2. 2
Структура навчальної програмиСтруктура навчальної програми
№ Зміст уроку Кількість
годин
1 Радіанне вимірювання кутів. 1
2 Синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Тригонометричні функції числового аргу1
3 Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.2
4 Формули зведення. 2
5 Періодичність функцій. 1
6 Властивості та графіки тригонометричних функцій. 4
7 Гармонічні коливання. 1
3. 3
Навчальні досягнення учнівНавчальні досягнення учнів
Виконує перехід від радіанної міри кута до градусної
і навпаки.
Встановлює відповідність між дійсними числами і
точками на одиничному колі.
Формулює означення синуса, косинуса, тангенса,
котангенса кута і числового аргументу; властивості
тригонометричних функцій.
Розпізнає і будує графіки тригонометричних
функцій і на них ілюструє властивості функцій.
Обчислює значення тригонометричних виразів.
Перетворює нескладні тригонометричні вирази.
Застосовує тригонометричні функції до опису
реальних процесів, зокрема гармонічних коливань.
4. 4
ПригадаємоПригадаємо
У геометрії термін “кут” вживають для позначення двох
понять:
1) геометричної фігури, утвореної двома променями із
спільним початком (00
<α≤1800
);
2) величини, що характеризує міру відхилення одного
променя від іншого , або кута повороту (-∞<α<+∞).
Якщо розгорнутий кут розділити на 180 рівних частин і
одну частину прийняти за одиницю вимірювання, то ця
одиниця буде називатися градусомградусом..
Градус (1Градус (100
)) – це 1/180 частина
розгорнутого кута.
1800
О
5. 5
Радіанне вимірювання кутів.Радіанне вимірювання кутів.
У математиці, астрономії, фізиці
використовують радіанну мірурадіанну міру
вимірювання кутів. Перше видання
яке містило термін “радіан”, вийшло
в 1873 р в Англії.
“Радіан” походить від латинського
radianradian (спиця, промінь).
6. 6
Це цікавоЦе цікаво
Існують різні системи вимірювання кутів .
Градусне вимірюванняГрадусне вимірювання і його частини (мінути, секунди) виникло в
Стародавньому Вавилоні задовго до нової ери. Жерці вважали, що
свій денний шлях Сонце проходить за 180 “кроків”, і, отже, один
“крок” дорівнює 1/180 розгорнутого кута.
В геометрії як одиницю вимірювання кутів використовують прямий
кут (dd). Якщоα=300
, в одиницях прямого кута позначають так α=⅓ d.
В астрономії за одиницю вимірювання кутів взято кутову годинукутову годину. Це
величина кута, який становить 1/6 частину прямого.
В техніці за одиницю вимірювання кутів взято повний обертповний оберт.
В артилерії кути вимірюють в “поділках кутоміра“поділках кутоміра”. Велика поділка –
це 1/60 частина повного оберту, мала поділка – 1/100 частини
великої поділки (28-32, що означає 28 великих і 32 малих поділок
кутоміра).
Моряки вимірюють кути в румбах.румбах. Ця одинця дорівнює 1/16 частині
величини розгорнутого кута.
В картографії в деяких країнах за одиницю вимірювання кутів взято
7. 7
Радіанне вимірювання кутівРадіанне вимірювання кутів
Кут 1 радіан – це такий центральний кут, довжина
дуги якого дорівнює радіусу кола.
1800
=π радіан; 1 радіан = ≈ 570
;
10
= рад ≈ 0,01745рад
α0
- градусна міра кута, а – радіанна
π
0
180
О
R
)1рад
R0
180
π
π
α
°⋅
=°
180а
°
°⋅
=
180
απ
а
Формули переходу від
градусної до радіанної міри
і навпаки
9. 9
Виконай самостійноВиконай самостійно
Подай в радіанній мірі
величини кутів
360
, 600
, 2700
, 2160
.
Подай в градусній мірі
величини кутів
π/12; π/8; 3π/4; -π/9.
Перевір себе
π/5; π/3; 3π/2; 6π/5.
150
; 22,50
; 1350
; -200
.
10. 10
ОсобливостіОсобливості
В радіанній системі не введено позначення одиниці
вимірювання. Під знаком тригонометричної
функції записують тільки числове значення
величини кута. Cos π/6; sin2.
Одиниця вимірювання радіанної міри міститься у
розгорнутому куті не ціле число разів, а
ірраціональне: π ≈ 3,14.
Для малих кутів, виміряних у радіанах
виконуються наближені рівності sinα≈α, tgα≈α.
При радіанному вимірюванні кутів спрощується
ряд формул .
Довжина дуги
Площа сектора
ra
r
l =
°
°⋅
=
180
απ
2360
22
arr
S =
°
°⋅
=
απ
11. 11
Синус, косинус, тангенс, котангенсСинус, косинус, тангенс, котангенс
““Тригонометрія”Тригонометрія” (від грецьких слів “тригонон” –
трикутник і “метріо” - вимірюю) означає
“вимірювання трикутників”. Виникнення
тригонометрії пов'язане з розвитком астрономії,
зародилась та розвивалась у Вавилоні, Єгипті,
Китаї, Індії та інших древніх країнах.
Древньогрецькі вчені склали перші тригонометричні
таблиці довжин хорд, що відповідають різним
центральним кутам кола постійного радіуса, які вони
використовували для розв'язування трикутників. Перші
таблиці було складено давньогрецьким математиком
Гіппархом з Нікеї (ІІ ст. до н.е.).
Астроном-математик був засновником математичної
географії, склав зірковий каталог, досить точно
визначив відстань від Землі до Місяця і ввів географічні
координати (широту і довготу), використовуючи
складені ним тригонометричні таблиці хорд.
Гіппарх
12. 12
Синус і косинус зустрічаються в Індійських
астрономічних викладах вже з IV-V ст.
СинусСинус “ардхаджива”, тобто половина хорди (“джива” –
хорда, тятива луку), Це слово було викривлено
арабами в “джайб”, що по арабські означає пазуха,
опуклість. Слово “джайб” було переведено у XII ст. на
латинь відповідним словом “sinussinus”.
КосинусКосинус індійці називали “котиджива”, тобто синус
залишку (до чверті кола). Від перестановки цих слів і
скорочення одного із них (co-sinus) утворився термін
“косинус”.
У IX-X ст. вчені країн ісламу (ал-Хабаш, ал-Баттані,
Абул-Вафа та ін.) ввели нові тригонометричні
величини: тангенстангенс (розв´язування задач на визначення
довжини тіні) і котангенс,котангенс, секанс і косеканссеканс і косеканс. Латинське
слово tangens означає дотичний (відрізок дотичної),
sekans – січний (відрізок січної). Терміни “котангенс” і
“косеканс” були утворені за аналогією з терміном
“косинус”.
13. 13
Тригонометричні функції числовогоТригонометричні функції числового
аргументуаргументу
Визначення кутів за допомогою прямокутного трикутника.
Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого
катета до довжини гіпотенузи:
Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до
довжини гіпотенузи:
Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета
до довжини прилеглого катета:
Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до
довжини протилежного катета:
14. 14
Визначення тригонометричнихВизначення тригонометричних
функцій на одиничному коліфункцій на одиничному колі
α
x
y
Pα(x;y)
Синусом числа α називають ординату
точки Рα одиничного кола, в яку
переходить початкова точка Р 0(1;0)
при повороті навколо центра кола на
кут α радіанів. Його позначають sinα
Косинусом числа α називають абсцису точки Р α
одиничного кола, в яку переходить початкова точка
Р α (1;0) при повороті навколо центра кола на кут α
радіанів. Його позначають cosα .
15. 15
Визначення тригонометричнихВизначення тригонометричних
функцій на одиничному коліфункцій на одиничному колі
• Тангенсом кутаТангенсом кута називають
відношення ординати точки
Pα(x;y) до її абсциси.
• Котангенсом кутаКотангенсом кута називають
відношення абсциси точки
Pα(x;y) до її ординати.
x
y
tg =α
α
x
y
Pα(x;y)
y
xctg =α
Тангенсом числа α називають відношення sinα до cosα
позначають tgα
Котангенсом числа α називається відношення cosα до sinα
позначають ctgα .
16. 16
Лінії тригонометричних функцій для підрахункуЛінії тригонометричних функцій для підрахунку
кутів та їх знаків в різних чвертях колакутів та їх знаків в різних чвертях кола
Е1АЕ 2 – лінія котангенса
D1AD2 – лінія тангенса
Лінія косинусів – проекція ОВ рухомого
радіуса на горизонтальний діаметр.
Лінія синусів – проекція ОА
рухомого радіуса на вертикальний
діаметр (відповідно до знака).
sinα
17. 17
Необхідно знатиНеобхідно знати
При зростанніПри зростанні αα від 0від 000
до 90до 9000
–
синус кута зростає від 0 до1, косинус спадає від 1 до 0,
тангенс…
При зростанніПри зростанні αα від 90від 9000
до 180до 18000
синус кута спадає від 1 до 0, косинус спадає від 0 до
-1, тангенс…
При зростанніПри зростанні αα від 180від 18000
до 270до 27000
синус кута спадає від 0 до -1, косинус зростає від -1 до
0, тангенс…
При зростанніПри зростанні αα від 270від 27000
до 360до 36000
синус кута зростає від -1 до 0, косинус зростає від 0 до
1, тангенс..
18. 18
Виконуємо разомВиконуємо разом
Побудувати на одиничному колі точки Рα,
на які відображається точка Р0 при
повороті на α радіан, якщо: 1) α= π/12;
2) α=2,5;
3) α=3; 4) α=5π/6.
Визначити знаки sinα, cosα, tgα, ctgα
якщо α = 0,3; α = 12 π/7; α = -13
π/6.
Порівняти :
20. 20
Основні співвідношення міжОсновні співвідношення між
тригонометричними функціями одноготригонометричними функціями одного
аргументу.аргументу.
αααααα 2222
sin1cos;cos1sin1cossin −±=−±=⇒=+
α
α
α
α
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
1
=+
=+
ctg
tg
,
1
sin
cos
;
cos
sin
=∗⇒== αα
α
α
α
α
α
α ctgtgctgtg
21. 21
Це цікаво
Найбільшими досягненнями грецька
тригонометрія зобов’язана Клавдію
Птоломею. Його відомий тракат
“Мегісте”.
Гіпотенузу прямокутного трикутника, яка
дорівнює діаметру кола, він записував на
основі теореми Піфагора. В сучасному
трактуванні
Cos2
α + Sin2
α =1
22. 22
Усні вправи
Чи можуть бути справедлими
одночасно рівності:
Tgx=3/4 i Cosх=3/5;
Tgx=√3 i Sinx=-1/2;
Sinx=2/5 i Cosx=4/5
23. 23
Виконати завданняВиконати завдання
Спростити вираз:
1+sin2
α – cos2
α ;
1 – ctgα*sinα*cosα;
(1 – cosα)*tg 2
α*(1 – cosα).
Знайти значення всіх тригонометричних функцій
аргументу α, якщо sinα= -0,8 і 1800
≤α≤2700
Довести тотожність
(Ctg2
α – cos2
α)* tg2
α = cos2
α
24. 24
Формули зведення.Формули зведення.
Якщо кут α відкладається від вертикального
діаметра одиничного кола ( ), то назва
даної функції змінюється на кофункцію ;
Якщо кут α відкладається від горизонтального
діаметра одиничного кола ( ), то
назва функції не змінюється.
2. Перед новою функцією записується той
знак, який мала функція, що зводилася за
умови, що кут α гострий.
27. 27
Щоб учні легше запам’ятали
значення тригонометричних
функцій для деяких кутів,
доцільно використовувати
модель тригонометра (Рис.).
Його використання дає
змогу не зазубрювати
таблицю значень
тригонометричних функцій
від 0 до 2π, «кола» знаків
тригонометричних функцій і
формул зведень.
29. 29
Періодичність функційПеріодичність функцій
ТТ називається періодомперіодом функції f(x), якщо для
довільного х з області визначення виконується
рівність f(x) = f(x + T).f(x) = f(x + T).
Дану функцію називають періодичною.періодичною.
Очевидно, що Т і –Т є періодами (найменшими).
Також є періодами числа виду n*T.
f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) =
= f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x).
Y(x)=f(kx+b) T*=T/lkl
30. 30
Тригонометричні функції
періодичні
Період синуса і косинуса є будь-яке число
виду 2πn, n єZ,
Тангенса та котангенса є будь-яке число
виду 2πn, nєZ.
sin(2π+α)=sin α cos(2π+ α) =cos α
tg( π+α)=tgα ctg(π+α)=ctg α
Періодичними бувають не лише тригонометричні
функції.
Наприклад, функція f(x) = {x} є періодичною з періодом
Т = 1.
32. 32
Розв’язуємо разом.Розв’язуємо разом.
№1. Звести до однойменних
функцій гострого кута:
а) cos1827°=cos(360°*5+27°)=
=cos 27°;
б) tg 978°=tg(180°*5+78°)=
=tg78°;
в) sin (–800°) =
г) ctg 1305° =
№2. Обчислити значення
тригонометричних функцій:
а) cos 1125° =
б) cos (–315°) =
в) tg(-17π/3) =
Перевір себе
1.в)sin (–3*360°+280°)=
sin280°;
г)ctg (7*180°+45°) = ctg45°;
2а) cos (3 * 360° + 45°) =
cos 45° = √2/2;
б)cos (–360° + 45°) = cos
45°= √2/2;
В)√3
33. 33
Функція y = sin x
Побудова графіка функції
π π2
2
π
2
3π
π
3
π
3
2π
6
π
6
5π
π
2
3π
6
7π
6
11π
3
4π
3
5π 2
3π
2
π
6
π
3
π
34. 34
Властивості і графік y=sinx
1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).
2. Область значень – проміжок [-1;1].
3. Функція непарна sin(-x)=-sinx, (графік функції симетричний відносно
початку координат)
4.Функція періодична з періодом Т=2П.
5. Функція зростає при xє[-П/2+2Пn;П/2+2Пn], n є Z.
6. Функція спадає при xє[П/2+2Пn;3П/2+2Пn], n є Z.
7. Функція має максимум у точках (П/2+2Пn;1),
мінімум у точках (-П/2+2Пn;-1), nє Z.
8.Проміжки знакосталості: sin x > 0, якщо х є(2Пn; П + 2Пn), nєZ
sin x < 0, якщо x є(П+ 2Пn; 2П+ 2Пn), nєZ
Графіком функції є крива - синусоїда
y
1
-1
π
2
π π2
2
3ππ−
2
π
−π2−
2
3π
− 0
x
35. 35
Побудова графіка функції
y = cos x
Графік функції у=cosx отримаємо
шляхом перенесення графіка функції
у=sinx вліво на π/2 (sin (x + π/2) = cos x)
y
1
-1
π
2
π π2
2
3ππ−
2
π
−π2−
2
3π
− 0 x
36. 36
y
1
-1
π
2
π π2
2
3ππ−
2
π
−π2−
2
3π
− 0
x
Властивості функції y=cosх:
1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).
2. Область значень – проміжок [-1;1].
3. Функція парна cos(-x)=cosx, (графік функції симетричний відносно осі OY)
4. Функція періодична з періодом Т=2П (cos (x + 2П) = cos x).
5. Функція зростає при xє[-П+2Пn;2Пn], n є Z.
6. Функція спадає при xє[2Пn;П+2Пn], n є Z.
7. Функція має максимум у точках (2Пn;1),
мінімум у точках (П+2Пn;-1), nєZ.
8.Проміжки знакосталості: cos x > 0, якщо х є (-П/2 + 2Пn; П/2 + 2Пn),
cos x < 0, якщо x є (П/2 + 2Пn; 3П/2 + 2Пn), nєZ
Графіком функції є крива - косинусоїда
37. 37
Властивості функції y=tgх
1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=П/2+Пn, nєZ.
2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).
3. Функція непарна tg(-х)=-tgх (графік функції симетричний
відносно початку координат)
4. Функція періодична з періодом Т= П ( tg(x+π)=tgx).
5. Нулі функції – точки (Пn;0), nєZ.
6.Функція зростає на всій області визначення.
7.Проміжки знакосталості Tg x > 0, якщо х є (Пn; П/2 + Пn), nєZ
Tgх < 0, якщо х є (-П/2+Пn;Пn), n є Z.
8. Функція не має екстремумів.
9. Графіком функції є крива – тангенсоїда
2
3ππ2−
2
3π
−
У
Хπ2π−
2
π
−
0
2
π π
38. 38
Властивості функції y=ctgх
1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=Пn, nєZ.
2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).
3. Функція непарна ctg(-х)=-ctgх (графік функції симетричний
відносно початку координат )
4. Функція періодична з періодом Т= П ( сtg(x+π)=сtgx).
5. Нулі функції – точки (π2+Пn;0), nєZ.
6. Функція спадає на всій області визначення.
7.Проміжки знакосталості ctgх >0, якщо xє (Пn;П/2+Пn), n є Z.
ctgх < 0, якщо x є (П/2+Пn;П+Пn), n є Z.
8. Функція не має екстремумів.
9. Графіком функції є крива - котангенсоїда
0
π−
y
x2
π
2
π−
2
3π−
π2−
π
2
3π
π2
39. 39
Користуючись властивостями
функцій порівняйте числа:
1. tg 150
і tg 1400
Розв’язання
Оскільки tg 1400
= tg (1800
- 400
)=- tg 400
і
tg 150
>- tg 400
.
Отже, tg 150
> tg 1400
.
2. сtg (-1,2 π) і сtg (-0,1π)
3. sin2 і sin5
4. сos70° і сos290°
5. сos340° і sin250°
40. 40
Перетворення графіків функцій
1.Для побудови графіка функції y =y = f(x)f(x)±± аа
необхідно виконати паралельне
перенесення графіка функції y =y = f(x)f(x)
вздовж осі OY на а одиниць вгору (вниз).
2. Для побудови графіка функції y =y = f(xf(x±±а)а)
необхідно виконати паралельне
перенесення графіка функції y =y = f(x)f(x)
вздовж осі OX на а одиниць вліво (вправо).
42. 42
Перетворення графіків функцій
• Графік функції y = k f(x)f(x) можна дістати з
графіка функції y = f(x)f(x) за допомогою розтягу його
в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою
стиснення в k разів до осі OX, якщо 0<k<1
• Графік функції y = f(f( k x) можна дістати з графіка
функції y = за допомогою стиснення його в k разів
до осі OY, якщо k>1, і за допомогою розтягу в k
разів від осі OY, якщо 0<k<1
44. 44
Перетворення графіків функцій
5. Для побудови графіка функції y =| f(x)f(x) |
необхідно побудувати графік функції y = f(x)f(x)
при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який
буде симетричний для вже побудованого
графіка відносно осі OХ
Для побудови графіка функції y = ff |(x)(x) |
необхідно побудувати графік функції y = f(x)f(x)
при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який
буде симетричний для вже побудованого
графіка відносно осі OУ
46. 46
Перетворення графіків функцій
• Для побудови графіка функції
y = -y = - f(x)f(x) необхідно графік функції
y =y = f(x)f(x) відобразити симетрично відносно
осі OX.
• Для побудови графіка функції
y =y = f(-x)f(-x) необхідно графік функції
y =y = f(x)f(x) відобразити симетрично відносно
осі OY.
49. 49
Запиши функцію
Графік функція y=сtgx паралельно
перенесли на 4 одиниці вниз вздовж осі
Oy і на π/4 одиниці вліво вздовж осі Ox.
Отримали наступний графік функції:
4-)
4
π
tg(xy += с
50. 50
Гармонічні коливання
У природі і техніці, повсякденному житті часто
доводиться спостерігати коливальні рухи.
Наприклад, рух маятника годинника,
коливання струни музичного інструмента,
коливання води від кинутого в неї предмета та ін
До найпростіших коливальних рухів належать
гармонічні коливання.гармонічні коливання. Такі коливання можна
описати за допомогою тригонометричних
функцій (математичною моделлю таких
коливань є тригонометричні функції певного
виду)
51. 51
Гармонічні коливання - це ...
Гармонічними коливаннями називаються
періодичні коливання фізичної величини, які
відбуваються згідно із законом у = уу = у00 cos (ωt + φcos (ωt + φ00).).
де t — час,
y0 — це найбільше значення, яке приймає
величина y під час коливань, яке називають
амплітудою коливань,
ω — циклічна частота коливань,
ωt + φ0 —фаза коливань, φ0 називают початковою
фазою.
52. 52
Уявлення про коливання…
Математичний маятник.
Вільні коливання
Графіки координати x(t),
швидкості υ(t) і прискоренняa(t) тіла,
яке гармонічно коливається.
Найпростішою електричною
системою,яка викрнує вільні
коливання є послідовний
RLC-контур
53. 53
Приклади
застосування
Гармонічні коливання дуже розповсюджені в
природі й техніці. До них належать малі коливання
підвішеного на пружині тягаря, малі коливання
маятника, коливання в молекулах, якими
зумовлене поглинання інфрачервоних променів,
різноманітні коливання в електротехніці,
наприклад, у коливальному контурі та інші.
54. 54
Тригонометричні функцііТригонометричні функціі — математичні
функціі від кута.
Вони важливі при вивченні геометрії, а також
при дослідженні періодичних процесів.
Зазвичай тригонометричні функції визначають
як відношення сторін прямокутного
трикугника або довжини визначених відрізків
в одиничному колі.
Більш сучасніші визначення визначають
тригонометричні функції через суми рядів або
як розв′язки деяких диференціальных
рівнянь, що дозволяє поширити область
визначення цих функцій на довільні дійсні числа
і навіть на комплексні числа.
