Άλγεβρα Α' Λυκείου - Θέματα ΟΕΦΕ (2006-2013) - Ερωτήσεις και απαντήσεις

1. 1
A΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
(ΑΛΓΕΒΡΑ)
ΘΕΜΑ 1Ο
α. Αν θ>0 να αποδείξετε ότι θxθθx ≤≤−⇔≤
Μονάδες 13
β. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της εξίσωσης αx2
+βx+γ=0, α≠ 0. Να
αποδείξετε ότι:
i) x1+x2=-
α
β
ii)
α
γ
xx 21 =⋅
Μονάδες 12
ΘΕΜΑ 2Ο
∆ίνονται οι ευθείες
(ε1): 4x2αy ++=
(ε2): 15x1α2y +−=
α. Αν οι (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες να βρείτε το α
Μονάδες 12
β. Για α=3 να βρείτε :
i) τις συντεταγµένες του σηµείου Α που η (ε1) τέµνει τον άξονα y΄y
καθώς και του σηµείου Β που η (ε2) τέµνει τον άξονα x΄x
Mονάδες 8
ii) την απόσταση ΑΒ
Μονάδες 5

2. 2
ΘΕΜΑ 3Ο
∆ίνεται η συνάρτηση
2x3x
1x
)x(f 2
2
+−
−
=
α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f
Μονάδες 7
β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της
Μονάδες 9
γ. Να αποδείξετε ότι:
2003
2006
2200532005
12005
2
2
=
+⋅−
−
Μονάδες 9
ΘΕΜΑ 4Ο
∆ίνεται η εξίσωση (λ+2)x2
-2λx-1=0 µε λ 2−≠ και λ R∈ (1)
α. Να αποδείξετε ότι έχει ρίζες άνισες για κάθε λ 2−≠ .
Μονάδες 8
β. Έστω x1,x2 οι ρίζες της (1) Να βρείτε:
i) Τα x1+x2 και x1:x2
Μονάδες 4
ii) Τις τιµές του λ για τις οποίες η (1) έχει ρίζες ετερόσηµες
Μονάδες 6
iii) Τις τιµές του λ ώστε να ισχύει x1+x2<x1:x2
Μονάδες 7

3. 1
A΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
(ΑΛΓΕΒΡΑ)
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1Ο
Α. Θεωρία σελ. 38 σχολικού βιβλίου
Β. α,β θεωρία σελ 122 σχολικού βιβλίου
ΘΕΜΑ 2Ο
α. (ε1)//(ε2)







−=⇔+−=+
=⇔−=+
⇔−±=+⇔−=+⇔
3
1
α1α22α
ή
3α1α22α
)1α2(2α1α22α
β. i) (ε1): y=5x+4
x=0 Α(0,4)
(ε2) : y= 5x+15
y=0 B(-3, 0)
ii) ( ) 52543AB 22
==+−=
ΘΕΜΑ 3Ο
α. Το πεδίο ορισµού της f είναι }2,1{R −
β. Οι ρίζες του τριωνύµου 2x3x2
+− είναι 1,2 άρα:
).2x)(1x(2x3x2
−−=+− Τότε:
2x
1x
)2x)(1x(
)1x)(1x(
2x3x
1x
2
2
−
+
=
−−
+−
=
+−
−
γ. Από το β για x=2005 έχουµε:
2003
2006
22005
12005
2200532005
12005
2
2
=
−
+
=
+⋅−
−

4. 2
ΘΕΜΑ 4Ο
α. Πρέπει ∆>0 02λλ0)2λ(4λ4 22
>++⇔>++⇔ που ισχύει για κάθε Rλ ∈
διότι ∆=-7<0
β. i)
2λ
λ2
xx 21
+
=+ και
2λ
1
xx 21
+
−
=
ii) x1,x2 ετερόσηµες άρα P<0 ⇔ 2λ0
2λ
1
−>⇔
+
−
p
iii) ( )
2
1
λ20)2λ(1λ20
2λ
1λ2
2λ
1
2λ
λ2 −
<<−⇔<++⇔<
+
+
⇔
+
−
<
+

5. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2007 1
1
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ˆˆˆˆ˚˚˚˚˩˩˩˩˞˞˞˞ ˬˬˬˬ
ʿ ˋ˞ ˡˬ˥ˢ˜ ˬ ˬˮ˦˰˩˹˯ ˱ˤ˯ ˞˭˹˨˲˱ˤ˯ ˱˦˩˛˯
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˀ ˋ˞ ˞˭ˬˡˢ˜˫ˢ˱ˢ ˹˱˦: βαβα .. =
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˁ ˋ˞ ˰˲˩˭˨ˤˮ˶˥ˬ˺˪ ˰˱ˬ ˱ˢ˱ˮ˙ˡ˦ˬ ˰˞˯ ˱˞ ˧ˢ˪˙ ˰˱ˬ˲˯ ˱˺˭ˬ˲˯
˞˪ ˥! ˧˞˦ χ ื ˥ ඼
˞˪ χ = α ඼ ˛ .......................
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
˂ ˋ˞ ˴˞ˮ˞˧˱ˤˮ˜˰ˢ˱ˢ ˱˦˯ ˭˞ˮ˞˧˙˱˶ ˭ˮˬ˱˙˰ˢ˦˯ ˰ˤ˩ˢ˦˻˪ˬ˪˱˞˯ ˰˱ˬ ˱ˢ˱ˮ˙ˡ˦˹ ˰˞˯
˱ˬ ˞˪˱˜˰˱ˬ˦˴ˬ ˠˮ˙˩˩˞ ː ˰˶˰˱˹

6. ˛ ˉ ˨˙˥ˬ˯

7. ˞˪ α ุ ˧˞˦ ˟ ุ ˱˹˱ˢ α + β = α + β
ˬ ˞ˮ˦˥˩˹˯ -x ˢ˜˪˞˦ ˞ˮ˪ˤ˱˦˧˹˯ ˠ˦˞ ˧˙˥ˢ Rx ∈
˞˪ G [

8. ⇔ [
a2
= α ˠ˦˞ ˧˙˥ˢ Ra ∈
˞˪ ˞˟ ˱˹˱ˢ ˞

9. ˟

10. ˞˟

11. ˟!
˩ˬ˪˙ˡˢ˯

12. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2007 2
2
ˆˆˆˆ˚˚˚˚˩˩˩˩˞˞˞˞ ˬˬˬˬ
˂˜˪ˢ˱˞˦ ˱ˬ ˰˺˰˱ˤ˩˞ ˴˵
˴˵ λ , R∈λ
ʿ ˋ˞ ˲˭ˬ˨ˬˠ˜˰ˢ˱ˢ ˱˦˯ ˭ˬ˰˹˱ˤ˱ˢ˯ ' , 'χ , 'ψ
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˀ ˋ˞ ˢ˫ˤˠ˛˰ˢ˱ˢ ˠ˦˞˱˜ ˱ˬ ˰˺˰˱ˤ˩˞ ˚˴ˢ˦ ˩ˬ˪˞ˡ˦˧˛ ˨˺˰ˤ ˧˞˦ ˪˞ ˲˭ˬ˨ˬˠ˜˰ˢ˱ˢ ˱ˤ
˨˺˰ˤ ˞˲˱˛
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˆˆˆˆ˚˚˚˚˩˩˩˩˞˞˞˞ ˬˬˬˬ
ʿ ˋ˞ ˨˲˥ˢ˜ ˤ ˞˪˜˰˶˰ˤ _x – 1| – 2 ≤ 2 |1 – x|
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˀ ˋ˞ ˨˲˥ˢ˜ ˤ ˢ˫˜˰˶˰ˤ x –

13. ದ x –

14. -
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˁ ˪˞ ˞˭ˬˡˢ˜˫ˢ˱ˢ ˹˱˦ 5
23
2
23
3
=
+
−
−
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˆˆˆˆ˚˚˚˚˩˩˩˩˞˞˞˞ ˬˬˬˬ
˂˜˪ˬ˪˱˞˦ ˬ˦ ˢ˲˥ˢ˜ˢ˯ ˢ

15. ˵ 1α −

16. x και ˢ

17. ˵ ದ
3
1
x
3
1
−
ʿ ˋ˞ ˟ˮˢ˥ˬ˺˪ ˬ˦ ˱˦˩˚˯ ˱ˬ˲ R∈α ˠ˦˞ ˱˦˯ ˬ˭ˬ˜ˢ˯ ˬ˦ ˢ˲˥ˢ˜ˢ˯ ˢ

18. και ˢ

19. ˢ˜˪˞˦
˧˙˥ˢ˱ˢ˯
˩ˬ˪˙ˡˢ˯

20. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2007 3
3
ˀ ˁ˦˞ ˞
ˋ˞ ˟ˮˢ˥ˢ˜ ˱ˬ ˰ˤ˩ˢ˜ˬ ˱ˬ˩˛˯ ʿ ˱˶˪ ˢ˲˥ˢ˦˻˪ ˢ

21. ˢ

22. ˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˋ˞ ˟ˮˢ˥ˢ˜ ˤ ˞˭˹˰˱˞˰ˤ ˱ˬ˲ ˰ˤ˩ˢ˜ˬ˲ ʿ ˞˭˹ ˱ˤ˪ ˞ˮ˴˛ ˱˶˪
˞˫˹˪˶˪
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˁ ˁ˦˞ ˭ˬ˦˞ ˱˦˩˛ ˱ˬ˲ R∈λ ˱ˬ ˰ˤ˩ˢ˜ˬ ʿ ˞˪˛˧ˢ˦ ˰˱ˤ ˠˮ˞˳˦˧˛ ˭˞ˮ˙˰˱˞˰ˤ ˱ˤ˯
˰˲˪˙ˮ˱ˤ˰ˤ˯ ˩ˢ ˱˺˭ˬ: ( ) 12
−+= xxxf λ , Rx ∈ .
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
˂ ˁ˦˞ ˨ ˪˞ ˟ˮˢ˥ˬ˺˪ ˱˞ ˡ˦˞˰˱˛˩˞˱˞ ˰˱˞ ˬ˭ˬ˜˞ ˤ ˠˮ˞˳˦˧˛ ˭˞ˮ˙˰˱˞˰ˤ ˱ˤ˯ I
˟ˮ˜˰˧ˢ˱˞˦ ˭˙˪˶ ˞˭˹ ˱ˬ˪ ˙˫ˬ˪˞ ˴ʴ˴.
˩ˬ˪˙ˡˢ˯
ˈ˞˨˛ ˃˭˦˱˲˴˜˞

23. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2007 1
1
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Θέµα 1ο
Α. Σχ. Βιβλίο σελ. 38
Β. Σχ. Βιβλίο σελ. 40
Γ. 1. αν θ0 και χ θ -θ χ θื ඼ ื ื
χ = α ඼ ˴ ˞ ˛ χ = - α
˂
1. Λ
2. Λ
3. Σ
4. Λ
5. Σ
Θέµα 2ο
( )( ) 5161132
31
12
=−=−−−⋅=
−
−
=D
( ) λλ
λ
+=−−⋅=
−
= 3131
3
11
xD
( ) 12112
1
12
+=−−=
−
= λλ
λ
ϕD
Β. Επειδή 0D ≠ το σύστηµα έχει µοναδική λύση την:
3
5
xD
x
D
λ+
= =
2 1
5
yD
y
D
λ +
= =

24. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2007 2
2
Θέµα 3ο
Α.
3 1 2 2 1 3 1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 3
x x x x
x x x
− − ≤ − ⇔ − − − ≤ ⇔
⇔ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Β.
( ) ( )
4 2
2
1 3 1 4 0
:( 1) , 0
x x
xθετω ω ω
− − − − =
− = ≥
2 1 ( )
3 4 0
4
ω
ω ω
ω
= − ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ
− − = 〈
=
άρα ( )
2
31 2
1 4
11 2
xx
x ΄΄
xx
ηη
=− =  
  
− = ⇒ ⇒  
   = −− = −  
Γ.
3 2 3( 3 2) 2( 3 2) 3 3 2 3 2 2
1 13 2 3 2 ( 3 2)( 3 2) ( 3 2)( 3 2)
3 3 2 ( 3 2 2) 3 3 2
+ − + −
− = − = − =
− + − + + −
= + − − = + 3 2− 2 3 2 5+ = + =
Θέµα 4ο
Α.
1 2
1
. 1 (2 1)( ) 1 2 1 3 2 4
3
2
2 '
2
ε ελ λ α α α
α
α η
α
= − ⇔ − − = − ⇔ − = ⇔ = ⇔
=

⇔ = ⇔ 
 = −
Β. 1.
1
2
( ): 3 3 1 1
3 3 9 9 1 10 10 1
3 31 1
( ):
3( 1) 3 33 3
y x
x x x x x x
y x
y y
ε
ε
= +
+ = − − ⇔ + = − − ⇔ = − ⇔ = −
⇔
= − −  = − + ⇒ = − 3+ 0y



 ⇒ =
Άρα το σηµείο τοµής των ε1 και ε2 είναι το Α(-1,0)

25. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2007 3
3
Β.2.
d(AO) = 2 2 2 2
( ) ( ) ( 1 0) (0 0) 1 1 ( ) 1A OX X d AOΑ Ο− + Ψ − Ψ = − − + − = = ⇒ =
B.3. Αρκεί 2
( 1) 0 ( 1) ( 1) 1 0 1f λ− = ⇔ − + − − = ⇔ 1λ− − 0 0λ= ⇔ =
Β.4. Για λ=0 2
( ) 1f x x= −
Αρκεί
22 2 2
1
( ) 0 1 0 1 1 '
1
x
f x x x x
x
η
−

⇔ − ⇔ ⇔ ⇔ 
 

26. 1
1
A' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Έστω x1 και x2 οι ρίζες της εξίσωσης 2
0, 0ax xβ γ α+ + = ≠ . Να αποδείξετε ότι:
i. x1 + x2 = -
β
α
ii. x1 ⋅ x2 =
γ
α
(9 µονάδες)
Β. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση :
i. Οι ε1 :y =2x+5 και ε2: y=λx+2008 είναι παράλληλες αν:
α. λ=5
β. λ=2008
γ. λ= -
1
2
δ. λ=2
ii. Αν η εξίσωση x2
–5x+κ=0 έχει ρίζα το 2 τότε:
α. κ =6
β. κ =0
γ. κ = 2
δ. κ = -6
iii. Αν D=0 και Dx=Dy=5 τότε το σύστηµα:
α. έχει άπειρο πλήθος λύσεων
β. είναι αδύνατο
γ. έχει µοναδική λύση (x,y) = (0,0)
δ. έχει µοναδική λύση (x,y) = (5,5)
(6 µονάδες)

27. 2
2
Γ. Να σηµειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή
λανθασµένες (Λ) :
i. Αν x ≥ 0 τότε |x|=x
ii. Η εξίσωση x2
+αx–1 =0 έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε α∈IR
iii. 2
α = 2
( )α , για κάθε α∈IR
iv. α - β = α β− , για κάθε α β 0
v. xy = x2
⇔ x = y , για κάθε x, y ∈IR
(10 µονάδες)
ΘΕΜΑ 2ο
∆ίνεται η συνάρτηση:
f(x) =
3
2
4
2
x x
x x
−
+
A. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης και να απλοποιηθεί ο τύπος της.
(10 µονάδες)
Β. Να υπολογιστεί η παράσταση:
Α=
(3) (1)
(4) 2
f f
f
−
−
(8 µονάδες)
Γ. Να λυθεί η εξίσωση |f(4) ⋅ x – 1| = |2 – f(3) ⋅ x|
(7 µονάδες)
ΘΕΜΑ 3ο
∆ίνεται η εξίσωση x2
– (λ+1)x + λ = 0
i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε τιµή του λ.
(8 µονάδες)
ii. Αν x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε (x1+x2)2
- 2x1x2 =10
(8 µονάδες)
iii. Για λ=3, να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου
βαθµού µε ρίζες 2x1 και 2x2.
(9 µονάδες)

28. 3
3
ΘΕΜΑ 4ο
∆ίνεται το σύστηµα:
2
2
x y
x y
λ
λ λ
− + = 
 
− = + 
i. Να δείξετε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση για κάθε λ∈IR
(5 µονάδες)
ii. Να βρεθεί η µοναδική λύση (x0,y0) του συστήµατος.
(8 µονάδες)
iii. Να λυθεί η ανίσωση
x0 + y0 ≥ -3
(12 µονάδες)

29. 1
1
A' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. σχολικό βιβλίο σελ.122.
B. i. δ
ii. α
iii. β
Γ. i. Σ
ii. Σ
iii. Λ
iv. Λ
v. Λ
ΘΕΜΑ 2ο
Α. Πρέπει και αρκεί
2
x 2x 0 x(x 2) 0 x 0+ ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠ και
x 2 0+ ≠ x 0⇔ ≠ και x 2≠ − .Άρα { }fD 0, 2= − −ℝ .
Β.
f (3) f (1) 1 1 2 2( 2 2) 2( 2 2)
( 2 2)
2 4f (4) 2 2 2 2 2 ( 2 2)( 2 2)
− + + +
Α = = = = = = − +
−− − − − +
Γ. | f (4) x 1| | 2 f (3) x | | 2x 1| | 2 x | 2x 1 2 x⋅ − = − ⋅ ⇔ − = − ⇔ − = − ή
2x 1 2 x x 1− = − + ⇔ = ή x 1= − .

30. 2
2
ΘΕΜΑ 3ο
i)
[ ]
22 2 2 2
4 ( 1) 4 1 2 1 4 2 1 ( 1) 0β αγ λ λ λ λ λ λ λ λ∆ = − = − + − ⋅ ⋅ = + + − = − + = − ≥
ii)
2 2
1 2 1 2
2 2
(x x ) 2x x 10 ( 1) 2 10
2 1 2 10 9 3
λ λ
λ λ λ λ λ
+ − ⋅ = ⇔ + − = ⇔
⇔ + + − = ⇔ = ⇔ = ±
όπου 1 2
( 1)
x x 1
1
β λ
λ
α
− +
+ = − = − = + και 1 2x x
1
γ λ
λ
α
⋅ = = = .
iii) Αν 3λ = τότε η εξίσωση είναι η
2
x 4x 3 0− + = . Οπότε
1 2
4
x x 4
1
β
α
−
+ = − = − = και 1 2
3
x x 3
1
γ
α
⋅ = = = .
Άρα 1 2 1 2S 2x 2x 2(x x ) 2 4 8= + = + = ⋅ = και
1 2 1 2P 2x 2x 4x x 4 3 12= ⋅ = ⋅ = ⋅ = .
Εποµένως η ζητούµενη εξίσωση 2ου
βαθµού είναι η
2 2
x S x P 0 x 8x 12 0− ⋅ + = ⇔ − + = .
ΘΕΜΑ 4ο
i)
1 1
D ( 1) ( 2) 1 1 1 0
1 2
−
= = − ⋅ − − ⋅ = ≠
−
. Άρα το σύστηµα έχει µοναδική λύση.
ii)
2 2
x 2
1
D 2 3
2
λ
λ λ λ λ λ
λ λ
= = − − − = − −
+ −
.
2 2
2
1
D 2
1
ψ
λ
λ λ λ λ λ
λ λ
−
= = − − − = − −
+
.
Εποµένως
2
2xD 3
x 3
D 1
λ λ
λ λ
− −
= = = − − και
2
y 2
D 2
y 2
D 1
λ λ
λ λ
− −
= = = − − οπότε
2 2
0 0(x ,y ) ( 3 , 2 )λ λ λ λ= − − − −
είναι η λύση του συστήµατος.

31. 3
3
iii)
2 2 2
0 0x y 3 3 ( 2 ) 3 2 5 3 0λ λ λ λ λ λ+ ≥ − ⇔ − − + − − ≥ − ⇔ − − + ≥ .
2 2
4 ( 5) 4 ( 2) 3 25 24 49β αγ∆ = − = − − ⋅ − ⋅ = + = .
1,2
( 5) 49 5 7
2 2 ( 2) 4
β
λ
α
− ± ∆ − − ± ±
= = = =
⋅ − −
1
2
5 7
3
4
5 7 1
4 2
λ
λ
+
= = − −

− = =
 −
Άρα λ
1
3,
2
 
∈ −  
00
-2λ2
-5λ+3 -
λ -3 ½
-+
-∞ +∞

32. 1
1
Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Να γράψετε τον ορισµό της συνάρτησης από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β.
(µονάδες 5)
Β. Αν 0, ≥βa , να αποδείξετε ότι: ννν
βαβα ⋅=⋅
(µονάδες 10)
Γ. Να σηµειώσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) ή
λανθασµένες (Λ).
α) Για κάθε ℜ∈βα, ισχύει: βαβα +=+ .
β) Η γραφική παράσταση µίας συνάρτησης f τέµνει κάθε κατακόρυφη ευθεία
σε ένα το πολύ σηµείο.
γ) Αν D, Dx, Dy οι ορίζουσες ενός συστήµατος δύο γραµµικών εξισώσεων µε
δύο αγνώστους, µε D = Dx = Dy = 0, τότε το σύστηµα έχει πάντα άπειρο
πλήθος λύσεων.
δ) Αν στην εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0, 0≠a , ισχύει 0≺γ⋅a τότε η εξίσωση
έχει δύο ρίζες άνισες.
ε) Αν 0≠γ , τότε βγαγβ ⇔a .
(µονάδες 10)
ΘΕΜΑ 2ο
∆ίνεται το σύστηµα






−=−+
=++
5)2(
55)2(
yx
yx
λ
λ
α) Να βρείτε τις τιµές των οριζουσών D, Dx, Dy
(µονάδες 6)
β) Να λύσετε το σύστηµα για τις διάφορες τιµές του λ.
(µονάδες 12)
γ) Αν (x0, y0) η µοναδική λύση του παραπάνω συστήµατος, να βρείτε το λ ώστε
1
55
=−
oo yx
(µονάδες 7)

33. 2
2
ΘΕΜΑ 3ο
∆ίνεται η εξίσωση: 01)1(2
=+−+ xx λ , µε ℜ∈λ η οποία έχει δύο ρίζες άνισες τις x1
και x2.
α) Να δείξετε ότι 21 ≻λ−
(µονάδες 7)
β) Να υπολογίσετε τις τιµές του λ.
(µονάδες 6)
γ) Να εκφράσετε σαν συνάρτηση του λ τις τιµές των πιο κάτω παραστάσεων
21 xx +=Κ , 21 xx ⋅=Λ ,
21
11
xx
+=Μ
(µονάδες 6)
δ) Να βρείτε το λ ώστε να ισχύει: 533 212
2
1
2
21 =+++ xxxxxx λλ
(µονάδες 6)
ΘΕΜΑ 4ο
∆ίνεται η συνάρτηση






≤+
≤−−
=
52,
25,52
)(
≺
≺
xx
xax
xf
β
ℜ∈β,a
Για την οποία ισχύουν: )4()2( ff =− και )1()2( −= ff
α) Να δείξετε ότι α= −1 και β= −5.
(µονάδες 7)
β) Να βρείτε το ℜ∈λ ώστε οι ευθείες
(ε1): y = (λ4
+2) x + f(1) και
(ε2): y = f(-3) + (13λ2
-34) x ,να είναι παράλληλες
(µονάδες 8)
γ) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση:
f(x) = 1
(µονάδες 10)

34. 1
1
Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Ορισµός σχολικού βιβλίου, σελ. 63.
Β. Απόδειξη, σελ. 45, σχολικού βιβλίου.
Γ. α. Λ
β. Σ
γ. Λ
δ. Σ
ε. Λ
ΘΕΜΑ 2ο
α.
D= )3)(3(954
21
52 22
−+=−=−−=
−
+
λλλλ
λ
λ
Dx= )3(51552510525)2(5
25
55
+=+=+−=+−=
−−
λλλλ
λ
Dy= )3(515551055)2(5
51
52
+−=−−=−−−=−+−=
−
+
λλλλ
λ
β. Αν 0≠D , τότε 0)3)(3( ≠−+ λλ , οπότε 3−≠λ και 3≠λ , εποµένως το
σύστηµα έχει µοναδική λύση την:
3
5
)3)(3(
)3(5
−
=
−+
+
==
λλλ
λ
D
D
x x
3
5
)3)(3(
)3(5
−
−
=
−+
+−
==
λλλ
λ
D
D
y y
Αν 330 =−=⇔= λλ ήD

35. 2
2
i)
55
553
−=−
=+−⇒−=
yx
yxλ
⇔
−⋅ )1(
55
55
−=−
−=−
yx
yx
⇔−=−⇔ 55yx
55 −= yx , ℜ∈y
(x, y) = (5y -5, y), ℜ∈y , άπειρες λύσεις
ii)
5
5553
−=+
=+⇒=
yx
yxλ
⇔
5: 5
1
−=+
=+
yx
yx
51 −=⇔
αδύνατο
γ.
3
5
0
−
=
λ
x
, 3
5
0
−
−
=
λ
y
⇔=−+−⇔=
−
−⇔=−
−−
1331
55
1
55
3
5
3
5
λλ
λλoo yx
2
5
2
7
162162162 ==⇔−=−=−⇔=− λλλλλ ήή (δεκτές)
ΘΕΜΑ 3ο
α. Αφού η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες, τότε
214)1(04)1(0 22
ffff λλλ −⇔−⇔−−⇔∆
β. λλλλλ pfpff 2121212121 −−⇔−−−⇔− ήή
31 fp λλ ή−
γ. Από τους τύπους του Vieta
1
1
1
21 −=
−
−=−=+=Κ λ
λ
α
β
xx
121 ==⋅=Λ
α
γ
xx
1
1
111
21
21
21
−=
−
=
⋅
+
=+=Μ λ
λ
xx
xx
xx

36. 3
3
δ. 5)(3)( 212121 =+++ xxxxxxλ
5)1(3)1(1 =−⋅+−⋅⋅ λλλ
05332
=−−+− λλλ
0822
=−+ λλ
31
42
fp λλ
λλ
ή
ή
−
−==
4−=⇔ λ , δεκτή
ΘΕΜΑ 4ο
α.
)1()2(
)4()2(
−=
=−
ff
ff
⇔ 5)1(22
45)2(2
−−=+
+=−−⋅
αβ
βα
⇔ 522
454
−−=+
+=−−
αβ
βα
⇔
72
122
72
94
−=+
−=⇔=−
−=+
=−−
βα
αα
βα
βα
⇔ 7)1(2 −=+−⋅ β ⇔ 5−=β
β. ⇔=+−⇔−=+⇔= 0361334132 2424
21 λλλλλελε
ωλτωθ
λλ
=
=+−
2
222
03613)(
έ
⇔ 9403613 21
2
==⇔=+− ωωωω ή
242
±=⇔= λλ
392
±=⇔= λλ
γ. το πεδίο ορισµού της f είναι Α = [-5,5)
25 px≤−•
3621521)( −=⇔=−⇔=−−⇔= xxxxf δεκτή
52 px≤•
6151)( =⇔=−⇔= xxxf απορρίπτεται

37. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2010 1
1
Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Αν θ 0 να αποδείξετε ότι |x| θ ⇔ −θ x θ.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 10
Β. Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων δίνονται τα σηµεία Α(x1 , y1) και
Β(x2, y2). Να γράψετε τον τύπο, µε τον οποίο υπολογίζεται η απόσταση ΑΒ.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας
δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σ ΣΤΟ αν η
πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
α) Αν α,β R∈ , τότε ισχύει: |α – β| = |β – α|.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 2
β) Αν α γ 0⋅ , τότε το τριώνυµο αx2
+ βx + γ παίρνει τη µορφή
αx2
+ βx+ γ = α (x – x1)(x –x2) ,όπου x1, x2 οι ρίζες του τριωνύµου.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 2
γ) Ισχύει πάντοτε νν
α α= , όπου ν θετικός ακέραιος και α R∈ .
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 2
δ) Αν α β 0⋅ , τότε πάντοτε ισχύει: αβ α β= .
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 2
ε) Αν x 0, τότε
2
x
1
x
= .
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 2
ΘΕΜΑ 2ο
∆ίνονται οι ευθείες ε1 και ε2 µε εξισώσεις
ε1: y = (λ – 2)x + 1, ε2: y =
2 λ
x 1
4
−
−
α) Να βρείτε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ ώστε οι ευθείες ε1 και ε2 να
είναι παράλληλες.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 10
β) Να βρείτε τις τιµές των πραγµατικών αριθµών λ ώστε οι ευθείες ε1 και ε2 να
είναι κάθετες µεταξύ τους.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 15

38. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2010 2
2
ΘΕΜΑ 3ο
∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = x4
– αx2
+ 2, x R∈ , όπου
2 1 2 1
α
2 1 2 1
+ −
= +
− +
.
α) Να αποδείξετε ότι α = 6.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8
β) Nα υπολογίσετε την τιµή f(1).
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 2
γ) Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = f(1).
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8
δ) Να λύσετε την ανίσωση: f(x) – f(1) ≤ 0.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 7
ΘΕΜΑ 4ο
∆ίνεται η εξίσωση 2
D ω (Dx Dy) ω 2Dx Dy 0⋅ − − ⋅ + + = (1), όπου D, Dx, Dy
πραγµατικοί αριθµοί ίσοι µε τις ορίζουσες ενός συστήµατος (Σ) δύο γραµµικών
εξισώσεων µε δύο αγνώστους.
Α. Έστω ότι η εξίσωση (1) είναι δευτέρου βαθµού ως προς ω
α) Να αποδείξετε ότι το γραµµικό σύστηµα (Σ) έχει µοναδική λύση.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 6
β) Αν για το άθροισµα S και το γινόµενο P των ριζών της (1) ισχύει S = –1
και P = –2, τότε:
i) Να δείξετε ότι x yD D
= 1
D
−
− και x y2D +D
= 2
D
−
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 6
ii) Να βρείτε τη µοναδική λύση του γραµµικού συστήµατος (Σ).
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 5
Β. Αν D = 0 και η (1) είναι αδύνατη, τότε να δείξετε ότι και το γραµµικό σύστηµα
(Σ) είναι αδύνατο.
ΜΟΝΑ∆ΕΣ 8
ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!

39. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2010 1
1
Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Βλέπε απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ.38
Β. Βλέπε ορισµό σχολικού βιβλίου σελ. 71
Γ. α. Σ
β. Σ
γ. Λ
δ. Λ
ε. Σ
ΘΕΜΑ 2ο
α. Επειδή οι ευθείες είναι παράλληλες ισχύει α1 = α2 δηλαδή
2
2
4
− λ
λ − = ⇔ 4(λ – 2 ) = 2 – λ⇔ 4λ – 8 = 2 – λ ⇔ 5λ = 10⇔ λ = 2
β. Επειδή οι ευθείες είναι κάθετες ισχύει 1 2 1α α = − δηλαδή
2 2(2 )
( 2) 1 ( 2) 4 ( 2) 4 2 2
4
− λ
λ − ⋅ = − ⇔ − λ − = − ⇔ λ − = ⇔ λ − =
( 2 2⇔ λ − = ή 2 2λ − = − )⇔ ( 4λ = ή 0λ = )
ΘΕΜΑ 3ο
α.
2 2
( 2 1) ( 2 1)
α
( 2 1) ( 2 1)
+ + −
=
+ ⋅ −
= 2 2
2 2 2 1 2 2 2 1
( 2) 1
+ + + − +
−
=
6
2 1−
= 6
β. Για α = 6 η συνάρτηση γίνεται: f(x) = 4 2
x 6x 2− + , οπότε
f(1) = 4 2
1 6 1 2 1 6 2 3− ⋅ + = − + = − .
γ. Έχουµε f(x) = f(1) ⇔ 4 2 4 2
x 6x 2 3 x 6x 5 0− + = − ⇔ − + = θέτουµε 2
x = ω , όπου
0ω , οπότε η εξίσωση γίνεται 2
6 5 0ω − ω + = .
2
( 6) 4.1.5 36 20 16∆ = − − = − = , άρα 1
6 4
5
2
+
ω = = και 2
6 4
1
2
−
ω = = οι οποίες
είναι δεκτές. Έτσι 2
x 5 x 5= ⇔ = ± ή 2
x 1 x 1= ⇔ = ±
δ. Έχουµε 4 2 2
f (x) f (1) 0 x 6x 5 0 6 5 0 1 5− ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ω − ω + ≤ ⇔ ≤ ω ≤ οπότε
έχουµε τις δύο ανισώσεις 2
x 1 x 1 x 1ή x 1≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ − ≥ και
2
x 5 x 5 5 x 5≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ .

40. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2010 2
2
Οι οποίες συναληθεύουν για του πραγµατικούς που ανήκουν στο διάστηµα
5, 1 1, 5   − − ∪   
ΘΕΜΑ 4ο
Α. α. Επειδή η εξίσωση (1) θέλουµε να είναι δευτέρου βαθµού ως προς ω,
πρέπει να ισχύει D ≠ 0. Άρα το γραµµικό σύστηµα (Σ) έχει µοναδική
λύση.
β. i. Από τους τύπους «Vietta» έχουµε:
x yD D
S 1 1
D
−β
= − = − ⇔ = −
α
x y2D D
P 2 2
D
+γ
= = − ⇔ = −
α
ii. από το β (i) ερώτηµα έχουµε
yx
D 0
x y
x y yx
DD
1D D D x y 1D D
2D D 2D D 2x y 2D
2 2
D D
≠

− = −− = − − = − 
⇔ ⇔  
+ = − + = −  + = −

Προσθέτουµε κατά µέλη οπότε έχουµε 3x = –3 ⇔ x=–1.
Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση προκύπτει:
1 y 1 y 0− − = − ⇔ =
Τελικά η µοναδική λύση του (Σ) είναι το ζεύγος (–1,0).
Β. Αν D = 0, τότε η εξίσωση (1) γίνεται:
x y x y x y x y(D D )ω 2D D 0 (D D )ω 2D D− − + + = ⇔ − = + .
Η εξίσωση είναι αδύνατη, άρα πρέπει να ισχύει:
x y x y x y x y
x y x x x x
D D 0 D D D D D D
2D D 0 2D D 0 3D 0 D 0
− = = = =   
⇔ ⇔ ⇔   
+ ≠ + ≠ ≠ ≠  
.
Άρα το σύστηµα (Σ) είναι αδύνατο.

41. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2011
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2011
Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
1
1
Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Αν η εξίσωση 2
αx βx γ 0,α,β,γ R,α 0+ + = ∈ ≠ έχει ρίζες τους πραγµατικούς
αριθµούς 1 2x ,x , να αποδείξετε ότι: 1 2
γ
x x
α
⋅ = .
Μονάδες 10
Β. Πότε µία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α, λέγεται άρτια;
Μονάδες 5
Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο
σας δίπλα στον αριθµό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σ ΣΤΟ, αν η
πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
i) Για κάθε ρ 0 ισχύει x ρ ρ x ρ ⇔ − .
ii) Αν α β 0⋅ ≥ , τότε πάντοτε ισχύει: α β α β⋅ = ⋅ .
iii) Αν β α , τότε: 2
(β α) α β− = − .
iv) Αν α, β, γ είναι πραγµατικοί αριθµοί και ισχύει α γ β γ⋅ = ⋅ , τότε:
(α = β ή γ = 0).
v) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε f(x) = φ(x–c), όπου c 0,
προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης φ κατά c µονάδες προς τα αριστερά.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ 2ο
α) Να λύσετε την εξίσωση: 2
x 4x 3 0− + = .
Μονάδες 5
β) Να λύσετε την ανίσωση: 2
x 6x 8 0− + .
Μονάδες 8
γ) Να λύσετε την ανίσωση: 10 2 2
(x 1)(x 6x 8)(x 4x 3) 0+ − + − + ≥ .
Μονάδες 12

42. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2011
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2011
Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
2
2
ΘΕΜΑ 3ο
Η εξίσωση 2
x - λx + 3λ = 0, όπου λ R∈ , έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες x1, x2.
α) Να αποδείξετε ότι λ 0 ή λ 12.
Μονάδες 8
β) Για λ = –4 :
i) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες x1, x2 της εξίσωσης είναι ετερόσηµες.
Μονάδες 4
ii) Αν x2 είναι η αρνητική ρίζα της εξίσωσης, να λύσετε την ανίσωση
2x 2011 x+ ≤ .
Μονάδες 6
iii) Αν x1 είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης, να δείξετε ότι 3
1 1x x 2= .
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ 4ο
∆ίνεται η συνάρτηση f(x) =
1
λ x + 3
2
 
− 
 
, όπου λ, x πραγµατικοί αριθµοί, της οποίας
η γραφική παράσταση είναι η ευθεία µε εξίσωση y =
1
λ x + 3
2
 
− 
 
.
α) Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού λ έτσι ώστε η ευθεία µε εξίσωση
y =
1
λ x + 3
2
 
− 
 
να σχηµατίζει µε τον άξονα x΄x γωνία ο
45 .
Μονάδες 8
β) Για λ =
3
2
:
i) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους
άξονες x΄x, y΄y και να τη σχεδιάσετε.
Μονάδες 8
ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
Μονάδες 5
iii) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύει, 2
f (α ) f ( 1) − .
Μονάδες 4
Σας ευχόµαστε επιτυχία

43. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2011
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2011
Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
1
1
Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 66.
Β. Σχολικό βιβλίο ορισµός, σελίδα 132.
Γ. i) Σ ii) Λ iii) Σ iv) Σ v) Λ
ΘΕΜΑ 2ο
α) 2
x 4x 3 0− + = (1)
2 2
∆ β 4αγ ( 4) 4.1.3 16 12 4= − = − − = − =
(1)
β ∆ 4 2
x
2α 2
− ± ±
⇔ = = ⇔(x = 1 ή x = 3).
β) Το τριώνυµο 2
x 6x 8− + , έχει διακρίνουσα ∆ = (–6)2
– 4.1.8 = 4 και ρίζες
6 2
x
2
±
= ⇔ (x = 2 ή x = 4).
Το πρόσηµο του τριωνύµου, παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα:
Από τον πίνακα συµπεραίνουµε, ότι: 2 x 4 x (2,4) ⇔ ∈ .
γ) 10 2 2
(x 1)(x 6x 8)(x 4x 3) 0+ − + − + ≥ (2)
Η παράσταση 10
x 1+ είναι θετική για κάθε x R∈ , διότι: 10 10
x 0 x 1 0≥ ⇒ + .
Το πρόσηµο του τριωνύµου 2
x 4x 3− + προκύπτει εύκολα, δεδοµένου ότι από
το α) ερώτηµα έχουµε τις ρίζες του, άρα εκτός των ριζών θα είναι θετικό και
εντός των ριζών αρνητικό.
Το πρόσηµο του τριωνύµου 2
x 6x 8− + έχει βρεθεί στον πίνακα του β)
ερωτήµατος.
Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει το πρόσηµο της παράστασης
10 2 2
(x 1)(x 6x 8)(x 4x 3)+ − + − + .
x2
-6x+8
x −∞ +∞
++
2 4
0 0–

44. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2011
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2011
Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
2
2
x −∞ 1 2 3 4 +∞
10
x 1+ + + + + +
2
x 6x 8− + + + – – +
2
x 4x 3− + + – – + +
Γινόµενο + – + – +
Από τον πίνακα συµπεραίνουµε, ότι:
(2) ⇔ (x≤1 ή 2≤x≤3 ή x≥4) x ( ,1] [2,3] [4, )⇔ ∈ −∞ ∪ ∪ +∞ .
ΘΕΜΑ 3ο
2
x - λx + 3λ = 0(1)
α) 2
∆ λ 12λ λ(λ 12)= − = −
H (1) έχει δύο άνισες ρίζες, άρα ∆ 0 λ(λ 12) 0⇔ − ⇔(λ 0 ή λ 12).
Το πρόσηµο του τριωνύµου λ(λ 4)− προκύπτει εύκολα, δεδοµένου ότι οι ρίζες
του είναι 0 και 12, άρα εκτός των ριζών θα είναι θετικό.
β) Για λ = –4: 2
x +4x -12 = 0 (1΄)
i) Το γινόµενο των ριζών ισούται µε
γ
α
, άρα 1 2
12
x x 12 0
1
−
⋅ = =− ,
άρα οι ρίζες είναι ετερόσηµες.
Παρατήρηση Θα µπορούσαµε να υπολογίσουµε τις ρίζες 2 και –6, που
ασφαλώς είναι ετερόσηµες.
ii) Η απόλυτη τιµή είναι µη αρνητικός αριθµός και η ρίζα x2 είναι
αρνητικός, εποµένως η ανίσωση είναι αδύνατη, δεδοµένου ότι ένας µη
αρνητικός δεν είναι δυνατόν να είναι µικρότερος ή ίσος από έναν
αρνητικό.
iii) Η (1΄), έχει διακρίνουσα ∆ λ(λ 12) ( 4)( 16) 64= − = − − =
Οι ρίζες της είναι:
24 8
x
62
− ± = =
−
, εποµένως, 1x 2= και
3 6 2 33 2 3 33
1 1x x 2 2 2 2 2 2 2⋅
= = = = = .
ΘΕΜΑ 4ο
α) Για να σχηµατίζει, η ευθεία µε εξίσωση y =
1
λ x + 3
2
 
− 
 
, γωνία ο
45 µε τον
άξονα x΄x θα πρέπει η κλίση της να ισούται µε εφ ο
45 =1.
0 0
0 0
0 0
00

45. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2011
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2011
Οµοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
3
3
∆ηλαδή απαιτούµε να ισχύει:
1
λ 1
2
− =
1 3
λ 1 λ
2 2
⇔ = + ⇔ = ⇔
3
(λ
2
= ή
3
λ )
2
=− .
β) i) Για
3
λ =
2
έχουµε f(x) = x+3 της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία
µε εξίσωση y = x + 3.
Α΄ τρόπος
ii) Ο τύπος της συνάρτησης f είναι της µορφής f(x) = αx+β, µε α = 1 0.
Εποµένως ο συντελεστής του x στον τύπο της συνάρτησης f είναι
θετικός πραγµατικός αριθµός, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .
iii) Για κάθε πραγµατικό αριθµό α, ισχύει:
f
2 2
α 1 f (α ) f ( 1)
↑
− ⇒ − .
Β΄ τρόπος
ii) Έστω x1,x2 ℝ∈ µε
x1 x2 ⇒ 1 2x 3 x 3+ + ⇒ f (x1) f (x2).
Εποµένως δείξαµε ότι για κάθε x1,x2 ∈ ℝ µε x1 x2 ισχύει f(x1) f(x2).
Συνεπώς η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .
iii) 2
f (α ) f ( 1) −
f↑
⇔ 2
α +3 2 ⇔ 2
α 1−
Η τελευταία είναι αληθής για κάθε πραγµατικό αριθµό α, αφού το
πρώτο µέλος ως τετράγωνο πραγµατικού είναι µη αρνητικός.
Συνεπώς, λόγω των ισοδυναµιών, αληθεύει και η αρχική.
Αν y = 0 είναι x = –3, ενώ αν x = 0
είναι y = 3.
Άρα η γραφική παράσταση της f
τέµνει τον άξονα x΄x στο σηµείο
Α(–3,0) και τον άξονα y΄y στο
σηµείο B(0,3)
Η γραφική παράσταση της
συνάρτησης f φαίνεται στο διπλανό
σχήµα.

46. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2012
ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 3
ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
A.1. Αν για δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου ενός πειράµατος
τύχης ισχύει ότι Α ⊆ Β τότε να δείξετε ότι: P(A) ≤ P(B).
Μονάδες 10
Α.2. Πότε µια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος.
Μονάδες 5
Α.3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε
πρόταση.
α. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου ενός
πειράµατος τύχης τότε ισχύει ότι:
Α ⊆ Β ⇒ Α Β = Α∩
β. Για κάθε α, β ∈ IR ισχύει ότι: (–α – β)2
= (β – α)2
.
γ. Αν α,β άρρητοι αριθµοί τότε το γινόµενό τους αβ είναι σε κάθε
περίπτωση άρρητος αριθµός.
δ. Η εξίσωση xν
= α, µε α 0 και ν φυσικό περιττό αριθµό, έχει µια
ακριβώς µια λύση την – | |ν α
ε. Η ανίσωση αx2
+βx + γ 0 µε α0 και ∆0 αληθεύει για κάθε x στο
IR .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
∆ίνεται η συνάρτηση
4 4
(x 1) (x 2)
f(x)
x 1 x 2
+ −
= −
+ −
Β.1. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f.
Μονάδες 8

47. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2012
ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 3
Β.2. Να δείξετε ότι για κάθε x στο πεδίο ορισµού της ισχύει ότι f(x) = 3.
Μονάδες 9
Β.3. Να λύσετε στο IR την ανίσωση: ( )18 3x f 2012− ≤
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ
Γ.1. ∆ίνεται η εξίσωση 2
x 1 λ | λ | x+ = − ⋅ , όπου IRλ ∈
1. Να δείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου IRλ ∈ , η παραπάνω
εξίσωση έχει µοναδική λύση ως προς x την οποία και να
προσδιορίσετε.
Μονάδες 8
2. Αν η λύση της παραπάνω εξίσωσης για κάθε τιµή του IRλ ∈ είναι:
x 1= λ − , να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου λ , για τις οποίες η
λύση αυτή, απέχει από τον αριθµό 3 απόσταση που δεν ξεπερνά το 2.
Μονάδες 7
Γ2. ∆ίνονται οι ευθείες
ε1: y = (µ2
– 4) x + µ + 1, IRµ ∈ και
ε2: y = (–µ2
+ 4µ – 3) x +2, IRµ ∈
Να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου IRµ ∈ ,για τις οποίες η ευθείες ε1,ε2
σχηµατίζουν µε τον άξονα x΄x, αντίστοιχα αµβλεία και οξεία γωνία.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ ∆
∆ίνεται η ακολουθία πραγµατικών αριθµών (αν), *ν ∈ ΙΝ , η οποία είναι αριθµητική
πρόοδος µε διαφορά ω = –2 και της οποίας ο έβδοµος όρος είναι: α7 = –11 και η
συνάρτηση f(x) = α1x2
+ α4x + α1, όπου α1 και α4, ο πρώτος και ο τέταρτος όρος
της παραπάνω αριθµητικής προόδου.
∆.1. Να βρείτε τους α1 και α4.
Μονάδες 8

48. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2012
ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 3
∆.2. Αν α1 = 1 και α4 = –5 και x1, x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0, να
υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων:
α) 2 2
1 2 2 1x x x xΑ = +
Μονάδες 4
β) 1 2
2 1
x x
B
x x
= +
Μονάδες 4
γ) 3
1 2 1 2400 (x x ) 2012 x x 12Γ = + − +
Μονάδες 4
∆.3. Να λύσετε την εξίσωση: 2
| x B 2| | x A |− − + − = Γ, όπου Α, Β, Γ είναι οι τιµές
των παραστάσεων που βρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα ∆.2.
Μονάδες 5
Σας ευχόµαστε Επιτυχία.

49. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2012
ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 4
ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
A.1. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 34.
A.2. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 125.
Α.3. α. Σ ΣΤΟ
β. ΛΑΘΟΣ
γ. ΛΑΘΟΣ
δ. Σ ΣΤΟ
ε. Σ ΣΤΟ
ΘΕΜΑ Β
Β.1. Για να ορίζεται η συνάρτηση f πρέπει
• 4
(x 1) 0+ ≥ , το οποίο ισχύει για κάθε x IR∈ .
και
• 4
(x 2) 0− ≥ το οποίο ισχύει για κάθε x IR∈
και
• x 1 0+ ≠ και x 2 0− ≠ , δηλαδή x 1≠ − και x 2≠ −
Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το { }A IR 1, 2= − −
Β.2. για κάθε { }x A IR 1, 2∈ = − − ο τύπος της f γίνεται
2 2
2 24 4 (x 1) (x 2)(x 1) (x 2)
f (x)
x 1 x 2 x 1 x 2
   
   
+ −+ −
= − = − =
+ − + −

50. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2012
ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 4
2 2 2 2
(x 1) (x 2) (x 1) (x 2)
x 1 (x 2) x 1 x 2 3
x 1 x 2 x 1 x 2
+ − + −
= − = − = + − − = + − + =
+ − + −
Άρα για κάθε { }x A IR 1, 2∈ = − − ισχύει ότι: f(x) = 3.
Έτσι f(2012) = 3.
Β.3. Έτσι η ανίσωση 18 3x f(2012)− ≤ γίνεται:
18 3x f(2012) 3(6 x) 3 3 (6 x) 3− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔
1 1 x 6 1 x 1 66 x x 6 1 1 6≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ ≤ +⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ − +
Οπότε x [5, 7]∈ .
ΘΕΜΑ Γ
Γ.1.1. Η εξίσωση γίνεται:
x + 1 = λ2
– |λ| .
x ⇔ |λ| .
x + x = λ2
– 1
ή (|λ| + 1) .
x = |λ|2
– 1
ο συντελεστής του αγνώστου x είναι ο α = |λ| + 1 και ο σταθερός όρος
της εξίσωσης ο β = |λ|2
– 1 = (|λ| – 1) (|λ| + 1).
Όµως για κάθε IRλ ∈ ισχύει ότι 0 1 1 0λ λ≥ ⇔ + ≥ .
Άρα για κάθε IRλ ∈ ο α = |λ| + 1 ≠ 0, έτσι η εξίσωση έχει για κάθε
IRλ ∈ , µοναδική λύση ως προς x, την
( )
( )
( )
( )( )
( )
2 λ 1 x λ 1 λ 1
λ 1 x λ 1 x λ 1
λ 1 λ 1
+ ⋅ − +
+ ⋅ = − ⇔ = ⇔ = −
+ +
άρα η λύση της εξίσωσης: x λ 1= − , για κάθε IRλ ∈ .
Γ.1.2. Για να απέχει η λύση αυτή από τον αριθµό 3, απόσταση που δεν ξεπερνά το
2, άρα:
d(x,3) 2 x 3 2 λ 1 3 2 λ 4 2≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ⇔
λ 4 λ 4 2 2 λ 62 2 2 4− ≤ + ⇔ ≤ ≤ ⇔⇔ − ≤ ≤ ⇔ − + ≤
6 6 6
[ 6, 2] [2,6]
2 ή 2 ή 2
 λ ≤ − ≤ λ ≤ 
  
⇔ και ⇔ και ⇔ λ∈ − − ∪  
  λ ≥ λ ≤ − λ ≥ 

51. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2012
ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 4
Γ2. έχουµε τις ευθείες
2
1 : y ( 4)x 1ε = µ − +µ + , IRµ ∈ και
2
2 : y ( 4 3)x 2ε = −µ + µ − + , µε IRµ ∈
Παρατηρούµε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ε1 είναι ο α1 = εφω1 = µ2
– 4,
όπου ω1 είναι η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία ε1 µε τον άξονα x΄x, ενώ ο
συντελεστής διεύθυνσης της ε2 είναι α2 = εφω2 = –µ2
+ 4µ – 3 όπου ω2
είναι η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία ε2 µε τον άξονα x΄x.
Για να σχηµατίζει η ευθεία ε1 αµβλεία γωνία µε τον άξονα x΄x δηλαδή:
90º ω1 180º πρέπει ο συντελεστής διεύθυνσης της ε1 , να είναι αρνητικός
δηλαδή α1 = εφω1 0, άρα α1 0 ⇔ µ2
– 4 0 ⇔ ( 2, 2)µ ∈ −
µ
µ - 4
- +
0 - +2
+
-2
0
2
Για να σχηµατίζει η ευθεία ε2 οξεία γωνία µε τον άξονα x΄x δηλαδή:
0º ω2 90º, πρέπει ο συντελεστής διεύθυνσης της ε2 να είναι θετικός
δηλαδή α2 = εφω2 0, άρα
α2 0 ⇔ –µ2
+ 4µ – 3 0 ⇔ (1,3)µ ∈
µ
- + - 3µ 4µ
- +
0 -2
+
-1
0
3
-
Έτσι για να σχηµατίζουν η ε1 αµβλεία γωνία µε τον x΄x και η ε2 οξεία
γωνία µε τον άξονα x΄x θα πρέπει να βρούµε τις κοινές λύσεις των
ανισώσεων:
1
2
0 ( 2,2)
(1,2)
0 (1,3)
   
   
   
   
  
α µ∈ −
και ⇔ και ⇔ µ∈
α µ∈

52. ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2012
ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚ Ν ΦΡΟΝΤΙΣΤ Ν ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 4 ΑΠΟ 4
ΘΕΜΑ ∆
∆.1. Aφού η ακολουθία ( ), *να ν∈ΙΝ είναι αριθµητική πρόοδος θα ισχύει ότι:
αν = α1 + (ν – 1) ω, για κάθε *ν∈ΙΝ , άρα για ν = 7 θα έχουµε:
α7 = α1 + (7 – 1) ω = α1 + 6ω δίνεται όµως ότι α7 = –11, άρα
α1 + 6ω = –11 ⇔ α1 + 6 .
(–2) = –11 έτσι α1 = 12 – 11 = 1, οπότε ο
α4 = α1 + 3ω = 1 + 3(–2) = –5, οπότε η συνάρτηση f(x) = α1x2
+ α4x + α1, ,
λαµβάνει τη µορφή f(x) = x2
– 5x + 1.
∆.2. Kαι η αντίστοιχη εξίσωση f(x) = 0 γίνεται x2
– 5x + 1 = 0 έτσι για τις ρίζες
x1, x2 της x2
– 5x + 1 = 0 θα έχουµε από τους τύπους Vieta:
1 2
5
S x x 5
1
β −
= + = − = − =
α
και
1 2P x x 1
γ
= = =
α
.
Τότε:
2 2
1 2 2 1 1 2 1 2x x x x x x (x x ) 5Α = + = + =
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x 2x x 2x x
B
x x x x x x x x x x
+ + + −
= + = + = =
2 2
1 2 1 2
1 2
(x x ) 2x x 5 1
B 23
x x 1
+ − −
= = =
33
1 2 1 2400(x x ) 2012x x 12 400 4 2012 1 12Γ = + − + = ⋅ − ⋅ +
3
2000 2012 12 0Γ = − + =
∆.3. Η εξίσωση: 2
x B 2 x A− − + − = Γ µε βάση τα παραπάνω θα έχουµε :
2 2
x 23 2 x 5 0 x 25 x 5 0− − + − = ⇔ − + − =
Όµως |α| + |β| = 0 ⇔ α = 0 και β = 0.
Έτσι 2 2
x 25 x 5 0 x 25 0− + − = ⇔ − = και x – 5 = 0 και η κοινή λύση των
δύο εξισώσεων είναι η x = 5.

53. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 2
ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, να αποδείξετε ότι:
|α β | = |α | |β |
Μονάδες 9
Α2. α. Αν α 0, µ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, πώς ορίζεται ο αριθµός
µ
ν
α ;
Μονάδες 3
β. Τι ονοµάζουµε κλειστό διάστηµα από α µέχρι β;
Μονάδες 3
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο
σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι
σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.
α. Αν α β και γ 0, τότε αγ βγ.
Μονάδες 2
β. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α ισχύει: 2
a =α.
Μονάδες 2
γ. Αν α = 0 και β ≠ 0, τότε η εξίσωση αx + β = 0 έχει ακριβώς µια λύση.
Μονάδες 2
δ. Για κάθε x IR∈ , ισχύει: x x≥ .
Μονάδες 2
ε. Αν η εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0, µε α ≠ 0, έχει δύο άνισες ρίζες:
x1, x2, τότε, ισχύει ότι αx2
+ βx + γ = α·(x − x1)(x – x2).
Μονάδες 2

54. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Ε_3.Μλ1Α(ε)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 2
ΘΕΜΑ Β
∆ίνονται οι παραστάσεις: 3 3
A 4 2 2= ⋅ και
1 1
B = +
2+ 2 22 −
.
Β1. Να αποδείξετε ότι Α = 2.
Μονάδες 10
Β2. Να αποδείξετε ότι Β = 2.
Μονάδες 8
Β3. Να λύσετε την εξίσωση 3 1 1
x = +
A+ A AΑ −
.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
∆ίνεται η ευθεία ε µε εξίσωση: ( ) ( )2
y = |α 3| 1 x + α +2|α| 3 , α IR− − − ∈ . Για ποιες τιµές
του α η ευθεία ε:
Γ1. Είναι παράλληλη στην ευθεία y = x;
Μονάδες 7
Γ2. Σχηµατίζει οξεία γωνία µε τον άξονα x΄x;
Μονάδες 8
Γ3. ∆ιέρχεται από την αρχή Ο(0, 0) των αξόνων;
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ ∆
∆ίνεται το τριώνυµο 2
4x 4λx+5λ− , µε λ IR∈ .
∆1. Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και το πρόσηµό της για τις διάφορες
τιµές του λ.
Μονάδες 7
∆2. Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες:
α. Το τριώνυµο έχει δύο ρίζες άνισες.
Μονάδες 3
β. Η συνάρτηση 2
f (x)= 4x 4λx+5λ− έχει πεδίο ορισµού το IR .
Μονάδες 4
∆3. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιµή του λ, για την οποία το τριώνυµο έχει δύο ρίζες
x1, x2 µε x1+ x2= x1 x2−1.
Μονάδες 5
∆4. Αν Α είναι ένα ενδεχόµενο ενός δειγµατικού χώρου και Α΄ το
συµπληρωµατικό του, να αποδείξετε ότι για κάθε IRx∈ ισχύει:
2 2 2
4x 4P(A)x+5P(A) 4x 4P(A΄)x+5P(A΄) 4x 4P( )x+5P( ) 0     − − − ≥     
Μονάδες 6

55. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 5
ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ
Ηµεροµηνία: Κυριακή 21 Απριλίου 2013
∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Βλέπε απόδειξη (1) σελίδα 62 σχολικού βιβλίου.
Α2. α) Βλέπε ορισµό σελίδα 72 σχολικού βιβλίου.
β) Βλέπε ορισµό σελίδα 57 σχολικού βιβλίου.
Α3. α) Σωστό (βλέπε σελίδα 55 σχολικού βιβλίου.)
β) Λάθος (βλέπε σελίδα 69 σχολικού βιβλίου.)
(Το Σωστό είναι ότι 2
a = a )
γ) Λάθος (βλέπε σελίδα 79 σχολικού βιβλίου.)
(Το Σωστό είναι ότι η εξίσωση αx + β = 0 είναι αδύνατη)
δ) Σωστό (βλέπε σελίδα 62 σχολικού βιβλίου.)
ε) Σωστό (βλέπε σελίδα 107 σχολικού βιβλίου.)
ΘΕΜΑ Β
Β1. Για την παράσταση 3
2 2 ισχύει:
3
2 2 = 4 3
2 2 = 4 3 3
2 ·2 =12 4
2 =3·4 4
2 = 3
2 (1)
οπότε η παράσταση Α γίνεται:
Α= 3
4 · 3
2 2 = 3
4 3
2 = 3
4·2 = 3
8 =2
Β2. Έχουµε:
Β =
1 1 1·(2 2) 1·(2 2)
2 2 2 2 (2 2)(2 2)
− + +
+ =
+ − + −
2 2
2 2 2 2
2 ( 2)
− + +
=
−
=
4 4
2
4 2 2
= =
−

56. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 5
Β3. Στο ερώτηµα Β1 έχουµε αποδείξει ότι Α = 2, οπότε η παράσταση του δεύτερου
µέλους της εξίσωσης ισούται µε:
1 1
A A A A
+ =
+ −
1 1
2 2 2 2
+
+ −
= Β = 2
Άρα η εξίσωση γίνεται:
3 1 1
x
A A A A
= +
+ −
⇔ 3
x B= ⇔ 3
2x = ⇔ 3
2x =
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Όταν δύο µη κατακόρυφες ευθείες είναι παράλληλες έχουν ίσους συντελεστές
διεύθυνσης. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ε είναι 3 1a − − . Ο συντελεστής
διεύθυνσης της ευθείας µε εξίσωση y=x είναι 1. Εποµένως
3 1 1a − − = ⇔ 3 1 1a − = + ⇔ 3 2a − = ⇔
α – 3 = 2 ή α – 3 = –2 ⇔
α = 3 + 2 ή α = 3 – 2 ⇔
α = 5 ή α = 1.
Θα εξετάσουµε αν είναι δεκτές και οι δυο τιµές του α.
• Για α = 5 η ευθεία ε γίνεται:
2
(5 3 1) (5 2 5 3)y x= − − + + − ⇔ ( 2 1) (25 10 3)y x= − + + − ⇔ y=x+32,
η οποία είναι παράλληλη µε την y=x.
• Για α = 1 η ε γίνεται:
2
(1 3 1) (1 2 1 3)y x= − − + + − ⇔ ( 2 1) (1 2 3)y x= − − + + − ⇔ y=x
η οποία ταυτίζεται µε την y=x. Άρα η τιµή α = 1 απορρίπτεται.
Ώστε είναι α = 5.
Γ2. Επειδή η γωνία ω, που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα xx είναι οξεία,
έχει εφω 0. Όµως, ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) ισούται µε την
εφω, οπότε
3 1 0 3 1 3 1 ή 3 1a a a α− − ⇔ − ⇔ − − − ⇔
3 1 ή 3 1 2 ή 4α α α α − + ⇔

57. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 5
Γ3. Πρέπει και αρκεί οι συντεταγµένες του Ο(0,0) να επαληθεύουν την εξίσωση
της ευθείας. Για x = y = 0 η εξίσωση της ε δίνει:
0= 2
( 3 1)·0 ( 2 3)a a a− − + + − ⇔ 2
2 3 0a a+ − = ⇔
2
2 3 0a a+ − =
Θέτουµε:
0a ω= ≥ (1)
Η εξίσωση γίνεται:
2
2 3 0ω ω+ − =
Αυτή έχει διακρίνουσα:
∆= 2 2
4 2 4·1·( 3)β αγ− = − − =4+12=16
Άρα η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες τις
ω1,2 =
2
β
α
− ± ∆
=
2 16
2·1
− ±
Είναι:
1ω =
2 4
2
− +
=1, 2ω =
2 4
3
2
− −
= − που απορρίπτεται.
Για ω = 1 η (1) δίνει
α =1 ⇔ α = 1 ή α = –1
ΘΕΜΑ ∆
∆1. Το τριώνυµο έχει α=4, β = – 4λ, γ=5λ και διακρίνουσα:
∆= 2 2 2
4 ( 4 ) 4·4·5 16 80β αγ λ λ λ λ− = − − = −
Είναι:
∆=0⇔ 2
16 80λ λ− =0 ⇔ 16λ (λ – 5) = 0 ⇔
λ = 0 ή λ–5=0 ⇔ λ = 0 ή λ = 5.

58. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 4 ΑΠΟ 5
To πρόσηµο της διακρίνουσας φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.
λ –∞ 0 5 +∞
∆ + – +
Εποµένως για λ = 0 ή λ = 5 είναι ∆ = 0 και
∆ 0⇔ λ∈ (–∞, 0) ∪ (5, +∞) ενώ ∆0⇔ λ∈(0, 5)
∆2. α. Το τριώνυµο έχει δυο ρίζες άνισες αν και µόνο αν
∆0 ⇔ λ ∈ (–∞, 0) ∪ (5, +∞)
β. Η f έχει πεδίο ορισµού το ΙR αν και µόνο αν
2
4 4 5x xλ λ− + ≥ 0, για κάθε x∈ΙR
Αυτό ισχύει αν και µόνο αν
∆ ≤ 0⇔ λ∈[0, 5]
∆3. Για να έχει το τριώνυµο δύο ρίζες 1 2,x x άνισες πρέπει
∆0 ⇔ λ ∈ (–∞, 0) ∪ (5, +∞)
Από τους τύπους Vieta έχουµε:
1 2x x
a
β
+ = − ⇔ 1 2
( 4 )
4
x x
λ− −
+ = ⇔ 1 2
4
4
x x
λ
+ = ⇔ 1 2x x λ+ =
1 2·x x
γ
α
= ⇔ 1 2
5
·
4
x x
λ
=
Εποµένως
1 2 1 2· 1x x x x+ = − ⇔ λ=
5
4
λ
–1⇔ 4λ=5λ–4 ⇔ 5λ–4λ = 4 ⇔ λ = 4
Όµως το 4∉(–∞, 0) ∪ (5, +∞), εποµένως δεν υπάρχει τιµή του λ, ώστε να είναι
1 2 1 2· 1x x x x+ = −
0 0

59. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Ε_3.Μλ1Α(α)
ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 5 ΑΠΟ 5
∆4. Για τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α και Α΄ είναι
0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1 και 0 ≤ Ρ( A′) ≤ 1
• Το τριώνυµο 2
4 4 ( ) 5 ( )x P A x P A− + είναι της µορφής 2
4 4 5x λχ λ− + µε λ=Ρ(Α).
Σύµφωνα µε ερώτηµα (∆1) έχει διακρίνουσα ∆1 ≤ 0, εποµένως
2
4 4 ( ) 5 ( )x P A x P A− + ≥0, για κάθε x∈ΙR (1)
• Το τριώνυµο 2
4 4 ( ') 5 ( ')x P A x P A− + είναι της µορφής 2
4 4 5x λχ λ− + µε
λ = Ρ( A′). Σύµφωνα µε ερώτηµα (∆1) έχει διακρίνουσα ∆2 ≤ 0, εποµένως
2
4 4 ( ') 5 ( ')x P A x P A− + ≥0, για κάθε x∈ΙR (2)
• Για την πιθανότητα του δειγµατικού χώρου είναι Ρ( )=1. Έτσι
2 2
4 4 ( ) 5 ( ) 4 4 5− Ω + Ω = − +x P P x x , που είναι της µορφής 2
4 4 5x xλ λ− + µε
λ=Ρ( )=1. Σύµφωνα µε ερώτηµα (∆1) έχει διακρίνουσα ∆3 ≤ 0,
εποµένως
2
4 4 5x x− + ≥ 0, για κάθε x∈ΙR (3)
Από τις σχέσεις (1), (2), (3) προκύπτει:
[ 2
4 4 ( ) 5 ( )x P A x P A− + ][ 2
4 4 ( ') 5 ( ')x P A x P A− + ][ 2
4 4 ( ) 5 ( )x P x P− Ω + Ω ] ≥ 0,
για κάθε x∈ΙR