1. 粘性流体の変分原理
慶應大学基礎理工 深川宏樹 藤谷洋平
粘性流体
X： 流体粒子の位置 ∂X
=v
v: 速度場 ∂
ρ: 質量密度
s: 単位質量あたりのentropy密度
ε(ρ,s):単位質量あたりのenergy密度
保存則 膨張率 J = ∂ X 1, X 2, X 3 
∂ ∂a1, a 2, a3 
質量保存  J =0
∂
散逸関数 
∂
エントロピー T s=−∇ w
∂ 温度 T 熱流 w 1

2. 完全流体の変分法
ρ:質量密度 s:entropy密度 v:速度場
ε(ρ,s):energy密度 J：膨張率 γ,K,Λ：未定乗数
t1
S [ , X , v , s ,  , K , ]≡∫t d ∫V d a
0
質量保存則 エントロピー保存

1 2
 
J  v − , s  v−
2
∂X
∂ 
 K   J −0   s−s 0 
or
1 2
  
J  v − , s  v−
2
∂X
∂

∂
∂   
  J  
∂
∂
s
Euler 方程式 2

3. 粘性流体の変分法？
ρ:質量密度 s:entropy密度 v:速度場
ε(ρ,s):energy密度 J：膨張率 T：温度
Θ：散逸関数 w：熱流 γ,κ,λ：未定乗数
t1
S [ , X , v , s ,  , ,]≡∫t d ∫V d a
0
質量保存則 エントロピーの条件

1 2
 
J  v − , s  v−
2
∂X
∂

∂
∂  
  J   T
∂
∂
s−∇ w 
Navier−Stokes 方程式？ 3

4. 拘束条件下での変分
t1
∫t 0
dt L [q t  , st ] を最小にするq,sは?
ただし、拘束条件
∂L
 s= f  q
∂s
∂L
{ ∂L
}
t1
∫t 0
dt
∂q
 q
∂s
 s =0 δqとδsは独立でない。
∫t
t1
0 
dt
∂L
∂q 
 f  q=0
4

5. 未定乗数法
t1
∫t 0
dt L [q t  , r t ] を最小にするq,sは?
∂U ∂U
ただし、拘束条件 U q , r =0  q  r =0
∂q ∂ r−1
∫t
t1
dt{∂L
 q
∂L
 r =0 }
 r=−
∂U
∂r   ∂U
∂q
q
∂q ∂r −1
 
0
∂L ∂ L ∂U ∂U
 r=− q
δqとδrは独立でない。 ∂q ∂q ∂r ∂q
∂U
=− p q
∂q
t1
∫t 0 
dt
∂L
∂q
−p
∂U
∂q
 q=0  ∫t
t1
0
dt {Lq , r  p U q , r }
∫t
t1
0 
dt
∂L
∂q
−p
∂U
∂q
 q
∂L
∂r  
−p
∂U
∂r
 r U  p=0  5

6. Holonomic と Non-Holonomic
Holonomicな拘束条件 U q , r =0
物理的な意味：保存則などを表す
未定乗数法が使える
Non−Holonomicな拘束条件 U q , r =0
t1
物理的な意味：保存則なし ∫t L[qt  , st ]
0
未定乗数法が使えない
微分形での拘束条件があれば十分！ 6

7. 流体の拘束条件
完全流体
質量保存:  J −0 =0
エントロピー保存: s−s0 =0
粘性流体
質量保存:  J −0 =0
エントロピーの式: ∂
T s=−∇ w
∂
7

8. エントロピー
ρ:質量密度 s:entropy密度 T：温度
Θ：散逸関数 w：熱流
∂ ∂
T
∂
s=−∇ w ∫V d a J T
∂
s=∫V d a J 
≡ f⋅
∂X
∂
T =
∂L
∂s
1 2

L≡ v −  , s
2 
∫v d a J { ∂L
∂s }
 s =∫v d a J { f⋅ X }
f ≡∇⋅ σはストレステンソル
8

9. 粘性流体の変分原理
t1
S [ , X , v , s ,  , K ]≡∫t d ∫V d a
0
質量保存則

J L  , v , s v−
∂X
∂ 
 K   J −0 
エントロピーの式
∂L
{ }
∫v d a J ∂ s  s =∫v d a J { f ⋅ X }
Navier−Stokes 方程式 9

10. 解析力学
t fin d
作用： ∫t init
dt L q t  ,u t 
dt
q t =ut 
作
用 作用
t:時間
最小作用曲線
q:状態
終状態 q t fin 
状態曲線 q t 
始状態 q t init  10

11. 解析力学 と 最適制御
状態 q t  状態 q t 
u t  入力 u t 
d d
q t =ut  q t =F q t  , ut 
dt 状態方程式 d t
t fin t fin
作用 ∫t dt L q t  ,u t 
init 評価 ∫t dt L q t  ,u t 
init
評価を最小にする入力は？
11

12. 最適制御
d
状態方程式： q t =F q t  , ut 
dt
t fin
評価関数： ∫t dt L q t  ,u t 
init
評
価
t:時間
最適制御曲線
q:状態
q t 
12

13. 粘性流体
状態方程式： ∂X
（流体粒子の位置) =v
∂
入力(速度場)： v 評価：
t fin
∫t init
3

1 2
dt ∫ dx  v − , s 
2 
評
価
t:時間
最適制御曲線
q≡ , s
q t 
13

14. 粘性流体(Euler描像)
∂
Lagrange座標A (Clebsch Potential)： A=−v⋅∇ A
∂t

評価関数：∫ dt dx 3  1 v 2−  , s
2 
評
価
A:Clebsch t:時間
At fin 
At 
At init 
14

15. Hamilton形式
t fin
S [q , p , u , s ]≡∫t dt { L q ,u , s p⋅ q −F q , u  }
˙
init
t fin 未定乗数： p
=∫t dt {−H q , p ,u , s p⋅q }
˙
init
where H q , p ,u≡−Lq , u , s p⋅F qt  , ut 
粘性流体： u≡v , q≡ X , p≡
変分：
 u: ∂ H q , p , u ＊ , s=0 H ＊ q , p , s≡H q , p ,u ＊ q , p , s , s
∂ ui＊
＊
∂ H ＊ q , p , s u =/ 0
 p : qi =
˙
∂ pi
 q : pi =−
˙ ∂ H ＊ q , p , s f
＊ 1 ＊
H q , p , s= v  , s
2 { }
∂ qi 15

16. まとめ
粘性流体の変分原理とは？
質量とエントロピーに関する拘束条件の元での変分
1 2

L= v −  , s
2
注意：エントロピーの拘束条件は、Non−Holonomic

Hamilton形式
∫v d a J { ∂L
∂s }
 s =∫v d a J { f ⋅ X }
速度場: 最適制御における入力
＊ 1 ＊
{
H  X ,  , s= v  , s 
2 }
∂ H  X ,  , v ＊ , s=0
 v:   : vi = ∂ H
＊
˙
∂ v i＊ ∂ i
 X : i =−
˙ ∂ H ＊ f
参考文献
∂Xi
A Variational Principle for the Newtonian Fluid 16
http://arxiv.org/abs/1104.0866