Οι βασικές περιπτώσεις της Β Λυκείου-2014

1. Τριγωνομετρικές εξισώσεις
ΜΑΡΙΟΣ ΣΠΑΘΗΣ

2. Βασικοί τύποι
 x  2kπ  θ

ημx  ημθ  
η΄
, k
 x  2kπ  π  θ

συνx  συνθ  x  2kπ  θ , k 
εφx  εφθ  x  kπ  θ , k 
σφx  σφθ  x  kπ  θ , k 

3. Ίδιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί –
άλλα πρόσημα
𝜂𝜇𝑥 = −𝜂𝜇𝜃, 𝜎𝜐𝜈𝑥 = −𝜎𝜐𝜈𝜃,
 𝜀𝜑𝑥 = −𝜀𝜑𝜃, 𝜎𝜑𝑥 = −𝜎𝜑𝜃

Αναγόμαστε στους βασικούς τύπους,
χρησιμοποιώντας τις σχέσεις:
𝜂𝜇 −𝜃 = −𝜂𝜇𝜃, 𝜀𝜑 −𝜃 = −𝜀𝜑𝜃,
𝜎𝜑 −𝜃 = −𝜎𝜑𝜃
και
 𝜎𝜐𝜈 𝜋 − 𝜃 = −𝜎𝜐𝜈𝜃


4. Διαφορετικοί τριγωνομετρικοί αριθμοί – ίδια
ή διαφορετικά πρόσημα – διαφορετικά τόξα


𝜂𝜇 𝛼𝑥 + 𝛽 = ±𝜎𝜐𝜈(𝛾𝑥 + 𝛿)
𝜀𝜑 𝛼𝑥 + 𝛽 = ±𝜎𝜑(𝛾𝑥 + 𝛿)
Αλλάζουμε τον έναν από τους δύο τριγωνομετρικούς
αριθμούς (όποιον θέλουμε) σύμφωνα με τους τύπους
𝜋
𝜋
𝜂𝜇 − 𝜃 = 𝜎𝜐𝜈𝜃, συν − 𝜃 = 𝜂𝜇𝜃,
2
2
𝜋
𝜋
𝜀𝜑 − 𝜃 = 𝜎𝜑𝜃, 𝜎𝜑 − 𝜃 = 𝜀𝜑𝜃
2
2
ή, όποιον άλλο τύπο μετατροπής που αναφέρεται σε τόξα της
𝜋
3𝜋
μορφής + 𝜃.
± 𝜃 θεωρούμε κατάλληλο (συνίσταται
2
2
όταν έχουμε διαφορετικά πρόσημα)

5. Διαφορετικοί τριγωνομετρικοί
αριθμοί – ίδια τόξα
𝑘 ∙ 𝜂𝜇 𝛼𝑥 + 𝛽 = ±𝜆 ∙ 𝜎𝜐𝜈(𝛼𝑥 + 𝛽)
Αφού αποδείξουμε ότι 𝜎𝜐𝜈(𝛼𝑥 + 𝛽) ≠ 0 διαιρούμε με

αυτό και τα δύο μέλη και καταλήγουμε στην εξίσωση:
𝜆
𝜀𝜑 𝛼𝑥 + 𝛽 = ±
𝑘
 𝑘 ∙ 𝜀𝜑 𝛼𝑥 + 𝛽 = ±𝜆 ∙ 𝜎𝜑(𝛼𝑥 + 𝛽)
Χρησιμοποιούμε τη σχέση 𝜀𝜑𝑥 ∙ 𝜎𝜑𝑥 = 1 και
καταλήγουμε στην εξίσωση :
𝜀𝜑 2 𝛼𝑥 +
𝛽 =± 𝜆 𝑘
η οποία έχει νόημα μόνο όταν το β΄ μέλος είναι θετικό

6. Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε
δυνάμεις
𝑓 𝜂𝜇 𝜈 𝑥, 𝜂𝜇𝑥 = 0
ή ανάλογη παράσταση με οποιονδήποτε άλλο
τριγωνομετρικό αριθμό
Θέτουμε 𝑡 = 𝜂𝜇𝑥 (ή ό,τι άλλο έχουμε) και λύνουμε την
αντίστοιχη εξίσωση (προσέχουμε αν υπάρχουν περιορισμοί,
αφού −1
≤ 𝜂𝜇𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝜎𝜐𝜈𝑥 ≤ 1)