This document provides information about exponential functions. It defines the exponential function as f(x) = bx where b > 0 and b ≠ 1. It discusses graphing and evaluating exponential functions. It also covers solving exponential equations and inequalities. Examples are provided to illustrate defining domains and ranges, as well as solving specific exponential equations and inequalities.

1. Álgebra
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Plana de Algebra

2. Función exponencial
Semana 27

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟 𝑦 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟
𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Función exponencial
A lo largo de la historia, los matemáticos se mostraron
fascinados por la forma que adoptaba una cuerda o
cadena que se combaba bajo su propio peso e
intentaron descubrir cual era la curva que la describía.
La resolución del problema no era nada fácil, un
hombre de la talla intelectual de Galileo erró en su
solución puesto que en 1638 publicó, en sus Diálogos
sobre dos nuevas ciencias, que la cadena asumiría la
forma de una parábola.
𝒚 = 𝒂 𝒆𝒃𝒙
+ 𝒆−𝒃𝒙
La curva descrita es llamada catenaria.

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Función exponencial
C U R S O D E Á L G E B R A
Si b > 0 y b ≠ 1, entonces la función exponencial se
define como:
𝑓𝑥 = 𝑏𝑥
Dom𝑓=ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ+
Ejemplo:
𝑓𝑥 = 2𝑥
; 𝑥 ∈ ℝ
Tabularemos algunos puntos para inducir la gráfica
𝑥 𝑦
3 8
2 4
1 2
0 1
−2 Τ
1 4
−1 Τ
1 2
𝑦
𝑥
1
2
1
4
8
2 3
−1
−2
Ejemplo:
Tabularemos algunos puntos para inducir la gráfica
𝑓𝑥 =
1
2
𝑥
; 𝑥 ∈ ℝ
𝑥 𝑦
−3 8
2
4
1
2
0 1
−2
Τ
1 4
−1
Τ
1 2
𝑦
𝑥
1
1 2
−1
2
−2
4
−3
8

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
En general: Sea 𝑓𝑥 = 𝑏𝑥
; b≠ 1 ∧ 𝑏 > 0
b > 1
𝑦
𝑥
𝑏𝑥
0 < 𝑏 < 1
𝑦
𝑥
1 1
𝑏𝑥
Ambas funciones son inyectivas
𝑏𝑥
= 𝑏𝑦
↔ 𝑥 = 𝑦
Función creciente
𝑏𝑥
< 𝑏𝑦
↔ 𝑥 < 𝑦
Función decreciente
𝑏𝑥
< 𝑏𝑦
↔ 𝑥 > 𝑦
No cambia el sentido
de la desigualdad
Si cambia el sentido
de la desigualdad
Ejemplos:
• 5𝑥
= 54
• 72𝑥−1
= 79 ↔ 𝑥 = 5
• 2𝑥
< 25 ↔ 𝑥 < 5
• 𝑥 ≥ 11↔ 4𝑥
≥ 411
•
1
5
𝑥
<
1
5
3
↔ 𝑥 > 3
•
1
4
𝑥
≤
1
4
8
↔ 𝑥 ≥ 8
↔ 𝑥 = 4
↔ 2𝑥 − 1 = 9
Observación
𝑏𝑥
> 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
Ejemplo:
2𝑥
> 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejercicio 1:
Calcule el dominio de la función 𝑓, si: 𝑓𝑥 = 5 𝑥−2
Resolución
De 𝑓 ∶ 𝑥 − 2 ≥ 0 ⟶ 𝑥 ≥ 2
∴ Dom𝑓 = ሾ2; ۧ
+∞
Ejercicio 2:
Resolución
De 𝑔 ∶ ∀𝑥 ∈ ℝ: −1 ≤ sen𝑥 ≤ 1
⟶ −2 ≤ 2sen𝑥 ≤ 2 ⟶ −3 ≤ 2sen𝑥 − 1 ≤ 1
⟶ 𝟐−3
≤ 𝟐2sen𝑥−1
≤ 𝟐1
∴ Ran𝑓 = 2−3
; 21
Si b > 1
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑏𝑥
1
𝑦 = 𝑥
1
𝑦 = log𝑏 𝑥
Si 0 < b < 1
𝑦
𝑥
1
𝑦 = 𝑏𝑥
𝑦 = 𝑥
1
𝑦 = log𝑏 𝑥
Observación
El logaritmo es la función inversa de la función
exponencial.
Calcule el rango de la función 𝑓, si:
𝑓𝑥 = 22sen𝑥−1
; ∀𝑥 ∈ ℝ

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ecuación exponencial
Son las ecuaciones donde la variable se encuentra en el
exponente
Ejemplos:
• 72𝑥+1
= 7 𝑥 −1 • 32𝑥
+ 3𝑥
= 12
• 5−𝑥
− 2 = 25−𝑥
Ejercicio 1:
Resuelva la ecuación siguiente
Resolución :
positivo
32𝑥
− 3 ∙ 3𝑥
−54 = 0
3𝑥
3𝑥
−9
6
3𝑥
− 9 = 0 ∨ 3𝑥
+ 6 = 0
3𝑥
= 9 positivo
→ 𝑥 = 2
∴ CS= 2
32𝑥
+ 2 = 3. 3𝑥
+ 56
3𝑥
− 9 3𝑥
+ 6 = 0
32𝑥
+ 2 = 3𝑥+1
+ 56
Efectuamos :
Ejercicio 2: Resuelva la ecuación siguiente
2𝑥
− 16 2𝑥
− 1 2𝑥
− 3 2𝑥
+ 5 = 0
Resolución :
2𝑥
− 16 = 0 ∨ 2𝑥
−1 = 0 ∨ 2𝑥
−3 = 0 ∨ 2𝑥
+5 = 0
→ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = log23
∴ CS= 4 ; 0 , log23
2𝑥
= 16 ∨ 2𝑥
= 1 ∨ 2𝑥
= 3

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Inecuación exponencial
C U R S O D E Á L G E B R A
Son las inecuaciones donde la variable se encuentra en el
exponente
Ejemplos:
• 3𝑥+2
< 3𝑥−3
• 4𝑥
+ 2𝑥
≥ 6
• 7−𝑥
+ 2 ≤ 49−𝑥
Ejercicio 1:
Resuelva la inecuación siguiente
5 𝑥 +8
> 125 𝑥
Resolución :
5 𝑥 +8
> 5 3 𝑥
Como la base es 5, mayor a 1, entonces la
desigualdad no cambia su sentido
8 > 2 𝑥 ↔ 𝑥 < 4
∴ CS= −4; 4
↔ −4 < 𝑥 < 4
Ejercicio 2:
Resuelva la inecuación siguiente
log2𝑥 − 5 5𝑥
+ 1 > 0
𝑥 + 8 > 3 𝑥
Resolución :
• log2𝑥 existe en los ℝ ↔ 𝑥 > 0
• Resolvemos la inecuación:
log2𝑥 − 5 5𝑥
+ 1 > 0
positivo
⟶ log2 x − 5 > 0
⟶ log2 x > ⟶ 𝑥 > 32
∩
∴ CS= 32 ; +∞
log232

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejercicio 3:
Halle la inversa de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥
− 3 ; 𝑥 ≥ 2
Resolución :
Graficando la función, tenemos:
𝑦
𝑥
𝑦 = 2𝑥
𝑦 = 2𝑥
− 3
1
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
Por su gráfica, es una
función inyectiva
→ Ran 𝑓 = ሾ1 , ۧ
+∞
3) Cálculo del 𝑦 = 𝑓∗
(𝑥)
• Se despeja 𝑥: 𝑓 𝑥 = 2𝑥
− 3
𝑦 =
→ 𝑦 = 2𝑥
− 3
→ 2𝑥
= 𝑦 + 3
Por definición de logaritmo::
x = log2 𝒚 + 3
• Se intercambia 𝑥 con 𝑦: 𝐲 = log2 𝒙 + 3
𝑓∗
(𝑥) = log2 𝑥 + 3
∴
−2
−3
𝑓𝑥 = 2𝑥 − 3 ; 𝑥 ≥ 2
2
1)
2) Tenemos:
𝑓 2 = (2)2
−3 = 1
1
; 𝑥 ∈ ሾ1 , ۧ
+∞
C U R S O D E Á L G E B R A

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Observación
La ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) gráficamente tiene 𝑛
soluciones reales si la gráfica de 𝑓𝑥 corta a la
gráfica de 𝑔 𝑥 en 𝑛 puntos.
Ejercicio 4:
Determine el número de soluciones reales de la ecuación:
𝑥2
− 𝑥 = 2 + log2𝑥
Resolución :
𝑥2 − 𝑥 = 2 + log2𝑥
De la ecuación:
𝑥2
− 𝑥 − 2 = log2𝑥
→
→ 𝑥 − 2 𝑥 + 1 = log2𝑥
𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 ; 𝒙 > 𝟎
𝑦
𝑥
Graficamos las funciones
Por lo tanto, tiene 2 soluciones.
2
−1 1

12. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e