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ADVENTURE_Solid非線形解析の理論
- 1. 第 4 回 ADVENTURE 定期セミナー ADVENTURE_Solid 非線形解析の理論 日本大学工学部情報工学科 宮村倫司 平成 18 年 9 月 15 日
- 2. 目標 ADVENTURE Solid で用いられている力 学の基礎理論を理解する ADVENTURE Solid の力学に関する部分 を自分でカスタマイズできるようにする
- 3. 内容 連続体力学（固体力学）の基礎 久田・野口，「非線形有限要素法の基礎と応用」 有限要素法ライブラリー libfem について 領域分割法による非線形有限要素解析に ついて
- 4. 連続体力学 ベクトルとテンソル 変位 変形の記述（変形勾配，ひずみ） 応力，応力速度 構成式 平衡方程式，境界条件⇒仮想仕事式 有限な時間増分，空間方向の離散化
- 5. ベクトルとテンソル ベクトル：矢印 テンソル：ベクトルを線形変換 正規直交基底 ベクトルの成分 テンソルのディアディック表記 テンソルの成分 jiijA eeA ⊗= を総和規約を使わずに書き下せ
- 6. テンソル積，スカラー積 ( ) ( )acbcba ⋅=⋅⊗ ( ) ( ) ( ) ijij ijkkij ikjkij kjikij kkjiij uA uA uA uA uA e e eee eee eee uAv = = ⋅= ⋅⊗= ⋅⊗= ⋅= δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lijlij lijkklij likjklij lkjiklij lkkljiij BA BA BA BA BA ee ee eeee eeee eeee BAC ⊗= ⊗= ⊗⋅= ⊗⋅⊗= ⊗⋅⊗= ⋅= δ ijij BA=BA : lkijijkl BA eeBA ⊗=: ( ) ( ) ?243 333121 =⊗⋅⊗+⊗ eeeeee問
- 7. 変形とひずみ 変位 変形勾配 Green-Lagrange ひずみテンソル （剛体回転に対 して不変） 微小ひずみ ji j i X x eeF ⊗ ∂ ∂ = ( )IFFE −⋅= T 2 1Xxeu −=≡ iiu ji j k i k i j j i X u X u X u X u eeE ⊗ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 1 ji i j j i X u X u eeε ⊗ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 1 問：変位の成分を用いて変形勾配の成分を表せ
- 9. 変形速度テンソル，スピンテンソ ル 速度勾配テンソルの対称成分と反対称成 分 ji i j j i x u x u eeD ⊗ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 1 ji i j j i x u x u eeW ⊗ ∂ ∂ − ∂ ∂ ≡ 2 1
- 10. 応力（ Caucy 応力テンソル） nTt ⋅= T n gea ρρ + ∂ ∂ = j i ij x T TT =T 応力ベクトル 平衡（釣合）方程 式 角運動量保存
- 11. 既知の配置に基づく応力テンソ ル Kirchhoff 応力テンソル 第 1Piola- Kirchhoff 応力テンソル 第 2Piola- Kirchhoff 応力テンソル TT J≡ˆ TFΠ ⋅≡ −1 J T1 −− ⋅⋅≡ FTFS J 微小変形解析 σ 問 S が与えられているとき に T を求めよ
- 13. 応力速度 客観速度 Jaumann 速度（物質点の剛体回転と同じ だけ回転する観測者からみた速度） WTTWTT ⋅+⋅−≡ (J) DTTT trˆ (J)(J) +=
- 14. 構成式（微小変形弾性） εCσ :e = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − −− −+ − = ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν νν ν 12 21 0 12 21 . 00 12 21 0001 000 1 1 000 11 1 211 1 313131233112313331223111 233123232312233323222311 123112231212123312221211 123112231212123312221211 223122232212223322222211 113111231112113311221111 SYM E CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC eeeeee eeeeee eeeeee eeeeee eeeeee eeeeee
- 15. 構成式（微小変形弾塑性） pe εεε += ( )pe εεCσ −= : 相当応力と相当塑性ひずみ速度 ( )σσ ′′= : 2 3 σ ( )ppp e εε : 3 2 = ( )Iσσσ tr 3 1 −=′ ( )p eH=σ 一軸の構成式
- 17. 構成式（有限変形微小ひずみ） Green-Lagrange ひずみテンソルと第 2Piola- Kirchhoff 応力テンソルの間 に微 小変形理論の構成式を使う（どちらも剛 体回転に対して不変なテンソル） 弾塑性のときには両者の速度 ECS :e = ECS :ep =
- 18. 構成式（有限変形大ひずみ） 相対 Kirchhoff 応力テンソルの Jaumann 速度 と，変形速度テンソルの間に微小変形理論 の構成式を使う Caucy 応力の Jaumann 速度を使う と， Truesdell 応力速度 に変換しにくい DCT :ˆ (J) ep = DTTDTS ⋅−⋅−= (J) ˆt t DCS :ept t = ( ) ( )jkiljlikljikijil ep ijkl ep ijkl TTTTCC δδδδ +−+−= 2 1 2 1 DTTT trˆ (J)(J) +=
- 20. 仮想仕事式 ∫∫ ∫ ⋅+⋅= VV S n dVdSdV t ugutεσ δρδδ * : ∫∫ ∫ ⋅+⋅= V t V S n t dVdSdV t ugutES δρδδ 0* 0: ∫∫ ∫ ⋅+⋅= ∆+∆+∆+ v t v s n tt t tt t tt t tt t t dVdSdV ugutES δρδδ * :
- 21. 仮想仕事式の増分分解（微小変 形） ( ) ∫∫ ∫ ⋅+⋅=∆+ VV S n tt dVdSdV t ugutεσσ δρδδ * : 問：既知の項を右辺に移項せよ
- 22. 仮想仕事式の増分分解（微小変 形） ∫∫∫∫ −⋅+⋅=∆ V t VS n V t dVdVdSdV t εσugutεσ δδρδδ :: * ∫ ∆+ = V tt dVεσ δ: ∫∫∫ ∆+ −⋅+⋅= V tt VS n dVdVdS t εσugut δδρδ :* 左辺の接線 右辺（不釣合い 力）
- 23. Newton-Raphson 法 )1( 00 )1( 0 −∆+∆+−∆+ −=∆ ittttiitt QFUK iittitt UUU ∆+= −∆+∆+ )1()(
- 24. Total Lagrange 法（大変形） Green-Lagrange ひずみテンソル の増分分解 uuu +=∆+ ttt NL0L000 EEEE ++=∆+ ttt ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = X u X u E T NL0 2 1 ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = X u X u X u X u X u X u E δδδδ δ TTT L0 2 1 tt ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = X u X u X u X u X u X u E TTT L0 2 1 tt ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = X u X u X u X u E δδ δ TT NL0 2 1
- 25. Total Lagrange 法（大変形） 仮想仕事式 の増分分解 SSS 000 +=∆+ ttt ( ) ∫∫∫∫∫ −⋅+⋅=++ V t V t S n t V t V dVdVdSdVdV t L00 0* 0NL00NL0L00 ::: ESugutESEES δδρδδδδ
- 26. Total Lagrange 法（大変形） 接線 接線 ( )∫∫ • += V t V dVdV NL00L00 :: ESES δδ ( ) ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = • X u X u X u X u E δδ δ TT NL0 2 1
- 27. Updated Lagrange 法 接線 接線 ( )∫∫ • += v t t v t t t tt dvdv NLL :: ETES δδ Truesdell 応力速度
- 28. 応力積分 有限時間増分 後退型 Euler 積分法 増分後の構成式を用いて積分 ( ) ( ) ( )εσσIσσσ ∆≡+′ ′+ +′ = ∆+∆+∆+ ∆+ ∆+ ∆+ ,tr 3 1 3 3 )T()( )T( )T( tttttTtt tt ttt tt HG GH σ σσ
- 29. Consistent 接線剛性 応力積分に consistent な接線を求める 応力積分の結果をきちんと微分する εC tttt ∆+∆+ = :*ep σ ( ) ( ) ( ) 2* ** **ep 9 4 :: :: σγ tttttt tttt H ∆+∆+∆+ ∆+∆+ ′+′′ ′⊗′ −= σσ σσ C CC CC
- 31. 有限変形への拡張 有限変形微小ひずみ⇒ Green-Lagrange ひ ずみテンソルと第 2Piola- Kirchhoff 応力テ ンソルに置き換える 有限変形大ひずみ：現在の ADVENTURE の実装では，微小な増分しかとれない
- 32. libfem 有限要素法の要素ライブラリ アプリケーションプログラムのデータ構 造から独立 要素の種類に対するマクロによる分岐 （ランタイムの if 文， malloc を減ら す． ) 共通部分をまとめる 関数へのポインタによる要素種類の選択
- 33. 要素剛性行列プログラム #if (ELEMENT_TYPE == S3D_TET4) #define ND_ELM 4 #define N_INTG 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．． #elif (ELEMENT_TYPE == S3D_TET10) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．． #endif void #if (ELEMENT_TYPE == S3D_TET4) #define MK_B_MAT mk_b_mat_tet4 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．． make_elm_k_tet4( #elif (ELEMENT_TYPE == S3D_TET10) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． #endif double* ek, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．． const fe_Options* option) { ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． for ( intg = 0 ; intg < N_INTG ; intg++ ) { 数値積分する内容 } ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． }
- 34. 要素種類を選択する関数 uct FuncTable FuncS3DTet10 = &make_elm_k_tet10, &make_elm_m_tet10, ．．．．．．．．．．．．．．．．．． tic struct FuncTable* ft; void fe_select_element(const char* elem) { if (strcmp(elem, "S3DTet4") == 0) ft = &FuncS3DTet4; else if (strcmp(elem, "S3DTet10") == 0) ft = &FuncS3DTet10; ．．．．．．． }
- 35. アプリケーション側から呼ばれる 要素剛性行列作成関数 void fe_make_elm_k(double* ek, const double* crd, fe_State_Variables* state_var, const fe_Constants* constant, const fe_Options* option) { ft->make_elm_k(ek, crd, state_var, constant, option); } ruct FuncTable FuncS3DTet10 = &make_elm_k_tet10, &make_elm_m_tet10, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． atic struct FuncTable* ft;
- 36. データの引渡し typedef struct _fe_State_Variables { double* disp; double* ddisp; double* stra; double* stre; double* stre2; int* elpl; double* ystre; double* ystre2; } fe_State_Variables; 上位側で 1 要素分の配列とし て malloc してそこにデータを コピーする OR 上位側の配列のこの要素に関 する部分へのポインタを代入
- 37. 領域分割法による非線形有限要素解 析 変位，ひずみ，応力等を保存 （全節点あるいは全積分点） 部分領域または Part のデータとして保存
- 38. Newton-Raphson 法と CG 法の収 束 10-25 10-23 10-21 10-19 10 -17 10 -15 10 -13 10-11 10 -9 10-7 10 -5 0.001 0.1 0 5000 10000 15000 Residual of CG Residual of Newton-Raphson method Residual of Newton-Raphson method associated with internal nodes Accumulated number of CG iterative steps 10-17 10 -15 10-13 10 -11 10 -9 10-7 10 -5 0.001 0.1 0 1500 3000 4500 6000 7500 9000 Residual of CG Residual of Newton-Raphson method Residual of Newton-Raphson method associated with internal nodes Accumulated number of CG iterative steps 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 0.0001 0.01 1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Residual of CG Residual of Newton-Raphson method Residual of Newton-Raphson method associated with internal nodes Accumulated number of CG iterative steps TOLCG ＝ 10-15 TOLCG ＝ 10-6 TOLCG ＝ 10-3