
хийгдэх ажил A = ∫ Idф = I (Ф
Ф1
2 − Ф1 ) болно
4. Соронзон орны циркуляцыг I -гүйдэлтэй төгсгөлгүй урт шулуун
дамжуулагчийн соронзон орны жишээн дээр бодъё.
∫( 
)
Bdl = ∫ Bdl cos α =
µµ0 I 2πr
2πr ∫
dl = µµ0 I
L L 0
Цахилгаан орны хүчлэг вектор ба соронзон орны индукцын векторын
 
циркуляцууд нь зарчмын ялгаатай. ∫Edl =0
энэ нь цахилгаан орон
 
потенциал орон болохыг заана. ∫Bdl = µ 0 I
µ энэ нь соронзон орон
хуйларсан орон болохыг заана.
Хэрэв битүү хүрээ гүйдэлтэй дамжуулагчийг агуулаагүй байвал
түүний дагуу соронзон индукцын векторын циркуляц тэгтэ й тэнцүү байна.
Ерөнхий тохиолдолд соронзон орныг хэд хэдэн гүйдэлтэй дамжуулагчийн
 n 
систем үүсгэж болно. Тэгвэл суперпозицын зарчмаар B = ∑ Bi буюу
i =1
∫( )
  n n
Bdl = µµ0 ∑ I i = µ a ∑ I i болно.
L i =1 i =1
Ямарваа битүү хүрээний дагуух соронзон индукцын векторын циркуляц
нь орчны абсолют соронзон нэвтрүүлэх чадварыг энэ хүрээнд агуулагдах
гүйдлийн алгебрь нийлбэрээр үржүүлсэнтэй тэнцүү. Үүнийг соронзон орны
бүрэн гүйдлийн хууль гэнэ. Энэ хуулиар Био-Савар-Лапласын хуулийн нэгэн
адил соронзог орныг тодорхойлох боломжтой.
5

6. 3. Тодорхой гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцын шугамын тоогоор
тодорхойлогдох хэмжигдхүүнийг соронзон урсгал гэнэ. [Ф = Вб ]
Жижиг ds -гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцын векторын урсгал нь -
   
dФ = Bn ds = Bds -тэй тэнцүү. Үүний ds = ds * n энд n -гадаргын нормаль
Bn = B * cos α α -соронзон индукцын вектор ба гадаргын нормалийн
хоорондох өнцөг. Ямарваа гадаргыг нэвтрэх нийт соронзон урсгал нь

Ф = ∫ Bn ds = ∫ Bds болно. Хэрэв соронзон орон нэгэн төрлийн,гадарга
s s
хавтгай соронзон оронд ⊥ байрлаж байвал соронзон урсгал Ф = B * S
болно. [1Вб = 1Тл * 1м 2 ]
Амперийн хүчний үйлчлэлээр дамжуулагчийн хэсэг соронзон оронд
нэг байрлалаас нөгөө байрлалд шилжвэл соронзон орны гүйцэтгэх ажил
dA = F * dx = IBldx = IBds болно. dx -шилжилт
l * dx = ds -дамжуулагч шилжихэд зурагдсан талбай. dФ = B * ds − г тооцвол
dA = IdФ болно. Соронзон оронд гүйдэлтэй дамжуулагчийг шилжүүлэхэд
Ф2
хийгдэх ажил A = ∫ Idф = I (Ф
Ф1
2 − Ф1 ) болно
4. Соронзон орны циркуляцыг I -гүйдэлтэй төгсгөлгүй урт шулуун
дамжуулагчийн соронзон орны жишээн дээр бодъё.
∫( 
)
Bdl = ∫ Bdl cos α =
µµ0 I 2πr
2πr ∫
dl = µµ0 I
L L 0
Цахилгаан орны хүчлэг вектор ба соронзон орны индукцын векторын
 
циркуляцууд нь зарчмын ялгаатай. ∫Edl =0
энэ нь цахилгаан орон
 
потенциал орон болохыг заана. ∫Bdl = µ 0 I
µ энэ нь соронзон орон
хуйларсан орон болохыг заана.
Хэрэв битүү хүрээ гүйдэлтэй дамжуулагчийг агуулаагүй байвал
түүний дагуу соронзон индукцын векторын циркуляц тэгтэ й тэнцүү байна.
Ерөнхий тохиолдолд соронзон орныг хэд хэдэн гүйдэлтэй дамжуулагчийн
 n 
систем үүсгэж болно. Тэгвэл суперпозицын зарчмаар B = ∑ Bi буюу
i =1
∫( )
  n n
Bdl = µµ0 ∑ I i = µ a ∑ I i болно.
L i =1 i =1
Ямарваа битүү хүрээний дагуух соронзон индукцын векторын циркуляц
нь орчны абсолют соронзон нэвтрүүлэх чадварыг энэ хүрээнд агуулагдах
гүйдлийн алгебрь нийлбэрээр үржүүлсэнтэй тэнцүү. Үүнийг соронзон орны
бүрэн гүйдлийн хууль гэнэ. Энэ хуулиар Био-Савар-Лапласын хуулийн нэгэн
адил соронзог орныг тодорхойлох боломжтой.
5

7. 3. Тодорхой гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцын шугамын тоогоор
тодорхойлогдох хэмжигдхүүнийг соронзон урсгал гэнэ. [Ф = Вб ]
Жижиг ds -гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцын векторын урсгал нь -
   
dФ = Bn ds = Bds -тэй тэнцүү. Үүний ds = ds * n энд n -гадаргын нормаль
Bn = B * cos α α -соронзон индукцын вектор ба гадаргын нормалийн
хоорондох өнцөг. Ямарваа гадаргыг нэвтрэх нийт соронзон урсгал нь

Ф = ∫ Bn ds = ∫ Bds болно. Хэрэв соронзон орон нэгэн төрлийн,гадарга
s s
хавтгай соронзон оронд ⊥ байрлаж байвал соронзон урсгал Ф = B * S
болно. [1Вб = 1Тл * 1м 2 ]
Амперийн хүчний үйлчлэлээр дамжуулагчийн хэсэг соронзон оронд
нэг байрлалаас нөгөө байрлалд шилжвэл соронзон орны гүйцэтгэх ажил
dA = F * dx = IBldx = IBds болно. dx -шилжилт
l * dx = ds -дамжуулагч шилжихэд зурагдсан талбай. dФ = B * ds − г тооцвол
dA = IdФ болно. Соронзон оронд гүйдэлтэй дамжуулагчийг шилжүүлэхэд
Ф2
хийгдэх ажил A = ∫ Idф = I (Ф
Ф1
2 − Ф1 ) болно
4. Соронзон орны циркуляцыг I -гүйдэлтэй төгсгөлгүй урт шулуун
дамжуулагчийн соронзон орны жишээн дээр бодъё.
∫( 
)
Bdl = ∫ Bdl cos α =
µµ0 I 2πr
2πr ∫
dl = µµ0 I
L L 0
Цахилгаан орны хүчлэг вектор ба соронзон орны индукцын векторын
 
циркуляцууд нь зарчмын ялгаатай. ∫Edl =0
энэ нь цахилгаан орон
 
потенциал орон болохыг заана. ∫Bdl = µ 0 I
µ энэ нь соронзон орон
хуйларсан орон болохыг заана.
Хэрэв битүү хүрээ гүйдэлтэй дамжуулагчийг агуулаагүй байвал
түүний дагуу соронзон индукцын векторын циркуляц тэгтэ й тэнцүү байна.
Ерөнхий тохиолдолд соронзон орныг хэд хэдэн гүйдэлтэй дамжуулагчийн
 n 
систем үүсгэж болно. Тэгвэл суперпозицын зарчмаар B = ∑ Bi буюу
i =1
∫( )
  n n
Bdl = µµ0 ∑ I i = µ a ∑ I i болно.
L i =1 i =1
Ямарваа битүү хүрээний дагуух соронзон индукцын векторын циркуляц
нь орчны абсолют соронзон нэвтрүүлэх чадварыг энэ хүрээнд агуулагдах
гүйдлийн алгебрь нийлбэрээр үржүүлсэнтэй тэнцүү. Үүнийг соронзон орны
бүрэн гүйдлийн хууль гэнэ. Энэ хуулиар Био-Савар-Лапласын хуулийн нэгэн
адил соронзог орныг тодорхойлох боломжтой.
5

8. 3. Тодорхой гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцын шугамын тоогоор
тодорхойлогдох хэмжигдхүүнийг соронзон урсгал гэнэ. [Ф = Вб ]
Жижиг ds -гадаргыг нэвтрэх соронзон индукцын векторын урсгал нь -
   
dФ = Bn ds = Bds -тэй тэнцүү. Үүний ds = ds * n энд n -гадаргын нормаль
Bn = B * cos α α -соронзон индукцын вектор ба гадаргын нормалийн
хоорондох өнцөг. Ямарваа гадаргыг нэвтрэх нийт соронзон урсгал нь

Ф = ∫ Bn ds = ∫ Bds болно. Хэрэв соронзон орон нэгэн төрлийн,гадарга
s s
хавтгай соронзон оронд ⊥ байрлаж байвал соронзон урсгал Ф = B * S
болно. [1Вб = 1Тл * 1м 2 ]
Амперийн хүчний үйлчлэлээр дамжуулагчийн хэсэг соронзон оронд
нэг байрлалаас нөгөө байрлалд шилжвэл соронзон орны гүйцэтгэх ажил
dA = F * dx = IBldx = IBds болно. dx -шилжилт
l * dx = ds -дамжуулагч шилжихэд зурагдсан талбай. dФ = B * ds − г тооцвол
dA = IdФ болно. Соронзон оронд гүйдэлтэй дамжуулагчийг шилжүүлэхэд
Ф2
хийгдэх ажил A = ∫ Idф = I (Ф
Ф1
2 − Ф1 ) болно
4. Соронзон орны циркуляцыг I -гүйдэлтэй төгсгөлгүй урт шулуун
дамжуулагчийн соронзон орны жишээн дээр бодъё.
∫( 
)
Bdl = ∫ Bdl cos α =
µµ0 I 2πr
2πr ∫
dl = µµ0 I
L L 0
Цахилгаан орны хүчлэг вектор ба соронзон орны индукцын векторын
 
циркуляцууд нь зарчмын ялгаатай. ∫Edl =0
энэ нь цахилгаан орон
 
потенциал орон болохыг заана. ∫Bdl = µ 0 I
µ энэ нь соронзон орон
хуйларсан орон болохыг заана.
Хэрэв битүү хүрээ гүйдэлтэй дамжуулагчийг агуулаагүй байвал
түүний дагуу соронзон индукцын векторын циркуляц тэгтэ й тэнцүү байна.
Ерөнхий тохиолдолд соронзон орныг хэд хэдэн гүйдэлтэй дамжуулагчийн
 n 
систем үүсгэж болно. Тэгвэл суперпозицын зарчмаар B = ∑ Bi буюу
i =1
∫( )
  n n
Bdl = µµ0 ∑ I i = µ a ∑ I i болно.
L i =1 i =1
Ямарваа битүү хүрээний дагуух соронзон индукцын векторын циркуляц
нь орчны абсолют соронзон нэвтрүүлэх чадварыг энэ хүрээнд агуулагдах
гүйдлийн алгебрь нийлбэрээр үржүүлсэнтэй тэнцүү. Үүнийг соронзон орны
бүрэн гүйдлийн хууль гэнэ. Энэ хуулиар Био-Савар-Лапласын хуулийн нэгэн
адил соронзог орныг тодорхойлох боломжтой.
5