Matriks dan penerapannya dalam bidang ekonomi

  • 21,069 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
21,069
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
614
Comments
2
Likes
6

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. MATRIKS DAN PENERAPANNYA DALAM BIDANG EKONOMI1. Definisi dan Notasi Matriks Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangandalam susunan itu disebut anggota dlaam matriks tersebut. Beberapa contoh matriks adalah , , , , . Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom (garisvertical) yang dikandungnya. Misalnya matriks pada contoh mempunyai ukuran 3baris dan 2 kolom, sehingga ukurannya adalah 3 kali 2(ditulis 3 2). Dalam suatuuraian ukuran, angka pertama selalu menyatakan jumlah baris dan angka kedua selalumenyatakan jumlah kolom. Selanjutnya pada contoh secara berurutan matriksmempunyai ukuran 1 3, 3 3, 2 1, dan 1 1. Untuk penamaan pada matriks,kita akan menggunakan huruf besar untuk menyatakan matriks dan huruf kecil untukmewakili bilangan; jadi kita boleh menuliskan atau Anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakansebagai . Dan sebuah matriks umum m n ditulis sebagai .
  • 2. 2. Operasi – Operasi Matriks a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang samadan anggota berpadanannya sama. Dalam notasi matriks, jika A = [aij] dan B = [bij]mempunyai ukuran sama, maka A=B jika dan hanya jika (A)ij = (B)ij atau secarasetara, aij = bij untuk semua i dan j.Jika A = [aij] dan B = [bij] mempunyai ukuran sama maka dan Contoh operasi penjumlahan matriks: Contoh operasi pengurangan matriks b. Perkalian Matriks Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks r n, makahasil kali AB adalah matriks m n yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagaiberikut. Untuk mencari anggota dalam baris I dan kolom j dari AB, pilih baris i darimatriks a dan kolom j dari matriks B. kalikan anggota-anggota yang berpadanan daribaris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. A B = AB m r r n m n di dalam di luar
  • 3. Tinjau matriks-matriks Karena matriks A matriks 2 3, dan matriks B adalah matriks 3 4, makahasil kali AB adalah sebuah matriks 2 4. Selanjutnya kita mengalikan anggota-anggota berpadanan dengan cara: (1.4) + (2.0) + (4.2) = 12 (1.1) (2.1) + (4.7) = 27 (1.4) + (2.3) + (4.5) = 30 (1.3) + (2.1) + (4.2) = 13 (2.4) + (6.0) + (0.2) = 8 (2.1) - (6.1) + (0.7) = 4 (2.4) + (6.3) + (0.5) = 26 (2.3) + (6.1) + (0.2) = 12 Jadi, bila dituliskan:A B menjadi =Jika ada sebarang scalar c dan matriks A,maka hasil kali cA adalah matriks yangdiperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan c. Dalam notasi matriks, jikaA = [aij] maka (cA)ij = c(A)ij = caij . Contoh: Matriks , kita mendapatkan bahwa 2A = .3. Transpos suatu matriks Jika A adalah sebarang matriks m n , maka transpos A dinyatakan dengan , didefinisikan sebagai matriks n m yang didapatkan dengan mempertukarkan
  • 4. baris dan kolom dari A; yaitu, kolom pertama dari adalah baris pertama dari A,kolom kedua dari adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. Contoh: maka, maka, Sifat-Sifat Transpos Matriks Jika ukuran matriks-matriks di bawah ini adalah sedemikian sehinggaoperasi yang dinyatakan bias dilakukan, maka: a. ((A)T)T = A b. (A+B)T = + dan (A – B)T = – c. (kA)T = kAT , dengan k adalah sebarang skalar d. (AB)T =4. Invers dari Sebuah Matriks Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika sebuah matriks B yangberukuran sama bias didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I. maka A disebutbias dibalik dan B disebut invers dari A. Contoh: Matriks adalah invers dari Karena
  • 5. danUntuk dapat mencari invers dapat kita perhatikan rumus berikut ini: , dapat dibalik jika ad – bc ≠ 0, di mana inversnya bias dicari denganrumus: =5. Determinan Sebuah Matriks Pada pembahasan di atas kita membahas bahwa sebuah matriks , dapat dibalik jika ad – bc ≠ 0. Ekspresi ad – bc muncul begitu seringdalam matematika hingga ekspresi ini diberi nama, yaitu determinan dari matriks A(2 2) dan dinyatakan sebagai symbol det(A). Menghitung sebuah determinan mulanya dari menghitung permutasi.Permutasi himpunan bilangan bulat {1, 2, 3,…, n} adalah susunan biangan-bilanganbulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilang atau pengurangan. Untuk menyatakansuatu permutasi umum dari himpunan {1, 2, 3,…, n}, kita akan menuliskan {j1, j2,…,jn}. di sini j1 adalah bilangan bulat pertama dalam permutasi, j2 adalah yang kedua,dan seterusnya. Suatu pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi {j1, j2,…,jn} bilamana suatu bilangan bulat yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. Totaljumlah pembalikan yang terjadi dlaam suatu permutasi bias didapatkan sebagaiberikut: (1) cari jumlah bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang mengikuti j1dalam permutasi tersebut; (2) cari jumlah bilangan bulat yang lebih kecil dari j2 danyang mengikuti permutasi tersebut. Teruskan proses menghitung ini untuk j3,…, jn – 1.
  • 6. Total dari jumlah – jumlah ini adalah total jumlah pembalikan dalam permutasitersebut.Contoh: Jumlah pembalikan dalam permutasi (6, 1, 3, 4, 5, 2) adalah : 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8. Jumlah pembalikan dalam permutasi (2, 4, 1, 3) adalah : 1 + 2 + 0 = 3. Untuk menghitung determinan suatu matriks kita dapat mendaftarkan semuahasil kali dasar dari suatu matriks A(n n). kita akan memberikan makna pada setiaphasil kali dari n anggota dari A, yang dua di antaranya tidak ada yang berasal daribaris atau kolom yang sama. Berikut adalah hasil kali bertanda dari matriks – matriks berordo 2 2 dan3 3. a. Hasil Kali Permutasi Jumlah Hasil Kali Dasar Klasifikasi Dasar Terkait Pembalikan Bertanda (1,2) 0 genap (2,1) 1 ganjilMengacu pada tabel di atas kita peroleh: =
  • 7. b. Hasil Kali Permutasi Jumlah Hasil Kali Dasar Klasifikasi Dasar Terkait Pembalikan Bertanda (1,2,3) 0 genap (1,3,2) 1 ganjil (2,1,3) 1 ganjil (2,3,1) 2 genap (3,1,2) 2 genap (3,2,1) 3 ganjilMengacu pada tabel di atas kita peroleh: = .Lebih mudah lagi, kita dapat menghitung dengan menjumlahkan hasil kali padapanah kanan dan mengurangkannya dengan hasil kali pada panah kiri.(a)
  • 8. Contoh :Hitung determinan dari A= dan B=Penyelesaian:Dengan menggunakan metode panah di atas kita peroleh:Det (A) = (3)( 2) – (1)(4) = 10Det (B) = (45) + (84) + (96) – (105) – ( 48) – ( 72) = 240.
  • 9. Penerapan Matriks pada Bidang Ekonomi1. Suatu perekonomian hipotesa yang sederhana terdiri dari dua industri A dan B yang dinyatakan dalam tabel berikut (data dalam puluhan juta dolar produk): Input Permintaan Jumlah Produsen A B akhir output A 14 6 10 35 B 7 18 15 48Tentukanlah vektor output perekonomian jika permintaan akhir berubah menjadi16untuk A dan 20 untuk B.Penyelesaian:Koefisien input I–A= dalam bentuk sederhana menjadi
  • 10. Jika C1 = 16, dan C2 = 10 maka vektor output menjadi: