Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận án tiến sĩ ngành cơ kĩ thuật với đề tài: Phân tích dao động của cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi sử dụng tọa độ suy rộng dư, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Nguyễn Sỹ Nam
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ
KHÂU ĐÀN HỒI SỬ DỤNG TỌA ĐỘ SUY RỘNG DƯ
LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
Hà Nội – 2018

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Nguyễn Sỹ Nam
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ KHÂU
ĐÀN HỒI SỬ DỤNG TỌA ĐỘ SUY RỘNG DƯ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9 52 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TSKH Nguyễn Văn Khang
2. PGS. TS Lê Ngọc Chấn
Hà Nội – 2018

3. LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành gửi tới thầy GS. TSKH Nguyễn Văn
Khang và thầy PGS.TS Lê Ngọc Chấn đã tận tình hướng dẫn khoa học, động viên và
giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè đang
công tác tại Viện Cơ học, tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam, tại Bộ môn Cơ Ứng dụng – Đại học Bách khoa Hà Nội
và tại Bộ môn Cơ học Lý thuyết – Đại học Xây dựng đã giúp đỡ, tạo điều kiện, động
viên tác giả trong quá trình làm luận án.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn bên cạnh tác giả trong
suốt thời gian làm luận án.

4. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả trình
bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình
nào khác, các thông tin trích dẫn trong luận án này đều được ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Nguyễn Sỹ Nam

5. MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
MỞ ĐẦU.....................................................................................................................1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU........................................ 3
1.1. Cơ cấu có khâu đàn hồi ..................................................................................... 3
1.1.1. Khâu rắn và khâu đàn hồi trong một số cơ cấu máy và robot ....................... 3
1.1.2. Mô hình của các khâu đàn hồi trong cơ cấu ................................................. 5
1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới..................................................................... 7
1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước .................................................................... 12
1.4. Xác định vấn đề nghiên cứu của luận án.......................................................... 12
CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ
NHIỀU VẬT ĐÀN HỒI........................................................................................... 13
2.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi................................................................................. 13
2.1.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp Ritz – Galerkin.................... 13
2.1.2. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)........... 14
2.2. Thiết lập phương trình chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch
vòng bằng phương trình Lagrange dạng nhân tử .................................................... 17
2.3. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu bốn khâu bản lề
với thanh truyền đàn hồi......................................................................................... 18
2.3.1. Mô tả cơ cấu............................................................................................. 18
2.3.2. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết............................ 18
2.3.3. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi thanh truyền đàn hồi
được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin........................................... 20
2.3.3.1. Trường hợp cơ cấu rắn....................................................................... 29
2.3.3.2. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh)........ 29
2.3.3.3. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến dạng uốn) .... 30
2.3.4. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi thanh truyền đàn hồi
được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn......................................................... 31
2.3.4.1. Trường hợp thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh) ..... 38

6. 2.3.4.2 Trường hợp thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến dạng uốn)... 39
2.4. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu sáu khâu với hai
thanh truyền đàn hồi............................................................................................... 39
2.4.1. Mô tả cơ cấu............................................................................................. 39
2.4.2. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết............................ 40
2.4.3. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi hai thanh truyền đàn
hồi được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin..................................... 43
2.4.3.1. Trường hợp các thanh truyền chỉ chịu uốn (bỏ qua biến dạng dọc thanh).... 53
2.4.3.2. Trường hợp các thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc (bỏ qua biến
dạng uốn) ....................................................................................................... 55
2.4.4. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi hai thanh truyền
đàn hồi được rời rạc hóa bằng các phần tử hữu hạn .......................................... 56
Kết luận chương 2.................................................................................................. 61
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC THUẬN CƠ CẤU PHẲNG CÓ
KHÂU ĐÀN HỒI..................................................................................................... 62
3.1. Bài toán động lực học thuận của hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc mạch vòng.... 62
3.2. Bài toán động lực học thuận có điều khiển hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc
mạch vòng ............................................................................................................. 67
3.3. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu bốn khâu có
khâu nối đàn hồi..................................................................................................... 69
3.3.1. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng phương
pháp Ritz – Galerkin........................................................................................... 70
3.3.1.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn........................................................... 70
3.3.1.2. Cơ cấu có thanh truyền chỉ chịu uốn.................................................. 72
3.3.1.3. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén ...................... 77
3.3.2. Trường hợp phương trình vi phân chuyển động thiết lập bằng phương
pháp phần tử hữu hạn – FEM ............................................................................. 88
3.3.2.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn........................................................... 88
3.3.2.2. Cơ cấu có thanh truyền chỉ chịu uốn.................................................. 88
3.3.2.3. Cơ cấu có thanh truyền đồng thời chịu uốn và kéo nén ...................... 92
3.4. Động lực học thuận và khả năng điều khiển dao động cơ cấu sáu khâu bản
lề có hai thanh truyền đàn hồi................................................................................. 95
3.4.1. Động lực học thuận cơ cấu rắn.................................................................. 96
3.4.2. Cơ cấu có hai thanh truyền chỉ chịu kéo nén dọc trục................................ 99
3.4.3. Cơ cấu có hai thanh truyền chỉ chịu uốn ................................................. 104
Kết luận chương 3................................................................................................ 107

7. CHƯƠNG 4. TUYẾN TÍNH HÓA VÀ PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TUẦN
HOÀN CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ KHÂU ĐÀN HỒI ......................................... 108
4.1. Một phương pháp mới tuyến tính hóa các phương trình chuyển động của
hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng...................................................................... 108
4.2. Tìm điều kiện đầu nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính
hệ số tuần hoàn bằng phương pháp Newmark ...................................................... 114
4.2.1. Cơ sở của phương pháp .......................................................................... 114
4.2.2. Sử dụng phương pháp Newmark xác định điều kiện đầu dao động
tuần hoàn cho hệ tuyến tính hệ số tuần hoàn..................................................... 115
4.3. Phân tích dao động tuần hoàn cơ cấu bốn khâu có khâu nối đàn hồi.............. 118
4.3.1. Trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi chỉ chịu uốn.............................. 118
4.3.1.1. Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa luận án đề xuất ...................... 118
4.3.1.2. Sử dụng phương pháp tách cấu trúc ................................................. 124
4.3.2. Trường hợp cơ cấu có khâu nối đàn hồi chỉ chịu kéo nén dọc ................. 129
4.4. Phân tích dao động tuần hoàn của cơ cấu sáu khâu với hai khâu nối đàn
hồi chịu kéo nén................................................................................................... 135
4.4.1. Trường hợp khâu dẫn quay á đều............................................................ 138
4.4.2 Trường hợp khâu dẫn quay đều................................................................ 143
Kết luận chương 4................................................................................................ 147
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 148
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN ................... 150
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 151
PHỤ LỤC A

8. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Danh mục ký hiệu
w(x,t) Chuyển vị uốn của thanh truyền tại vị trí x, ở thời điểm t
u(x,t) Chuyển vị dọc của thanh truyền tại vị trí x, ở thời điểm t
,i kX Y Các hàm dạng riêng biến dạng của thanh truyền đàn hồi
,i kq p Các tọa độ suy rộng của biến dạng đàn hồi.
Π Thế năng biến dạng đàn hồi
T Động năng của cơ cấu
*
kQ Lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng thứ k
Qk Lực suy rộng của các lực không có thế ứng với tọa độ suy rộng thứ k
s Véc tơ tọa độ suy rộng dư
q Véc tơ tọa độ suy rộng độc lập
qa Véc tơ tọa độ các khâu dẫn động (các tọa độ khớp chủ động)
qe Các tọa độ suy rộng của biến dạng đàn hồi
z Véc tơ tọa độ suy rộng phụ thuộc
f Véc tơ các điều kiện ràng buộc
n Tổng số tọa độ suy rộng dư
f Tổng số tọa độ suy rộng độc lập
r Tổng số tọa độ suy rộng phụ thuộc
ηj Các tọa độ suy rộng
λi Các nhân tử Lagrange
φi Góc định vị khâu thứ i
α, β Các hằng số ổn định hóa Baumgater
,  Các hằng số của phương pháp Newmark
kP, kD Các hệ số khuếch đại của bộ điều khiển PD
IO Mômen quán tính lấy đối với trục qua O của khâu dẫn OA
IC Mômen quán tính lấy đối với trục qua C của khâu bị dẫn BC
 Phân bố khối lượng trên một đơn vị chiều dài
E Môđun đàn hồi của vật liệu
I Mômen quán tính mặt cắt ngang
A Diện tích mặt cắt ngang
mi Khối lượng khâu thứ i
li Chiều dài khâu thứ i

9. Danh mục các chữ viết tắt
FEM Phương pháp phần tử hữu hạn
PD Bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân (Propotional Derivative)
PI Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân (Propotional-Integral)
PID Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân – vi phân (Propotional-Integral–Derivative)
PZT Cảm ứng áp điện (PbZrxTi1-xO3)
LPM Phương pháp tham số tập trung (Lumped Parameter Method)
AMM Phương pháp các dạng riêng giả định (Assumed Modes Method)

10. DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Thông số của cơ cấu bốn khâu...................................................................72
Bảng 3.2. Thông số cơ cấu 6 khâu bản lề...................................................................98
Bảng 4.1. Thông số cơ cấu bốn khâu [10,74] ........................................................... 127
Bảng 4.2. Kết quả tính toán số ................................................................................. 127
Bảng 4.3. Thông số cơ cấu bốn khâu [66]................................................................ 133
Bảng 4.4. Thông số cơ cấu 6 khâu bản lề [66].......................................................... 141

11. DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Sơ đồ cơ cấu máy bào ngang........................................................................3
Hình 1.2. Sơ đồ động học cơ cấu 6 khâu......................................................................3
Hình 1.3. Tay máy hai bậc tự do..................................................................................4
Hình 1.4. Sơ đồ robot song song 6 bậc tự do có các chân là khâu đàn hồi ....................4
Hình 1.5. Robot song song 3 bậc tự do – có các chân là khâu đàn hồi..........................4
Hình 1.6 . Sơ đồ động học của hệ thống truyền động của máy ép kim loại...................5
Hình 1.7 . Cơ cấu cam cần đẩy ....................................................................................5
Hình 1.8. Khớp đàn hồi................................................................................................6
Hình 1.9. Mô hình của các khâu đàn hồi trong cơ cấu cam ..........................................6
Hình 2.1. Dầm hai đầu bản lề.....................................................................................14
Hình 2.2. Dầm hai đầu bản lề chịu kéo ......................................................................14
Hình 2.3. Các bậc tự do của phần tử dầm...................................................................15
Hình 2.4. Rời rạc hóa bằng nhiều phần tử..................................................................16
Hình 2.5. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề.....................................................................18
Hình 2.6. Các bậc tự do của phần tử dầm...................................................................31
Hình 2.7. Sơ đồ cơ cấu sáu khâu bản lề......................................................................40
Hình 2.8. Sơ đồ đặt hệ trục tương đối trên các khâu đàn hồi ......................................40
Hình 3.1. Sơ đồ điều khiển tăng cường dạng PD........................................................68
Hình 3.2. Xác định điều kiện đầu sơ bộ *
20 , *
30 bằng vẽ hình..................................71
Hình 3.3. Góc khâu dẫn. ......... cơ cấu rắn, ________
cơ cấu đàn hồi............................74
Hình 3.4. Góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi .......................74
Hình 3.5. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2.........................................74
Hình 3.6. Vận tốc góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi............74
Hình 3.7. Vận tốc góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.........74
Hình 3.8. Góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi..........................75
Hình 3.9. Góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, ________
cơ cấu đàn hồi .......................75
Hình 3.10. Vận tốc góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi..........75
Hình 3.11. Vận tốc góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi........75
Hình 3.12. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2.......................................75
Hình 3.13. Góc khâu dẫn khi điều khiển ……. cơ cấu rắn, _______
cơ cấu đàn hồi .....76
Hình 3.14. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, ______
cơ cấu đàn hồi .....76
Hình 3.15. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu
đàn hồi.......................................................................................................................76
Hình 3.16. Vận tốc góc khâu bị dẫn khi điều khiển. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ
cấu đàn hồi ................................................................................................................76

12. Hình 3.17. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển tại x = l2/2................77
Hình 3.18. Mômen điều khiển đặt vào khâu dẫn τC (Nm)...........................................77
Hình 3.19. Góc khâu dẫn. …… cơ cấu rắn,_______
cơ cấu đàn hồi..............................78
Hình 3.20. Góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi....................78
Hình 3.21. Vận tốc góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.............78
Hình 3.22. Vận tốc góc khâu bi dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.........78
Hình 3.23. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2.......................................79
Hình 3.24. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi...............................................79
Hình 3.25. Góc khâu dẫn. …… cơ cấu rắn,_______
cơ cấu đàn hồi..............................79
Hình 3.26. Góc khâu bị dẫn. ……. cơ cấu rắn, _______
cơ cấu đàn hồi ........................79
Hình 3.27. Vận tốc góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.............79
Hình 3.28. Vận tốc góc khâu bi dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.........79
Hình 3.29. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2.......................................80
Hình 3.30. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi...............................................80
Hình 3.31. Góc khâu dẫn. …… cơ cấu rắn,_______
cơ cấu đàn hồi..............................80
Hình 3.32. Góc khâu bị dẫn. ……. cơ cấu rắn, _______
cơ cấu đàn hồi ........................80
Hình 3.33. Vận tốc góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.............80
Hình 3.34. Vận tốc góc khâu bi dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.........80
Hình 3.35. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2.......................................81
Hình 3.36. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi...............................................81
Hình 3.37. Góc khâu dẫn khi điều khiển …... cơ cấu rắn; _______
cơ cấu đàn hồi........82
Hình 3.38. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển . ……cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi .....82
Hình 3.39. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. ……. cơ cấu rắn, _______
cơ cấu
đàn hồi.......................................................................................................................82
Hình 3.40. Vận tốc góc khâu bi dẫn khi điều khiển. ……. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu
đàn hồi.......................................................................................................................82
Hình 3.41. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển tại x = l2/2................82
Hình 3.42. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển........................82
Hình 3.43. Mômen điều khiển đặt vào khâu dẫn τC (Nm)...........................................83
Hình 3.44. Góc khâu dẫn....... cơ cấu rắn ______
cơ cấu đàn hồi ...................................83
Hình 3.45. Góc khâu bị dẫn.….. cơ cấu rắn, ______
cơ cấu đàn hồi..............................83
Hình 3.46. Vận tốc góc khâu dẫn....... cơ cấu rắn ______
cơ cấu đàn hồi.......................84
Hình 3.47. Vận tốc góc khâu bị dẫn.….. cơ cấu rắn, ______
cơ cấu đàn hồi..................84
Hình 3.48. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2.......................................84
Hình 3.49. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi...............................................84
Hình 3.50. Góc khâu dẫn khi điều khiển.….. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi ............84
Hình 3.51. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển.….. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi ........85

13. Hình 3.52. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn,_____
cơ cấu đàn hồi....85
Hình 3.53. Vận tốc góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn,_____
cơ cấu đàn hồi...85
Hình 3.54. Góc khâu dẫn....... cơ cấu rắn ______
cơ cấu đàn hồi ..................................86
Hình 3.55. Góc khâu bị dẫn.….. cơ cấu rắn, ______
cơ cấu đàn hồi..............................86
Hình 3.56. Vận tốc góc khâu dẫn....... cơ cấu rắn ______
cơ cấu đàn hồi.......................86
Hình 3.57. Vận tốc góc khâu bị dẫn. ….. cơ cấu rắn, ______
cơ cấu đàn hồi ................86
Hình 3.58. Góc khâu dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi. ..........87
Hình 3.59. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi .......87
Hình 3.60. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn,_____
cơ cấu đàn hồi....87
Hình 3.61. Vận tốc góc khâu bị dẫn khi điều khiển. ….. cơ cấu rắn,_____
cơ cấu đàn hồi....88
Hình 3.62. Góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi......................89
Hình 3.63. Góc khâu bị dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi....................89
Hình 3.64. Vận tốc góc khâu dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.............90
Hình 3.65. Vận tốc góc khâu bi dẫn. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.........90
Hình 3.66. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2.......................................90
Hình 3.67. Góc khâu dẫn …... cơ cấu rắn; _______
cơ cấu đàn hồi ...............................90
Hình 3.68. Góc khâu bị dẫn …….. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi ...........................90
Hình 3.69. Vận tốc góc khâu dẫn . ……. cơ cấu rắn, _______
cơ cấu đàn hồi ................91
Hình 3.70. Vận tốc góc khâu bi dẫn. ……. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi................91
Hình 3.71. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển tại x = l2/2................91
Hình 3.72. Góc khâu dẫn khi điều khiển. ……. cơ cấu rắn,_______
cơ cấu đàn hồi .....92
Hình 3.73. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển. …… cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi .....92
Hình 3.74. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu
đàn hồi.......................................................................................................................92
Hình 3.75. Vận tốc góc khâu bi dẫn khi điều khiển. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ
cấu đàn hồi ................................................................................................................92
Hình 3.76. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển tại x = l2/2................92
Hình 3.77. Mômen điều khiển đặt vào khâu dẫn τC (Nm)...........................................92
Hình 3.78. Góc khâu dẫn. ……. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi........................93
Hình 3.79. Góc khâu bị dẫn ……. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi.....................93
Hình 3.80. Vận tốc góc khâu dẫn. ……. cơ cấu rắn, _______
cơ cấu đàn hồi.................93
Hình 3.81. Vận tốc góc khâu bi dẫn. ……. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi................93
Hình 3.82. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi tại x = l2/2.......................................94
Hình 3.83. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi...............................................94
Hình 3.84. Góc khâu dẫn khi điều khiển …... cơ cấu rắn; _______
cơ cấu đàn hồi........94
Hình 3.85. Góc khâu bị dẫn khi điều khiển . ….. cơ cấu rắn, ______
cơ cấu đàn hồi.....94
Hình 3.86. Vận tốc góc khâu dẫn khi điều khiển. …. cơ cấu rắn, ______
cơ cấu đàn hồi ....94

14. Hình 3.87. Vận tốc góc khâu bi dẫn khi điều khiển..…. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi..94
Hình 3.88. Độ võng tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển tại x = l2/2................95
Hình 3.89. Chuyển vị dọc tương đối của khâu đàn hồi khi điều khiển........................95
Hình 3.90. Góc khâu dẫn …... cơ cấu rắn; _______
cơ cấu đàn hồi .............................. 101
Hình 3.91. Góc khâu chấp hành. …….. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi............. 101
Hình 3.92. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền AB, τ0 = 1.5Nm............................. 102
Hình 3.93. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền CD, τ0 = 1.5Nm............................. 102
Hình 3.94. Góc khâu dẫn. ……. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi........................ 102
Hình 3.95. Góc khâu chấp hành. ……. cơ cấu rắn, _________
cơ cấu đàn hồi............ 102
Hình 3.96. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền AB, τ0 = 3 Nm............................... 102
Hình 3.97. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền CD, τ0 = 3 Nm............................... 102
Hình 3.98. Góc khâu dẫn khi điều khiển. ……. cơ cấu rắn, _______
cơ cấu đàn hồi. .. 103
Hình 3.99. Góc khâu chấp hành khi điều khiển. …. cơ cấu rắn, _____
cơ cấu đàn hồi 103
Hình 3.100. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền AB khi có điều khiển, τ0 = 3 Nm. 103
Hình 3.101. Chuyển vị dọc trục của thanh truyền CD khi điều khiển, τ0 = 3 Nm...... 103
Hình 3.102. Mômen điều khiển đặt vào khâu dẫn .................................................... 103
Hình 3.103. Góc khâu dẫn. ……. cơ cấu rắn, _______
cơ cấu đàn hồi......................... 105
Hình 3.104. Góc khâu chấp hành. ……. cơ cấu rắn, ______
cơ cấu đàn hồi.............. 105
Hình 3.105. Chuyển vị uốn của thanh truyền AB tại điểm giữa thanh...................... 106
Hình 3.106. Chuyển vị uốn của thanh truyền CD tại điểm giữa thanh...................... 106
Hình 3.107. Góc khâu dẫn khi điều khiển. …… cơ cấu rắn, _______
cơ cấu đàn hồi . 106
Hình 3.108. Góc khâu chấp hành khi điều khiển. …… cơ cấu rắn,______
cơ cấu đàn hồi.. 106
Hình 3.109. Chuyển vị uốn của thanh truyền AB tại điểm giữa thanh khi
điều khiển............................................................................................................... 106
Hình 3.110. Chuyển vị uốn của thanh truyền CD tại điểm giữa thanh khi
điều khiển .............................................................................................................. 106
Hình 3.111. Mômen tăng cường đặt vào khâu dẫn.................................................. 107
Hình 4.1. Sơ đồ khối thuật toán xác định các ma trận hệ số ..................................... 113
Hình 4.2. Xác định điều kiện đầu sơ bộ )0(*
2R , )0(*
3R .......................................... 119
Hình 4.3. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề................................................................... 127
Hình 4.4. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2, n = 600 vòng/phút...... 128
Hình 4.5. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2, n = 900 vòng/phút...... 128
Hình 4.6. Chuyển vị uốn ngang tại điểm giữa thanh x = l2/2, n = 1200 vòng/phút.... 128
Hình 4.7. Sai lệch góc các khâu ε2, ε3, n =1200 vòng/phút ...................................... 129
Hình 4.8. Sai số của phương trình liên kết, n =1200 vòng/phút ............................... 129
Hình 4.9. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề................................................................... 133

15. Hình 4.10. Biến dạng dọc trục của thanh truyền AB ................................................ 134
Hình 4.11. Sai lệch góc của khâu bị dẫn BC, ε3 (rad) ............................................... 134
Hình 4.12. Sai lệch góc của khâu nối AB, ε2 (rad).................................................... 134
Hình 4.13. Quỹ đạo pha của sai lệch góc khâu bị dẫn .............................................. 134
Hình 4.14. Sơ đồ cơ cấu sáu khâu bản lề.................................................................. 135
Hình 4.15. Biến dạng dọc trục của thanh truyền AB trong 1 chu kỳ......................... 142
Hình 4.16. Biến dạng dọc trục của thanh truyền CD trong 1 chu kỳ......................... 142
Hình 4.17. Sai lệch góc của khâu dẫn O1A trong 1 chu kỳ ....................................... 142
Hình 4.18. Sai lệch góc của khâu bị dẫn O3D trong 1 chu kỳ ................................... 142
Hình 4.19. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh AB........................................ 143
Hình 4.20. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh CD........................................ 143
Hình 4.21. Quỹ đạo pha của sai lệch góc khâu dẫn O1A........................................... 143
Hình 4.22. Quỹ đạo pha của sai lệch góc khâu bị dẫn O3D....................................... 143
Hình 4.23. Biến dạng dọc trục của thanh truyền AB trong 1 chu kỳ, - - - - thực
nghiệm [66], __________
Tuyến tính hóa....................................................................... 146
Hình 4.24. Biến dạng dọc trục của thanh truyền CD trong 1 chu kỳ. - - - - Thực
nghiệm [66], __________
Tuyến tính hóa..................................................................... 146
Hình 4.25. Sai lệch góc của khâu bị dẫn O3D trong 1 chu kỳ, ε5[rad]....................... 147
Hình 4.26. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh AB........................................ 147
Hình 4.27. Quỹ đạo pha của biến dạng dọc của thanh CD........................................ 147

16. 1
MỞ ĐẦU
Ngày nay, tự động hoá là một trong những ngành kỹ thuật cao đang phát
triển mạnh mẽ trong tất cả các lĩnh vực của cuộc sống. Các dây chuyền sản xuất tự
động, các máy móc,… ngày càng được thiết kế theo hướng tối ưu hóa nhằm tạo nên
chất lượng sản phẩm tinh xảo, chính xác hơn, năng suất cao, giảm thiểu sức lao
động của con người.
Trong các thiết kế trước đây, các cơ cấu máy thường được thiết kế với kích
thước cồng kềnh, quán tính lớn để đảm bảo độ cứng vững, giảm thiểu rung động do
biến dạng của các khâu trong cơ cấu gây ra. Các thiết kế này đang cho thấy sự
không hiệu quả trong việc tiêu thụ năng lượng, tốc độ phản ứng chậm đối với các
hoạt tải do quán tính lớn, kích thước máy lớn. Các nghiên cứu về động lực học của
các cơ cấu máy này thường được đơn giản với giả thiết các khâu trong cơ cấu là các
vật rắn tuyệt đối (khâu rắn –Rigid body).
Với việc sử dụng các loại vật liệu nhẹ mới và nhu cầu cơ cấu làm việc ở tốc
độ cao, kích thước máy nhỏ gọn, quán tính nhỏ, tiêu thụ năng lượng ít, mà trong các
thiết kế hiện đại thường tạo ra các cơ cấu máy nhỏ gọn hơn, kích thước các khâu
thanh mảnh hơn. Tuy nhiên, điều này lại dẫn đến sự biến dạng đáng kể của các
khâu, đặc biệt là các khâu dài, khâu mảnh hoặc khi cơ cấu chuyển động nhanh. Sự
biến dạng này sẽ gây ra rung động khi cơ cấu làm việc, làm tăng đáng kể phản lực
khớp động. Những rung động này còn làm giảm độ chính xác đối với các cơ cấu
yêu cầu chính xác cao, làm chậm trễ các hoạt động nối tiếp nhau của cơ cấu do rung
động vẫn tồn tại trong một khoảng thời gian nhất định. Khi đó giả thiết các khâu là
vật rắn là khó chấp nhận, mà phải xem các khâu như vật rắn biến dạng (vật đàn hồi
- Flexible body). Điều này đòi hỏi các phương pháp nghiên cứu động lực học chính
xác hơn, phản ánh đúng tính chất của vật liệu là tính đến ảnh hưởng của các thành
phần biến dạng trong các khâu của cơ cấu.
Mục đích nghiên cứu của luận án
Luận án sẽ tập trung nghiên cứu các ứng xử động lực học của cơ cấu phẳng
có một hoặc vài khâu đàn hồi như tính toán sự biến dạng đàn hồi của các khâu, đánh
giá sự ảnh hưởng của biến dạng tác động ngược trở lại đến chuyển động của cơ cấu
trong quá trình làm việc. Qua đó sẽ tìm cách điều khiển làm giảm thiểu tác động
tiêu cực do dao động của các khâu đàn hồi gây ra, đồng thời hạn chế các dao động
đàn hồi này.
Đối tượng nghiên cứu
Luận án sẽ tập trung vào nghiên cứu các cơ cấu đàn hồi phẳng và thực hiện
tính toán mô phỏng số một số mô hình cơ cấu phẳng cụ thể như cơ cấu bốn khâu

17. 2
bản lề, cơ cấu sáu khâu bản lề.
Các phương pháp nghiên cứu
Luận án sẽ sử dụng các phương pháp giải tích để xây dựng các phương trình
vi phân chuyển động cho các cơ cấu, tuyến tính hóa các phương trình vi phân
chuyển động, kết hợp với tính toán mô phỏng số trên các phần mềm như Matlab,
Maple để tính toán mô phỏng số các quá trình động lực học của cơ hệ.
Nội dung của luận án
Luận án nghiên cứu thực hiện các nội dung chính sau:
1) Nghiên cứu việc thiết lập phương trình chuyển động của một số cơ cấu có
khâu đàn hồi.
2) Phân tích động lực học thuận cơ cấu có khâu đàn hồi khi không có lực
điều khiển và khi có lực điều khiển bổ sung.
3) Tuyến tính hóa phương trình động lực học và phân tích dao động của cơ
cấu có khâu đàn hồi ở chế độ làm việc bình ổn.
Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 4 chương nội dung.
+ Chương 1: Giới thiệu tổng quan về cơ cấu máy và robot có khâu đàn hồi,
tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước và đặt ra một số vấn đề cần nghiên cứu
trong luận án này.
+ Chương 2: Trình bày việc thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho
một số cơ cấu có một hoặc vài khâu đàn hồi bằng cách sử dụng kết hợp phương
pháp hệ quy chiếu động, phương trình Lagrange dạng nhân tử với khâu đàn hồi
được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin và phương pháp phần tử hữu
hạn FEM. Các phương trình chuyển động này là các phương trình vi phân phi
tuyến, cùng với các phương trình liên kết tạo thành hệ phương trình vi phân – đại
số.
+ Chương 3: Thực hiện tính toán mô phỏng số bài toán động lực học thuận
cơ cấu có khâu đàn hồi. Việc tính toán được thực hiện bằng phần mềm Matlab, sử
dụng một số thuật toán như Runge – Kutta bậc 4, Runge – Kutta – Nyström.
Chương này cũng nghiên cứu bài toán điều khiển cơ cấu có khâu đàn hồi bằng cách
bổ sung thêm lực điều khiển ở các khâu dẫn, nhằm hạn chế ảnh hưởng của biến
dạng đàn hồi đến chuyển động của cơ cấu.
+ Chương 4: Đề xuất phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi phân
chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng, áp dụng cho trường hợp
thường gặp của các cơ cấu máy có khâu dẫn quay đều. Từ đó sử dụng phương pháp
Newmark để tính toán phân tích động lực học các cơ cấu có khâu đàn hồi ở độ
chuyển động bình ổn.

18. 3
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Hệ nhiều vật có khâu đàn hồi đã được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu
trong khoảng 30 năm trở lại đây. Hàng loạt các cuốn sách và bài báo về động lực
học và điều khiển hệ nhiều vật có khâu đàn hồi đã được xuất bản [17, 18, 26, 37, 40,
59, 92, 94, 96, 106, 109]. Trong các tài liệu [22, 35, 86] đã cho ta cái nhìn tổng quan
về tình hình nghiên cứu hệ nhiều vật có khâu đàn hồi.
1.1. Cơ cấu có khâu đàn hồi
1.1.1. Khâu rắn và khâu đàn hồi trong một số cơ cấu máy và robot
Tùy thuộc vào kích
thước, các đặc trưng chịu lực
cũng như yêu cầu kỹ thuật mà
từng khâu của cơ cấu có thể
được xem là khâu rắn tuyệt đối
hay khâu đàn hồi. Cũng theo đó
mà cơ cấu khảo sát có thể được
xem là không có hoặc có một,
hai hay nhiều khâu đàn hồi. Ví
dụ như trong Hình 1.1 là sơ đồ
cơ cấu của máy bào ngang đơn
giản, trong đó khâu dẫn 1 có
kích thước chiều rộng là đáng kể
so với chiều dài nên có thể coi như vật rắn, còn khâu 2 biến dạng là đáng kể, cần
khảo sát sự đàn hồi do khâu dài và chịu lực dẫn động lớn. Như vậy cơ cấu này được
xem xét có một khâu đàn hồi.
Trong Hình 1.2 là sơ đồ cơ cấu 6 khâu, khâu dẫn 1, tấm 3 và khâu bị dẫn 5
có thể xem là vật rắn, còn thanh truyền 2 và 4 thường dài và mảnh hơn nên có thể
1
2
3
0
O
A
B
C
φ
ω
K
D E
Hình 1.1. Sơ đồ cơ cấu máy bào
O1
A
B
y0
x0
O2
C
D
O3
Hình 1.2. Sơ đồ động học cơ cấu 6 khâu
1
2 3
4
5
0
0
0

19. 4
Hình 1.4. Sơ đồ robot song song 6 bậc tự do có các chân là khâu đàn hồi
xem là vật rắn đàn hồi. Như vậy cơ cấu này được xem xét có 2 khâu đàn hồi là phù
hợp.
Trong Hình 1.3 là tay máy hai
bậc tự do, trong tay máy thì độ chính
xác vị trí của điểm tác động cuối là
quan trọng, khi các khâu có kích thước
đáng kể thì sự biến dạng đàn hồi sẽ gây
ra các sai số đáng kể về vị trí, về
hướng…, khi đó việc xem xét một hoặc
một số khâu là khâu đàn hồi là hoàn
toàn hợp lý.
Còn trong Hình 1.4 và Hình
1.5 là sơ đồ của robot song song có
6 và 3 bậc tự do, trong đó các chân
của robot thường là thanh mảnh
nhưng yêu cầu chính xác rất cao, sự
đàn hồi của các chân robot sẽ gây ra
sai số vị trí, hướng tác động, … cho
bàn chấp hành, vì vậy việc xem xét
các chân robot như là khâu đàn hồi
cũng là cần thiết.
Trong Hình 1.6 là sơ đồ động
học của hệ thống truyền động của
máy ép kim loại và Hình 1.7 là sơ
đồ cơ cấu cam cần đẩy, đặc trưng của các cơ cấu này là chịu lực rất lớn, do đó mặc
dù độ cứng dọc trục và độ cứng xoắn là lớn nhưng một số khâu trong các cơ cấu
Hình 1.5. Robot song song 3 bậc tự do có các
chân là khâu đàn hồi
Hình 1.3. Tay máy hai bậc tự do

20. 5
vẫn bị biến dạng đáng kể, làm ảnh hưởng đến chất lượng cũng như hiệu suất của
máy, khi đó việc xem xét các khâu là vật rắn đàn hồi là hoàn toàn hợp lý. Như vậy
trong các cơ cấu này các khâu là trục dẫn truyền mômen xoắn có thể xem là vật bị
biến dạng xoắn, các khâu là trục chịu nén coi như vật bị biến dạng nén.
1.1.2. Mô hình của các khâu đàn hồi trong cơ cấu
Có một số thiếu sót nếu như ảnh hưởng của biến dạng không được xem xét
trong các mô hình toán học, như đưa ra mômen dẫn động cơ cấu không chính xác
hoặc ảnh hưởng đến kết quả làm việc chính xác của khâu chấp hành. Các vị trí khâu
chấp hành, vận tốc hoặc gia tốc của nó thường có yêu cầu chính xác nên chịu ảnh
hưởng của các rung động đàn hồi. Vì vậy, để đạt được độ chính xác lớn hơn người
ta phải bắt đầu với xây dựng mô hình chính xác hơn cho cơ cấu.
Có một số phương án khác nhau để mô hình hóa các cơ cấu đã được các nhà
khoa học nghiên cứu. Các mô hình toán học này thường được bắt nguồn từ các
1
2
3
4
5
Hình 1.6. Sơ đồ động học của hệ thống
truyền động của máy ép kim loại:
1- hộp số đầu tiên, 2 - trục dẫn, 3- hộp số
thứ hai, 4- cơ cấu cam, 5 - cơ cấu chấp
Hình 1.7. Cơ cấu cam cần đẩy:
1- Trục dẫn động, 2 - Bánh cam
3 - Khâu bị dẫn, 4 - lò xo xoắn
5 - bạc dẫn hướng

21. 6
nguyên lý năng lượng cho các khâu trong cơ
cấu. Những khâu rắn tích trữ động năng nhờ
quán tính của nó và tích trữ thế năng nhờ vị trí
của nó trong trường trọng lực, những khâu đàn
hồi sẽ tích trữ một phần năng lượng vào thế
năng biến dạng như thanh truyền đàn hồi, khớp
đàn hồi, trục dẫn đàn hồi.
Khớp đàn hồi thường được mô hình hóa
thành lò xo xoắn thuần túy như Hình 1.8, năng lượng tích lũy dạng thế năng đàn
hồi. Trong một số trường hợp được mô hình gồm phần tử đàn hồi là lò xo xoắn và
phần tử cản xoắn.
Trục dẫn đàn hồi
truyền mômen xoắn thường
tích lũy ít năng lượng dạng
động năng do mô men quán
tính khối của nó đối với trục
quay là nhỏ, năng lượng tập
trung chủ yếu dạng thế năng
đàn hồi, do đó ta có thể mô
hình nó như một lò xo xoắn
(có thể thêm phần tử cản).
Nếu kể đến động năng ta có
thể thêm vào thành phần quán
tính. Như vậy cơ cấu cam ở
Hình 1.7, trục dẫn 1 đã được
mô hình là khâu đàn hồi có
quán tính I0, có độ cứng xoắn
k1, cản xoắn c1 như trong
Hình 1.9.
Thanh truyền chịu xoắn tích lũy thế năng đàn hồi, tuy nhiên cũng có lượng
nhỏ động năng được tích lũy do mômen quán tính khối của nó đối với trục quay là
nhỏ. Do đó nó thường được mô hình là lò xo xoắn có khối lượng. Thanh truyền 2
trong sơ đồ Hình 1.6 có thể sử dụng mô hình này.
Thanh truyền chịu nén, do độ cứng chống nén là lớn nên biến dạng dọc
thường nhỏ, thế năng biến dạng thường nhỏ, khi đó ta mô hình nó là vật rắn. Tuy
nhiên trong một số trường hợp trục là dài khích thước bề rộng không lớn lắm, hoặc
trục chịu lực ép lớn thì biến dạng là đáng kể ta có thể mô hình như lò xo chịu nén có
j-1
j+1
I
O
j
Hình 1.8 .Khớp đàn hồi
M(t)
F(t)
φ0 = Ωt φ1 = φ0 + q1
y1 = U(φ1)
I0 I1
U
k1
k2
k3
c1
c2
c3
m2
m3
y2 = y1+q2
y3 = y2+q3
Hình 1.9. Mô hình của các khâu đàn hồi
trong cơ cấu cam

22. 7
khối lượng. Trong Hình 1.7, trục bị dẫn 3 của cơ cấu cam được mô hình là phần tử
đàn hồi và cản nén có khối lượng như Hình 1.9.
Thanh chịu uốn, ngoài năng lượng tích lũy ở dạng động năng chuyển động,
thì một phần năng lượng tích lũy dạng thế năng biến dạng cũng như động năng biến
dạng góc xoay, do đó mô hình phù hợp nhất là phân bố tự nhiên của nó. Người ta
cũng thường đưa vào mô hình chịu uốn sử dụng lý thuyết dầm Euler – Bernoulli,
trong đó đã bỏ qua biến dạng cắt và quán tính quay của nó. Người ta cũng sử dụng
mô hình dầm Timoshenko cho dầm chịu uốn, khi đó biến dạng cắt và quán tính
quay được kể đến. Từ mô hình dầm được lựa chọn thì các thanh truyền đàn hồi này
là các hệ liên tục đặc trưng bởi vô số bậc tự do và phương trình động lực học
thường có dạng vi phân phi tuyến hoặc phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, lời
giải chính xác cho các phương trình đó là rất phức tạp trong thực tế và nó gây ra hạn
chế rất lớn trong phân tích hệ thống lẫn thiết kế bộ điều khiển. Phổ biến nhất là các
phương trình được rời rạc hóa thành một số mô hình hữu hạn bằng các phương pháp
như phương pháp các dạng riêng giả định (AMM - Assumed Modes Method),
phương pháp Ritz – Galerkin, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element
Method) hoặc phương pháp tham số tập trung (LPM - Lumped Parameter
Method)…
1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Động lực học hệ nhiều vật đàn hồi là lĩnh vực khoa học thu hút sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới, ở nhiều lĩnh vực khác nhau như
động lực học cơ cấu máy, robot, máy chính xác, hàng không vũ trụ, phương tiện
giao thông,… Chỉ xét trong lĩnh vực cơ cấu và robot, thì các nghiên cứu về lĩnh vực
này được thúc đẩy bởi các ứng dụng trong kỹ thuật và trong công nghiệp. Phương
pháp nghiên cứu về động lực học cơ cấu và robot có khâu đàn hồi chủ yếu được xây
dựng dựa trên các phương pháp luận của vật rắn tuyệt đối. Để nghiên cứu về vấn đề
này, các nhà khoa học thường bắt đầu bằng việc xây dựng các mô hình toán học, kết
quả là thu được các phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu. Các mô hình
toán học thu được sẽ phục vụ cho việc mô phỏng số khảo sát các đáp ứng của hệ,
thiết kế điều khiển và làm cơ sở cho bài toán thiết kế tối ưu của cơ cấu.
Các nghiên cứu về xây dựng mô hình toán học. Các nghiên cứu chủ yếu sử
dụng 3 phương pháp để xây dựng mô hình động lực học [86] là phương pháp hệ
quy chiếu động (The floating frame of reference formulation), lý thuyết tuyến tính
của động lực học đàn hồi (Linear theory of elastodynamics) và phương pháp phân
đoạn hữu hạn (Finite segment method):
a) Phương pháp hệ quy chiếu động (the floating frame of reference formulation):
Trong phương pháp này, dịch chuyển lớn của hệ cũng như biến dạng của các

23. 8
vật đàn hồi được xác định thông qua hai bộ tọa độ, bộ thứ nhất là các tọa độ xác
định vị trí và hướng của hệ tọa độ tương đối gắn với mỗi vật đàn hồi, bộ thứ 2 là các
tọa độ đàn hồi xác định biến dạng tương đối của vật đàn hồi trong hệ tọa độ gắn với
vật. Với hai bộ tọa độ trên, sử dụng các phương pháp của động lực học vật rắn như
các nguyên lý công khả dĩ trong động lực học, phương trình Newton–Euler, các
phương trình Lagrange,… sẽ thu được các phương trình vi phân chuyển động của
các vật biến dạng chịu dịch chuyển lớn. Khi cho biến dạng bằng 0, phương pháp
này sẽ dẫn đến phương trình vi phân chuyển động của hệ các vật rắn.
Các tọa độ đàn hồi có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các phương
pháp như: phương pháp các mode thành phần (component modes), phương pháp
phần tử hữu hạn hoặc kỹ thuật nhận dạng bằng thực nghiệm (experimental
identification techniques). Một số nghiên cứu như Cannon và Schmitz [27],
Bayo [19], Chalhoub và Ulsoy [28,29], Chang và Gannon [30], Chapnik và cộng
sự [31], Chen và Meng [32], Chiang và cộng sự [33], Feliu và cộng sự [36],
Hastings và Book [43],…tập trung nghiên cứu bài toán động lực học cơ cấu và cánh
tay robot có khâu đàn hồi, các tác giả sử dụng phương trình Lagrange loại 2 và
phương pháp khai triển theo dạng riêng để lập các phương trình vi phân chuyển
động. Bricout và cộng sự [26] đã sử dụng FEM để nghiên cứu cơ cấu đàn hồi.
Cleghorn và cộng sự 1980 [34] sử dụng FEM nghiên cứu phân tích cơ cấu đàn hồi,
đồng thời phân tích sự ổn định trạng thái của chuyển vị và ứng suất của một số cơ
cấu.
Phương pháp hệ quy chiếu động được sử dụng rộng rãi, cho độ chính xác
cao. Tuy nhiên khi sử dụng thì một trong những vấn đề cần chú ý là việc lựa chọn
hệ tọa độ tương đối gắn với vật rắn biến dạng và mối quan hệ của nó với các điều
kiện biên để có được một cách biểu diễn biến dạng thống nhất và thuận tiện.
b) Phương pháp phân đoạn hữu hạn (finite segment method)
Trong phương pháp phân đoạn hữu hạn, vật rắn biến dạng được giả định bao
gồm các phân đoạn rắn liên kết với nhau bằng lò xo và/hoặc bộ giảm chấn. Tính đàn
hồi của hệ được biểu diễn bởi các hệ số cứng của lò xo, hệ số cứng này có thể được
xác định bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Kỹ thuật này có lợi thế là có thể sử
dụng các phương pháp luận của hệ nhiều vật rắn để xây dựng phương trình vi phân
chuyển động của các vật rắn biến dạng. Tuy nhiên, một số vấn đề vẫn phải được
giải quyết khi sử dụng phương pháp phân đoạn hữu hạn. Trong số những vấn đề này
là việc lựa chọn số lượng, kích cỡ và vị trí của các phân đoạn rắn cũng như sự biểu
diễn của quán tính liên kết giữa các phân đoạn này. Do đó phương pháp này có hạn
chế về sự chính xác và tính nhất quán.
Một số tác giả sử dụng phương pháp này như Sandor và Zhuang [82] đã sử

24. 9
dụng phương pháp này, theo đó các tác giả chia mỗi dầm đàn hồi thành N hữu hạn
các khối lượng mj, cách nhau những khoảng xj và liên kết với nhau bằng phần tử
đàn hồi (phụ thuộc vào modun đàn hồi Young E và mômen quán tính mặt cắt I), từ
đó các tác giả xây dựng mô hình động lực học và đưa ra lời giải, Yang và Sadler
[105] đã phân tích cơ cấu bốn khâu, các kết quả tính toán bao gồm độ võng, ứng
suất và biến dạng liên quan đến các dao động uốn của ba thanh chuyển động. Một
số tác giả khác cũng sử dụng phương pháp này tính toán cho các cơ cấu tay máy đàn
hồi như Zhu và cộng sự [110] , Khalil và Gautier [48], Megahed và Hamza [56],…
c) Lý thuyết tuyến tính của động lực học đàn hồi (linear theory of elastodynamics)
Ý tưởng của phương pháp này là coi hệ đàn hồi là hệ các vật rắn, áp dụng
các phương pháp tính toán và các chương trình tính để giải ra lực quán tính và các
phản lực liên kết. Sau đó đưa lực quán tính và phản lực liên kết vào bài toán đàn hồi
tuyến tính để giải ra biến dạng của các vật đàn hồi thuộc hệ. Cuối cùng cộng dồn
biến dạng đàn hồi nhỏ trên chuyển động lớn của vật. Trong phương pháp này thì
chuyển động của vật rắn và biến dạng đàn hồi không được giải đồng thời. Phương
pháp này đã giả định rằng biến dạng đàn hồi ảnh hưởng không đáng kể đến chuyển
động của các vật rắn, và do đó các thành phần quán tính trong các phương trình
được giả định là độc lập với biến dạng đàn hồi. Phương pháp này nói chung có độ
chính xác không cao, đặc biệt là khi cơ cấu chuyển động nhanh và các khâu kích
thước nhỏ nhẹ.
Từ các phương pháp để thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động kể
trên thì phương pháp hệ quy chiếu động có nhiều ưu điểm hơn cả, do đó luận án
hướng tới sử dụng phương pháp này để thiết lập phương trình vi phân chuyển động
cho các cơ cấu. Hơn nữa, các nghiên cứu trước đây thường thiết lập phương trình vi
phân chuyển động này dạng ma trận không tường minh, do đó luận án sẽ hướng tới
việc thiết lập các phương trình dạng giải tích tường minh. Dạng giải tích tường
minh này có những ưu điểm riêng biệt, mang đến cái nhìn trực quan về các ảnh
hưởng của các tham số của cơ cấu, đồng thời có thể thu được các mô hình cho từng
trường hợp riêng của biến dạng (như mô hình cho cơ cấu rắn, mô hình cho cơ cấu
chỉ xét đến biến dạng uốn của các khâu,…) từ mô hình tổng quát.
Một số nghiên cứu về ổn định và điều khiển: Khi sự biến dạng của các khâu
đã được kết luận là ảnh hưởng đến chuyển động của hệ thì vấn đề tiếp theo được đặt
ra là nghiên cứu sự ổn định của hệ và điều khiển các hệ đó sao cho sự ảnh hưởng
của biến dạng lên cơ cấu là bé nhất hoặc làm triệt tiêu được dao động đàn hồi đó.
Trong vấn đề này các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào các đối tượng là robot, tay
máy, mà các cơ cấu máy còn ít được quan tâm. Một số các nghiên cứu như về ổn
định: Masurekar và Gupta [55] đã trình bày các nghiên cứu lý thuyết được thực hiện

25. 10
để phân tích sự ổn định, đưa ra các dải tốc độ trong đó đáp ứng là không giới hạn và
trình bày các nghiên cứu của các đáp ứng ở tốc độ khác nhau cho hệ thống không có
cản. Yang và Park [106] đã trình bày một phương pháp để phân tích sự ổn định của
cơ cấu đàn hồi vòng kín bằng cách sử dụng các tọa độ riêng (modal coordinates), lý
thuyết Floquet được sử dụng để kiểm tra sự ổn định của cơ hệ.
Về điều khiển các tay máy, robot có khâu đàn hồi có một số cách thức điều
khiển được sử dụng như điều khiển thích nghi, điều khiển tự điều chỉnh, điều khiển
trước tín hiệu và điều khiển điều chỉnh (PI, PD, PID) được dùng để điều khiển
chuyển động của tay máy, như Looke và cộng sự [51], Jnifene và Fahim [46]. Liu
và Yan [52], Sun và Mills [94], Sun và cộng sự [95] sử dụng bộ điều khiển PD và
màng cảm ứng áp điện PZT (PbZrxTi1-xO3) để điều khiển dao động đàn hồi của cơ
cấu tay máy.
Về điều khiển cơ cấu đàn hồi: Mặc dù có rất nhiều nghiên cứu về phân tích
động lực học cơ cấu đàn hồi, tuy nhiên các nghiên cứu về điều khiển vẫn còn ít
được quan tâm. Tác giả Sung và Chen [96] đã đề xuất một phương thức điều khiển
tối ưu để dập tắt rung động của cơ cấu bốn khâu bản lề với khâu bị dẫn (khâu chấp
hành) là khâu đàn hồi, họ sử dụng cảm biến áp điện gốm sứ (Piezoceramic) và một
bộ phát động đặt lên khâu đàn hồi để điều khiển. Tuy nhiên sự ảnh hưởng của biến
dạng đàn hồi cũng như điều khiển chuyển động của cơ cấu đã không được xét đến
vì các tác giả đã sử dụng mô hình chỉ có một khớp nối. Beale và Lee [20] đã nghiên
cứu tính khả thi của việc áp dụng điều khiển mờ cho cơ cấu tay quay con trượt, một
động cơ cảm ứng áp điện được đặt trên khâu đàn hồi để thực hiện các yêu cầu điều
khiển. Liao và cộng sự [53] cũng đề xuất việc sử dụng các màng áp điện và thiết kế
một bộ điều khiển bền vững dựa trên mô hình không gian trạng thái tuyến tính của
cơ cấu. Ảnh hưởng các dao động tham số và sự không ổn định gây ra bởi hoạt động
điều khiển đã được nghiên cứu.
Hầu hết các công trình nghiên cứu liên quan đến điều khiển rung động của các
cơ cấu đàn hồi là sử dụng một bộ phát động đặt trực tiếp trên khâu đàn hồi. Tác
động của lực điều khiển và mômen điều khiển lên chuyển động tổng thể của cơ cấu
không được xét đến. Ngoài ra, việc thực hiện các bộ điều khiển như vậy yêu cầu các
thiết kế rất phức tạp và tốn kém.
Trong nghiên cứu của Karkoub và Yigit [47], các tác giả thực hiện điều khiển
dao động cơ cấu có khâu đàn hồi thông qua chuyển động của khâu dẫn. Trong
nghiên cứu các tác giả đã tiến hành điều khiển cơ cấu bốn khâu bản lề với thanh
truyền đàn hồi chịu uốn. Một mômen điều khiển được đặt lên khâu dẫn để hạn chế
ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi. Các tác giả đã sử dụng bộ điều khiển PD với yêu
cầu chỉ cần đo tọa độ góc và vận tốc góc của khâu dẫn, bộ điều khiển này có thể

26. 11
thực hiện đồng thời điều khiển chuyển động của cơ cấu và điều khiển dao động của
khâu đàn hồi. Để kiểm chứng hiệu quả của bộ điều khiển, các tác giả đã mô phỏng
điều khiển cơ cấu ở vị trí cân bằng khi cho thanh truyền một biến dạng uốn ban đầu,
kết quả là biến dạng bị triệt tiêu, cơ cấu vẫn cân bằng. Với việc điều khiển rung
động thông qua khâu dẫn đã làm cho việc điều khiển trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Tuy nhiên cũng cần các nghiên cứu đầy đủ hơn về vấn đề này.
Một số nghiên cứu về tuyến tính hóa các phương trình chuyển động: Các
phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật đàn hồi thường là hệ phương
trình phi tuyến phức tạp, do ngoài các tọa độ suy rộng xác định vị trí các khâu, còn
có thêm tọa độ biến dạng làm tổng số tọa độ suy rộng tăng lên rất nhiều. Giải các
phương trình vi phân đó ta sẽ có được các ứng xử động lực học khi hệ chuyển động.
Tuy nhiên sẽ rất khó hoặc không thể tìm ra lời giải giải tích. Một cách hiệu quả để
giải quyết là sử dụng phương pháp số [5, 23], tuy nhiên cũng khá phức tạp và mất
nhiều thời gian cho các lời giải. Có rất nhiều các hệ kỹ thuật chủ yếu làm việc ở vị
trí cân bằng hoặc lân cận các chuyển động mong muốn (chuyển động cơ bản), …
tùy theo hệ cụ thể. Khi đó để đơn giản trong tính toán, các phương trình vi phân
chuyển động được đưa về dạng tuyến tính. Đối với các hệ nhiều vật có cấu trúc
dạng chuỗi, các phương trình chuyển động là hệ phương trình vi phân phi tuyến,
việc tuyến tính hóa được thực hiện bằng các khai triển Taylor quanh chuyển động
cơ bản. Đối với hệ có cấu trúc mạch vòng thì đây là vấn đề phức tạp. Sohoni và
Whitesell [91] đã sử dụng phương pháp nhiễu loạn số (Numerical perturbation
method) để tuyến tính hóa mô hình phi tuyến ràng buộc trong dạng Lagrange,
phương pháp này yêu cầu phải tính được ma trận Jacobi gây ra các sai số lặp và cần
thêm điều kiện hội tụ. Trong tài liệu [103] Wang đã sử dụng các phương trình Kane
để xây dựng các phương trình động lực học của chuyển động, sau đó các ma trận
khối lượng thu gọn và ma trận độ cứng thu gọn được tuyến tính hóa tại điểm điều
khiển chọn trước. Negrut và Ortiz [63] đã đưa ra phương pháp tuyến tính hóa hệ
phương trình vi phân - đại số của các hệ chịu ràng buộc quanh điểm điều khiển,
phương pháp này được sử dụng cho các hệ hỗn tạp (vật biến dạng, ma sát, các phần
tử điều khiển,...). Tuy linh hoạt nhưng phương pháp này rất khó áp dụng.
Các phương pháp tuyến tính hóa đã được nghiên cứu trước đây là khá khó
khăn khi áp dụng tính toán cho các cơ cấu có khâu đàn hồi. Do đó luận án cũng đặt
ra vấn đề là cần nghiên cứu đưa ra phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi
phân chuyển động của cơ cấu có cấu trúc mạch vòng theo hướng đơn giản, thuận
tiện khi áp dụng tính toán số.

27. 12
1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước
Ở trong nước việc nghiên cứu động lực học của cơ cấu có khâu đàn hồi còn
rất ít các nghiên cứu.
Một số nghiên cứu của giáo sư Nguyễn Văn Khang và các cộng sự [7,8,10,
73-77] về động lực học cơ cấu có khâu đàn hồi đã được thực hiện tại trường Đại học
Bách khoa Hà Nội. Tác giả Vũ Văn Khiêm [10] các đã nghiên cứu tính toán dao
động tuần hoàn của một số cơ cấu phẳng bằng phương pháp tách cấu trúc với các
thanh truyền được xem xét là đàn hồi. Ở đây chỉ xét biến dạng uốn của thanh
truyền, trong tài liệu này tác giả đã thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của
từng thanh truyền trong chế độ làm việc bình ổn với giả thiết biến dạng không ảnh
hưởng đến chuyển động cơ bản của cơ cấu, sau đó tác giả dùng phương pháp phân
tích theo dạng riêng để đưa ra phương trình vi phân dạng ma trận, với các hệ số tuần
hoàn và cuối cùng tác giả giải phương trình bằng phương pháp Runge - Kutta bậc 4.
Khi sử dụng phương pháp tách cấu trúc thì mô hình động lực học đầy đủ cho cơ cấu
không được đưa ra. Trong trường hợp tổng quát thì không thể bỏ qua ảnh hưởng
của biến dạng đến chuyển động của cơ cấu. Còn trong [8] các tác giả thực hiện tính
toán dao động của cơ cấu cam có cần đàn hồi, cũng sử dụng phương pháp tách cấu
trúc, các tác giả đã mô hình trục dẫn động là lò xo xoắn, có cản và có khối lượng,
còn trục bị dẫn là lò xo nén có cản và có khối lượng.
1.4. Xác định vấn đề nghiên cứu của luận án
Qua tìm hiểu tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về cơ cấu
có khâu đàn hồi, còn một số nội dung cần nghiên cứu nhằm góp phần đầy đủ hơn về
lĩnh vực nghiên cứu này:
Vấn đề thứ nhất: Đề xuất áp dụng phương pháp tổng quát thiết lập phương
trình vi phân động lực học chuyển động cho cơ cấu phẳng, trong đó các khâu đàn
hồi được rời rạc hóa bằng một số phương pháp như phương pháp Ritz – Galerkin,
phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).
Vấn đề thứ hai: Tính toán động lực học, tính toán biến dạng của các khâu
đàn hồi, đánh giá sự ảnh hưởng của khâu đàn hồi đến chuyển động của cơ cấu. Sử
dụng phương pháp điều khiển để hạn chế sự ảnh hưởng đó, đồng thời dập tắt các
dao động đàn hồi.
Vấn đề thứ ba: Các cơ cấu máy thường làm việc ở chế độ bình ổn, khi đó sự
biến dạng sẽ gây ra các dao động nhỏ quanh chuyển động bình ổn đó. Luận án sẽ
nghiên cứu, đưa ra phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi phân chuyển động
của cơ cấu cơ quanh chuyển động bình ổn, áp dụng phương pháp Newmark để tính
toán dao động tuần hoàn ở chế độ bình ổn, từ đó phân tích động lực học trong một
số trường hợp.

28. 13
CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ
NHIỀU VẬT ĐÀN HỒI
Để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật đàn hồi
chúng ta có nhiều phương pháp như [5, 17, 23, 24, 37, 75, 76, 77, 78, 79]. Trong đó
có phương pháp hệ quy chiếu động (Floating Frame of Reference Formulation) [78].
Đối với hệ nhiều vật đàn hồi với các biến dạng đàn hồi nhỏ, phương pháp này có
nhiều ưu điểm. Theo phương pháp này các tọa độ suy rộng xác định chuyển động của
các khâu rắn là độc lập (đối với hệ nhiều vật có cấu trúc cây), và là tọa độ suy rộng
dư (đối với hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng). Sử dụng công thức rời rạc hóa các
biến dạng đàn hồi người ta đưa vào các tọa độ suy rộng đàn hồi qe. Khi đó tập các tọa
độ suy rộng xác định vị trí của hệ nhiều vật đàn hồi có cấu trúc mạch vòng là tập các
tọa độ suy rộng dư. Cuối cùng luận án sẽ sử dụng phương trình Lagrange dạng nhân
tử để xây dựng các phương trình vi phân chuyển động cho hệ nhiều vật loại này. Kết
quả là nhận được một hệ phương trình vi phân – đại số với các tọa độ suy rộng là tọa
độ các khâu và các tọa độ biến dạng.
2.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi
Trong một cơ cấu thường những khâu có kích thước lớn, cứng vững thì sự
biến dạng của nó ảnh hưởng đến chuyển động cơ bản của cơ cấu là không đáng kể, do
đó các khâu đó sẽ được coi như là khâu rắn. Còn các khâu dài và độ mảnh cao thì sự
biến dạng của nó sẽ có ảnh hưởng đáng kể, do đó nó được xem xét như những vật rắn
biến dạng, ví dụ như các thanh truyền trong cơ cấu,... Trong cơ học môi trường liên
tục, để xác định vị trí của các chất điểm của môi trường tại thời điểm t bất kỳ người ta
thường sử dụng phương pháp Lagrange hoặc phương pháp Euler [1,13]. Trong luận
án này sử dụng phương pháp Lagrange. Để xác định vị trí các điểm của khâu đàn hồi
ta sử dụng các biến Lagrange. Các khâu đàn hồi này là các hệ liên tục đặc trưng bởi
vô số bậc tự do. Do đó các khâu đàn hồi thường được rời rạc hóa thành hệ hữu hạn
bậc tự do bằng các phương pháp như phương pháp Ritz – Galerkin hoặc phương pháp
phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element Method).
2.1.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp Ritz – Galerkin
Trong phương pháp này biến dạng của khâu đàn hồi thường được biểu diễn
bởi một tổng hữu hạn của tích các dạng riêng theo không gian và thành phần biên độ
theo thời gian. Đại lượng biến dạng y(x,t) sẽ được khai triển dưới dạng:
1
( , ) ( ) ( )
N
i i
i
y x t X x q t

  (2.1)

29. 14
Trong đó: ( )iX x là các hàm thỏa mãn
điều kiện biên của thanh truyền đàn hồi,
là xác định ứng với mỗi thanh truyền;
( )iq t là các tọa độ suy rộng phụ thuộc
vào thời gian và là đại lượng chưa xác
định.
Trong trường hợp dầm hai đầu bản
lề, chuyển vị uốn ngang tương đối w(x,t)
trong hệ tọa độ Axy gắn với thanh, có
trục Ax dọc theo AB sẽ được biểu diễn
dưới dạng
1
( , ) ( ) ( )
N
i i
i
w x t X x q t

  (2.2)
trong đó w(x,t) là chuyển vị uốn ngang của thanh tại vị trí x, ở thời điểm t.
Theo phương pháp Ritz – Galerkin trong trường hợp dầm là hai đầu bản lề thì
( )iX x có dạng [4]:
sini
i
X x
L
 
  
 
(2.3)
Tương tự xét thanh hai đầu bản lề, hệ
trục tọa độ gắn với thanh như Hình 2.2,
chuyển vị dọc trục của thanh trong hệ tọa
độ tương đối được biểu diễn:
1
( , ) ( ) ( )
N
i i
i
u x t Y x q t

 
Với điều kiện biên tương đối:
u(0,t) = 0;
( , )
0
u l t
EA
x



Ta tìm được hàm dạng [4]:
2 1
( ) sin
2
i
i x
Y x
l
 
  
 
(2.4)
2.1.2. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)
Trong phương pháp này khâu đàn hồi được chia thành một số hữu hạn các phần
tử, sau đó tiến hành xây dựng các hàm dạng riêng cho mỗi phần tử dựa trên các điều
kiện biên cho trước. Phần tử dầm thứ i, trong mặt phẳng sẽ có 3 bậc tự do mỗi đầu
nút bao gồm chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc xoay. Việc lựa chọn số phần tử
A
B x
y
w
x
M*
M
L
Hình 2.1. Dầm hai đầu bản lề
A B
x
y
x
u(x,t)
A B x
y
x
u(x,t)
Hình 2.2. Dầm hai đầu bản lề chịu kéo

30. 15
phụ thuộc vào độ chính xác. Như vậy từ phần tử đàn hồi vô hạn bậc tự do trở thành
hệ hữu hạn bậc tự do.
a) Trường hợp sử dụng một phần tử để rời rạc hóa.
Xét khâu AB với giả thiết
thanh thẳng, đồng chất, thiết diện
không đổi, khâu AB được coi như
dầm Euler – Bernoulli. Hệ tọa độ
động Axy gắn với khâu AB, trục Ax
dọc theo AB. Trường hợp số phần
tử được chọn là 1 phần tử và các bậc
tự do của phần tử này như Hình 2.3,
bậc tự do của phần tử gồm q1, q2, q3 lần lượt là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và
góc xoay tại đầu A ; q4, q5, q6 là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc xoay tại đầu
B.
+ Chuyển vị ngang của thanh có dạng [50]:
2 2 3 3 5 5 6 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   w x t X x q t X x q t X x q t X x q t (2.5)
Điều kiện biên của chuyển vị là:
2 3 5 6( ) (0, ), ( ) (0, ), ( ) ( , ), ( ) ( , )    q t w t q t w t q t w l t q t w l t (2.6)
Theo phương pháp phần tử hữu hạn, hàm dạng Xi(x) của phần tử thanh chịu uốn là
nghiệm của phương trình vi phân đường đàn hồi của dầm khi không có tải trọng
ngoài:
4
4
0



w
EI
x
(2.7)
Trong đó E, I lần lượt là môđun đàn hồi, mômen quán tính mặt cắt ngang của dầm.
Từ điều kiện biên (2.6), ta có các hàm dạng Hermite thỏa mãn:
2 3 2 3
2 3 2
2 3 2 3
5 62 3 2
( ) 1 3 2 ; ( ) 2
( ) 3 2 ; ( )
   
        
   
    
x x x x
X x X x x
L L L L
x x x x
X x X x
L L L L
(2.8)
+ Chuyển vị dọc của thanh: Với q1, q4 lần lượt là chuyển vị tương đối của thanh tại
hai đầu thanh. Khi đó u(x,t) là chuyển vị dọc của thanh tại vị trí x theo [50] có dạng:
1 1 4 4( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x t X x q t X x q t (2.9)
hàm dạng Xi(x) của phần tử thanh chịu kéo nén là nghiệm của phương trình vi phân
đường đàn hồi khi không có tải trọng ngoài:
2
2
0
u
EA
x



(2.10)
A x B
L
q1
q2
q3
q4
q5
q6
Hình 2.3. Các bậc tự do của phần tử dầm

31. 16
Trong đó A là diện tích mặt cắt ngang của dầm.
Điều kiện biên của chuyển vị:
     
     
1 1 4
4 1 4
0, 0 1, 0 0
, 0, 1
   
   
u t q X X
u L t q X L X L
(2.11)
Từ điều kiện biên (2.11), ta có hàm dạng Hermite thỏa mãn:
1 41 ;  
x x
X X
L L
(2.12)
b) Trường hợp sử dụng nhiều phần tử để rời rạc hóa
Chia khâu đàn hồi AB thành N
phần tử đều nhau, chiều dài mỗi phần
tử là l=L/N. Xét phần tử thứ i, có nút
đầu là i, nút cuối là (i+1). Tọa độ nút
khi chưa biến dạng là:
1
( 1)
, ( 1,2,..., )
i
i
x i l
x il i N
 
 
Khi biến dạng, chuyển vị 2 nút của
phần tử i là 1 2 3, ,i i iq q q lần lượt là
chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc
xoay tại nút đầu; 4 5 6, ,i i iq q q lần lượt
là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và
góc xoay tại nút cuối. Như vậy mỗi
phần tử có 6 tọa độ suy rộng, tuy nhiên do tính liên tục mà 2 phần tử gần nhau sẽ có
chung 3 tọa độ suy rộng. Như vậy tổng số tọa độ suy rộng xác định biến dạng của
dầm AB khi chia dầm thành N phần tử là 3(N+1).
Xét điểm M*
trên thanh AB có tọa độ x, M*
thuộc phần tử i. Khi chưa biến dạng
ta có:
, (0 )ix x l     (2.13)
Khi có biến dạng, chuyển vị uốn và chuyển vị dọc của điểm M có dạng:
2 2 3 3 5 5 6 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i i iw x t X q t X q t X q t X q t       (2.14)
1 1 4 4( , ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i iu x t X q t X q t   (2.15)
Trong đó 0 l  . Các hàm từ 1 ( )iX  đến 6 ( )iX  là các hàm dạng Hermite, có
dạng giống như trong công thức (2.8) và (2.12).
Hình 2.4. Rời rạc hóa bằng nhiều phần tử
x
x
y
A
xi
xi+1
ξ
u(x,t)
w(x,t)
M*
M
x
y
A B 1 2 Ni
1 2 3 i i+1
N N+1
phần tử nút

32. 17
2.2. Thiết lập phương trình chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng
bằng phương trình Lagrange dạng nhân tử
Xét cơ hệ cấu trúc mạch vòng, phi hôlônôm xác định bởi m tọa độ suy rộng dư
s1, s2,…, sm. Giả sử hệ chịu r liên kết hôlônôm, phương trình liên kết
1 2( , ,..., , ) ( 1,2,..., )j mf s s s t j r (2.16)
và g liên kết phi hôlônôm tuyến tính [5]
0
1
0 ( 1,2,..., )
m
ik k i
k
a s a i g

    (2.17)
Như thế tọa độ độc lập của hệ là n = m – r, còn bậc tự do của hệ là
f = n – g = m –(r + g).
Ta có phương trình Lagrange dạng nhân tử viết cho hệ phi hôlônôm [5]:
*
1 1
( 1,2,..., )
r s
i
k i j jk
i jk k k
fd T T
Q a k m
dt s s s
 
 
   
     
   
 
(2.18)
Trong đó T là động năng của hệ, *
kQ là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng qk.
Như vậy ta có m phương trình vi phân (2.18), r phương trình liên kết hôlônôm
và s phương trình liên kết phi hôlônôm với m ẩn tọa độ suy rộng dư qk, r ẩn nhân tử
i và g ẩn nhân tử j . Trường hợp hệ chịu liên kết hôlônôm, các phương trình
Lagrange dạng nhân tử có dạng:
1
( 1,2,..., )
r
i
k i
ik k k k
fd T T
Q k m
dt s s s s


    
      
    

(2.19)
Trong đó *
k k
k
Q Q
s

  

, với Π là thế năng của hệ, kQ là lực suy rộng của các lực
không có thế. Trong trường hợp này ta có (m+r) phương trình vi phân - đại số để xác
định m tọa độ suy rộng dư, r nhân tử Lagrange λi.
Như vậy để thiết lập phương trình vi phân chuyển động của các hệ nhiều vật đàn
hồi có cấu trúc mạch vòng như phương pháp đã nêu trên, ta thực hiện như sau:
+ Lựa chọn các hệ tọa độ động gắn với các khâu đàn hồi để xác định vị trí của
khâu khi hệ chuyển động.
+ Rời rạc hóa các khâu đàn hồi, biểu diễn các thành phần dịch chuyển tương đối
của biến dạng trong hệ tọa độ đã chọn theo các tọa độ suy rộng của biến dạng.
+ Xác định biểu thức động năng T, biểu thức thế năng Π, phương trình liên
kết,…Sau đó áp dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử (2.19) để xây dựng các
phương trình vi phân chuyển động.
Dưới đây là các thí dụ áp dụng vào thiết lập phương trình vi phân chuyển động
cho hai cơ cấu là cơ câu bốn khâu bản lề phẳng và cơ cấu sáu khâu bản lề phẳng.

33. 18
2.3. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu bốn khâu bản lề
với thanh truyền đàn hồi
2.3.1. Mô tả cơ cấu
Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng (Hình 2.5) là cơ cấu gồm 4 khâu nối với nhau
bằng các khớp quay. Khâu cố định (OC) gọi là giá, khâu có quy luật chuyển động biết
trước được gọi là khâu dẫn, chẳng hạn chọn khâu OA là khâu dẫn, thì khâu BC là
khâu bị dẫn (còn gọi là khâu chấp hành), khâu AB khi đó gọi là thanh truyền (hoặc
khâu nối). Trong cơ cấu bốn khâu, khâu dẫn thông thường có thể chuyển động toàn
vòng do kích thước ngắn, khâu bị dẫn thường là chuyển động lắc.
Trong cơ cấu này, thanh truyền AB thường dài và thanh mảnh hơn cả, do đó nó
được coi là khâu biến dạng, còn các khâu khâu dẫn OA và khâu bị dẫn OB thường
ngắn và cứng vững hơn nên giả định coi như vật rắn tuyệt đối. Các kích thước khâu là
OA có chiều dài l1, AB có chiều dài l2, BC có chiều dài l3, khâu nối đất OC là l0. Cơ
cấu chuyển động nhờ mômen phát động τ tác dụng vào khâu dẫn.
Giả thiết: AB là thanh thẳng, đồng chất, thiết diện không đổi, trục của thanh
trùng với trục trung hòa khi chưa biến dạng, cơ cấu nằm trong mặt phẳng ngang.
2.3.2. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết
a) Hệ tọa độ và phương trình liên kết
Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng như Hình 2.5. Chọn hệ trục cố định Ox0y0, với
Ox0 theo phương OC, các véc tơ đơn vị của hệ trục là (0)
1e

, (0)
2e

. Hệ trục tọa độ động
Axy, với Ax gắn với khâu đàn hồi AB, các véc tơ đơn vị của hệ trục này là 1 2,e e
 
.
Các góc φ1 là góc đầu vào, φ3 góc đầu ra, φ2 là góc của thanh đàn hồi nối điểm
đầu A và điểm cuối B. Ta có công thức xoay trục viết dưới dạng ma trận:
(0)
1 2 2 1
(0)
2 2 2 2
cos sin
sin cos
    
          
e e
e e
 
 
=>
(0)
1 2 2 1
(0)
2 2 22
cos sin
sin cos
     
     
    
e e
ee
 
 
(2.20)
Xét điểm M*
cách đầu A một đoạn x, sau khi biến dạng đến vị trí M, ta có:
  21 ),(),( etxwetxuxrr AM

 (2.21)
O
A
B
φ1
y0
x0
φ2
φ3
C
x
y
w
x
Hình 2.5. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề
M*
)0(
1e

)0(
2e

1e

2e

M
u
τ

34. 19
Từ sơ đồ hình vẽ cơ cấu ta thiết lập được quan hệ:
  0cossin),(cos),(cos 03322222111  lltlwtlullf  (2.22)
  0sincos),(sin),(sin 3322222112   ltlwtlullf (2.23)
Với điều kiện biên của uốn tại hai đầu bản lề:    20, , 0 w t w l t (2.24)
Điều kiện biên chuyển vị dọc tương đối:    20, 0; ,  Bu t u l t u (2.25)
Suy ra ta có phương trình liên kết:
 
 
1 1 1 2 2 3 3 0
2 1 1 2 2 3 3
cos cos cos 0
sin sin sin 0
B
B
f l l u l l
f l l u l
  
  
     
    
(2.26)
Đặt  1 2
T
f ff (2.27)
b) Động năng của hệ:
T = TOA + TAB + TBC
TOA = 2
1
1
2
OI  ; 2
3
1
2
 BC CT I  (2.28)
trong đó IO là mômen quán tính lấy đối với trục quay đi qua O của khâu dẫn OA, IC là
mômen quán tính lấy đối với trục quay đi qua C của khâu bị dẫn BC.
Động năng thanh đàn hồi AB: Xét một phân tố thanh dx quanh điểm M, vị trí
điểm M xác định như (2.21), viết lại ta có:
  1 2   r r e eM A x u w (2.29)
Từ công thức đổi trục (2.20) ta có tọa độ điểm M trong hệ Ox0y0:
1 1 2 2cos ( )cos sin   Mx l x u w  
1 1 2 2sin ( )sin cos   My l x u w  
Đạo hàm theo thời gian ta có:
1 1 1 2 2 2 2 2 2sin cos ( ) sin sin cosM
u w
x l x u w
t t
       
 
      
 
  
 1 1 1 2 2 2 2 2 2cos sin cos cos sinM
u w
y l x u w
t t
       
 
     
 
  
Vận tốc bình phương của điểm M:
    
       
 
2 2
22 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 2
1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2
2 2
2 sin
2 cos 2 cos 2 sin
2 2
M M M
u w u
r x y l w x u l
t t t
w
l x u l l w
t
u w
w x u
t t
    
          
 
     
            
     

      

 
  
 
    
    
 
Động năng của thanh đàn hồi AB:
2
2
0
1
2
l
AB MT r dx 
 (2.30)

35. 20
trong đó μ là phân bố khối lượng trên một đơn vị chiều dài.
Ta có động năng của hệ:
  
       
   
2 2 2
22 2 2 2 2 2
1 3 1 1 2
0
1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2
1 1 2 1 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 sin 2 cos 2 cos
2 sin 2 2
l
O C
u w
T I I l w x u
t t
u w
l l x u l
t t
u w
l w w x u dx
t t
    
         
     
     
           
    
 
      
 
  
       
   
   
   
(2.31)
c) Thế năng biến dạng:
Theo công thức (5.31a) trong tài liệu [79], thế năng biến dạng của dầm Euler –
Bernoulli được tính theo công thức:
2
22 2
2
0
1
2
l
u w
EA EI dx
x x

    
    
     
 (2.32)
Trong đó u là chuyển vị dọc trục, w là chuyển vị uốn ngang của trục trung hòa. Các
hệ số: E là mô đun đàn hồi của vật liệu, I là mô men quán tính mặt cắt ngang, A là
diện tích mặt cắt ngang.
Giả thiết dầm đồng chất, thiết diện không đổi, trục thanh trùng với trục trung
hòa, từ (2.32) ta có biểu thức thế năng đàn hồi:
2 2
22 2
2
0 0
1 1
2 2
l l
u w
EA dx EI dx
x x

   
    
    
  (2.33)
2.3.3. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi thanh truyền đàn hồi
được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin
Giả thiết biến dạng là nhỏ, các chuyển vị uốn không ảnh hưởng đến chuyển vị
dọc và ngược lại. Sử dụng phương pháp khai triển theo các dạng riêng Ritz –
Galerkin như (2.2) và (2.4), dao động uốn và dao động dọc có dạng:
1
1
( , ) ( ) ( )
N
i i
i
w x t X x q t

  (2.34)
2
1
( , ) ( ) ( )
N
k k
k
u x t Y x p t

  (2.35)
qi, pk là các tọa độ dạng riêng. N1, N2 là số các dạng riêng.
Xi, Yk là các hàm thỏa mãn điều kiện biên của dầm hai đầu bản lề:
2
sini
i
X x
l
 
  
 
(2.36)
2
2 1
( ) sin
2
k
k x
Y x
l
 
  
 
(2.37)

36. 21
Như vậy chuyển động thực của khâu nối đàn hồi AB bao gồm chuyển động lớn
của tọa độ góc khâu và chuyển động bé của các biến dạng đàn hồi. Theo các công
thức (2.20), (2.29) và (2.34), (2.35) Chuyển động của một điểm M bất kỳ trên thanh
AB được xác theo tọa độ góc khâu 1 2,  và các tọa độ đàn hồi qi, pk.
Ta có các đạo hàm:
1
1
( ) ( )
N
i i
i
w
X x q t
t 



  ;
12
2
1
( ) ( )
N
i i
i
w
X x q t
x 



 ;
2
1
( ) ( )
N
k k
k
u
Y x p t
t 



  ;
2
1
( ) ( )
N
k k
k
u
Y x p t
x 




1 1
2
1 1
N N
i j i j
i j
w X X q q
 
  ;
2 2
2
1 1
N N
k l k l
k l
u Y Y p p
 
 
Thay vào biểu thức động năng (2.31) ta có:
2 22 2 1 1
2 22 2 2
2
2 2 2 21 2
1 3 1 2
1 1 1 10 0
3
22
2
1 1 10 0
1 1
2 2 2 2 2
2
2 3 2
l lN N N N
O C k l k l i j i j
k l i j
l lN N N
k k k l k l i j
k k l
l l
T I I Y Y dx p p X X dx q q
l
xY dx p Y Y dx p p X X d
  
   
 

   
  
   
          
   
    
          
     
  
  
    

   
   
21 1
2 22 2
2 21
1 1 0
2
2
1 1 1 2 1 1 2 1 2
1 10 0
1 1 1 2 1 1 2 1 2
1 0 0
sin cos
2
cos sin
lN N
i j
i j
l lN N
k k k k
k k
l lN
i i i
i
x q q
l
l Y dx p l Y dx p
l X dx q l X dx
        
        
 
 

 
  
 
    
           
     
   
         
   
 
  
  
 
  
  
1
2 2 21 2 1 1 2
1
2 2
1 1 1 1 10 0 0
N
i
i
l l lN N N N N
i k i k i i i k k i
i k i i k
q
X Y dx q p xX dx q X Y dx p q 

    
      
             
       

       
Đặt:
2
0
l
i iC X dx 
2l
i i
0
D = xX dx
2
0
l
ij i jm X X dx 
2
0
l
k kH Y dx 
2
0
l
k kF xY dx 
2
0
l
kl k lb Y Y dx 
2
0
l
ik i kn X Y dx 
Suy ra:
 
2 2 1 1
2 2 2 1 1 2
2 3
2 2 2 2 21 2 2
1 3 1 2 2
1 1 1 1
2
2 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1
2
1 2
1 2
1 1
2 2 2 2 2 6
2 sin
2 2
c
2
N N N N
O C kl k l ij i j
k l i j
N N N N N N
k k kl k l ij i j k k
k k l i j k
l l l
T I I b p p m q q
F p b p p m q q l H p
l l
  
    
 
    

 
   
     
     
 
     
 

 
   
     
   
       
 
2 1
1 1 2 1 1 2
1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2
1 1
1 1 2 1 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
os cos cos
sin
N N
k k i i
k i
N N N N N N
i i ik i k i i ik k i
i i k i i k
l H p l C q
l C q n q p D q n p q
          
      
 
     
    
    
 
   
   
      
(2.38)
Biểu thức thế năng đàn hồi (2.33) có dạng:

37. 22
2 22 2 1 1
1 1 1 10 0
1 1
2 2
l lN N N N
k l k l i j i j
k l i j
EA p p Y Y dx EI q q X X dx
   
      
Đặt
2
0
l
ij i jk X X dx   ;
2
0
l
kl k lg Y Y dx   ta được:
2 2 1 1
1 1 1 1
1 1
2 2
N N N N
kl k l ij i j
k l i j
EA g p p EI k q q
   
   (2.39)
Gọi ηj là các tọa độ suy rộng trong đó bao gồm tọa độ các khâu rắn φ1, φ2, φ3 và tọa
độ dạng riêng của khâu đàn hồi qi, pk:
21 2 3 1 2 1 1 2... ...
T
N Nq q q p p p     η
Phương trình Lagrange dạng nhân tử viết cho hệ hôlônôm
2
1
k
k j
kj j j j
fd T T
Q
dt


   
     
                

, j = 1, 2,…, N1 +N2 +3 (2.40)
Với λ1, λ2 là các nhân tử Lagrange
Qj là lực suy rộng của các lực không có thế ứng với tọa độ suy rộng ηj.
Tính các đạo hàm lần lượt cho từng tọa độ suy rộng rồi thay vào (2.40), với chú
ý rằng ngoại lực hoạt động tác dụng vào hệ chỉ có mômen phát động τ tác dụng lên
khâu dẫn, do đó lực suy rộng chỉ có duy nhất Q1= τ ứng với tọa độ suy rộng φ1.
*) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ1 , ta có:
   
     
2
2 1 1
2
2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2
11
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1
cos( ) sin
2
cos cos sin
N
O k k
k
N N N
k k i i i i
k i i
l lT
I l l l H p
l H p l C q l C q

       

          

  

     

     

  
  

 
 
     
 
2 2 2
2
2 2
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1
1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2
1
cos( ) ( )sin( )
2 2
( )cos sin cos
( )sin
O
N N N
k k k k k k
k k k
N
k k
k
l l l ld T
I l l
dt
l H p l H p l H p
l H p l
 
         

           
      
  

 
       
 
      
   
  

    

   
      
       
 
2 1
1 1 1
1
1 2 1 2 1 1 2 1 2
1 1
1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2
1
cos ( )sin
cos sin cos
sin
N N
k k i i
k i
N N N
i i i i i i
i i i
N
i i
i
H p l C q
l C q l C q l C q
l C q
       
            
   
 
  

   
      
 
 
  

   
   
 
     
   
2 2
1 1
2
1 2
1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
1 11
1 1 1 2 1 1 2 1 2
1 1
cos sin sin
2
sin cos
N N
k k k k
k k
N N
i i i i
i i
l lT
l H p l H p
l C q l C q

          

       
 
 

      

   
 
 
    
  