Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn đồ án tốt nghiệp ngành sư phạm vật lí với đề tài: Con quay hồi chuyển và một vài kết quả khảo sát, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Phạm Lê Giang Dũng
Tên đề tài:
CON QUAY HỒI CHUYỂN
VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ KHẢO SÁT
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Phạm Lê Giang Dũng
Tên đề tài:
CON QUAY HỒI CHUYỂN
VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ KHẢO SÁT
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
Mã số: 102
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Th.S Dương Đào Tùng
Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

3. LỜI CẢM ƠN
Lời cảm ơn chân thành gởi đến Th.S Dương Đào Tùng đã tận tình hướng dẫn và
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Đồng thời cũng xin cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Long và cô Ngô
Thị Phương đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành công việc thực nghiệm
trên thiết bị.
Xin cảm ơn quý thầy cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh sau 4 năm đã cung cấp những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tôi tự tin hoàn
thành luận văn tốt nghiệp ra trường.
Cuối cùng tôi xin gởi lời tri ân đến gia đình và bạn bè, những người luôn quan
tâm, động viên tôi trong suốt chặng đường đã đi qua.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2013
Phạm Lê Giang Dũng

4. MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ..................................................................................................................2
MỤC LỤC........................................................................................................................3
DANH MỤC CÁC BẢNG...............................................................................................6
DANH MỤC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ..................................................................................7
LỜI MỞ ĐẦU..................................................................................................................9
PHẦN MỘT: CƠ SỞ LÝ THUYẾT..............................................................................12
CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ VẬT RẮN...................................................................12
1.1.Chuyển động của vật rắn .........................................................................................12
1.1.1. Chuyển động tịnh tiến................................................................................12
1.1.2. Chuyển động quay .....................................................................................13
1.2.Các định lý về momen động lượng của một hệ chất điểm ......................................13
1.2.1. Momen động lượng của một hệ.................................................................13
1.2.2. Định lý về momen động lượng của một hệ ...............................................14
1.3.Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định...15
1.3.1. Momen lực đối với trục .............................................................................15
1.3.1.1. Tác dụng của lực trong chuyển động quay......................................15
1.3.1.2. Momen của lực đối với trục quay....................................................16
1.3.2. Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn............17
1.3.3. Tính momen quán tính...............................................................................18
1.3.3.1. Tính momen quán tính của một hình trụ tròn..................................19
1.3.3.2. Tính momen quán tính của một số vật rắn......................................19
CHƯƠNG II. LÝ THUYẾT VỀ CON QUAY ..............................................................20
2.1.Nhắc lại về momen động lượng của vật rắn............................................................20

5. 2.2.Chuyển động quay tự do của vật rắn .......................................................................21
2.3.Chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định. Con quay hồi chuyển ....23
2.4.Một số ứng dụng thực tế của con quay....................................................................27
PHẦN HAI: THÍ NGHIỆM KIỂM CHỨNG ................................................................31
CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU VỀ BỘ DỤNG CỤ THÍ NGHIỆM....................................31
1.1.Giới thiệu chung ......................................................................................................31
1.2.Giới thiệu về con quay hồi chuyển U52006 và bộ đo tần số quay..........................32
1.2.1. Con quay hồi chuyển U52006 () ............................................................32
1.2.2. Bộ đo tần số quay của đĩa..........................................................................33
1.3.Các thí nghiệm thực hiện.........................................................................................34
CHƯƠNG II – KẾT QUẢ KHẢO SÁT ........................................................................35
2.1.Xác định momen quán tính của đĩa quay ................................................................35
2.1.1. Mục đích thí nghiệm..................................................................................35
2.1.2. Cơ sở lý thuyết...........................................................................................35
2.1.3. Lắp đặt dụng cụ..........................................................................................36
2.1.4. Tiến hành thí nghiệm.................................................................................36
2.1.5. Số liệu tính toán và đo đạc.........................................................................37
2.1.5.1. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚1 = 0.02𝑘𝑔1T ..............................37
2.1.5.2. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚2 = 0.03𝑘𝑔1T ..............................40
2.1.5.3. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚3 = 0.04𝑘𝑔1T ..............................43
2.1.6. Nhận xét kết quả thực nghiệm...................................................................46
2.2.Khảo sát sự tiến động của con quay ........................................................................47
2.2.1. Mục đích thí nghiệm..................................................................................47
2.2.2. Cơ sở lý thuyết...........................................................................................47

6. 2.2.3. Lắp đặt dụng cụ..........................................................................................48
2.2.4. Tiến hành thí nghiệm.................................................................................50
2.2.5. Số liệu tính toán và đo đạc.........................................................................51
2.2.5.1. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚1 = 0.03𝑘𝑔1T ..............................52
2.2.5.2. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚2 = 0.04𝑘𝑔1T ..............................54
2.2.5.3. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚3 = 0.05𝑘𝑔1T ..............................55
2.2.5.4. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚4 = 0.06𝑘𝑔1T ..............................57
2.2.6. Nhận xét kết quả thực nghiệm...................................................................59
2.3.Khảo sát sự chương động của con quay:.................................................................61
2.3.1. Mục đích thí nghiệm..................................................................................61
2.3.2. Cơ sở lý thuyết...........................................................................................61
2.3.3. Lắp đặt dụng cụ..........................................................................................61
2.3.4. Tiến hành thí nghiệm.................................................................................61
2.3.5. Kết quả đo đạc ...........................................................................................62
2.3.6. Nhận xét kết quả thí nghiệm......................................................................66
2.4.Sự khử momen động lượng của con quay...............................................................66
2.4.1. Mục đích thí nghiệm..................................................................................67
2.4.2. Cơ sở lý thuyết...........................................................................................67
2.4.3. Lắp đặt dụng cụ..........................................................................................67
2.4.4. Tiến hành thí nghiệm.................................................................................67
2.4.5. Kết quả thí nghiệm.....................................................................................68
2.4.6. Nhận xét kết quả thí nghiệm......................................................................69
NHẬN XÉT VÀ ĐỀ XUẤT ..........................................................................................70
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................................72

7. DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2-1. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật
nặng 0.02kg....................................................................................................................37
Bảng 2-2. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật
nặng 0.03kg....................................................................................................................40
Bảng 2-3. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật
nặng 0.04kg....................................................................................................................43
Bảng 2-4. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.03kg.............................................................................................................................52
Bảng 2-5. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.04kg.............................................................................................................................54
Bảng 2-6. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.05kg.............................................................................................................................55
Bảng 2-7. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.06kg.............................................................................................................................57
Bảng 2-8. Kết quả thí nghiệm khảo sát chương động của con quay........................62

8. DANH MỤC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ
Hình 1-1. Chuyển đông của vật rắn quay xung quanh một trục ..............................13
Hình 1-2. Tác dụng của lực trong chuyển động quay..............................................15
Hình 1-3. Xác định momen quán tính của khối trụ..................................................19
Hình 1-4. Momen quán tính của một số vật rắn ......................................................19
Hình 1-5. Chuyển động quay tự do của con quay đối xứng (1)...............................22
Hình 1-6. Chuyển động quay tự do của con quay đối xứng (2)...............................22
Hình 1-7. Chuyển động của con quay trong trường trọng lực quanh điểm cố
định.................................................................................................................................24
Hình 1-8. Ngẫu lực đặt vào con quay đang quay.....................................................26
Hình 1-9. Bộ ổn định hóa con quay hồi chuyển trên tàu thủy.................................28
Hình 1-10. Bộ ổn định hóa con quay hồi chuyển trên ngư lôi.................................29
Hình 1-12. Chuyển động của viên đạn trong không gian (2) ..................................30
Hình 1-11. Chuyển động của viên đạn trong không gian (1) ..................................30
Hình 2-1. Bộ dụng cụ thí nghiệm.............................................................................31
Hình 2-2. Con quay hồi chuyển U52006 .................................................................32
Hình 2-3. Bộ đo tần số quay của đĩa........................................................................34
Hình 2-4. Bài toán xác định momen quán tính I của đĩa .........................................35
Hình 2-5. Thí nghiệm xác định momen quán tính I của đĩa ....................................36
Hình 2-6. Đo đường kính của phần ống quấn dây...................................................37
Hình 2-7. Đồ thị đường thẳng tF2 = g(h) ứng với vật nặng 0.02kg ......................40
Hình 2-8. Đồ thị đường thẳng tF2 = g(h) ứng với vật nặng 0.03kg ......................43
Hình 2-9. Đồ thị đường thẳng tF2 = g(h) ứng với vật nặng 0.04kg ......................46
Hình 2-10. Con quay cân bằng theo phương ngang ................................................49
Hình 2-11. Thí nghiệm khảo sát sự tiến động..........................................................49
Hình 2-12. Cách làm cho đĩa quay...........................................................................50
Hình 2-13. Treo vào đầu trục một gia trọng và di chuyển con quay lệch khỏi
cổng quang .....................................................................................................................50

9. Hình 2-14. Con quay thực hiện tiến động. Chắn sáng quét qua cổng quang...........51
Hình 2-15. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.03kg......................53
Hình 2-16. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.04kg......................55
Hình 2-17. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.05kg......................57
Hình 2-18. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.06kg......................59
Hình 2-19. Tác dụng một lực nhẹ, tức thời lên đầu trục quay khi đĩa đang quay ...62
Hình 2-20. Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa tần số quay của đĩa f và tần số
chương động fN1T .............................................................................................................65
Hình 2-21. Bằng phương pháp chụp ảnh liên hoàn, ta ghi nhận lại sự di chuyển
của đầu trục quay trong một chu kỳ chương động.........................................................66
Hình 2-22. Cách làm hai đĩa quay cùng vận tốc góc nhưng ngược chiều ...............67
Hình 2-23. Hiện tượng xảy ra khi móc gia trong vào đầu trục quay của hai đĩa.....69
Hình 2-24. Hiện tượng xảy ra khi tác dụng một lực tức thời theo phương ngang
vào đầu trục quay của hai đĩa.........................................................................................69

10. LỜI MỞ ĐẦU
Vật lý học là một môn khoa học thực nghiệm. Phần lớn các kiến thức vật lý mà
con người tìm ra đều bắt nguồn từ các quan sát, các thí nghiệm. Một chiếc xe đạp
khi chuyển động tại sao không bị ngã? Tại sao một cái bông vụ khi quay nhanh
quanh trục đối xứng của nó thì có thể tự đứng được? Tại sao người ta lại xẻ rãnh
nòng súng để cho viên đạn khi bay ra ngoài thì quay quanh trục của nó? Đó là một
vài câu hỏi thú vị về các hiện tượng vật lý mà hằng ngày chúng ta quan sát được và
hoàn toàn có thể được trả lời dựa vào các kiến thức về Cơ học, cụ thể là kiến thức
về con quay hồi chuyển. Con quay hồi chuyển, một cách đơn giản là một vật rắn
quay quanh một trục, mà trục này có thể thay đổi tự do theo bất kỳ phương nào
trong không gian. Con quay hồi chuyển có nhiều tính chất kỳ lạ được ứng dụng
rộng rãi trong khoa học kỹ thuật. Đó là lý do đầu tiên khiến chúng tôi quan tâm đến
thiết bị này và lựa chọn làm đối tượng nghiên cứu chủ yếu cho luận văn tốt nghiệp.
Bên cạnh đó, dưới con mắt của một nhà Sư phạm, chúng tôi nhận thấy vai trò
của thực nghiệm trong việc truyền đạt kiến thức vật lý đến người học là rất quan
trọng. Một kiến thức vật lý “khô khan” cũng sẽ trở nến sống động và có ý nghĩa nếu
nó được biểu diễn hay chứng minh từ các mô hình trực quan.
Nắm bắt được nhu cầu này, các nhà sản xuất đã nghiên cứu, cho ra đời các bộ
thí nghiệm vật lý phù hợp với từng đối tượng. Đó là thuận lợi nhưng cũng là khó
khăn đặt ra cho những ai quan tâm. Thuận lợi ở chỗ giờ đây trong tay các nhà
nghiên cứu hay người học đã có các công cụ thực nghiệm vật lý phong phú, đầy đủ
các lĩnh vực của vật lý. Còn khó khăn đó là phần lớn các bộ thí nghiệm, các dụng cụ
thực hành vật lý được sản xuất từ các hãng nước ngoài. Do đó gây ra một số khó
khăn trong việc vận hành cũng như phát huy tối đa các ứng dụng của thiết bị trong
điều kiện phòng thí nghiệm ở trong nước. Ngoài ra khó khăn còn nằm ở chỗ, mỗi bộ
dụng cụ được sản xuất ra đa phần chỉ phù hợp với một số thí nghiệm mà nhà sản
xuất quy định trong cẩm năng hướng dẫn đi kèm. Do đó, nếu không nghiên cứu kỹ
lưỡng dụng cụ và cho vận hành thử thì sẽ dễ dàng vướng phải các sai lầm ảnh
hưởng đến chất lượng công việc và tuổi thọ của dụng cụ.

11. Dựa trên sự lựa chọn ban đầu đối với con quay hồi chuyển cũng như mong
muốn khắc phục các khó khăn trong việc ứng dụng các thiết bị thí nghiệm vật lý
vào học tập và nghiên cứu, chúng tôi đã quyết định lựa chọn đề tài: CON QUAY
HỒI CHUYỂN VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ KHẢO SÁT.
Với tên đề tài như vậy, mục đích của chúng tôi trong luận văn này là xây dựng
các thí nghiệm dựa trên bộ dụng cụ có sẵn nhằm minh họa và kiểm chứng các hiện
tượng tiến động, chương động và khử momen động lượng của con quay hồi chuyển
phục vụ cho việc dạy học, nghiên cứu các kiến thức về con quay hồi chuyển. Ngoài
ra, trong bộ dụng cụ chúng tôi sử dụng, thiết bị quan trọng nhất đó là con quay hồi
chuyển U52006 do hãng 3B SCIENTIFIC sản xuất. Chúng tôi sẽ tiến hành đo đạc
momen quán tính của đĩa quay con quay hồi chuyển nhằm giúp cho những ai sử
dụng sau này có thể đối chiếu hay tham khảo số liệu.
Như vậy, đối tượng chúng tôi nghiên cứu trong đề tài này bao gồm các khái
niệm, tính chất của con quay hồi chuyển. Để thực hiện đề tài, đầu tiên chúng tôi
nghiên cứu các lý thuyết có liên quan đến con quay hồi chuyển, bao gồm: lý thuyết
về vật rắn, lý thuyết về con quay … Tiếp đến chúng tôi nghiên cứu về con quay hồi
chuyển U52006 và các thiết bị khác có liên quan như: đầu thu tần số U21005, cổng
quang học, đồng hồ bấm giây … cũng như cách kết hợp các thiết bị này lại để phục
vụ mục đích thí nghiệm.
Kết quả của quá trình nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong hai phần:
Phần một: Cơ sở lý thuyết, nhằm xây dựng hệ thống kiến thức cơ bản về vật rắn
và con quay hồi chuyển.
Phần hai: Thí nghiệm kiểm chứng, gồm 4 thí nghiệm nhằm minh họa, kiểm
chứng các hiện tượng của con quay hồi chuyển và đo đạc momen quán tính của con
quay U52006.
Đề tài của chúng tôi hoàn thành hi vọng sẽ góp một phần nhỏ vào việc làm
phong phú thêm các thí nghiệm về Vật lý đại cương, giúp cho các nhà nghiên cứu,
các bạn sinh viên tin tưởng hơn vào các kiến thức đã được học trên giảng đường, từ
đó có những phát kiến mới nhằm từng bước cải thiện thiết bị, nâng cao hiệu quả sử

12. dụng thiết bị và thêm say mê lĩnh vực Vật lý thực nghiệm.
Với thời gian nghiên cứu tương đối ngắn, cộng với năng lực còn hạn chế nên đề
tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được mọi sự
đóng góp để đề tài thêm hoàn thiện.
Tác giả luận văn.

13. PHẦN MỘT: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ VẬT RẮN
1.1. Chuyển động của vật rắn
Vật rắn là một hệ chất điểm, trong đó khoảng cách giữa các chất điểm luôn luôn
không đổi. Chuyển động của một vật rắn nói chung phức tạp, nhưng người ta chứng
minh được rằng, mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể quy về hai
chuyển động cơ bản là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.
1.1.1. Chuyển động tịnh tiến
Khi một vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của nó chuyển động theo
những quỹ đạo giống nhau. Tại mỗi thời điểm, các chất điểm của vật rắn tịnh tiến
đều có cùng vectơ vận tốc và vectơ gia tốc. Giả thiết 𝑎⃗ là vectơ gia tốc chung của
các chất điểm 𝑀1, 𝑀2, 𝑀3, … , 𝑀𝑖, … của vật rắn, các chất điểm này lần lượt có khối
lượng 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, … , 𝑚𝑖, … và lần lượt chịu các ngoại lực tác dụng
𝐹1
���⃗, 𝐹2
���⃗, 𝐹3
���⃗, … , 𝐹𝚤
��⃗, … Theo định luật II Niutơn ta có:
𝑚1 𝑎⃗ = 𝐹1
���⃗
𝑚2 𝑎⃗ = 𝐹2
���⃗
… … … … … (1)
𝑚𝑖 𝑎⃗ = 𝐹𝚤
��⃗
… … … … …
Các phương trình đó chứng tỏ những ngoại lực tác dụng lên vật rắn
𝐹1
���⃗, 𝐹2
���⃗, 𝐹3
���⃗, … , 𝐹𝚤
��⃗, … song song và cùng chiều. Đó là điều kiện cần để một vật rắn
chuyển động tịnh tiến. Cộng các phương trình (1) vế với vế ta được:
�� 𝑚𝑖
𝑖
� 𝑎⃗ = � 𝐹𝚤
��⃗
𝑖
(2)
Đó là phương trình chuyển động của vật rắn tịnh tiến. Nó giống như phương
trình chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của
vật rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Dễ dàng

14. Hình 1-1. Chuyển đông của vật
rắn quay xung quanh một trục
thấy rằng, đó cũng là phương trình chuyển động của khối tâm vật rắn. Như vậy,
muốn khảo sát chuyển động tịnh tiến của một vật rắn, ta chỉ xét chuyển động của
khối tâm của nó.
1.1.2. Chuyển động quay
Khi một vật rắn chuyển động quay xung quanh một đường thẳng cố định ∆ (gọi
là trục quay) thì:
- Mọi điểm của vật rắn vạch ra
những vòng tròn có cùng trục ∆
(những vòng tròn mà mặt phẳng
vuông góc với ∆ và có tâm nằm trên
∆).
- Trong cùng một khoảng thời
gian, mọi điểm của vật rắn đều quay
được cùng một góc 𝜃.
- Tại cùng một thời điểm, mọi
điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc
góc 𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
và cùng gia tốc góc 𝛾 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
=
𝑑2 𝜃
𝑑𝑡2 .
- Tại một thời điểm, vectơ vận tốc tiếp tuyến và vectơ gia tốc tiếp tuyến của
một chất điểm bất kì của vật rắn cách trục quay một khoảng 𝑟 được xác định bởi
những hệ thức:
𝑣⃗ = [ 𝜔��⃗ ∧ 𝑟⃗] (𝑟⃗ = 𝑂𝑀������⃗); (3)
𝑎 𝑡���⃗ = [ 𝛾⃗ ∧ 𝑟⃗]
1.2. Các định lý về momen động lượng của một hệ chất điểm
1.2.1. Momen động lượng của một hệ
Một hệ chất điểm 𝑀1, 𝑀2, 𝑀3, … , 𝑀𝑖, …, lần lượt có khối lượng
𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, … , 𝑚𝑖, … chuyển động với những vận tốc 𝑣1���⃗, 𝑣2����⃗, 𝑣3����⃗, … , 𝑣𝚤���⃗, … đối với một

15. hệ quy chiếu gốc 𝑂 cố định. Momen động lượng của hệ đối với 𝑂 được định nghĩa
bởi:
𝐿�⃗ = � 𝐿𝚤
���⃗
𝑖
= ��𝑂𝑀𝚤
��������⃗ ∧ 𝑚𝑣𝚤���⃗�
𝑖
= �[ 𝑟𝚤��⃗ ∧ 𝑚𝑣𝚤���⃗]
𝑖
(4)
1.2.2. Định lý về momen động lượng của một hệ
Đối với chất điểm (𝑚𝑖, 𝑟𝑖) của hệ, khi áp dụng định lý về momen động lượng ta
được:
𝑑𝐿𝚤
���⃗
𝑑𝑡
= 𝑀��⃗/ 𝑂(𝐹𝚤
��⃗)
với 𝑀��⃗/ 𝑂(𝐹𝚤
��⃗) là tổng momen đối với gốc 𝑂 của các lực tác dụng lên chất điểm 𝑚𝑖.
Cộng các phương trình trên theo 𝑖 ta được:
�
𝑑𝐿𝚤
���⃗
𝑑𝑡
𝑖
= � 𝑀��⃗/ 𝑂(𝐹𝚤
��⃗)
𝑖
Vế đầu:
�
𝑑𝐿𝚤
���⃗
𝑑𝑡
𝑖
=
𝑑
𝑑𝑡
� 𝐿𝚤
���⃗
𝑖
=
𝑑𝐿�⃗
𝑑𝑡
là đạo hàm theo thời gian của tổng momen động lượng của hệ. Vế thứ hai biểu thị
tổng momen đối với gốc 𝑂 của các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ. Các lực
tác dụng lên các chất điểm của hệ bao gồm các ngoại lực tác dụng và các nội lực
tương tác của các chất điểm trong hệ. Chú ý rằng các nội lực tương tác của các chất
điểm trong hệ từng đôi một đối nhau (cùng phương ngược chiều, cùng cường độ) do
đó tổng momen đối với 𝑂 của những lực này sẽ bằng 0. Vậy vế thứ hai của phương
trình trên chỉ còn là tổng momen đối với 𝑂 của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Kết
quả ta được công thức sau:
𝑑𝐿�⃗
𝑑𝑡
= � 𝑀��⃗/ 𝑂(𝐹𝚤
��⃗)
𝑖
= 𝑀��⃗ (5)
Định lý: Đạo hàm theo thời gian của momen động lượng của một hệ bằng tổng

16. momen các ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một điểm gốc 𝑂 cố định bất kì).
Chú ý quan trọng: Trong định lý trên, ta phải tính momen động lượng của hệ
đối với một điểm 𝑂 cố định. Người ta chứng minh được rằng định lý ấy vẫn đúng
nếu ta thay 𝑂 bằng khối tâm 𝐺 của hệ (mặc dù lúc xét, 𝐺 đang chuyển động).
1.3. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một
trục cố định
Trong mục này, chúng ta sẽ thiết lập những phương trình cơ bản mô tả chuyển
động quay của vật rắn xung quanh một trục. Trước hết ta xét một đại lượng đặc
trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay.
1.3.1. Momen lực đối với trục
1.3.1.1. Tác dụng của lực trong chuyển động quay
Giả thiết có lực 𝐹⃗ tác dụng lên vật rắn quay xung quanh trục ∆, đặt tại điểm 𝑀.
Trước hết ta phân tích 𝐹⃗ ra hai thành phần:
𝐹⃗ = 𝐹1
���⃗ + 𝐹2
���⃗
trong đó 𝐹1
���⃗ ⊥ trục; 𝐹2
���⃗ ∥ trục. Lực 𝐹1
���⃗ nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆ đi
qua 𝑀 lại được phân tích ra hai thành phần:
𝐹1
���⃗ = 𝐹𝑡
���⃗ + 𝐹𝑛
���⃗
trong đó 𝐹𝑡
���⃗ ⊥ bán kính 𝑂𝑀, nghĩa là nằm theo tiếp tuyến của vòng tròn tâm 𝑂 bán
kính 𝑂𝑀, còn 𝐹𝑛
���⃗ nằm theo bán kính 𝑂𝑀. Kết quả ta có:
𝐹⃗ = 𝐹𝑡
���⃗ + 𝐹𝑛
���⃗ + 𝐹2
���⃗
Trên Hình 1-2 ta thấy rằng:
- Thành phần 𝐹2
���⃗ không gây ra chuyển
động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn
trượt dọc theo trục quay, chuyển động này
không thể có vì theo giả thiết vật rắn chỉ
quay xung quanh trục A.
- Thành phần 𝐹𝑛
���⃗ không gây ra chuyển
𝑀��⃗

17. động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn rời
khỏi trục quay, chuyển động này cũng
không thể có.
- Như vậy trong chuyển động quay,
tác dụng của lực 𝐹⃗ tương đương với tác
dụng của thành phần 𝐹𝑡
���⃗ của nó. Ta kết
luận:
Trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục, chỉ những thành
phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự.
Vì vậy trong các phần sau đây, để đơn giản, ta có thể giả thiết rằng các lực tác
dụng lên vật rắn chuyển động quay đều là lực tiếp tuyến.
1.3.1.2. Momen của lực đối với trục quay
Ta hãy xét tác dụng của lực tiếp tuyến 𝐹𝑡
���⃗ đặt tại điểm 𝑀 ứng với bán kính 𝑂𝑀
= 𝑟 của quỹ đạo của 𝑀. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, tác dụng của lực 𝐹𝑡
���⃗ không
những phụ thuộc cường độ của nó mà còn phụ thuộc khoảng cách 𝑟, khoảng cách
này càng lớn thì tác dụng của lực càng mạnh. Để đặc trưng cho tác dụng của lực
trong chuyển động quay, người ta đưa ra một đại lượng gọi là momen lực.
Định nghĩa: Momen của lực 𝐹𝑡
���⃗ đối với trục quay ∆ là một vectơ 𝑀��⃗ xác định bởi
(Hình 1-2):
𝑀��⃗ = �𝑟⃗ ∧ 𝐹𝑡
���⃗� (6)
trong đó 𝑟⃗ = 𝑂𝑀������⃗, với 𝑂 là giao điểm của trục quay ∆ và mặt phẳng quỹ đạo của 𝑀.
Theo định nghĩa này, vectơ 𝑀��⃗ có phương vuông góc với mặt phẳng chứa 𝑟⃗ và
𝐹𝑡
���⃗, nghĩa là phương của trục quay, có chiều thuận đối với chiều quay từ 𝑟⃗ sang 𝐹𝑡
���⃗,
có trị số:
𝑀 = 𝑟𝐹𝑡 sin�𝑟⃗, 𝐹𝑡
���⃗� (7)
𝑀 = 𝑟𝐹𝑡
Chú thích: Vì trong chuyển động quay, tác dụng của lực 𝐹⃗ tương đương với tác

18. dụng của lực 𝐹1
���⃗ và tương đương với tác dụng của lực 𝐹𝑡
���⃗ nên người ta cũng định
nghĩa 𝑀��⃗ là vectơ momen của 𝐹1
���⃗ hay của 𝐹⃗ đối với ∆.
1.3.2. Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn
Ta áp dụng phương trình diễn tả định lý về momen động lượng của một hệ:
𝑑𝐿�⃗
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
�� 𝐿𝚤
���⃗
𝑖
� = � 𝑀��⃗/ 𝑂(𝐹𝚤
��⃗)
𝑖
Cho một vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định với vận tốc góc
𝜔��⃗. Ta xét một phần tử khối lượng 𝑑𝑚 của vật rắn, cách trục quay một đoạn 𝑟.
Momen động lượng của 𝑑𝑚 có biểu thức:
𝑑𝐿�⃗ = (𝑟2
𝑑𝑚)𝜔��⃗
trong đó 𝑟2
𝑑𝑚 = 𝑑𝐼 = momen quán tính của 𝑑𝑚 đối với ∆.
Vậy momen động lượng của cả vật rắn cho bởi
𝐿�⃗ = � 𝑑𝐼𝜔��⃗ = 𝐼𝜔��⃗
Và định lý biến thiên momen động lượng cho ta phương trình:
𝑑𝐿�⃗
𝑑𝑡
= 𝐼
𝑑𝜔��⃗
𝑑𝑡
= 𝑀��⃗ (8)
trong đó 𝐼 = ∫ 𝑟2
𝑑𝑚 = momen quán tính của vật rắn đối với ∆; còn
𝑑𝜔���⃗
𝑑𝑡
= 𝛾⃗ là gia
tốc góc của chuyển động quay của vật rắn.
Vậy (8) có thể được viết thành:
𝐼𝛾⃗ = 𝑀��⃗ (9)
Phương trình này gọi là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn
xung quanh một trục. Từ (9) ta cũng có thể viết:
𝛾⃗ =
𝑀��⃗
𝐼
(10)
và ta có thể phát biểu:
Gia tốc góc trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục tỉ lệ thuận
với tổng hợp momen các ngoại lực đối với trục và tỉ lệ nghịch với momen quán tính

19. của vật rắn đối trục.
Phương trình (9) nêu lên mối liên hệ giữa ngoại lực tác dụng đối với vật rắn
quay, đặc trưng bởi vectơ momen 𝑀��⃗ với sự thay đổi trạng thái chuyển động của vật
rắn quay, đặc trưng bởi vectơ gia tốc góc 𝛾⃗. Phương trình đó tương tự như phương
trình của định luật II Niutơn đối với chuyển động tịnh tiến 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗; 𝑀��⃗ có ý nghĩa
tương tự như 𝐹⃗; 𝛾⃗ có ý nghĩa như 𝑎⃗ và momen quán tính 𝐼 có ý nghĩa tương tự như
khối lượng 𝑚. Vậy 𝐼 là đại lượng đặc trưng cho quán tính của vật rắn trong chuyển
động quay. Cắn cứ vào biểu thức của momen quán tính:
𝐼 = � 𝑚𝑖 𝑟𝑖
2
𝑖
(11)
ta thấy rằng quán tính của vật rắn quay không những phụ thuộc vào khối lượng mà
còn phụ thuộc vào khoảng cách từ các chất điểm của vật rắn đến trục quay. Hai vật
cùng một khối lượng nhưng khối lượng của vật nào được phân bố cách trục quay
càng xa thì quán tính của vật đó càng lớn. Điều này đã được thực nghiệm xác nhận.
1.3.3. Tính momen quán tính
Momen quán tính 𝐼 của vật rắn đối với một trục ∆ được tính theo công thức
(11):
𝐼 = � 𝑚𝑖 𝑟𝑖
2
𝑖
trong đó 𝑚𝑖 𝑟𝑖
2
là momen quán tính của chất điểm 𝑀𝑖 của vật rắn đối với trục và
phép cộng lấy cho tất cả các chất điểm của vật rắn. Nếu khối lượng của vật rắn phân
bố một cách liên tục, muốn tính momen quán tính 𝐼, ta chia vật rắn thành những
phần tử vô cùng nhỏ, mỗi phần tử có khối lượng vi phân 𝑑𝑚 và cách trục ∆ một
khoảng 𝑟; khi đó phép cộng ở vế phải của (11) trở thành phép lấy tích phân:
𝐼 = � 𝑟2
𝑑𝑚 = � 𝑟2
𝜌𝑑𝑉 (12)
trong đó 𝜌 là khối lượng riêng của vật rắn liên tục; tích phân lấy đối với toàn bộ thể
tích 𝑉 của vật rắn.
Ta hãy áp dụng công thức (12) để xác định momen quán tính của một số vật

20. Hình 1-4. Momen quán tính của một số vật rắn
Hình 1-3. Xác định momen
quán tính của khối trụ
rắn:
1.3.3.1. Tính momen quán tính của một hình trụ tròn
Cho một hình trụ tròn đồng nhất (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) có bán kính 𝑅, có chiều cao ℎ đối
với trục đối xứng của nó (đi qua khối tâm 𝐺).
Chia hình trụ thành những lớp trụ mỏng,
bán kính trong 𝑟, bán kính ngoài 𝑟 + 𝑑𝑟 (Hình
1-3). Khối lượng của lớp trụ mỏng sẽ bằng:
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌ℎ2𝜋𝑟𝑑𝑟
Momen quán tính của hình trụ đối với trục
của nó bằng:
𝐼 = � 𝑟2
𝑑𝑚
𝑅
𝑂
= � 2𝜋𝜌ℎ𝑟3
𝑑𝑟
𝑅
𝑂
=
1
2
𝜋𝜌ℎ𝑅4
Chú ý: 𝜌𝜋𝑅2
ℎ = 𝑚 là khối lượng của cả
hình trụ, ta được: 𝐼 =
1
2
𝑚𝑅2
(13)
1.3.3.2. Tính momen quán tính của một số vật rắn
Cũng bằng cách làm tương tự, ta tìm được công thức tính momen quán tính của
một số vật rắn đồng chất có hình dạng đối xứng với trục của chúng (Hình 1-4):
∆
𝐼 =
2
5
𝑀𝑅2
b) Khối cầu
𝐼 =
1
12
(𝑎2
+ 𝑏2
)
c) Mặt chữ nhật
∆ ∆
∆
r
dr
𝐼 = 𝑀𝑅2
a) Vành tròn

21. CHƯƠNG II. LÝ THUYẾT VỀ CON QUAY
2.1. Nhắc lại về momen động lượng của vật rắn
Xét chuyển động của vật rắn quanh một điểm cố định 𝑂. Từ công thức (4) ta có
vectơ momen động lượng của vật rắn quay quanh một trục ∆ đi qua điểm 𝑂 với vận
tốc góc 𝜔��⃗ bằng:
𝐿�⃗ = �[ 𝑟𝚤��⃗ ∧ 𝑚𝑣𝚤���⃗]
𝑖
với (14)
𝑣𝚤���⃗ = [ 𝜔����⃗ ∧ 𝑟𝚤���⃗]
trong đó 𝑟𝚤��⃗ là bán kính vectơ kẻ từ gốc 𝑂 đến chất điểm 𝑖.
Chọn hệ tọa độ Descartes gốc 𝑂 gắn liền với vật rắn (hệ 𝑂𝑥𝑦𝑧) để xác định các
thành phần 𝐿 𝑥, 𝐿 𝑦, 𝐿 𝑧 của vectơ 𝐿�⃗.
Khi vật rắn chuyển động thì các vectơ đơn vị 𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘�⃗ đặt trên các trục x, y, z
tương ứng thay đổi chiều, nhưng các momen quán tính không thay đổi. Lưu ý rằng:
𝑣⃗ = [ 𝜔��⃗ ∧ 𝑟⃗] = 𝚤⃗𝑣 𝑥 + 𝚥⃗𝑣 𝑦 + 𝑘�⃗ 𝑣𝑧;
𝑣 𝑥 = [ 𝜔��⃗ ∧ 𝑟⃗] 𝑥 = 𝜔 𝑦. 𝑧 − 𝜔𝑧. 𝑦;
𝑣 𝑦 = [ 𝜔��⃗ ∧ 𝑟⃗] 𝑦 = 𝜔𝑧. 𝑥 − 𝜔 𝑥. 𝑧;
𝑣𝑧 = [ 𝜔��⃗ ∧ 𝑟⃗] 𝑧 = 𝜔 𝑥. 𝑦 − 𝜔 𝑦. 𝑥;
[ 𝑟⃗ ∧ 𝑣⃗] 𝑥 = 𝑦𝑣𝑧 − 𝑧𝑣 𝑦 = 𝜔 𝑥( 𝑦2
+ 𝑧2) − 𝜔 𝑦 𝑥𝑦 − 𝜔𝑧 𝑥𝑧 ;
[ 𝑟⃗ ∧ 𝑣⃗] 𝑦 = 𝑧𝑣 𝑥 − 𝑥𝑣𝑧 = 𝜔 𝑦( 𝑧2
+ 𝑥2) − 𝜔𝑧 𝑦𝑧 − 𝜔 𝑥 𝑦𝑥 ;
[ 𝑟⃗ ∧ 𝑣⃗] 𝑧 = 𝑥𝑣 𝑦 − 𝑦𝑣 𝑥 = 𝜔𝑧( 𝑥2
+ 𝑦2) − 𝜔 𝑥 𝑧𝑥 − 𝜔 𝑦 𝑧𝑦
ta viết được:
𝐿�⃗ = 𝚤⃗𝐿 𝑥 + 𝚥⃗𝐿 𝑦 + 𝑘�⃗ 𝐿 𝑧
trong đó:
𝐿 𝑥 = 𝜔 𝑥 𝐼 𝑥 − 𝜔 𝑦 𝐼 𝑥𝑦 − 𝜔𝑧 𝐼 𝑥𝑧;
𝐿 𝑦 = 𝜔 𝑦 𝐼 𝑦 − 𝜔𝑧 𝐼 𝑦𝑧 − 𝜔 𝑥 𝐼 𝑦𝑥; (15)
𝐿 𝑧 = 𝜔𝑧 𝐼𝑧 − 𝜔 𝑥 𝐼𝑧𝑥 − 𝜔 𝑦 𝐼𝑧𝑦

22. là các hình chiếu của 𝐿�⃗ trên các trục 𝑥, 𝑦, 𝑧 của hệ di động 𝑂𝑥𝑦𝑧; 𝐼𝑥, 𝐼 𝑦, 𝐼𝑧 là các
momen quán tính của vật rắn đối với các trục 𝑥, 𝑦, 𝑧 và 𝐼𝑥𝑦, 𝐼𝑧𝑦, 𝐼𝑧𝑥 là các momen
quán tính li tâm. Nếu chọn các trục x, y, z là những trục quán tính thì 𝐼 𝑥𝑦 = 𝐼𝑧𝑦 =
𝐼𝑧𝑥 = 0. Khi đó ta có:
𝐿 𝑥 = 𝜔 𝑥 𝐼 𝑥; 𝐿 𝑦 = 𝜔 𝑦 𝐼 𝑦; 𝐿 𝑧 = 𝜔𝑧 𝐼𝑧 (16)
Từ đây ta thấy rằng khi quay vật rắn quanh trục quán tính thì momen động
lượng của nó nằm trên trục ấy.
2.2. Chuyển động quay tự do của vật rắn
Ta hãy xét chuyển động tự do của vật rắn khi không có ngoại lực nào tác dụng
lên nó. Bởi vì khối tâm 𝐺 chuyển động thẳng đều, cho nên chúng ta không cần quan
tâm tới chuyển động của nó. Coi khối tâm đứng yên, chúng ta hãy khảo sát chuyển
động quay tự do của vật rắn quanh khối tâm 𝐺. Phương trình chuyển động quay
quanh điểm 𝐺 của vật rắn bây giờ có dạng:
𝑑𝐿�⃗
𝑑𝑡
= 0
Do đó, vectơ momen động lượng của nó được bảo toàn:
𝐿�⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡�����������⃗
Vì trong trường hợp chung vectơ 𝐿�⃗ không cùng chiều với 𝜔��⃗, nên vectơ vận tốc
góc 𝜔��⃗ nói chung không bảo toàn và phương của trục quay của vật rắn (phương của
vectơ 𝜔��⃗) cũng biến thiên. Trong trường hợp vật rắn có hình cầu, do tính đối xứng
cầu của vật, ba momen quán tính của vật rắn đối với ba trục quán tính chính bằng
nhau 𝐼 = 𝐼 𝑥 = 𝐼 𝑦 = 𝐼𝑧, thì:
𝐿�⃗ = 𝚤⃗𝐿 𝑥 + 𝚥⃗𝐿 𝑦 + 𝑘�⃗ 𝐿 𝑧 = 𝐼�𝚤⃗𝜔 𝑥 + 𝚥⃗𝜔 𝑦 + 𝑘�⃗ 𝜔𝑧� = 𝐼𝜔��⃗ (17)
Vectơ momen động lượng bao giờ cũng cùng chiều với vectơ vận tốc góc và sự
bảo toàn của 𝐿�⃗ kéo theo sự bảo toàn của 𝜔��⃗. Vật rắn như vậy gọi là con quay cầu:
con quay cầu tự do sẽ quay đều quanh một trục không đổi 𝐿�⃗.
Trong trường hợp vật rắn có hai trong ba momen quán tính bằng nhau 𝐼 = 𝐼 𝑥 =
𝐼 𝑦 ≠ 𝐼𝑧 thì vật rắn như vậy gọi là con quay đối xứng, hay gọn hơn là con quay.

23. x
z
y
G
𝑳��⃗
𝜽
Hình 1-5. Chuyển động quay tự
do của con quay đối xứng (1)
Chuyển động quay tự do của con quay có những nét đặc biệt, suy ra từ định luật bảo
toàn năng lượng và vectơ momen động lượng của nó.
Năng lượng toàn phần của con quay chuyển động tự do quanh khối tâm 𝐺 bằng:
𝐸 = 𝑇 =
1
2
𝐼�𝜔 𝑥
2
+ 𝜔 𝑦
2
� +
1
2
𝐼𝑧 𝜔𝑧
2
=
1
2
𝐼𝜔2
+
1
2
( 𝐼𝑧 − 𝐼) 𝜔𝑧
2
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (18)
trong đó 𝜔2
= 𝜔 𝑥
2
+ 𝜔 𝑦
2
+ 𝜔𝑧
2
. Chú ý rằng 𝐿 𝑥 = 𝐼𝜔 𝑥, 𝐿 𝑦 = 𝐼𝜔 𝑦, 𝐿 𝑧 = 𝐼𝜔𝑧 nên biểu
thức của động năng 𝑇 được viết:
𝑇 =
1
2𝐼
�𝐿 𝑥
2
+ 𝐿 𝑦
2
� +
1
2𝐼𝑧
𝐿 𝑧
2
=
1
2𝐼
𝐿2
+
1
2
�
1
𝐼𝑧
−
1
𝐼
� 𝐿 𝑧
2
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (19)
Ở đây 𝐿2
= 𝐿 𝑥
2
+ 𝐿 𝑦
2
+ 𝐿 𝑧
2
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Vì 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 và 𝐿 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ta suy ra
𝐿 𝑧 = 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐼𝑧 𝜔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Từ đây ta có:
𝜔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 và 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
trong đó 𝜃 là góc tạo bởi 𝐿�⃗ và trục 𝑧 (Hình 1-5).
Vì 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 nên
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 0, nghĩa là thành
phần vận tốc góc của con quay nằm trên trục
đi qua 𝐺 và vuông góc với mặt phẳng tạo
thành bởi vectơ 𝐿�⃗ và trục 𝑧 bằng không. Do
đó, vectơ 𝜔��⃗ nằm trong mặt phẳng tạo thành
bởi 𝐿�⃗ và trục z.
Vì 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ta suy ra 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, nghĩa là độ lớn của vectơ vận
tốc góc được bảo toàn.
Động năng của con quay được biểu diễn qua tích vô hướng của 𝐿�⃗ và 𝜔��⃗:
𝑇 =
1
2
�𝐿 𝑥 𝜔 𝑥 + 𝐿 𝑦 𝜔 𝑦 + 𝐿 𝑧 𝜔𝑧� =
1
2
𝐿�⃗ 𝜔��⃗ =
1
2
𝐿𝜔𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Ở đây 𝛼 là góc tạo thành bởi vectơ 𝐿�⃗ và 𝜔��⃗ (Hình 1-6). Do 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝐿 =

24. 𝐿�⃗
𝜔��⃗
𝜔1
𝛼
𝜃
𝐺
𝑧
𝜔2
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 nên 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜃 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Chuyển động của con quay tự do là
hợp của hai chuyển động: chuyển động
quay quanh trục 𝑧 với vận tốc góc 𝜔1����⃗ và
cùng với trục 𝑧 quay quanh trục 𝐿�⃗ =
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡�����������⃗ với vận tốc góc 𝜔2�����⃗, 𝜔��⃗ = 𝜔1����⃗ + 𝜔2�����⃗.
Vì 𝜔, 𝛼 và (𝜃 − 𝛼) không đổi nên độ lớn
của 𝜔1và 𝜔2 cũng không đổi.
Tóm lại, ta có hình ảnh sau đây của
chuyển động quay tự do của con quay
trong
trường hợp tổng quát: nó quay đều quanh
trục đối xứng 𝑧 của nó, trục 𝑧 lại quay đều
quanh vectơ momen động lượng 𝐿�⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡�����������⃗ và vạch nên một hình nón tròn xoay có
tâm tại khối tâm và trục là vectơ không đổi 𝐿�⃗. Chuyển động quay của trục 𝑧 quanh
vectơ momen động lượng 𝐿�⃗ gọi là tiến động của con quay. Vectơ vận tốc góc 𝜔��⃗ có
độ lớn không đổi, luôn nằm trong mặt phẳng (𝐿�⃗, 𝑧) và cùng với trục 𝑧 quay đều
quanh vectơ 𝐿�⃗.
2.3. Chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định. Con quay
hồi chuyển
Ta hãy xét chuyển động của con quay trong trường trọng lực, quanh điểm cố
định 𝑂 nằm trên trục đối xứng 𝑧 của nó (Hình 1-7).

25. Hình 1-7. Chuyển động của con quay trong trường trọng lực quanh điểm cố định
Giả sử con quay quay nhanh quanh trục đối xứng 𝑧 của nó với vận tốc góc 𝜔𝑧����⃗
rất lớn thỏa mãn điều kiện sau:
𝜔𝑧����⃗ ≫ 𝜔 𝑥�����⃗ ; 𝜔𝑧����⃗ ≫ 𝜔 𝑦�����⃗
Khi đó, ta có thể bỏ qua các thành phần 𝐿 𝑥 ~ 𝜔 𝑥, 𝐿 𝑦~ 𝜔 𝑦 rất bé so với 𝐿 𝑧 ~ 𝜔𝑧
và coi momen động lượng 𝐿�⃗ ≈ 𝐼𝑧 𝜔𝑧 𝑘�⃗ nằm trên trục z.
Momen của trọng lực 𝑃�⃗ đối với điểm cố định 𝑂, tác dụng lên con quay bằng:
𝑀��⃗ = �𝑂𝐺�����⃗ ∧ 𝑃�⃗� = 𝑎�𝑘�⃗ ∧ 𝑃�⃗� = −𝑎�𝑃�⃗ ∧ 𝑘�⃗�
trong đó 𝑂𝐺�����⃗ = 𝑎𝑘�⃗ là vectơ kẻ từ gốc 𝑂 đến khối tâm 𝐺, 𝑘�⃗ là vectơ đơn vị đặt theo
trục z, �𝑂𝐺�����⃗� = 𝑎.
Theo định lý về sự biến thiên của momen động lượng, ta có:
𝑑𝐿�⃗
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
�𝐼𝑧 𝜔𝑧 𝑘�⃗� = 𝑀��⃗
hay:
𝐼𝑧
𝑑𝜔𝑧
𝑑𝑡
𝑘�⃗ + 𝐼𝑧 𝜔𝑧
𝑑𝑘�⃗
𝑑𝑡
= 𝑎�𝑘�⃗ ∧ 𝑃�⃗� = −𝑎�𝑃�⃗ ∧ 𝑘�⃗� (20)
𝜔��⃗
𝜃
𝐿�⃗
𝑃�⃗
𝑧
𝑂
𝑣⃗

26. Vì vectơ
𝑑𝑘�⃗
𝑑𝑡
và vectơ �𝑘�⃗ ∧ 𝑃�⃗� vuông góc với 𝑘�⃗ nên khi chiếu phương trình trên
lên trục 𝑧, ta được:
𝐼𝑧
𝑑𝜔𝑧
𝑑𝑡
= 0
tức 𝜔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝐿 ≈ 𝐿 𝑧 = 𝐼𝑧 𝜔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Vậy, vectơ momen động lượng có độ lớn
không đổi và mút của nó quay quanh một trục ∆ nào đó đi qua điểm 𝑂 với vận tốc
góc 𝜔��⃗.
𝑑𝐿�⃗
𝑑𝑡
= 𝐼𝑧 𝜔𝑧
𝑑𝑘�⃗
𝑑𝑡
= 𝐼𝑧 𝜔𝑧�𝜔��⃗ ∧ 𝑘�⃗� = −𝑎�𝑃�⃗ ∧ 𝑘�⃗� (21)
Từ đó suy ra:
𝜔��⃗ = −
𝑎𝑃�⃗
𝐼𝑧 𝜔𝑧
(22)
Biểu thức này cho thấy 𝜔��⃗, và do đó trục ∆, hướng từ dưới lên trên theo phương
thẳng đứng. Vì 𝜔𝑧����⃗ có giá trị rất lớn và không đổi nên 𝜔 có giá trị nhỏ và không đổi.
Mặt khác, nếu bỏ qua năng lượng chuyển động của khối tâm vì 𝜔��⃗ nhỏ, thì định
luật bảo toàn năng lượng cho:
𝐸 =
1
2
𝐼𝑧 𝜔𝑧
2
+ 𝑃𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (23)
Từ đó, ta thấy góc giữa hai trục z và ∆ là không đổi. Như vậy, con quay quay
đều quanh trục đối xứng 𝑧 của nó với vận tốc góc 𝜔𝑧, đồng thời trục 𝑧 cũng quay
đều quanh trục thẳng đứng ∆ với vận tốc góc 𝜔, vạch nên một mặt nón tròn xoay,
đỉnh 𝑂 và nữa góc mở là 𝜃.
Một cách tổng quát, khi con quay đang quay nhanh nếu tác dụng lên trục con
quay một lực 𝐹⃗ thì đầu trục con quay sẽ dịch chuyển theo phương vuông góc với 𝐹⃗.
Tính chất đó gọi là hiệu ứng hồi chuyển. Do đó ta gọi là con quay hồi chuyển. Từ
bây giờ để đơn giản ta sẽ gọi con quay hồi chuyển là con quay. Chuyển động của
con quay dưới tác dụng của lực 𝐹⃗ như trên gọi là tiến động.
Hiện tượng xảy ra cũng tương tự như vậy khi đặt vào con quay, đang quay
nhanh quanh trục z của nó một ngẫu lực 𝐹⃗, −𝐹⃗.

27. Hình 1-8. Ngẫu lực đặt vào con quay đang quay
Rõ ràng ngẫu lực không gây nên một chuyển động tịnh tiến nào của khối tâm
mà chỉ làm cho trục z của con quay quay quanh khối tâm đứng yên mà thôi. Chiều
quay của trục z được xác định từ phương trình:
𝑑𝐿�⃗
𝑑𝑡
= 𝑀��⃗
trong đó:
𝑑𝐿�⃗
𝑑𝑡
= 𝐼𝑧 𝜔𝑧�𝜔��⃗ ∧ 𝑘�⃗�
𝑀��⃗ = �𝐴𝐵�����⃗ ∧ �−𝐹⃗�� = �𝐹⃗ ∧ 𝐴𝐵�����⃗� = �𝐹⃗ ∧ 𝑑𝑘�⃗� = 𝑑�𝐹⃗ ∧ 𝑘�⃗�
với �𝐴𝐵�����⃗� = 𝑑 là cánh tay đòn của ngẫu lực, 𝑘�⃗ là vectơ đơn vị đặt trên trục z. Từ
phương trình:
𝐼𝑧 𝜔𝑧�𝜔��⃗ ∧ 𝑘�⃗� = 𝑑�𝐹⃗ ∧ 𝑘�⃗�
suy ra:
𝜔��⃗ =
𝑑
𝐼𝑧 𝜔𝑧
𝐹⃗ (24)
𝜔��⃗
𝑀��⃗
𝐹⃗
𝐹⃗
𝜔𝑧
𝑦
𝑧
𝑥
𝐵𝐴

28. Vậy 𝜔��⃗ cùng chiều với 𝐹⃗ và hướng theo trục 𝑦 và ngẫu lực đã gây thêm một
chuyển động quay của con quay quanh trục quán tính 𝑦.
Khi tác dụng vào con quay một ngẫu lực để buộc trục quay của nó quay quanh
khối tâm, thì con quay sẽ tác dụng ngược trở lại một ngẫu lực trực đối, gọi là ngẫu
lực con quay. Ngẫu lực con quay có trị bằng trị (độ lớn) của ngẫu lực tác dụng lên
nó:
𝑀 = 𝑑𝐹 = 𝐼𝑧 𝜔𝑧 𝜔
Nó tỉ lệ với 𝐼𝑧 và 𝜔𝑧. Vì vậy khi con quay đang quay nhanh với vận tốc góc 𝜔𝑧
rất lớn thì một mặt rất khó làm lệch trục quay của nó, mặt khác momen lực con
quay cũng rất lớn và nhiều trường hợp trở nên nguy hiểm cần phải lưu ý. Thí dụ,
trong kỹ thuật khi động cơ quay nhanh mà quay trục của nó thì có thể gãy trục hay
làm vỡ máng trục.
Nếu không có một momen ngoại lực nào tác dụng lên con quay thì momen động
lượng của con quay được bảo toàn 𝐿�⃗ = 𝐼𝑧 𝜔𝑧 𝑘�⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡�����������⃗ mà phương của 𝐿�⃗ chính là
phương của trục đối xứng 𝑧 của con quay và do đó phương của trục con quay (trục
𝑧) không đổi trong không gian. Đây chính là lý do giải thích tại sao khi xe đạp
chuyển động thì nó không bị ngã và cái bông vụ tự đứng được khi nó quay nhanh
quanh trục đối xứng.
Ngoài ra, bên cạnh một số hiện tượng ta vừa trình bày, thì con quay còn thực
hiện một loại chuyển động đặc biệt nữa gọi là chương động. Tài liệu cho ta biết, khi
con quay đang quay nhanh với trục nằm cân bằng không chuyển động, nếu ta tác
dụng vào đầu trục một lực tức thời (va chạm) thì đầu trục của con quay sẽ không
chuyển động theo lực ta tác dụng mà nó sẽ chuyển động theo một quỹ đạo tròn và
toàn bộ trục quay vạch nên một hình nón trong không gian. [6, tr.125].
2.4. Một số ứng dụng thực tế của con quay
Người ta đã dựa và các tính chất vừa khảo sát của con quay để chế tạo các bộ ổn
định hóa con quay hồi chuyển, các thiết bị định hướng con quay hồi chuyển và các
thiết bị chuyên dùng khác.
Thí dụ về bộ ổn định hóa con quay hồi chuyển tác dụng trực tiếp, là thiết bị

29. Hình 1-9. Bộ ổn định hóa con quay hồi chuyển trên tàu thủy
chống lắc của con tàu. Đây là một con quay hồi chuyển nặng quay quanh trục 𝐴𝐴1
(Hình 1-9), gắn vào một khung có trục quay 𝐷𝐷1 gắn vào thân tàu. Khi tàu đi trên
sóng bị momen 𝑀��⃗ tác dụng, thì mô-tơ với bộ điều tiết chuyên dùng sẽ làm khung
quay với vận tốc góc 𝜔2 nào đó. Kết quả là sẽ xuất hiện ngẫu lực 𝑁, 𝑁′ với momen
tác dụng lên các ổ bi 𝐷 và 𝐷1 để giảm độ nghiêng. Khi momen 𝑀��⃗ đổi chiều, thì mô-
tơ cũng đổi chiều quay của khung, ngẫu lực 𝑁, 𝑁′ cũng đổi chiều ngược lại.
Thí dụ khác về bộ ổn định hóa (không tác dụng trực tiếp) là thiết bị Ôbri dùng
để điều chỉnh chuyển động của ngư lôi trên mặt phẳng nằm ngang. Bộ phận ổn định
hóa của thiết bị này là một con quay tự do (Hình 1-10.) mà trục quay lúc phóng
trùng với trục của ngư lôi hướng thẳng đến mục tiêu. Nếu ngư lôi ở một thời điểm
nào đó bị lệch khỏi hướng phóng một góc bằng 𝛼 thì do trục của con quay (so với
thân ngư lôi) với một góc cũng bằng 𝛼. Chuyển động quay này sẽ tác động lên bộ
điều tiết làm cho bộ phận lái hoạt động. Kết quả là bánh lái sẽ quay sao cho ngư lôi
trở về hướng cũ. Đây cũng chính là nguyên lý cấu tạo của nhiều thiết bị lái tự động
nhằm xác định độ chệch hướng của máy bay và tác động vào bánh lái điều chỉnh.
𝑁��⃗
𝑁′����⃗
𝜔1����⃗
𝜔2�����⃗𝐷1
D
𝑀��⃗
𝐴1
𝐴

30. Hình 1-10. Bộ ổn định hóa con quay hồi chuyển trên ngư lôi
Mục tiêu
𝛼
Cuối cùng ta hãy dùng hiệu ứng con quay để giải thích vì sao viên đạn khi lọt
khỏi nòng súng mà được truyền một chuyển động quay quanh trục đối xứng của nó
(bằng cách dùng nòng súng có rãnh xoắn ốc) thì khi bay, trục của viên đạn luôn
luôn gần trùng với phương tiếp tuyến quỹ đạo. Nếu bỏ qua lực cản của môi trường
(không khí) thì momen ngoại lực đối với khối tâm tác dụng lên viên đạn bằng
không. Do đó vectơ momen động lượng 𝐿�⃗ được bảo toàn và trục của viên đạn luôn
giữ một phương không đổi trong không gian (Hình 1-11).
Trong thực tế lực cản 𝐹𝐺
����⃗ bao giờ cũng có, điểm đặt A của nó ở về phía đầu viên
đạn và chiều ngược với vận tốc 𝑣 𝐺����⃗ của khối tâm 𝐺. Như vậy viên đạn quay quanh
trục 𝑧 của nó (với vận tốc góc 𝜔𝑧) thì dưới tác dụng của momen cản 𝑀 𝐺
�����⃗ =
�𝐺𝐴�����⃗ ∧ 𝐹𝐺
����⃗� của trục 𝑧 sẽ quay quanh vectơ vận tốc 𝑣 𝐺����⃗ của khối tâm, nghĩa là quay
quanh đường tiếp tuyên với quỹ đạo tại 𝐺 (Hình 1-12).

31. 𝑧
𝜔𝑧
𝑣 𝐺����⃗
𝐺
𝐴
𝐹𝐺
����⃗
Hình 1-12. Chuyển động của viên
đạn trong không gian (1)
Hình 1-11. Chuyển động của
viên đạn trong không gian (2)

32. PHẦN HAI: THÍ NGHIỆM KIỂM CHỨNG
CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU VỀ BỘ DỤNG CỤ THÍ NGHIỆM
Hình 2-1. Bộ dụng cụ thí nghiệm
 - Thước thẳng  - Vật nặng  - Dây quấn
 - Đầu thu tín hiệu U21005  - Cổng quang  - Con quay
U52006
 - Đồng hồ bấm giây  - Thước kẹp
1.1. Giới thiệu chung
 Thước thẳng: Có độ chia nhỏ nhất là 1mm, được đặt thẳng đứng, vạch số 0
nằm trên mặt bàn.
 Vật nặng: Khối lượng lần lượt là 50g, 20g và 10g. Mỗi vật nặng có gắn một

33. móc treo.
 Dây quấn: Là dây mảnh, được vòng ở một đầu.
 Đồng hồ bấm giây: Độ chính xác 0.01s.
 Thước kẹp: Độ chính xác 0.05mm.
1.2. Giới thiệu về con quay hồi chuyển U52006 và bộ đo tần số quay
1.2.1. Con quay hồi chuyển U52006 ()
Con quay hồi chuyển số hiệu U52006 do hãng 3B SCIENTIFIC sản xuất. Chức
năng của nó là giúp khảo sát một số hiện tượng liên quan đến con quay, như: tìm
momen quán tính, khảo sát quá trình tiến động, khảo sát quá trình chương động và
sự khử momen động lượng. Sau đây ta sẽ đi tìm hiểu cấu tạo của con quay này.
Con quay hồi chuyển U52006 gồm các bộ phận như sau:
Hình 2-2. Con quay hồi chuyển U52006
(a) Các đối trọng: Gồm 4 đối trọng có khối lượng lần lượt là 1400g, 1400g, 50g

34. và 10g (theo nhà sản xuất). Vai trò của các đối trọng này là giúp trục quay của đĩa
cân bằng theo phương ngang.
(b) Ổ trục: Là bộ phận kết nối giữa trục đứng và trục quay của đĩa thông qua các
vòng bi để giảm ma sát. Ổ trục được thiết kế sao cho trục quay của đĩa có thể hướng
theo mọi phương. Bên trong ổ trục có gắn một cân nước. Vai trò của cân nước là để
đảm bảo sự thẳng đứng của trục đứng.
(c) Thước đo góc lệch: Dùng để xác định góc lệch theo phương ngang của trục
quay của đĩa. Độ biến thiên góc lệch [−45 𝑜
; 45 𝑜], độ chia nhỏ nhất của thước 1 𝑜
.
(d) Ống quấn dây: Là nơi quấn dây.
(e) Lá chắn sáng: Chắn sáng khi đi qua cổng quang học.
(f) Trục quay của đĩa: Kết nối với đĩa thông qua vòng bi để giảm ma sát.
(g) Chân đế: Cố định trục đứng. Trên chân đế có hai con vít xoay dùng để điều
chỉnh sự thẳng đứng của trục đứng.
(h) Đĩa quay: Gồm hai đĩa được gắn vào trục quay thông qua vòng bi để giảm
ma sát. Thông số kỹ thuật của mỗi đĩa: khối lượng 1500g, đường kính 250mm (nhà
sản xuất cung cấp).
(i) Trục đứng: Được gắn cố định vào chân đế.
1.2.2. Bộ đo tần số quay của đĩa
Bộ đo tần số quay của đĩa bao gồm đầu thu tín hiệu số hiệu U21005 () do
hãng 3B SCIENTIFIC sản xuất và cổng quang () do hãng IMPO ELECTRONIC
sản xuất. Để đo tần số quay của đĩa, điều trước tiên là đầu thu U21005 phải được
kết nối với cổng quang thông qua dây cáp như Hình 2-3.
Một đầu của dây cáp kết nối với ngõ PHOTO/MIC của đầu U21005. Một đầu
kết nối với ngõ TO COUNTER của cổng quang. Điều chỉnh đầu U21005 ở chế độ
FREQUENCY Runing START.

35. Nguyên lý hoạt động của bộ đo tần số quay của đĩa như sau: Khi đĩa quay, lá
chắn sáng gắn trên đĩa sẽ quét qua cổng quang lần thứ nhất. Lúc này bộ phận cảm
biến ánh sáng của cổng quang sẽ không nhận được ánh sáng. Khi đó đầu thu
U21005 sẽ ghi nhận thời điểm lần quét thứ nhất. Sau khi đĩa quay hết 1 vòng, lá
chắn sáng sẽ quét qua cổng quang lần thứ hai. Tương tự như lần thứ nhất, đầu thu
U21005 cũng ghi nhận thời điểm quét thứ hai. Kết quả của quá trình là trên màn
hình hiển thị của đầu thu sẽ cho ta nghịch đảo thời gian giữa hai lần quét, tức là cho
ta tần số quay của đĩa.
1.3. Các thí nghiệm thực hiện
- Xác định momen quán tính 𝐼 của đĩa.
- Khảo sát hiện tượng tiến động của con quay.
- Khảo sát hiện tượng chương động của con quay.
- Khảo sát sự khử momen động lượng của con quay.
Hình 2-3.
Bộ đo tần
số quay
của đĩa

36. 𝑇�⃗
m
𝑃�⃗
𝑇�⃗
CHƯƠNG II – KẾT QUẢ KHẢO SÁT
2.1. Xác định momen quán tính của đĩa quay
2.1.1. Mục đích thí nghiệm
- Xác định momen quán tính 𝐼 của đĩa bằng phương pháp vật rơi.
- So sánh đường thẳng 𝑡 𝐹
2
= 𝑔(ℎ) =
2𝐼+2𝑚𝑟2
𝑚𝑔𝑟2 ℎ giữa thực nghiệm và lý
thuyết.
2.1.2. Cơ sở lý thuyết
Xét một vật nặng khối lượng 𝑚 được treo vào sợi
dây. Đầu kia của dây được quấn vào ống quấn dây của
một đĩa hình trụ quay quanh trục có momen quán tính 𝐼
(bỏ qua momen quán tính của ống quấn dây). Bán kính
của ống quấn dây là 𝑟.
Khi buông vật nặng ra, trọng lực của vật nặng sẽ kéo
đĩa quay theo chiều kim đồng hồ với gia tốc góc 𝛾 (Hình
2-4). Các lực xuất hiện trong bài toán được biểu diễn
trên Hình 2-4 bao gồm trọng lực 𝑃�⃗ và lực căng dây 𝑇�⃗ tác
dụng lên vật nặng; lực căng dây 𝑇�⃗ tác dụng lên đĩa (bỏ
qua tác dụng của lực ma sát giữa đĩa và trục quay).
Ta có công thức xác định gia tốc góc của đĩa:
𝑑𝜔 𝑅
𝑑𝑡
= 𝛾 =
𝑀
𝐼
trong đó: ωR là vận tốc góc; γ là gia tốc góc; I là moment quán tính; 𝑀 = 𝑇𝑟 là
moment lực.
Ta cũng có: 𝑚𝑎 = 𝑃 − 𝑇 → 𝑇 = 𝑃 − 𝑚𝑎 = 𝑚( 𝑔 − 𝑎) → 𝑀 = 𝑚𝑟(𝑔 − 𝑎)
và:
𝑎 =
2ℎ
𝑡 𝐹
2 ; 𝛾 =
𝑎
𝑟
→
2ℎ
𝑡 𝐹
2
𝑟
=
𝑟
𝐼
𝑚 �𝑔 −
2ℎ
𝑡 𝐹
2 �
Hình 2-4. Bài
toán xác định momen
quán tính I của đĩa

37. trong đó 𝑡 𝐹 là thời gian vật nặng 𝑚 rơi được quãng đường ℎ.
Từ đây ta rút ra công thức tính momen quán tính 𝐼 của đĩa:
𝐼 = 𝑚𝑟2
(
𝑔𝑡 𝐹
2
2ℎ
− 1)
Suy ra hàm số giữa thời gian rơi và quãng đường rơi là 𝑡 𝐹
2
= 𝑔(ℎ):
𝑡 𝐹
2
= 𝑔(ℎ) =
2𝐼 + 2𝑚𝑟2
𝑚𝑔𝑟2
ℎ
hàm này có dạng đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
2.1.3. Lắp đặt dụng cụ
Xoay hai con vít trên chân đế để điều chỉnh trục đứng của con quay luôn thẳng
đứng trong suốt quá trình làm thí nghiệm.
Cố định trục quay của
đĩa theo phương ngang
bằng cách sử dụng thêm
một trụ đứng (Hình 2-5).
Dùng một sợi chỉ mảnh,
một đầu được quấn vào
phần ống quấn dây của đĩa,
đầu còn lại nối vào một vật
nặng có khối lượng
m = 20g.
Đặt một thước thẳng
đứng gần sợi chỉ để xác định độ cao ℎ của vật nặng 𝑚.
Chuẩn bị một đồng hồ bấm giây.
2.1.4. Tiến hành thí nghiệm
Quay đĩa để nâng vật nặng lên tới độ cao ℎ = 110𝑚𝑚.
Một tay giữ cho đĩa cố định không quay, một tay cầm đồng hồ bấm giây.
Buông đĩa ra cùng thời điểm với tay kia bấm đồng hồ. Lúc này dưới tác dụng
của momen do vật nặng gây ra, đĩa sẽ quay với vận tốc đầu bằng không.
Hình 2-5. Thí nghiệm xác định
momen quán tính I của đĩa

38. Ngay tại thời điểm vật nặng chạm sàn, bấm đồng hồ để xác định thời gian vật
nặng di chuyển.
Lặp lại thí nghiệm với các độ cao ℎ = 115mm, 120mm, 125mm, 130mm,
135mm, 140mm, 145mm, 150mm, 155mm, 160mm, 165mm, 170mm, 175mm,
180mm và 185mm.
Thay vật nặng m = 20g bằng vật có khối lượng m = 30g và m = 40g. Lặp lại thí
nghiệm như trên.
2.1.5. Số liệu tính toán và đo đạc
Ta dùng thước kẹp đo được bán kính của phần
ống quấn dây của đĩa là r = 32.6mm.
Cho gia tốc trọng trường tại nơi làm thí nghiệm
là g = 9.8m/s2
.
Momen quán tính của đĩa tính theo lý thuyết là:
𝐼𝑙𝑡 =
1
2
𝑚𝑟2
=
1
2
1.5(0.125)2
≈ 0.0117 𝑘𝑔𝑚2
(các số liệu về khối lượng và bán kính của đĩa do
nhà sản xuất cung cấp)
2.1.5.1. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚1 = 0.02𝑘𝑔
Bảng 2-1. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật
nặng 0.02kg
Lần đo tF (s) h (m) 𝐼1𝑖
|𝐼1𝑖 − 𝐼1
�|
1 3.66 0.110 0.013 0.0000
2 3.62 0.110 0.012 0.0003
3 3.64 0.110 0.013 0.0001
4 3.62 0.110 0.012 0.0003
5 3.63 0.110 0.012 0.0002
6 3.72 0.115 0.013 0.0001
7 3.75 0.115 0.013 0.0001
8 3.70 0.115 0.012 0.0003
9 3.73 0.115 0.013 0.0001
10 3.72 0.115 0.013 0.0001
11 3.80 0.120 0.013 0.0001
Hình 2-6. Đo đường kính
của phần ống quấn dây

39. 12 3.78 0.120 0.012 0.0003
13 3.78 0.120 0.012 0.0003
14 3.79 0.120 0.012 0.0002
15 3.82 0.120 0.013 0.0000
16 3.93 0.125 0.013 0.0002
17 3.91 0.125 0.013 0.0001
18 3.90 0.125 0.013 0.0000
19 3.87 0.125 0.012 0.0002
20 3.87 0.125 0.012 0.0002
21 3.97 0.130 0.013 0.0000
22 4.00 0.130 0.013 0.0002
23 4.03 0.130 0.013 0.0003
24 4.02 0.130 0.013 0.0003
25 4.00 0.130 0.013 0.0002
26 4.09 0.135 0.013 0.0002
27 4.10 0.135 0.013 0.0003
28 4.08 0.135 0.013 0.0002
29 4.09 0.135 0.013 0.0002
30 4.06 0.135 0.013 0.0001
31 4.16 0.140 0.013 0.0002
32 4.12 0.140 0.013 0.0000
33 4.14 0.140 0.013 0.0001
34 4.15 0.140 0.013 0.0001
35 4.16 0.140 0.013 0.0002
36 4.20 0.145 0.013 0.0000
37 4.22 0.145 0.013 0.0001
38 4.16 0.145 0.012 0.0002
39 4.25 0.145 0.013 0.0003
40 4.19 0.145 0.013 0.0001
41 4.31 0.150 0.013 0.0002
42 4.27 0.150 0.013 0.0000
43 4.30 0.150 0.013 0.0002
44 4.32 0.150 0.013 0.0003
45 4.31 0.150 0.013 0.0002
46 4.37 0.155 0.013 0.0002
47 4.38 0.155 0.013 0.0002
48 4.37 0.155 0.013 0.0002
49 4.38 0.155 0.013 0.0002
50 4.39 0.155 0.013 0.0003
51 4.44 0.160 0.013 0.0002

40. 52 4.41 0.160 0.013 0.0000
53 4.45 0.160 0.013 0.0002
54 4.41 0.160 0.013 0.0000
55 4.47 0.160 0.013 0.0003
56 4.47 0.165 0.013 0.0001
57 4.44 0.165 0.012 0.0002
58 4.47 0.165 0.013 0.0001
59 4.44 0.165 0.012 0.0002
60 4.50 0.165 0.013 0.0001
61 4.53 0.170 0.013 0.0001
62 4.54 0.170 0.013 0.0000
63 4.56 0.170 0.013 0.0001
64 4.50 0.170 0.012 0.0003
65 4.54 0.170 0.013 0.0000
66 4.59 0.175 0.013 0.0001
67 4.58 0.175 0.012 0.0002
68 4.56 0.175 0.012 0.0003
69 4.57 0.175 0.012 0.0002
70 4.59 0.175 0.013 0.0001
71 4.62 0.180 0.012 0.0003
72 4.65 0.180 0.012 0.0002
73 4.63 0.180 0.012 0.0003
74 4.69 0.180 0.013 0.0001
75 4.62 0.180 0.012 0.0003
76 4.75 0.185 0.013 0.0000
77 4.72 0.185 0.013 0.0001
78 4.77 0.185 0.013 0.0001
79 4.70 0.185 0.012 0.0002
80 4.69 0.185 0.012 0.0003
Momen quán tính trung
bình 𝐼1� =
0.0126
Sai số ∆𝐼1
� = 0.0002

41. Hình 2-7. Đồ thị đường thẳng 𝒕 𝑭
𝟐
= 𝒈(𝒉) ứng với vật nặng 0.02kg
2.1.5.2. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚2 = 0.03𝑘𝑔
Bảng 2-2. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật
nặng 0.03kg
Lần đo tF (s) h (m) 𝐼2𝑖 |𝐼2𝑖 − 𝐼2
�|
1 3.04 0.110 0.013 0.0005
2 3.00 0.110 0.013 0.0001
3 3.02 0.110 0.013 0.0003
4 3.01 0.110 0.013 0.0002
5 3.00 0.110 0.013 0.0001
6 3.08 0.115 0.013 0.0002
7 3.09 0.115 0.013 0.0003
8 3.09 0.115 0.013 0.0003
9 3.11 0.115 0.013 0.0005
10 3.10 0.115 0.013 0.0004
11 3.13 0.120 0.013 0.0001
ℎ (m)
tF
2
(𝑠2
)

42. 12 3.15 0.120 0.013 0.0002
13 3.16 0.120 0.013 0.0003
14 3.13 0.120 0.013 0.0001
15 3.15 0.120 0.013 0.0002
16 3.16 0.125 0.012 0.0002
17 3.19 0.125 0.013 0.0000
18 3.23 0.125 0.013 0.0004
19 3.19 0.125 0.013 0.0000
20 3.22 0.125 0.013 0.0003
21 3.25 0.130 0.013 0.0000
22 3.27 0.130 0.013 0.0002
23 3.25 0.130 0.013 0.0000
24 3.19 0.130 0.012 0.0004
25 3.28 0.130 0.013 0.0003
26 3.31 0.135 0.013 0.0000
27 3.26 0.135 0.012 0.0004
28 3.29 0.135 0.012 0.0001
29 3.29 0.135 0.012 0.0001
30 3.30 0.135 0.013 0.0001
31 3.33 0.140 0.012 0.0003
32 3.32 0.140 0.012 0.0004
33 3.34 0.140 0.012 0.0002
34 3.35 0.140 0.012 0.0001
35 3.32 0.140 0.012 0.0004
36 3.37 0.145 0.012 0.0004
37 3.38 0.145 0.012 0.0004
38 3.38 0.145 0.012 0.0004
39 3.41 0.145 0.012 0.0001
40 3.41 0.145 0.012 0.0001
41 3.47 0.150 0.013 0.0001
42 3.43 0.150 0.012 0.0004
43 3.50 0.150 0.013 0.0001
44 3.50 0.150 0.013 0.0001
45 3.50 0.150 0.013 0.0001
46 3.56 0.155 0.013 0.0001
47 3.56 0.155 0.013 0.0001
48 3.57 0.155 0.013 0.0002
49 3.50 0.155 0.012 0.0003
50 3.50 0.155 0.012 0.0003
51 3.60 0.160 0.013 0.0000

43. 52 3.60 0.160 0.013 0.0000
53 3.65 0.160 0.013 0.0003
54 3.62 0.160 0.013 0.0001
55 3.57 0.160 0.012 0.0002
56 3.69 0.165 0.013 0.0002
57 3.68 0.165 0.013 0.0002
58 3.67 0.165 0.013 0.0001
59 3.66 0.165 0.013 0.0000
60 3.65 0.165 0.013 0.0001
61 3.69 0.170 0.012 0.0002
62 3.69 0.170 0.012 0.0002
63 3.72 0.170 0.013 0.0000
64 3.72 0.170 0.013 0.0000
65 3.69 0.170 0.012 0.0002
66 3.79 0.175 0.013 0.0002
67 3.75 0.175 0.013 0.0001
68 3.72 0.175 0.012 0.0003
69 3.75 0.175 0.013 0.0001
70 3.78 0.175 0.013 0.0001
71 3.84 0.180 0.013 0.0001
72 3.82 0.180 0.013 0.0000
73 3.84 0.180 0.013 0.0001
74 3.78 0.180 0.012 0.0003
75 3.79 0.180 0.012 0.0002
76 3.88 0.185 0.013 0.0000
77 3.88 0.185 0.013 0.0000
78 3.84 0.185 0.012 0.0002
79 3.91 0.185 0.013 0.0002
80 3.85 0.185 0.012 0.0002
Momen quán tính trung
bình 𝐼2� =
0.0126
Sai số ∆𝐼2
�= 0.0002

44. Hình 2-8. Đồ thị đường thẳng 𝒕 𝑭
𝟐
= 𝒈(𝒉) ứng với vật nặng 0.03kg
2.1.5.3. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚3 = 0.04𝑘𝑔
Bảng 2-3. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật
nặng 0.04kg
Lần đo tF (s) h (m) 𝐼3𝑖 |𝐼3𝑖 − 𝐼3
�|
1 2.53 0.110 0.012 0.0002
2 2.54 0.110 0.012 0.0001
3 2.50 0.110 0.012 0.0005
4 2.53 0.110 0.012 0.0002
5 2.53 0.110 0.012 0.0002
6 2.56 0.115 0.012 0.0005
7 2.57 0.115 0.012 0.0004
8 2.60 0.115 0.012 0.0001
9 2.56 0.115 0.012 0.0005
10 2.57 0.115 0.012 0.0004
11 2.59 0.120 0.012 0.0007
ℎ (m)
tF
2
(𝑠2
)

45. 12 2.59 0.120 0.012 0.0007
13 2.62 0.120 0.012 0.0004
14 2.62 0.120 0.012 0.0004
15 2.63 0.120 0.012 0.0003
16 2.69 0.125 0.012 0.0003
17 2.68 0.125 0.012 0.0004
18 2.72 0.125 0.012 0.0000
19 2.68 0.125 0.012 0.0004
20 2.69 0.125 0.012 0.0003
21 2.78 0.130 0.012 0.0000
22 2.75 0.130 0.012 0.0002
23 2.80 0.130 0.013 0.0002
24 2.78 0.130 0.012 0.0000
25 2.79 0.130 0.012 0.0001
26 2.78 0.135 0.012 0.0004
27 2.79 0.135 0.012 0.0003
28 2.78 0.135 0.012 0.0004
29 2.78 0.135 0.012 0.0004
30 2.78 0.135 0.012 0.0004
31 2.84 0.140 0.012 0.0004
32 2.85 0.140 0.012 0.0003
33 2.87 0.140 0.012 0.0001
34 2.87 0.140 0.012 0.0001
35 2.84 0.140 0.012 0.0004
36 2.94 0.145 0.012 0.0001
37 2.94 0.145 0.012 0.0001
38 2.94 0.145 0.012 0.0001
39 2.91 0.145 0.012 0.0002
40 2.91 0.145 0.012 0.0002
41 3.00 0.150 0.012 0.0001
42 3.02 0.150 0.013 0.0003
43 3.00 0.150 0.012 0.0001
44 3.00 0.150 0.012 0.0001
45 3.03 0.150 0.013 0.0004
46 3.03 0.155 0.012 0.0000
47 3.00 0.155 0.012 0.0003
48 3.03 0.155 0.012 0.0000
49 3.00 0.155 0.012 0.0003
50 3.03 0.155 0.012 0.0000
51 3.10 0.160 0.012 0.0002

46. 52 3.15 0.160 0.013 0.0006
53 3.13 0.160 0.013 0.0004
54 3.12 0.160 0.013 0.0003
55 3.13 0.160 0.013 0.0004
56 3.19 0.165 0.013 0.0005
57 3.18 0.165 0.013 0.0004
58 3.16 0.165 0.013 0.0003
59 3.15 0.165 0.012 0.0002
60 3.15 0.165 0.012 0.0002
61 3.22 0.170 0.013 0.0003
62 3.22 0.170 0.013 0.0003
63 3.19 0.170 0.012 0.0001
64 3.19 0.170 0.012 0.0001
65 3.19 0.170 0.012 0.0001
66 3.28 0.175 0.013 0.0005
67 3.25 0.175 0.013 0.0002
68 3.28 0.175 0.013 0.0005
69 3.25 0.175 0.013 0.0002
70 3.22 0.175 0.012 0.0000
71 3.31 0.180 0.013 0.0003
72 3.34 0.180 0.013 0.0006
73 3.35 0.180 0.013 0.0006
74 3.34 0.180 0.013 0.0006
75 3.35 0.180 0.013 0.0006
76 3.37 0.185 0.013 0.0004
77 3.34 0.185 0.013 0.0002
78 3.34 0.185 0.013 0.0002
79 3.37 0.185 0.013 0.0004
80 3.36 0.185 0.013 0.0004
Momen quán tính trung
bình 𝐼3� =
0.0123
Sai số ∆𝐼3
�= 0.0003

47. Hình 2-9. Đồ thị đường thẳng 𝒕 𝑭
𝟐
= 𝒈(𝒉) ứng với vật nặng 0.04kg
2.1.6. Nhận xét kết quả thực nghiệm
Ở cả 3 trường hợp, kết quả thu được của momen quán tính 𝐼 từ thực nghiệm
luôn lớn hơn so với lý thuyết và đồ thị đường thẳng 𝑡 𝐹
2
= 𝑔(ℎ) của thực nghiệm
trong cả 3 trường hợp đều nằm bên trên đường thẳng lý thuyết.
𝑚(𝑘𝑔) 𝐼(𝑘𝑔𝑚2
) 𝐼𝑙𝑡(𝑘𝑔𝑚2
) 𝐼 − 𝐼𝑙𝑡(𝑘𝑔𝑚2
)
m1 = 0.02 0.0126 0.0117 0.0009
m2 = 0.03 0.0126 0.0117 0.0009
m3 = 0.04 0.0123 0.0117 0.0006
𝐼̅( 𝑘𝑔𝑚2) = 0.01250
𝐼 − 𝐼𝑙𝑡
��������(𝑘𝑔𝑚2
) = 0.00080
Nguyên nhân cơ bản của sự sai khác này là do ngay từ đầu khi tính momen quán
tF
2
(𝑠2
)
ℎ (m)

48. tính lý thuyết 𝐼𝑙𝑡, ta đã bỏ qua momen quán tính của ống quấn dây. Do đó, khi xác
định momen quán tính từ thực nghiệm, 𝐼 thu được sẽ là tổng momen quán tính của
đĩa và momen quán tính của ống quấn dây. Từ đây dẫn đến đồ thị đường thẳng
𝑡 𝐹
2
= g(ℎ) của thực nghiệm trong cả 3 trường hợp đều nằm bên trên đường thẳng lý
thuyết. Ngoài ra, sự sai khác này còn do thao tác bấm đồng hồ chưa thật sự chuẩn
xác vì mang tính chủ quan và do ảnh hưởng bởi lực ma sát giữa trục với đĩa quay.
Từ kết luận trên, một cách gần đúng ta có thể suy ra momen quán tính của ống
quấn dây là:
𝐼 𝑞𝑑 = 𝐼 − 𝐼𝑙𝑡
��������( 𝑘𝑔𝑚2) ≈ 0.00080 ≈ 6.8%𝐼𝑙𝑡
Tuy nhiên, trong một số khảo sát không yêu cầu độ chính xác cao ta có thể bỏ
qua 𝐼 𝑞𝑑 và xem 𝐼𝑙𝑡 chính là momen quán tính của cả đĩa và ống quấn dây.
2.2. Khảo sát sự tiến động của con quay
2.2.1. Mục đích thí nghiệm
- Khảo sát về mặt định tính hiện tượng tiến động của con quay.
- Đo tần số quay của đĩa 𝑓 và chu kỳ tiến động của con quay TP.
- So sánh đồ thị hàm số 𝑓 = g(TP) =
𝑚𝑔𝑎
4𝜋2 𝐼
TP giữa thực nghiệm và lý thuyết.
2.2.2. Cơ sở lý thuyết
Ta có công thức (22) biểu thị mối quan hệ giữa vận tốc góc của sự tiến động
𝜔 và vận tốc góc của đĩa 𝜔𝑧:
𝜔��⃗ = −
𝑎𝑃�⃗
𝐼𝑧 𝜔𝑧
trong đó: 𝑎 là cánh tay đòn; 𝑃 là trọng lực của đĩa; 𝐼𝑧 là momen quán tính của đĩa
theo trục quay 𝑧.
Công thức này cho thấy 𝜔��⃗, hướng từ dưới lên trên theo phương thẳng đứng. Vì
𝜔𝑧����⃗ có giá trị rất lớn và không đổi nên 𝜔 có giá trị nhỏ và không đổi.
Mặt khác, nếu bỏ qua năng lượng chuyển động của khối tâm vì 𝜔��⃗ nhỏ, thì định

49. luật bảo toàn năng lượng cho ta:
𝐸 =
1
2
𝐼𝑧 𝜔𝑧
2
+ 𝑃𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Từ đó, ta thấy góc giữa hai trục 𝑧 và ∆ là không đổi. Như vậy, con quay quay
đều quanh trục đối xứng 𝑧 của nó với vận tốc góc 𝜔𝑧, đồng thời trục 𝑧 cũng quay
đều quanh trục thẳng đứng ∆ với vận tốc góc 𝜔, vạch nên một mặt nón tròn xoay,
đỉnh O và nữa góc mở là 𝜃.
Tuy nhiên, đối với con quay U52006, điều kiện đầu của ta đưa ra đó là trục quay
của đĩa nằm cân bằng theo phương ngang. Do đó để có sự tiến động xảy ra thì ta
phải cung cấp cho con quay một gia trọng. Khi đó 𝑃 trong công thức trên chính là
trọng lực của gia trọng và 𝑎 là khoảng cách tính từ tâm đến vị trí treo gia trọng.
Đồng thời cũng vì trục quay của đĩa cân bằng ngang nên góc 𝜃 sẽ bằng 90 𝑜
.
Biến đổi công thức (22) ta có hàm số biểu thị mối quan hệ giữa tần số quay của
đĩa 𝑓 và chu kỳ tiến động của con quay 𝑇𝑃 như sau:
𝑓 = 𝑔(TP) =
𝑚𝑔𝑎
4𝜋2 𝐼
TP = αTP; với 𝛼 =
𝑚𝑔𝑎
4𝜋2 𝐼
hàm số này có dạng đồ thị là một đường thẳng đi qua góc tọa độ với hệ số góc 𝛼.
Tổng kết lại: Ta sẽ khảo sát sự tiến động bằng cách cho đĩa quay quanh trục
quay với tần số 𝑓. Sau đó treo thêm một gia trọng có khối lượng 𝑚 lên đầu trục. Sự
tiến động sẽ xảy ra với chu kỳ tiến động là 𝑇𝑃.
2.2.3. Lắp đặt dụng cụ
Điều chỉnh các con chạy để cho trục quay của đĩa nằm cân bằng theo phương
ngang. Để thực hiện được điều này, đầu tiên ta di chuyển hai con chạy lớn trước,
sau khi trục của đĩa đã tương đối cân bằng ngang thì ta cố định hai con chạy này rồi
tiếp tục di chuyển tiếp con chạy nhỏ cho đến khi trục thật sự cân bằng ngang (kim
chỉ góc 0 𝑜
). Cố định các con chạy để đảm bảo chúng không di chuyển trong quá
trình làm thí nghiệm (Hình 2-10).

50. Lắp đặt và bố trí dụng cụ giống như Hình 2-11. Lưu ý cổng quang phải có độ
cao vừa đủ để cho chắn sáng có thể quét qua còn thân đĩa thì không quét qua được.
Chuẩn bị một đồng hồ bấm giây.
Hình 2-10. Con quay cân bằng theo phương ngang
Hình 2-11. Thí nghiệm khảo sát sự tiến động

51. Hình 2-12.
Cách làm cho
đĩa quay
2.2.4. Tiến hành thí nghiệm
Dùng một sợi dây mảnh quấn
vào ống quấn dây của đĩa. Giật
mạnh cho đĩa quay (Hình 2-12).
Sau khi đĩa quay, ta treo một gia trọng có khối lượng m1 = 0.03kg vào đầu trục
quay. Di chuyển con quay lệch khỏi cổng quang một đoạn. Sở dĩ ta phải làm điều
này bởi vì ở vài giây đầu tiên sau khi ta buông tay ra cho con quay tiến động thì trục
của con quay sẽ không tiến động ổn định mà bị đung đưa lên xuống. Do đó phải di
chuyển con quay lệch khỏi cổng quang để khi chắn sáng đi tới cổng quang thì sự
tiến động đã ổn định và kết quả ta thu được sẽ chính xác hơn. Ta điều chỉnh lại trục
quay của đĩa nằm cân bằng ngang (kim chỉ góc 0 𝑜
) (Hình 2-13).
Ta buông tay ra để con quay thực hiện tiến động (sang trái). Khi chắn sáng quét
qua cổng quang, ta sẽ thu được tần số quay của đĩa ở thời điểm thứ nhất (𝑓1). Cũng
ngay tại thời điểm đó, ta bấm đồng hồ (bấm đồng hồ cùng lúc với sự xuất hiện giá
trị tần số 𝑓1 trên màn hình hiển thị của đầu thu U21005) (Hình 2-14).
Hình 2-13.
Treo vào đầu
trục một gia
trọng và di
chuyển con
quay lệch khỏi
cổng quang

52. Trong lúc con quay vẫn còn đang thực hiện tiến động, ta bấm nút START/STOP
trên đầu thu U21005 để trả kết quả về giá trị 0.
Sau khi con quay tiến động hết một vòng, chắn sáng sẽ quét qua cổng quang lần
thứ hai. Ta thu được tần số quay của đĩa (𝑓2). Cùng thời điểm đó ta bấm đồng hồ để
xác định thời gian đi hết một vòng, tức là xác định chu kỳ tiến động TP của con
quay.
Tính giá trị tần số trung bình 𝑓 =
𝑓1+𝑓2
2
.
Ghi nhận kết quả vào bảng số liệu. Lặp lại thí nghiệm với các tần số quay khác
nhau.
Thay gia trọng m1 = 0.03kg bằng các gia trọng có khối lượng lần lượt là
m2 = 0.04kg, m3 = 0.05kg, m4 = 0.06kg. Lặp lại thí nghiệm như trên.
2.2.5. Số liệu tính toán và đo đạc
Theo lý thuyết, mối quan hệ giữa 𝑓 và TPR được tính toán theo công thức:
𝑓 =
𝑚𝑔𝑎
4𝜋2 𝐼𝑙𝑡
TP = αltTP
với 𝛼𝑙𝑡 =
𝑚𝑔𝑎
4𝜋2 𝐼 𝑙𝑡
là hệ số góc của đường thẳng lý thuyết 𝑓 = g(TP) =
𝑚𝑔𝑎
4𝜋2 𝐼 𝑙𝑡
TP
Hình 2-14.
Con quay thực
hiện tiến động.
Chắn sáng quét
qua cổng quang

53. Ở đây 𝐼𝑙𝑡 = 0.0117 𝑘𝑔𝑚2
(phần trên đã tính toán).
Ta dùng thước đo được khoảng cách từ vị trí giao trục đứng – trục ngang (tâm
của con quay) và vị trí treo gia trọng là: 𝑎 = 0.2185 ± 0.00005m.
Cho gia tốc trọng trường tại nơi làm thí nghiệm là g = 9.8m/s2
.
2.2.5.1. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚1 = 0.03𝑘𝑔
Bảng 2-4. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.03kg
Lần
đo
f1 (Hz) f2 (Hz) f (Hz) TP (s)
Hệ số góc
𝛼1𝑖
| 𝛼1𝑖 − 𝛼�|
1 12.65 9.59 11.120 70.12 0.16 0.004
2 8.63 7.25 7.940 50.97 0.16 0.001
3 6.71 5.90 6.305 40.53 0.16 0.001
4 5.57 5.00 5.285 34.85 0.15 0.003
5 4.58 4.15 4.365 30.60 0.14 0.012
6 12.94 9.68 11.310 73.15 0.15 0.000
7 8.96 7.44 8.200 53.47 0.15 0.001
8 7.00 6.10 6.550 42.47 0.15 0.000
9 5.77 5.17 5.470 36.25 0.15 0.004
10 4.94 4.47 4.705 31.50 0.15 0.005
11 4.22 3.98 4.100 27.16 0.15 0.004
12 12.49 9.56 11.025 70.57 0.16 0.002
13 8.25 7.01 7.630 49.41 0.15 0.000
14 6.60 5.84 6.220 39.91 0.16 0.001
15 5.55 5.00 5.275 34.19 0.15 0.000
16 4.71 4.31 4.510 30.03 0.15 0.004
17 11.65 8.97 10.310 67.47 0.15 0.002
18 8.17 6.63 7.400 47.19 0.16 0.002
19 6.11 5.29 5.700 36.66 0.16 0.001
20 5.00 4.43 4.715 32.19 0.15 0.008
21 12.87 9.76 11.315 72.75 0.16 0.001
22 9.03 7.56 8.295 53.16 0.16 0.002
23 7.12 6.21 6.665 43.16 0.15 0.000
24 5.92 5.27 5.595 37.22 0.15 0.004
25 4.94 4.50 4.720 31.03 0.15 0.002
26 11.17 8.86 10.015 64.85 0.15 0.000
27 8.27 7.05 7.660 49.44 0.15 0.000
28 6.69 5.88 6.285 41.35 0.15 0.002

54. 29 5.16 4.65 4.905 30.93 0.16 0.004
30 12.72 9.42 11.070 71.28 0.16 0.001
31 8.54 7.12 7.830 48.25 0.16 0.008
32 6.67 5.80 6.235 40.84 0.15 0.002
33 5.46 4.93 5.195 31.75 0.16 0.009
34 12.87 9.41 11.140 69.25 0.16 0.006
35 8.19 6.82 7.505 47.94 0.16 0.002
36 6.37 5.58 5.975 38.31 0.16 0.001
37 12.59 9.38 10.985 67.37 0.16 0.009
38 8.31 6.97 7.640 47.59 0.16 0.006
39 6.40 5.53 5.965 41.12 0.15 0.009
40 4.93 4.450 4.69 31.370 0.15 0.005
Hệ số góc trung bình 𝛼1��� = 0.154
Sai số ∆𝛼1
����� = 0.003
Hình 2-15. Đồ thị đường thẳng 𝒇 = 𝒈(𝑻 𝑷) ứng với gia trọng 0.03kg
TP (s)
f
(Hz)

55. 2.2.5.2. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚2 = 0.04𝑘𝑔
Bảng 2-5. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.04kg
Lần
đo
f1 (Hz) f2 (Hz) f (Hz) TP (s)
Hệ số góc
𝛼2𝑖
| 𝛼2𝑖 − 𝛼�|
1 12.14 9.98 11.060 51.00 0.22 0.001
2 9.15 7.99 8.570 39.31 0.22 0.002
3 7.21 6.50 6.855 31.97 0.21 0.001
4 5.92 5.45 5.685 26.41 0.22 0.000
5 5.05 4.72 4.885 22.50 0.22 0.001
6 4.41 4.39 4.400 22.09 0.20 0.017
7 12.06 9.95 11.005 49.50 0.22 0.007
8 9.16 8.03 8.595 39.09 0.22 0.004
9 6.32 5.80 6.060 27.44 0.22 0.005
10 5.44 5.04 5.240 24.66 0.21 0.003
11 4.75 4.46 4.605 21.44 0.21 0.001
12 4.28 3.98 4.130 20.60 0.20 0.015
13 11.19 9.39 10.290 47.25 0.22 0.002
14 8.70 7.67 8.185 36.94 0.22 0.006
15 7.17 6.45 6.810 31.81 0.21 0.002
16 6.03 5.55 5.790 26.57 0.22 0.002
17 5.25 4.90 5.075 23.36 0.22 0.002
18 4.70 4.36 4.530 22.16 0.20 0.011
19 4.19 3.92 4.055 19.84 0.20 0.011
20 11.64 9.72 10.680 48.40 0.22 0.005
21 8.80 7.74 8.270 37.53 0.22 0.005
22 6.85 6.22 6.535 29.72 0.22 0.004
23 5.89 5.44 5.665 26.43 0.21 0.001
24 11.89 9.77 10.830 49.16 0.22 0.005
25 9.04 7.89 8.465 38.91 0.22 0.002
26 7.33 6.61 6.970 31.82 0.22 0.003
27 6.21 5.70 5.955 27.31 0.22 0.002
28 5.40 4.99 5.195 24.56 0.21 0.004
29 4.73 4.41 4.570 22.10 0.21 0.009
30 12.01 9.96 10.985 49.47 0.22 0.006
31 9.23 8.07 8.650 39.53 0.22 0.003
32 7.22 6.51 6.865 32.00 0.21 0.001
33 6.81 5.69 6.250 27.38 0.23 0.013
34 5.35 4.98 5.165 24.34 0.21 0.003

56. 35 12.55 10.22 11.385 52.85 0.22 0.000
36 9.48 8.21 8.845 40.81 0.22 0.001
37 7.79 6.95 7.370 34.37 0.21 0.001
38 6.51 5.95 6.230 28.37 0.22 0.004
39 5.63 5.19 5.410 25.44 0.21 0.003
40 4.98 4.63 4.805 22.44 0.21 0.002
Hệ số góc trung bình 𝛼2��� = 0.216
Sai số ∆𝛼2
����� = 0.004
Hình 2-16. Đồ thị đường thẳng 𝒇 = 𝒈(𝑻 𝑷) ứng với gia trọng 0.04kg
2.2.5.3. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚3 = 0.05𝑘𝑔
Bảng 2-6. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.05kg
Lần đo f1 (Hz) f2 (Hz) f (Hz) TP (s)
Hệ số góc
𝛼3𝑖
| 𝛼3𝑖 − 𝛼�|
TP (s)
f
(Hz)

57. 1 11.97 10.27 11.120 41.06 0.27 0.003
2 9.75 8.53 9.140 33.00 0.28 0.009
3 8.10 7.35 7.725 29.12 0.27 0.003
4 6.92 6.38 6.650 25.09 0.27 0.003
5 6.13 5.71 5.920 22.68 0.26 0.007
6 5.50 5.16 5.330 19.50 0.27 0.005
7 4.96 4.67 4.815 18.62 0.26 0.010
8 12.51 10.65 11.580 41.96 0.28 0.008
9 9.99 8.78 9.385 33.43 0.28 0.013
10 8.29 7.52 7.905 28.94 0.27 0.005
11 7.21 6.61 6.910 25.81 0.27 0.000
12 6.29 5.86 6.075 22.72 0.27 0.001
13 5.64 5.25 5.445 20.50 0.27 0.003
14 5.13 4.77 4.950 18.94 0.26 0.007
15 4.59 4.33 4.460 17.41 0.26 0.012
16 11.72 10.12 10.920 39.31 0.28 0.010
17 9.49 8.45 8.970 33.07 0.27 0.003
18 7.64 7.00 7.320 26.19 0.28 0.011
19 6.75 6.25 6.500 24.09 0.27 0.002
20 5.82 5.41 5.615 21.31 0.26 0.005
21 5.18 4.88 5.030 18.65 0.27 0.002
22 4.26 4.03 4.145 16.28 0.25 0.014
23 12.24 10.48 11.360 41.00 0.28 0.009
24 9.92 8.78 9.350 34.50 0.27 0.003
25 8.35 7.56 7.955 29.41 0.27 0.002
26 7.18 6.59 6.885 25.97 0.27 0.003
27 6.31 5.85 6.080 23.19 0.26 0.006
28 5.64 5.27 5.455 20.56 0.27 0.003
29 5.05 4.76 4.905 19.71 0.25 0.019
30 4.67 4.42 4.545 17.09 0.27 0.002
31 11.76 10.10 10.930 39.78 0.27 0.007
32 9.63 8.39 9.010 33.44 0.27 0.001
33 8.06 7.32 7.690 28.46 0.27 0.002
34 7.28 6.66 6.970 26.66 0.26 0.007
35 11.60 9.99 10.795 39.41 0.27 0.006
36 9.57 8.53 9.050 32.62 0.28 0.009
37 8.57 7.58 8.075 30.31 0.27 0.002
38 7.40 6.67 7.035 26.90 0.26 0.007
39 11.43 9.87 10.650 39.03 0.27 0.005
40 9.54 8.27 8.905 33.28 0.27 0.001

58. Hệ số góc trung bình 𝛼3��� = 0.268
Sai số ∆𝛼3
����� = 0.006
Hình 2-17. Đồ thị đường thẳng 𝒇 = 𝒈(𝑻 𝑷) ứng với gia trọng 0.05kg
2.2.5.4. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚4 = 0.06𝑘𝑔
Bảng 2-7. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.06kg
Lần đo f1 (Hz) f2 (Hz) f (Hz) TP (s)
Hệ số góc
𝛼4𝑖 | 𝛼4𝑖 − 𝛼�|
1 11.52 10.16 10.840 33.94 0.32 0.005
2 7.84 7.23 7.535 23.97 0.31 0.000
3 6.93 6.45 6.690 21.25 0.31 0.001
4 10.98 9.74 10.360 32.31 0.32 0.006
5 9.20 8.33 8.765 27.43 0.32 0.005
6 7.95 7.33 7.640 24.28 0.31 0.000
TP (s)
f
(Hz)

59. 7 7.03 6.53 6.780 21.34 0.32 0.003
8 6.22 5.86 6.040 19.90 0.30 0.011
9 5.59 5.30 5.445 17.12 0.32 0.004
10 4.73 4.53 4.630 15.69 0.30 0.019
11 11.36 10.02 10.690 33.63 0.32 0.004
12 9.54 8.57 9.055 28.12 0.32 0.008
13 8.09 7.48 7.785 23.78 0.33 0.013
14 7.07 6.61 6.840 20.91 0.33 0.013
15 6.31 5.92 6.115 19.28 0.32 0.003
16 5.65 5.32 5.485 18.04 0.30 0.010
17 5.11 4.87 4.990 15.28 0.33 0.012
18 4.74 4.46 4.600 15.34 0.30 0.014
19 12.69 11.12 11.905 36.59 0.33 0.011
20 10.32 9.26 9.790 30.47 0.32 0.007
21 8.59 7.85 8.220 25.97 0.32 0.002
22 7.56 6.95 7.255 22.78 0.32 0.004
23 6.65 6.21 6.430 20.27 0.32 0.003
24 5.97 5.62 5.795 18.68 0.31 0.004
25 5.39 5.11 5.250 16.93 0.31 0.004
26 4.91 4.67 4.790 15.22 0.31 0.000
27 4.47 4.27 4.370 16.19 0.27 0.044
28 3.93 3.83 3.880 13.65 0.28 0.030
29 11.13 9.85 10.490 32.37 0.32 0.010
30 9.04 8.22 8.630 27.10 0.32 0.004
31 7.77 7.20 7.485 22.97 0.33 0.012
32 6.90 6.43 6.665 20.96 0.32 0.004
33 6.16 5.78 5.970 19.03 0.31 0.001
34 5.57 5.25 5.410 17.66 0.31 0.008
35 5.04 4.78 4.910 16.22 0.30 0.012
36 4.45 4.27 4.360 14.13 0.31 0.006
37 12.20 10.43 11.315 35.22 0.32 0.007
38 9.60 8.52 9.060 29.25 0.31 0.005
39 7.93 7.28 7.605 24.18 0.31 0.000
40 6.74 6.92 6.830 20.00 0.34 0.027
Hệ số góc trung bình 𝛼4��� = 0.314
Sai số ∆𝛼4
����� = 0.008

60. Hình 2-18. Đồ thị đường thẳng 𝒇 = 𝒈(𝑻 𝑷) ứng với gia trọng 0.06kg
2.2.6. Nhận xét kết quả thực nghiệm
Về mặt định tính
Khi ta treo gia trọng 𝑚 vào đầu trục khi con quay đang quay thì hiện tượng tiến
động xảy ra đúng như nhận định ban đầu: Trục của con quay quay quanh trục thẳng
đứng theo chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống.
Bên cạnh đó có một vài hiện tượng khác ghi nhận được trong quá trình làm thí
nghiệm:
- Thứ nhất, khi buông tay ra thì sự tiến động của con quay không được ổn định
ngay lập tức mà nó đung đưa lên xuống trong một thời gian ngắn, đầu trục của con
quay quét một đường hình sóng có biên độ giảm dần tới 0 trong không gian. Sở dĩ
điều này xảy ra bởi vì ngay thời điểm ta buông tay ra khỏi trục, ít nhiều ta đã tác
dụng lên trục một lực nhỏ và tức thời. Dẫn đến việc con quay bên cạnh việc thực
f
(Hz)
TP (s)

61. hiện tiến động thì nó còn thực hiện thêm một chuyển động nữa đó là chương động.
Sự kết hợp của hai chuyển động này đã dẫn đến hiện tượng vừa nêu. Tuy nhiên do
sự chương động chỉ diễn ra trong thời gian ngắn nên sau đó con quay chỉ còn thực
hiện tiến động. Khi đó sự tiến động trở nên ổn định.
- Thứ hai, sau một lúc thực hiện tiến động, trục của con quay không còn giữ
trạng thái nằm ngang như lúc ban đầu nữa mà nghiêng về hướng gia trọng. Nguyên
nhân là do trong quá trình tiến động, lực ma sát giữa trục đứng và trục quay của con
quay làm tiêu hao năng lượng. Vì con quay quay nhanh nên động năng có thể xem
là không đổi, nên dẫn đến thế năng của con quay giảm. Do đó trục của con quay
nghiêng về phía vật nặng.
Về mặt định lượng
𝑚 (𝑘𝑔) Hệ số góc trung bình Sai số
𝑚1 = 0.03 0.1543 0.0033
𝑚2 = 0.04 0.2157 0.0043
𝑚3 = 0.05 0.2682 0.0056
𝑚4 = 0.06 0.3143 0.0084
Kết quả thực nghiệm cho thấy, đồ thị (f; TP) là một đường thẳng đi qua góc tọa
độ. Ngoài ra, khi khối lượng gia trọng thay đổi thì hệ số góc của đường thẳng
f = g(TP) cũng thay đổi. Cụ thể là khi khối lượng gia trọng tăng lên thì hệ số góc
cũng tăng. Như vậy, công thức ta đưa ra ban đầu 𝑓 =
𝑚𝑔𝑎
4𝜋2 𝐼
TP là phù hợp với thực
nghiệm.
So sánh giữa đường thẳng thực nghiệm và đường thẳng lý thuyết ta thấy đường
thẳng thực nghiệm trong cả bốn trường hợp đều nằm bên trên của đường thẳng lý
thuyết. Giải thích điều này cũng tương tự như trong thí nghiệm đầu tiên. Khi vẽ
đường thẳng lý thuyết thì ta đã bỏ qua momen quán tính của ống quấn dây. Còn
trong thực nghiệm thì ta công nhận có sự tồn tại của momen này. Do đó dẫn đến sự
sai khác giữa hai đường thẳng. Ngoài ra còn do ảnh hưởng của việc bấm đồng hồ và
ma sát giống như phần trên đã nêu.

62. Khi khối lượng gia trọng tăng lên thì đồng thời sai số phép đo cũng tăng. Ta lý
giải điều này như sau: Ứng với cùng một tần số 𝑓, thì chu kỳ tiến động TP sẽ lớn
nếu khối lượng gia trọng nhỏ và ngược lại TP sẽ nhỏ nếu khối lượng gia trọng lớn.
Bởi vì việc xác định chu kỳ TP được tiến hành bằng mắt thường cho nên việc đo đạc
một chu kỳ nhỏ hơn sẽ gây nhiều khó khăn hơn. Điều đó dẫn đến sai số của phép đo
có sự khác biệt như trên.
2.3. Khảo sát sự chương động của con quay:
2.3.1. Mục đích thí nghiệm
- Khảo sát về mặt định tính hiện tượng chương động của con quay.
- Đo tần số quay của đĩa 𝑓 và tần số chương động 𝑓𝑁.
- Vẽ đồ thị hàm số 𝑓 = 𝑔(𝑓𝑁). Dựa vào đồ thị nhận xét mối quan hệ giữa tần
số quay của đĩa và tần số chương động.
2.3.2. Cơ sở lý thuyết
Trong Phần Một của luận văn ta đã trình bày, khi con quay đang quay nhanh với
trục nằm cân bằng không chuyển động, nếu ta tác dụng vào đầu trục một lực tức
thời (va chạm) thì đầu trục của con quay sẽ không chuyển động theo lực ta tác dụng
mà nó sẽ chuyển động theo một quỹ đạo tròn và toàn bộ trục quay vạch nên một
hình nón trong không gian. Hiện tượng này gọi là chương động của con quay. [6,
tr.125].
Sau đây ta sẽ khảo sát sự chương động của con quay và tìm mối quan hệ giữa
tần số quay của đĩa 𝑓 và tần số chương động 𝑓𝑁.
2.3.3. Lắp đặt dụng cụ
Lắp đặt dụng cụ giống như Hình 2-11.
2.3.4. Tiến hành thí nghiệm
Cho đĩa quay bằng cách giật dây (Hình 2-12).
Di chuyển con quay để chắn sáng luôn quét qua cổng quang. Để làm được điều
này, ta di chuyển con quay sao cho trục đứng của nó thẳng hàng với hai cột đứng
của cổng quang.

63. Khi đĩa quay của con quay đã quay ổn định, dùng một ngón tay tác động một
lực nhẹ, tức thời lên đầu trục quay như Hình 2-19.
Lúc này hiện tượng chương động sẽ xảy ra.
Khi sự chương động đã ổn định, ta ghi nhận kết quả tần số quay 𝑓1của đĩa hiển
thị trên màn hình máy thu tín hiệu U21005. Cũng ngay tại thời điểm đó, tay ta bấm
đồng hồ.
Sau khi con quay thực hiện được 5 chu kỳ chương động, ta ghi nhận tần số 𝑓2
cùng lúc với việc bấm đồng hồ lần thứ hai. Lúc này giá trị hiển thị trên đồng hồ
chính là thời gian của 5 chu kỳ chương động 5TN . Từ đây ta tính được tần số
chương động 𝑓𝑁 = 5/(5𝑇𝑁).
Tần số quay trung bình của đĩa được tính bằng công thức 𝑓 =
𝑓1+𝑓2
2
Lặp lại thí nghiệm trên với các tần số quay khác nhau của đĩa.
2.3.5. Kết quả đo đạc
Bảng 2-8. Kết quả thí nghiệm khảo sát chương động của con quay
Lần đo f1 (Hz) f2 (Hz) f (Hz) 5TN (s) fN (Hz)
1 12.50 11.98 12.240 8.41 0.59
2 10.81 10.25 10.530 10.44 0.48
3 11.39 10.82 11.105 9.75 0.51
Hình 2-19. Tác
dụng một lực nhẹ,
tức thời lên đầu
trục quay khi đĩa
đang quay

64. 4 9.90 9.47 9.685 10.12 0.49
5 8.88 8.46 8.670 11.87 0.42
6 7.43 6.98 7.205 13.93 0.36
7 11.64 11.22 11.430 8.39 0.60
8 12.13 11.64 11.885 9.03 0.55
9 10.43 9.98 10.205 9.78 0.51
10 9.31 8.86 9.085 11.34 0.44
11 8.24 7.83 8.035 12.59 0.40
12 7.34 6.93 7.135 14.25 0.35
13 11.93 11.47 11.700 8.54 0.59
14 10.67 10.23 10.450 9.69 0.52
15 8.86 8.42 8.640 11.60 0.43
16 7.33 6.85 7.090 14.66 0.34
17 6.41 5.98 6.195 16.25 0.31
18 12.09 11.68 11.885 8.19 0.61
19 10.89 10.36 10.625 9.71 0.51
20 9.64 9.18 9.410 10.50 0.48
21 8.56 8.14 8.350 11.76 0.43
22 7.58 7.18 7.380 13.22 0.38
23 6.19 5.80 5.995 17.88 0.28
24 11.31 10.88 11.095 9.25 0.54
25 9.26 8.82 9.040 10.71 0.47
26 7.83 7.44 7.635 13.18 0.38
27 6.94 6.55 6.745 15.19 0.33
28 6.13 5.71 5.920 17.40 0.29
29 10.72 10.26 10.490 9.22 0.54
30 9.46 9.09 9.275 11.03 0.45
31 7.76 7.38 7.570 13.62 0.37
32 6.90 6.51 6.705 15.50 0.32
33 6.15 5.76 5.955 17.00 0.29
34 11.58 10.64 11.110 9.78 0.51
35 9.89 9.43 9.660 10.78 0.46
36 8.85 8.42 8.635 11.78 0.42
37 9.95 9.50 9.725 10.41 0.48
38 8.87 8.46 8.665 11.94 0.42
39 7.62 7.20 7.410 13.66 0.37
40 6.65 6.26 6.455 16.03 0.31
41 12.39 11.84 12.115 8.43 0.59
42 10.78 10.27 10.525 9.78 0.51
43 9.71 9.27 9.490 10.66 0.47

65. 44 8.64 8.15 8.395 13.25 0.38
45 7.47 7.05 7.260 14.60 0.34
46 6.22 6.82 6.520 17.85 0.28
47 12.53 11.98 12.255 8.50 0.59
48 11.04 10.44 10.740 9.88 0.51
49 9.84 9.43 9.635 10.81 0.46
50 8.71 8.27 8.490 11.84 0.42
51 7.75 7.34 7.545 13.53 0.37
52 6.89 6.50 6.695 15.34 0.33
53 5.54 5.17 5.355 19.19 0.26
54 12.45 11.95 12.200 8.50 0.59
55 11.01 10.54 10.775 9.50 0.53
56 9.89 9.44 9.665 10.53 0.47
57 8.84 8.42 8.630 11.75 0.43
58 7.89 7.49 7.690 13.50 0.37
59 7.06 6.65 6.855 14.97 0.33
60 6.19 5.80 5.995 17.03 0.29
61 5.41 5.07 5.240 19.66 0.25
62 12.69 12.21 12.450 8.16 0.61
63 11.31 10.82 11.065 9.34 0.54
64 9.33 8.91 9.120 10.94 0.46
65 8.28 7.87 8.075 12.69 0.39
66 7.41 7.01 7.210 14.47 0.35
67 6.57 6.17 6.370 16.13 0.31
68 5.47 5.13 5.300 19.43 0.26
69 12.50 12.07 12.285 8.15 0.61
70 11.16 10.68 10.920 9.37 0.53
71 10.00 9.53 9.765 10.47 0.48
72 8.88 8.48 8.680 11.69 0.43
73 7.95 7.55 7.750 13.06 0.38
74 7.08 6.63 6.855 15.12 0.33
75 4.93 4.51 4.720 21.78 0.23
76 12.65 12.13 12.390 8.28 0.60
77 11.28 10.75 11.015 9.56 0.52
78 10.02 9.64 9.830 10.00 0.50
79 8.97 8.52 8.745 11.72 0.43
80 7.98 7.57 7.775 13.28 0.38
81 7.06 6.64 6.850 15.53 0.32
82 5.72 5.31 5.515 18.34 0.27
83 4.93 4.52 4.725 20.91 0.24