6. 発症
曝露 合計
+ -
+ A C N1
- B D N2
確率モデル： A ~ Bi ( N1 , P ) ， ~ Bi ( N 2 , P2 )
1 B
◦ 独立な二項分布を仮定
リスクの最尤推定量
P = A N1 , P2 = B N 2
ˆ
1
ˆ
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7. 二項分布の最尤推定量を求める
Bi ( N , P ) から，実現値 r が得られた場合の尤度は
N Cr P (1 − P )
N −r
=L r であり，対数尤度は
= log N Cr + r log P + ( N − r ) log (1 − P ) である．
l
∂l r N − r となる．
このときスコア関数は = −
∂P P 1 − P
r N −r を解いて， P = r N
ˆ
よって最尤推定量は − =
0 となる．
ˆ 1− P
P ˆ
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8. A B A N1 AN 2
リスク差： − リスク比： =
N1 N 2 B N 2 BN1
◦ 最尤推定量をそのまま使う
これらの指標の信頼区間を計算したい
◦ 誤差（分散）を評価する
◦ デルタ法
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9. 確率変数の関数の漸近分散はデルタ法で求める
確率変数 X の関数 T ( X ) の漸近分散を知りたい．
E [ X ] = µ , V [ X ] = σ 2 とする．
T ( X ) を X = µ の周りでテイラー展開すると，
( X − µ ) T ′′ µ +
2
T ( X ) T ( µ ) + ( X − µ )T ′( µ ) +
= ( )
2!
≈ T ( µ ) + ( X − µ )T ′( µ )
となるので， E T ( X ) ≈ T ( µ ) , V T ( X ) ≈ T ′ ( µ ) σ 2 である．
2
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10. リスク差（RD）はデルタ法を使わなくても求められる
V RD = V P − P2 =
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (
P 1− P
ˆ
1
ˆ
1 ) + P (1 − P ) =
ˆ
2
ˆ
2 AC BD
+
1 N1 N2 N13 N 23
リスク比（RR）はデルタ法を使う
◦ 確率変数を最尤推定量に置き換える
V P
ˆ ˆ V P2
ˆ ˆ
ˆ
( )
V log RR = V log P − log P2 =
ˆ
ˆ
ˆ
1
ˆ 1 +
ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 AN BN
=
C
+
D 1 1 1 1
= − + −
E P E P2
1
1 2 A N1 B N 2
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11. 生起確率の最尤推定量の期待値は
E P E [= NP N P
= ˆ
R N] =
◦ 不偏推定量になっている
生起確率の最尤推定量の分散は
V ˆ V [
P = R N ] = (1 − P ) N 2 =1 − P ) N
NP P(
◦ Fisher情報量の逆数
◦ クラメル・ラオの不等式より最小分散を満たす
◦ 一様最小分散不偏推定量（UMVUE）
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12. Fisher情報量とは
◦ 定義：スコア関数を二乗して期待値をとる
以下のものと等しい
◦ スコア関数を微分してマイナスを付けて期待値をとる
◦ スコア関数の分散
証明はスコア関数の期待値が0であることを利用
∂2 ∂ L′ ( X , θ )
E −l ′′ ( X , θ ) = 2 log ( L ( X , θ ) ) =
E − E −
∂θ ∂θ L ( X , θ )
{ L′ ( X , θ )}2 + L ( X , θ ) L′′ ( X , θ ) L′ ( X , θ ) 2
L′′ ( X , θ )
= E
= E = E {l ( X , θ )}
2
+E
{L ( X ,θ )} L ( X ,θ ) L ( X ,θ )
2
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19. The goal of all research is to obtain valid evidence
regarding the hypothesis under study. Ideally, we
would want the quality of evidence from
nonexperimental research to be as high as that
obtainable from a well designed experiment, had one
been possible. (Rothman and Greenlad, 1998)
全ての研究のゴールは、仮設に対するもっともな証拠
を得ることである。我々は非実験研究と正しく計画さ
れた実験研究の証拠が同等の質であることを望んで
いる。
東京大学 医学系研究科 19
