Luận án: Chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm đàn hồi bằng hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
LÊ KHÁNH TOÀN
CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH, DẦM ĐÀN HỒI
BẰNG HÀM ĐÁP ỨNG TẦN SỐ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ
KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
Hà Nội - 2019

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
……..….***…………
LÊ KHÁNH TOÀN
CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH, DẦM ĐÀN HỒI
BẰNG HÀM ĐÁP ỨNG TẦN SỐ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9 52 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ
KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
2. PGS.TS. Nguyễn Việt Khoa
Hà Nội – 2019

ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công
bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận án
Lê Khánh Toàn

iii
MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN i
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. ii
MỤC LỤC ...................................................................................................... iii
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .......................................vi
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ.........................................................................vii
DANH MỤC BẢNG........................................................................................... xiii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................1
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN...................................................................................4
1.1. Bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu.................................................................4
1.1.1. Những nghiên cứu trên thế giới................................................................6
1.1.2. Những nghiên cứu trong nước..................................................................7
1.2. Hàm đáp ứng tần số trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu......................................9
1.3. Một số nhận xét và đặt vấn đề nghiên cứu......................................................11
CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU THANH, DẦM CÓ VẾT NỨT .......13
2.1. Mô hình vết nứt trong kết cấu thanh - dầm đàn hồi ........................................13
2.1.1. Mô hình vết nứt......................................................................................13
2.1.2. Mô hình lò xo của vết nứt trong kết cấu thanh, dầm đàn hồi ..................14
2.2. Dao động dọc trục của thanh đàn hồi có vết nứt .............................................15
2.2.1. Phương pháp ma trận truyền..................................................................16
2.2.2. Nghiệm tổng quát tường minh................................................................18
2.2.3. Hàm đáp ứng tần số dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt........21
2.3. Dao động uốn của dầm đàn hồi có vết nứt......................................................31
2.3.1. Phương pháp ma trận truyền..................................................................33

iv
2.3.2. Nghiệm tổng quát tường minh................................................................35
2.3.3. Công thức Rayleigh tính tần số dao động riêng đối với dầm đàn hồi có
nhiều nhiều vết nứt ................................................................................40
Kết luận Chương 2................................................................................................44
CHƯƠNG 3. ĐIỂM NÚT DAO ĐỘNG DỌC TRỤC CỦA THANH, DAO ĐỘNG
UỐN CỦA DẦM CÓ VẾT NỨT ..................................................45
3.1. Khái niệm về điểm nút dao động của kết cấu thanh - dầm đàn hồi..................45
3.2. Điểm nút dao động dọc trục của thanh đàn hồi có vết nứt...............................46
3.2.1. Các công thức cơ bản.............................................................................46
3.2.2. Kết quả khảo sát số................................................................................47
3.3. Điểm nút dao động của đầm đàn hồi có vết nứt..............................................49
3.3.1. Trường hợp không có vết nứt .................................................................51
3.3.2. Trường hợp có một vết nứt.....................................................................53
3.3.3. Trường hợp có hai vết nứt.....................................................................57
Kết luận Chương 3................................................................................................61
CHƯƠNG 4. ĐO ĐẠC THỰC NGHIỆM TRÊN MÔ HÌNH TRONG PHÒNG
THÍ NGHIỆM...............................................................................62
4.1. Đo đạc thực nghiệm hàm đáp ứng tần số........................................................62
4.1.1. Thiết bị đo đạc thực nghiệm hàm đáp ứng tần số ...................................62
4.1.2. Phương pháp đo đạc hàm đáp ứng tần số ..............................................62
4.1.3. Xác định các đặc trưng dao động từ số liệu đo hàm đáp ứng tần số.......64
4.2. Đo đạc hàm đáp ứng tần số trên mô hình thanh đàn hồi có vết nứt .................66
4.3. Đo đạc hàm đáp ứng tần số trên mô hình dầm đàn hồi có vết nứt...................69
4.3.1. Kết quả đo đạc hàm đáp ứng tần số của dầm chưa nứt ..........................71
4.3.2. Kết quả đo đạc hàm đáp ứng tần số dầm bị nứt......................................73
4.4. Kết quả xác định tần số từ hàm đáp ứng tần số đo đạc dầm đàn hồi................74

v
Kết luận chương 4.................................................................................................81
CHƯƠNG 5. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH, DẦM .......................82
5.1. Phương pháp quét trong chẩn đoán vết nứt bằng dao động.............................82
5.2. Chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng hàm đáp ứng tần số................................83
5.3. Chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số đo đạc............................................85
Kết luận Chương 5................................................................................................95
KẾT LUẬN CHUNG............................................................................................96
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ..............................................98
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................99
PHỤ LỤC ....................................................................................................106

vi
DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
A Diện tích mặt cắt ngang (m2
).
a Độ sâu vết nứt (m).
b Chiều rộng của mặt cắt ngang hình chữ nhật (m).
C Véc tơ hằng số.
E Mô đun đàn hồi (GPa).
e Vị trí vết nứt (m).
G Mô đun trượt (GPa).
H Ma trận truyền cho phần tử thanh -dầm.
T Ma trận truyền cho toàn bộ dầm.
h Chiều của mặt cắt ngang hình chữ nhật (m).
I Mô men quán tính hình học mặt cắt ngang (m4
) của dầm có và không có nứt
Kj Độ cứng của lò xo xoắn tương đương.
L Chiều dài phần tử dầm (m).
 Độ lớn vết nứt.
λ Trị riêng.
 Tham số hư hỏng.
υ Hệ số Poisson.
 Mật độ khối (kg/m3
).
ω Tần số dao động riêng của dầm (rad/s).
FRF Háp đáp ứng tần số
FRF1 Háp đáp ứng tần số của tấn số thứ nhất
FRF2 Háp đáp ứng tần số của tần số thứ hai
CSM (Crack Scanning Method) phương pháp quét vết nứt

vii
DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Sơ đồ cơ hệ cơ học...................................................................................4
Hình 2.1. Mô hình vết nứt và lò xo thay thế (uốn – kéo nén). ................................14
Hình 2.2. Mô hình dao động dọc trục nhiều vết nứt với lò xo thay thế...................15
Hình 2.3. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến hàm đáp ứng tần số FRF1 của thanh hai
đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%)..............................................................................23
đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%)..............................................................................24
Hình 2.5. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ hai đến hàm FRF1 của thanh hai đầu tự
do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35. ............................................................24
do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35. ............................................................25
Hình 2.7. Ảnh hưởng của độ sâu vết nứt thứ hai (0 - 45%) đến hàm FRF1 của thanh
hai đầu tự do. Hai vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65 và độ sâu vết
nứt thứ nhất bằng 30%...........................................................................................25
nứt thứ nhất bằng 30%...........................................................................................26
Hình 2.9. Ảnh hưởng của vị trí vết nứt thứ ba đến hàm FRF1 của thanh hai đầu tự
do. Vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65, độ sâu các vết nứt 30%. ..26
do. Vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65, độ sâu các vết nứt là 30%.
..............................................................................................................................27
Hình 2.11. Ảnh hưởng của độ sâu 3 vết nứt tại các vị trí 0.3;0.5;0.8 đến hàm FRF1
của thanh hai đầu tự do..........................................................................................27
của thanh hai đầu tự do..........................................................................................28

viii
Hình 2.13. Ảnh hưởng của vị trí một vết nứt đơn có độ sâu 30% đến hàm FRF1 của
thanh cố định một đầu. ..........................................................................................29
thanh cố định một đầu. ..........................................................................................29
của thanh cố định một đầu.....................................................................................30
của thanh cố định một đầu.....................................................................................30
Hình 2.17. Mô hình dầm đàn hồi chứa vết nứt......................................................31
Hình 3.1. Sự thay đổi điểm nút đơn (dạng dao động thứ nhất) phụ thuộc vào vị trí
hai vết nứt cùng độ sâu 30% và nằm ở hai phía điểm nút gốc. ...............................48
Hình 3.2. Các đường đồng mức không dịch chuyển của điểm nút đơn phụ thuộc vào
vị trí và độ sâu của vết nứt bên trái với các số liệu khác nhau của vết nứt bên phải.
e2=0.55,0.75,0.9.....................................................................................................48
Hình 3.3. Ảnh hưởng của vết nứt thứ ba đến sự dịch chuyển của điểm nút thứ hai
(dạng dao động thứ hai). Các đường đồng mức không dịch chuyển của điểm nút thứ
hai phụ thuộc vào vị trí vết nứt thứ nhất và thứ hai ứng với vị trí và độ sâu khác
nhau của vết nứt thứ ba..........................................................................................49
Hình 3.4. Sự thay đổi vị trí điểm nút duy nhất (1/2) của dạng riêng thứ hai theo vị trí
vết nứt với các độ sâu khác nhau (từ 0% đến 50%) trong dầm gối tựa đơn hai đầu.54
Hình 3.5. Sự thay đổi vị trí điểm nút thứ nhất (1/3) của dạng riêng thứ ba theo vị trí
vết nứt với độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm gối tựa đơn hai đầu. ...........54
Hình 3.6. Sự thay đổi điểm nút duy nhất của dạng riêng thứ hai theo vị trí vết nứt
với độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm công xôn........................................55
Hình 3.7. Sự thay đổi điểm nút thứ nhất của dạng riêng thứ ba theo vị trí vết nứt với
độ sâu thay đổi từ 0% đến 50% trong dầm công xôn..............................................56
Hình 3.8. Sự thay đổi điểm nút thứ hai của dạng riêng thứ ba theo vị trí vết nứt ....56

ix
Hình 3.9. Sự thay đổi vị trí điểm nút dạng riêng thứ hai theo vị trí hai vết nứt nằm
hai phía điểm nút, dầm gối tựa đơn hai đầu............................................................57
Hình 3.10. Các đường đồng mức sự thay đổi vị trí điểm nút dạng riêng thứ hai theo
vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm gối tựa đơn hai đầu..........................58
Hình 3.11. Sự thay đổi vị trí điểm nút dạng riêng thứ hai theo vị trí hai vết nứt nằm
hai phía điểm nút, dầm công-xôn...........................................................................59
Hình 3.12. Các đường đồng mức sự thay đổi vị trí điểm nút của dạng riêng thứ hai
theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công-xôn..................................59
Hình 3.13. Sự thay đổi vị trí điểm nút thứ hai, dạng riêng thứ ba theo vị trí hai vết
nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công xôn. ............................................................60
Hình 3.14. Các đường đồng mức sự thay đổi vị trí điểm nút thứ hai của dạng riêng
thứ ba theo vị trí hai vết nứt nằm hai phía điểm nút, dầm công xôn. ......................60
Hình 4.1. Hệ Thống đo đạc dao động PULSE.......................................................62
Hình 4.2. Mô hình đo đạc đơn kênh (1 đầu vào 1 đầu ra).......................................63
Hình 4.3. Phương pháp công hưởng.......................................................................65
Hình 4.4. Mô hình thí nghiệm và hệ thống thiết bị đo............................................67
Hình 4.5. Tín hiệu đầu vào và FRF của thanh bê tông đàn hồi...............................67
Hình 4.6. Kết quả đo hàm đáp ứng tần số FRF1của thanh bê tông.........................68
Hình 4.7. kết quả đo hàm đáp ứng tần số FRF2 của thanh bê tông.........................68
Hình 4.8. Lắp đặt Mô hình thí nghiệm...................................................................69
Hình 4.9. Mô hình thí nghiệm dầm đàn hồi ngàm hai đầu......................................70
Hình 4.10. Mô hình đo đạc thực nghiệm với dầm ngàm 2 đầu. ..............................70
Hình 4.11. Mô hình vết nứt dầm cho đo đạc hàm đáp ứng phổ. .............................71
Hình 4.12. Tín hiệu đầu theo thời gian vào và phổ tín hiệu đầu vào với kích động tại
p=0.28m................................................................................................................71

x
Hình 4.13. Hàm đáp ứng tần số (FRF) ở thang đo loga và thang đo tuyến tính kích
động tại p=0.28m...................................................................................................71
Hình 4.14. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.4m...........................................72
Hình 4.17. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.72m.........................................72
Hình 4.18. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.5m vết nứt 10%. ......................73
Hình 4.19. Tín hiệu và FRF với kích động tại p=0.5m vết nứt 40%. ......................73
Hình 4.20. Biểu diễn hàm đáp ứng tần số (FRF) với độ sâu vết nứt thay đổi:
Series 1: x=0.45m, a1/h=10%; Series 2: x=0.45m, a1/h=20%; Series
3: x=0.45m, a1/h=30%; Series 4: x=0.45m, a1/h=40%;
Series 5: x=0.2, 0.45, 0.8m, a1/h=a2/h=a3/h=40%...................................................74
Hình 4.21. Mô hình vết nứt đo đạc FRF để lấy tần số. ...........................................75
Hình 4.22. Sự thay đổi của tần số thứ nhất theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
..............................................................................................................................79
Hình 4.23. Sự thay đổi của tần số thứ hai theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
..............................................................................................................................79
Hình 4.24. Sự thay đổi của tần số thứ ba theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
..............................................................................................................................80
Hình 4.25. Sự thay đổi của tần số thứ tư theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
..............................................................................................................................80
Hình 4.26. Sự thay đổi của tần số thứ năm theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
..............................................................................................................................80
Hình 4.27. Sự thay đổi của tần số thứ sáu theo lý thuyết – thực nghiệm và Rayleigh
..............................................................................................................................81

xi
Hình 5.1. Kết quả chẩn đoán vị trí vết nứt trong thanh bê tông bằng hàm đáp ứng
tần số FRF1...........................................................................................................84
Hình 5.2. kết quả chẩn đoán 01 vết nứt tại vị trí 0.45 có độ sâu 10% (a. chẩn đoán
bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian; d. bước
lặp cuối cùng)........................................................................................................86
Hình 5.3. kết quả chẩn đoán 02 vết nứt tại các vị trí 0.2 và 0.45 có độ sâu 10% (a.
chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian;
d. bước lặp cuối cùng). ..........................................................................................87
Hình 5.4. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 10% (a.
chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi tuyến trung gian;
d. bước lặp cuối cùng). ..........................................................................................87
Hình 5.5. kết quả chẩn đoán 03 vết nứt tại vị trí 0.2, 0.45 và 0.7 có độ sâu 10% -
20%-10% (a. chẩn đoán bằng xấp xỉ thứ nhất, tuyến tính; b, c – các bước lặp phi
tuyến trung gian; d. bước lặp cuối cùng)................................................................88

xii

xiii
DANH MỤC BẢNG
Bảng 2. 1: Các hàm biên và các chỉ số đạo hàm trong điều kiện biên.....................39
Bảng 4.1. Tần số dầm ngàm 2 đầu nguyên vẹn......................................................75
Bảng 4.2. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e=0.45m; a/h=10%.....................75
Bảng 4.3. Tần số dầm ngàm 2 đầu có vết nứt tại e1=0.2m, a1/h=10%; e2=0.45m;
a2/h=10%;..............................................................................................................75
a2/h=10%; e3=0.7m, a3/h=10% ..............................................................................76
a2/h=20%; e3=0.7m, a3/h=10% ..............................................................................76
a2/h=20%; e3=0.7m, a3/h=10%..............................................................................76
a2/h=20%; e3=0.7m, a3/h=20% ..............................................................................76
a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=20%..............................................................................77
a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=20% ..............................................................................77
a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=30% ..............................................................................77
a2/h=30%; e3=0.7m, a3/h=40% ..............................................................................77
a2/h=40%; e3=0.7m, a3/h=40% ..............................................................................78
a2/h=40%; e3=0.7m, a3/h=40% ..............................................................................78

xiv
a2/h=40%; e3=0.7m, a3/h=40% ..............................................................................78
a2/h=50%; e3=0.7m, a3/h=40% ..............................................................................78
a2/h=50%; e3=0.7m, a3/h=50% ..............................................................................79
Bảng 5.1. Kết quả chẩn đoán vết nứt bằng số liệu đo đạc thực nghiệm ..................94

1
MỞ ĐẦU
Tính thời sự của đề tài
Hư hỏng trong các kết cấu, nhất là các vết nứt có thể gây ra sự sụp đổ công
trình nếu không được phát hiện kịp thời. Điều này đã được minh chứng bằng kết
quả nghiên cứu các tai nạn đã xảy ra với các công trình quan trọng như giàn khoan
biển. Tuy nhiên việc xác định vị trí và mức độ của một vết nứt trong một cấu kiện
cũng rất khó, bởi vì vết nứt thường nằm bên trong các cấu kiện mà mắt thường
không thể phát hiện được. Chính vì vậy, để chẩn đoán vết nứt, người ta thường sử
dụng các phương pháp kiểm tra không phá hủy. Một trong các phương pháp đó,
mang tính tổng thể và có thể áp dụng cho các công trình phức tạp, là dựa trên việc
đo đạc các tham số dao động của công trình để xác định vị trí và mức độ hư hỏng
trong công trình.
Các tham số dao động thường được sử dụng trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu
là các tần số và dạng dao động riêng hay hàm đáp ứng tần số. Những tham số này là
những đặc trưng khá đầy đủ cho tình trạng kỹ thuật của một công trình mà không
phụ thuộc vào các kích động bên ngoài. Tuy nhiên, việc xác định các đặc trưng này
từ số liệu đo đạc (thường hiểu là việc đo đạc) cũng là những vấn đề cần thiết và
quan trọng. Đây là bài toán của phương pháp thử nghiệm dao động (Modal Testing
Technique). Tần số dao động riêng là tham số dao động được sử dụng đầu tiên và
cho đến nay vẫn còn đang được sử dụng vào việc đánh giá trạng thái kỹ thuật công
trình (structural health monitoring). Bởi vì tần số dao động riêng gắn liền với tính
chất tổng thể của kết cấu (như khối lượng, độ cứng) nên rất dễ đo đạc được một
cách chính xác. Trở ngại lớn nhất của việc sử dụng các tần số riêng mà cho đến nay
vẫn còn đang được giải quyết là chúng ta chỉ đo được số lượng rất ít các tần số
riêng trong khi số lượng các hư hỏng thường là chưa biết. Nếu tần số riêng là một
đặc trưng số, thì dạng dao động riêng của kết cấu công trình lại là một đặc trưng
hàm trong không gian, có thể cung cấp cho chúng ta thông tin chi tiết hơn về vị trí
của hư hỏng. Đã có nhiều công bố sử dụng cả tần số và dạng riêng để chẩn đoán hư
hỏng trong kết cấu công trình, nhưng vấn đề còn tồn tại chính là khó khăn trong
việc đo đạc dạng dao động riêng. Để có thể đo được dạng dao động riêng cần rất

2
nhiều đầu đo và đòi hỏi một phương pháp xác định dạng dao động riêng từ số liệu
đo một cách chính xác (do tính không duy nhất của dạng dao động riêng).
Như đã nói ở trên, cả tần số và dạng dao động riêng đo đạc đều được xác
định từ số liệu đo đạc của hàm đáp ứng tần số. Việc xác định các tần số và dạng
riêng từ hàm đáp ứng tần số cũng gặp nhiều sai số mà cho đến nay vẫn còn đang
được nghiên cứu. Để tránh các sai số trong xử lý số liệu đo đạc nêu trên, nhiều
chuyên gia đã đề nghị sử dụng ngay hàm đáp ứng tần số cho việc chẩn đoán hư
hỏng kết cấu công trình. Ngoài ra, hàm đáp ứng tần số còn là một đặc trưng hàm số
trong miền tần số nó cho phép chúng ta không chỉ xác định tần số riêng, dạng dao
động riêng mà còn chỉ ra ứng xử của kết cấu trong lân cận của tần số cộng hưởng
(xấp xỉ tần số riêng). Chính tiềm năng này của hàm đáp ứng tần số chưa được khai
thác và ứng dụng nhiều trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu công trình.
Mục tiêu của luận án
Mục tiêu của luận án này là phát triển và ứng dụng phương pháp sử dụng
hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh - dầm đàn hồi. Nội
dung nghiên cứu bao gồm: xây dụng các mô hình kết cấu thanh, dầm có nhiều vết
nứt; nghiên cứu sự thay đổi của các tham số dao động, chủ yếu là hàm đáp ứng tần
số, do vết nứt; tiến hành nghiên cứu thực nghiệm đo đạc các tham số dao động của
một số mô hình thanh, dầm có vết nứt trong phòng thí nghiệm và đề xuất một số
thuật toán để chẩn đoán vết nứt trong kết cấu dựa trên mô hình đã xây dựng và các
số liệu đo đạc thực nghiệm.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là kết cấu dạng thanh, dầm phẳng có vết
nứt được nghiên cứu trên mô hình liên tục theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli với
các điều kiện biên khác nhau.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu là phương pháp giải tích kết hợp với mô phỏng số
và kiểm chứng bằng thực nghiệm.

3
Bố cục luận án gồm: Mở đầu, 5 chương và kết luận.
Mở đầu: Trình bày sự cần thiết của đề tài, mục tiêu, đối tượng nghiên cứu,
phương pháp nghiên cứu và bố cục luận án.
Chương 1: Trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu: Bài toán chẩn đoán
hư hỏng kết cấu, các nghiên cứu về bài toán chẩn đoán vết nứt trong kết cấu sử
dụng các đặc trưng dao động.
Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết dao động của kết cấu thanh, dầm có
nhiều vết nứt. Những phương trình được thiết lập trong chương này làm cơ sở cho
việc nghiên cứu lý thuyết, đo đạc thực nghiệm và chẩn đoán vết nứt của các chương
sau.
Chương 3: Trình bày kết quả nghiên cứu sự thay đổi các điểm nút dao động
trong thanh, dầm do vết nứt làm tiền đề cho việc chẩn đoán vết nứt dựa trên sự thay
đổi các điểm nút dao động.
Chương 4: Nghiên cứu thực nghiệm hàm đáp ứng tần số của thanh, dầm
chứa vết nứt, phân tích và xử lý số liệu hàm đáp ứng tần số để làm đầu vào cho bài
toán chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm.
Chương 5: Trình bày thuật toán và kết quả chẩn đoán vết nứt trong thanh
dầm dựa trên hàm đáp ứng tần số và tần số riêng.
Phần Kết luận chung: trình bày tóm tắt kết quả chính của luận án. Đồng
thời cũng đưa ra một số vấn đề chưa giải quyết được cần tiếp tục nghiên cứu.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo đăng trên
Vietnam Journal of Mechanics; 01 bài báo quốc tế SCI: Journal of Sound and
Vibration và 01 bài báo trên tạp chí quốc tế SCIE: Nondestructuve Testing and
Evaluation; 02 bài báo trong Kỷ yếu Hội nghị khoa học chuyên ngành.

4
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1. Bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu
Với một đối tượng kỹ thuật luôn tồn tại hai bài toán: Bài toán thuận, nghiên
cứu ứng xử của kết cấu; Bài toán chẩn đoán [28], thực chất là một bài toán ngược
[29], nhằm mục đích phát hiện hư hỏng trong kết cấu từ các số liệu đo đạc dựa trên
kết quả phân tích của bài toán thuận. Cụ thể đối một hệ cơ học thường được mô tả
bằng sơ đồ:
Hình 1.1. Sơ đồ cơ hệ cơ học
với: X: là đầu vào, tác động ngoài,
∑: là mô hình hóa, mô tả cấu trúc, đặc tính của cơ hệ,
Y: là đầu ra, đáp ứng của cơ hệ.
Hệ cơ học có thể biểu diễn bằng một phương trình toán học:
  XYL 
trong đó L là toán tử tổng quát, có thể là toán tử vi phân, tích phân, đại số, ... cùng
với các điều kiện biên ban đầu tương ứng. Khi đó, bài toán thuận được hiểu là cần
phải xác định đầu ra Y nếu đã biết được L và X. Bài toán ngược là bài toán xác định
đầu vào X khi biết L và Y hoặc xác định L khi biết X và Y (đây là bài toán nhận
dạng hệ thống, thực chất là xây dựng lại mô hình của hệ khi biết được đầu vào và
đầu ra).
Việc đánh giá tính nguyên vẹn của một kết cấu, thực chất, là bài toán chẩn
đoán hư hỏng kết kết cấu. Hư hỏng, ở đây, được hiểu là sự thay đổi về kích thước,
hình dáng, vật liệu, liên kết, hay nói gọn lại là sự thay đổi về mô hình cấu tạo.
Vết nứt là một dạng hư hỏng điển hình trong kết cấu các công trình xây dựng
và máy móc thiết bị Vết nứt nói chung được mô tả bằng vị trí và kích thước của nó
trong kết cấu. Sự xuất hiện vết nứt trong kết cấu làm suy giảm độ cứng của kết cấu
trong vùng lân cận vết nứt. Với kết cấu có vết nứt thì việc nghiên cứu bài toán thuận
X ∑ Y

5
là phân tích ảnh hưởng của vết nứt tới ứng xử của kết cấu. Do đó việc xây dựng mô
hình kết cấu và mô hình vết nứt là rất quan trọng. Bài toán chẩn đoán vết nứt trong
kết cấu chính là việc xác định độ lớn cũng như vị trí của vết nứt dựa trên số liệu đo
đạc. Bài toán này được tiếp cận bằng hai cách:
 Cách thứ nhất là chẩn đoán theo triệu chứng, tức là dựa trên số liệu xử lý đo
đạc thực của kết cấu cùng với hiểu biết qua phân tích ảnh hưởng của vết nứt
trong bài toán thuận để phát hiện ra sự thay đổi bất thường.
 Cách thứ hai là xây dựng mô hình với vết nứt sát với thực tế từ mô hình kết
cấu với vết nứt giả định cùng số liệu đo đạc. Đây là phương pháp điều
chỉnh mô hình đang được quan tâm nghiên cứu hiện nay.
Việc chẩn đoán các vết nứt trong kết cấu công trình đã thu hút nhiều nhà
nghiên cứu trong hơn hai thập kỷ qua như đã chỉ ra trong các báo cáo tổng quan của
Doebling và đồng nghiệp [1] năm 1996, Salawu [2] năm 1997 và Sohn và các đồng
nghiệp [3] năm 2004.
Trong chẩn đoán hư hỏng trong kết cấu nói chung cũng như vết nứt nói
riêng, người ta thường sử dụng các đặc trưng động lực học. Ở đó thì tần số dao
động riêng, dạng dao động riêng và hàm đáp ứng tần số (và một số đặc trưng liên
quan như độ cứng và độ mềm động) thường hay được sử dụng [1-5]. Lúc đầu người
ta sử dụng chủ yếu là tần số riêng để chẩn đoán hư hỏng kết cấu [6-17] vì đo đạc tần
số riêng là dễ dàng, chính xác nhất và rất nhiều kết quả đã đạt được theo hướng này.
Tuy nhiên, những kết quả sử dụng tần số riêng trước đây chỉ cho phép ta xác định
được những hư hỏng khuyết tật lớn ở những kết cấu đơn giản vì tần số riêng rất ít
nhạy cảm với các hư hỏng nhỏ, đặc biệt là các tần số thấp. Để xác định các hư hỏng
nhỏ phải đo được các tần số rất cao, trong khi đó số lượng tần số đo được chỉ là các
tần số thấp với số lượng không nhiều. Hơn nữa, việc đo đạc các tần số cao không
những khó mà còn không chính xác. Do đó người ta phải sử dụng các thông tin
khác ngoài tần số để chẩn đoán hư hỏng. Các tác giả như Morassi và các cộng sự
[18-20] đã kiến nghị sử dụng thêm tần số phản cộng hưởng (tức tần số kích động
làm tắt dao động), nhưng việc đo đạc các tần số phản cộng hưởng không dễ dàng và
số lượng có thể đo được cũng bị hạn chế. Một số tác giả khác đã sử dụng dạng dao

6
động riêng để chẩn đoán hư hỏng trong kết cấu [21-27]. Tuy nhiên, việc đo đạc
dạng riêng trong thực tế đòi hỏi rất nhiều đầu đo và không thể đo dạng riêng một
cách chính xác.
1.1.1. Những nghiên cứu trên thế giới
Việc chẩn đoán vết nứt của kết cấu dựa trên sự thay đổi tần số riêng được bắt
đầu vào năm 1975 do Vandiver thực hiện trên đối tượng là giàn khoan biển. Năm
1978-1979 Adams, Cawley và các cộng sự đã phát triển nhiều công trình sử dụng
tần số riêng để chẩn đoán [6,7], trong đó các tác giả đã nghiên cứu trường hợp một
thanh đàn hồi có vết nứt được mô tả bằng một lò xo dọc trục với độ cứng của lò xo
chưa biết và xây dựng được phương trình để xác định vị trí vết nứt từ số liệu đo tần
số riêng. Năm 1990 Stubbs và Osegueda [8] đã phát triển hơn nữa bằng việc chẩn
đoán vết nứt dựa trên độ nhạy cảm của tần số riêng. Sau đó năm 1992 Sanders và
các cộng sự đã kết hợp sử dụng phương pháp độ nhạy cảm tần số của Stubbs và
Osegueda cùng với lý thuyết thay đổi trạng thái ban đầu để nhận dạng hư hỏng.
Năm 1994 Narkis [10] đã tìm được nghiệm giải tích đối với vị trí vết nứt từ số liệu
đo hai tần số riêng trong trường hợp điều kiện biên gối tựa đơn… Gần đây việc sử
dụng sự thay đổi tần số riêng để chẩn đoán hư hỏng kết cấu có thể kể đến Lee [14]
năm 2009 trong việc phát triển phương pháp độ nhạy cảm trong việc chẩn đoán vết
nứt bằng tần số riêng. Zhang và các cộng sự [15] năm 2010 đã chẩn đoán đa vết nứt
bằng tần số. Kaushar và các cộng sự [16] năm 2013 đã sử dụng hai tần số đầu để
xác định vị trí và độ sâu vết nứt của dầm công xôn. Thalapil cùng Maiti [17] năm
2014 phát hiện vết nứt theo theo chiều dọc của dầm Euler–Bernoulli và dầm
Timoshenko.
Việc chẩn đoán hư hỏng nói chung và vết nứt nói riêng của kết cấu dựa trên
sự thay đổi tần số thường chỉ phát hiện sự xuất hiện của vết nứt mà không xác định
được vị trí vết nứt. Trong khi đó thì vết nứt lại ảnh hưởng một cách địa phương. Do
đó các thông tin vết nứt dựa vào dạng riêng được xem xét trong bài toán chẩn đoán.
Năm 1984 West đã giới thiệu việc nhận dạng vị trí hư hỏng của kết cấu sử
dụng dạng riêng cùng phương pháp phần tử hữu hạn. Năm 1990 Rizos và các đồng
nghiệp [21] đã dựa vào dạng riêng và tần số riêng để chẩn đoán vị trí cũng như độ

7
lớn của vết nứt mở đối với dầm đàn hồi công xôn. Sau đó Pandey và đồng nghiệp
[22] năm 1991 đã đề xuất phương pháp ứng dụng độ cong của dạng riêng để phát
hiện hư hỏng của kết cấu. Sự suy giảm mặt cắt ngang gây ra bởi hư hỏng có xu
hướng làm tăng độ cong của các dạng riêng trong lân cận vùng bị hư hỏng. Salawu
và Williams năm 1994 đã so sánh kết quả việc sử dụng dạng dao động riêng với
việc sử dụng độ cong của dạng riêng để chẩn đoán, đã thấy rằng dạng riêng không
nhạy cảm bằng độ cong dạng riêng đối với vết nứt kết cấu… Gần đây việc sử dụng
dạng riêng cũng như độ nhạy cảm của dạng riêng để chẩn đoán vết nứt trong dầm
đàn hồi có thể kể đến Maosen Cao và các đồng nghiệp [30,31] năm 2011 đến năm
2014. Ngoài việc sử dụng dạng riêng dao động để chẩn đoán vết nứt của kết cấu thì
các tác giả Gladwell và Morassi [32] năm 1999 đã chỉ ra rằng điểm nút của dao
động (điểm dao động bị triệt tiêu) cũng là một chỉ số có thể sử dụng để chẩn đoán
vết nứt trong thanh. Các tác giả này đã công bố một công trình nghiên cứu khá bài
bản, được kiểm chứng cả bằng thực nghiệm rằng sự thay đổi các điểm nút trong dao
động dọc trục cho phép chẩn đoán chính xác vị trí một vết nứt đơn trong thanh. Vấn
đề phát triển phương pháp sử dụng sự thay đổi các điểm nút dao động trong dầm để
chẩn đoán vết nứt đã được Morassi và Delina [35] bắt đầu nghiên cứu từ năm 2002.
Tuy vậy hơn 10 năm qua không thấy xuất hiện công bố mới nào theo hướng này.
Các phân tích trên cho thấy dạng riêng có thể sử dụng để xác định được vị trí
của vết nứt. Tuy nhiên nếu chỉ sử dụng dạng riêng cho mục đích này thì cần phải có
nhiều số liệu đo đạc chính xác, mà đây là những yêu cấu không phải lúc nào cũng
thực hiện được trong thực tế. Trong khi đó hàm đáp ứng chứa đựng cả thông tin về
tần số và dạng riêng có thể được sử dụng để phân tích ảnh hưởng của vết nứt lên
đáp ứng của kết cấu. Việc đo đạc hàm đáp ứng tần số lại đơn giản và cho kết quả
chính xác. Vì vậy việc phát triển các phương pháp ứng dụng hàm đáp ứng tần số
trong chẩn đoán vết nứt là rất cần thiết do tính ưu việt của nó.
1.1.2. Những nghiên cứu trong nước
Bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu được giáo sư Nguyễn Cao Mệnh, giáo sư
Nguyễn Tiến Khiêm và các cộng sự [36] phát triển vào năm 1996, ở đây đã khoanh
vùng hư hỏng từ đó đưa ra một quy trình chẩn đoán kết cấu giàn khoan biển cố định
bằng các đặc trưng động học. Hai năm sau nhóm nghiên cứu này [37] đưa ra phân

8
tích modal của kết cấu hư hỏng dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn cải biên.
Dựa trên mô hình phần tử hữu hạn cải biên này Đào Như Mai [39] đã sử dụng độ
nhạy cảm của các đặc trưng động lực học để phân tích và chẩn đoán hư hỏng kết
cấu. Lê Xuân Hàng, Nguyễn Thị Hiền Lương [40] năm 2009 trình bày cách xác
định vị trí và chiều sâu các vết nứt trong dầm công xôn bằng thuật toán di truyền
cùng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng tần số dao động riêng để chẩn đoán.
Năm 2014 Nguyễn Tiến Khiêm và Lê Khánh Toàn [41] đã dựa trên sự thay đổi tần
số để chẩn đoán đa vết nứt với mô hình dầm liên tục chứa vết nứt và điều kiện biên
ngàm hai đầu.
Sử dụng dạng riêng để chẩn đoán hư hỏng kết cấu có: Trần Thanh Hải [42]
đã sử dụng dạng riêng của mô hình dầm liên tục chứa vết nứt cùng phương pháp
điều chỉnh Tikhonov để chẩn đoán đa vết nứt. Năm 2014 Nguyễn Việt Khoa [43] đã
sử dụng dạng riêng của phần từ dầm ba chiều “trong đó kể đến ảnh hưởng qua lại
giữa biến dạng uốn theo 2 phương khác nhau” chứa vết nứt cùng phương pháp
phần tử hữu hạn để chẩn đoán hư hỏng.
Năm 2010 Nguyễn Việt Khoa và Trần Thanh Hải [44] đã sử dụng phân tích
Waveles để nhận dạng đa vết nứt của dầm chịu tải trọng di động. Nguyễn Tiến
Khiêm, Lê Khánh Toàn [33,34] năm 2013 đã mở rộng các kết quả của Gladwell và
Morassi [32] (sử dụng điểm nút dao động của thanh để chẩn đoán một vết nứt) cho
trường hợp thanh có nhiều vết nứt. Năm 2016 Nguyễn Thái Chung và các cộng sự
[61] đã phân tích động lực học đối với cột có vết nứt chị tải trọng động đất. Năm
2014-2016 Nguyễn tiến Khiêm, Phí Thị Hằng [53,54,55,56] đã phân tích và nhận
dạng dầm đa vết nứt dưới tác động của tải trọng di động. Đồng thời cũng từ năm
2014-2017 Nguyễn Tiến Khiêm và các cộng sự [58, 59, 60] đã nghiên cứu và chẩn
đoán dầm bậc đa vết nứt dựa trên phương pháp Rayleight và phương pháp quét. Từ
năm 2015-2017 Nguyễn Tiến Khiêm và Nguyễn Ngọc Huyên [62, 63, 64] đã phân
tích và chẩn đoán đối với mô hình dầm FGM chứa vết nứt.
Từ những nghiên cứu kể trên cho thấy việc ứng dụng tần số riêng và dạng
dao động riêng cũng đã được nhiều tác giả trong nước nghiên cứu và phát triển. Tuy
nhiên, việc sử dụng riêng biệt tần số riêng hay dạng riêng để chẩn đoán vết nứt đều
gặp phải những hạn chế như đã nêu ở mục 1.1.1. Đó là, tần số riêng thì không phát

9
hiện được vị trí vết nứt (do sử dụng mô hình phần tử hữu hạn để chẩn đoán), còn
dạng riêng thì cần phải sử dụng nhiều số liệu đo đạc chính xác. Vì vậy cần thiết
phải phát triển các phương pháp sử dụng các tham số động lực học mà đo được với
độ chính xác cao như tần số riêng và hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán được cả sự
xuất hiện vết nứt, vị trí vết nứt và độ sâu vết nứt.
1.2. Hàm đáp ứng tần số trong chẩn đoán hư hỏng kết cấu
Một điều đáng quan tâm trong thực tế phân tích kết cấu là độ tin cậy của việc
xác định các đặc trưng động lực học như tần số và dạng dao động riêng (hay còn
gọi là các mode) của kết cấu. Những đặc trưng dao động này rất quan trọng trong
việc thiết kế và kiểm soát dao động của các thành phần kết cấu. Có hai phương
pháp xác định các đặc trưng động lực học của một kết cấu công trình đang tồn tại:
tính toán bằng phương pháp lý thuyết và thử nghiệm động lực học. Hiện nay do
những tiến bộ trong việc chế tạo các thiết bị và kỹ thuật đo, các đặc trưng dao động
được nhận dạng từ những số liệu đo đạc được coi là gần gũi hơn so với các đại diện
thực sự của kết cấu, trong khi những phân tích lý thuyết được xem là kém chính xác
hơn do những mô phỏng kết cấu không thực sự hoàn chỉnh. Bằng cách đo các số
liệu đáp ứng của kết cấu và phân tích động lực học các số liệu này, ta có thể thu
được các tham số chính xác của tần số riêng và các dạng dao động của kết cấu.
Trong các dữ liệu đo đạc được của các đặc trưng dao động thì người ta thấy
rằng: Sử dụng hàm đáp ứng tần số mà thường đo đạc được trực tiếp để làm số liệu
đầu vào cho việc chẩn đoán hư hỏng tốt hơn là dùng tần số và dạng riêng. Đó là do
những ưu điểm vượt trội của các dữ liệu hàm đáp ứng tần số đo được:
 Hàm đáp ứng tần số ngoài cung cấp thông tin về tần số riêng (tần số cộng
hưởng) còn có khả năng cung cấp thêm thông tin về đáp ứng của kết cấu ở
những tần số xa cộng hưởng.
 Sử dụng hàm đáp ứng tần số sẽ tránh được sai số của việc xử lý số liệu đo
để tách tần số và dạng riêng từ số liệu đo đạc (Hàm đáp ứng tần số là đầu
vào trong phân tích dạng riêng).
 Ngoài ra, những thông tin rất quan trọng đó là vị trí điểm đo và vị trí điểm
đặt lực tác đều có trong hàm đáp ứng tần số.

10
Trong việc ứng dụng hàm đáp ứng tần số cho bài toán chẩn đoán hư hỏng kết
cấu được tiến hành theo hai cách:
 Cách thứ nhất là sử dụng trực tiếp dữ liệu đo đạc hàm đáp ứng tần số để
phát hiện hư hỏng;
 Cách thứ hai đó là xây dựng các mô hình toán học cho hàm đáp ứng tần số
của kết cấu có hư hỏng.
Đối với cách tiếp cận thứ nhất được Wang. Z và các cộng sự [45] nghiên cứu
vào năm 1997, họ đã sử dụng dữ liệu đo đạc hàm đáp ứng tần số trước và sau hư
hỏng cùng với phương trình nhiễu loạn phi tuyến để nhận dạng hư hỏng. Sau đó
được nghiên cứu nhiều bởi các tác giả Maia, Sampaio và các cộng sự [46,47] năm
1999-2003. Trong các công bố này, các tác giả đã sử dụng sự thay đổi tuyệt đối của
hàm đáp ứng tần số theo chuyển vị, góc xoay và độ cong biến dạng để phát hiện vị
trí vết nứt trong dầm đàn hồi và đã đưa ra kết luận đó là sử dụng hàm đáp ứng tần
số của độ cong là tốt hơn cả. Năm 2003 Owolabi và các cộng sự [48] đã xác định
vết nứt trong dầm đàn hồi (điều kiện biên là ngàm chặt 2 đầu và gối tự hai đầu) dựa
trên sự thay đổi ba tần số cơ bản đầu tiên và biên độ của hàm đáp ứng tần số.
Cách tiếp cận thứ hai là sử dụng biểu thức của hàm đáp ứng tần số ở dạng:
 


r rr
rr
jk
i
kj
H

 22
)()(
)( , (1.37)
trong đó chỉ số j - chỉ vị trí điểm đo, k - vị trí điểm đặt lực, r - số hiệu của dạng dao
động, rr  , - là tần số riêng và hệ số cản tương ứng với dạng riêng r . Biểu thức
(1.37) chính là biểu diễn của hàm đáp ứng tần số theo các đặc trưng dao động của
kết cấu như tần số, dạng riêng và hệ số cản. Nổi bật hơn cả là kết quả của các tác
giả Usik Lee và Jinho Shin [49]. Ở đây các tác giả đã thiết lập được hệ phương trình
đại số để xác định các tham số hư hỏng của dầm đàn hồi dựa trên mô hình và số liệu
đo của hàm đáp ứng tần số. Lee và Shin đã phát triển một phương pháp phát hiện sự
hư hỏng của dầm và kết cấu dạng tấm sử dụng các dữ liệu đo đạc hàm đáp ứng tần
số. Họ áp dụng một phương pháp là giảm dần các miền một cách lặp đi lặp lại để

11
tìm kiếm và đưa ra các vùng hư hỏng và đã mở rộng phương pháp này cho các tấm
phẳng trực hướng. Ne và các cộng sự đã nghiên cứu kỹ lưỡng hiệu quả của việc sử
dụng phương pháp phân tích thành phần chính để xác định thiệt hại do động đất gây
ra cho mô hình một tòa nhà bê tông cốt thép cao 38 tầng với tỷ lệ 1:20 được đặt trên
một bàn lắc, bằng cách sử dụng các tham số đo được của hàm đáp ứng tần số và
mạng nơron. Điều đó chứng tỏ rằng kết quả xác định các hư hỏng của dự án phân
tích hàm đáp ứng tần số trên một vài thành phần chính là tốt hơn nhiều so với
những gì thu được trực tiếp khi sử dụng các dữ liệu đo được của hàm đáp ứng tần
số.
Những năm gần đây việc sử dụng hàm đáp ứng tần số để chẩn đoán hư hỏng
trong kết cấu có thể kể đến như: Araujo dos Santos và các cộng sự [50] năm 2005
đề xuất một phương pháp xác định hư hỏng trên cơ sở độ nhạy của các hàm đáp ứng
tần số. Họ chỉ ra rằng kết quả nhận biết hư hỏng sẽ tốt hơn nếu như đo ở tần số thấp
và các điểm kích thích không phải là các điểm nút. Vì vậy, khả năng khai thác thêm
thông tin từ hàm đáp ứng tần số cho bài toán chẩn đoán là rộng mở. Năm 2010
Animesh Chatterjee [51] nghiên cứu đánh giá hư hỏng của kết cấu dầm công xôn
dựa trên hàm đáp ứng tần. Trong đó vết nứt của dầm được nghiên cứu trong trường
hợp vết nứt đóng mở (breathing crack). Năm 2012 Huang và các cộng sự [52] xác
định hư hỏng của kết cấu nhà năm tầng trong bài toán điều khiển kết cấu dựa vào sự
thay đổi của hàm đáp ứng tần số và các bộ giảm chấn. Ở đây họ đã chỉ ra rằng với
nhiễu lớn hơn 10% thì không thể xác định được hư hỏng.
1.3. Một số nhận xét và đặt vấn đề nghiên cứu
Như đã trình bày ở trên, phương pháp đo đạc các đặc trưng dao động của kết
cấu để chẩn đoán hư hỏng hiện đang là phương pháp hiệu quả nhất. Tuy nhiên, dù
là bằng cách nào, phân tích trực tiếp tín hiệu đo hay sử dụng mô hình để chẩn đoán
hư hỏng, thì cho đến nay vẫn tồn tại hai vấn đề sau. Một là các đặc trưng dễ đo thì ít
nhạy cảm với hư hỏng và hai là sai số đo đạc có thể còn lớn hơn ảnh hưởng của hư
hỏng. Chính vì thế, việc tìm các đặc trưng dao động khác vừa không nhạy cảm với
sai số đo đạc, nhưng lại nhạy cảm với hư hỏng để chẩn đoán hư hỏng trong công
trình vẫn là một bài toán chưa giải được. Trong các đặc trưng dao động: tần số và
dạng dao động riêng, hệ số cản và hàm đáp ứng tần số thì tần số và hàm đáp ứng tần

12
số là đo được dễ dàng nhất, chính xác nhất. Tuy nhiên, hàm đáp ứng tần số là một
đặc trưng tổng hợp, bao hàm cả ba các đặc trưng trước (tần số, dạng riêng và hệ số
cản) và mô tả cả cấu trúc phổ của hệ. Vì vậy, sự tương tác giữa các dạng dao động
và độ nhạy cảm của chúng làm cho độ nhạy cảm của hàm đáp ứng tần số đối với hư
hỏng trở nên rất phức tạp, khó nhận biết. Đây chính là một trở ngại của việc sử
dụng hàm đáp ứng tần số trong việc chẩn đoán hư hỏng kết cấu. Đa số các công
trình đã công bố trên thế giới về chẩn đoán vết nứt bằng hàm đáp ứng xung là dựa
trên phương pháp phần tử hữu hạn, không cho phép xác định chính xác vị trí vết
nứt. Chính vì vậy, cần thiết phải phát triển các phương pháp nhắm tận dụng sự đo
đạc chính xác của tần số và hàm đáp ứng tần số trong chẩn đoán hư hỏng là việc tìm
các biểu diễn hiển của nó qua các tham số hư hỏng. Điều đó cho phép chúng ta
nghiên cứu độ nhạy cảm của tần số và hàm đáp ứng tần số đối với hư hỏng và do đó
có thể áp dụng vào chẩn đoán hư hỏng kết cấu công trình.
Vấn đề đặt ra trong luận án này như sau:
Nghiên cứu sự thay đổi các điểm nút dao động dọc trục trong thanh, dao
động uốn của dầm do sự xuất hiện vết nứt phục vụ bài toán chẩn đoán vết nứt.
Nghiên cứu thực nghiệm kết cấu thanh, dầm đàn hồi chứa nhiều vết nứt bằng
việc đo đạc hàm đáp ứng tần số. Từ đó phân tích xử lý số liệu đo đạc hàm đáp ứng
tần số để tìm các tần số riêng thực nghiệm.
Xây dựng hàm đáp ứng tần số tường minh trong kết cấu thanh, từ đó kết hợp
với số liệu đo đạc thực nghiệm và sử dụng phương pháp CSM (Crack Scanning
Method) để giải bài toán chẩn đoán trong thanh chứa vết nứt;
Sử dụng công thức Rayleigh và phương pháp CSM thiết lập và giải bài toán
trình chẩn đoán vết nứt từ tần số riêng thực nghiệm.

13
CHƯƠNG 2. DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU THANH, DẦM CÓ VẾT
NỨT
2.1. Mô hình vết nứt trong kết cấu thanh - dầm đàn hồi
2.1.1. Mô hình vết nứt
Vết nứt, nói chung được hiểu là một mặt phân cách trong một vật thể rắn làm
cho trạng thái ứng suất biến dạng tại mặt phân cách đó bị gián đoạn. Sự xuất hiện
của vết nứt trong kết cấu làm thay đổi các đặc trưng động lực học. Thường các vết
nứt được đặc trưng bởi các tham số: vị trí và kích thước và hình dạng. Theo dạng
hình học, vết nứt có thể có các dạng: Vết nứt ngang (vết nứt vuông góc với trục
dầm) – Vết nứt dọc (vết nứt song song với trục dầm) – Vết nứt xiên (vết nứt
nghiêng một góc với trục dầm) – Vết nứt mở (vết nứt giữ nguyên trạng thái mở,
dạng chữ “V”) – Vết nứt thở (hiệng tượng vết nứt mở ra đóng vào dưới tác động
của ngoại lực.
Trong nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm, người ta tập trung nghiên cứu
vết nứt ngang mở trên bề mặt của dầm, do bởi dễ dàng mô phỏng vết nứt trong thực
nghiệm. Các mô hình vết nứt hiện nay đều xuất phát từ mô hình trạng thái xuất hiện
vết nứt theo ngoại lực để xây dựng công thức tính độ cứng tại vị trí vết nứt. Độ
cứng của kết cấu chứa vết nứt được xây dựng theo mô hình cơ học phá hủy hoặc
quy đổi độ cứng tiết diện có vết nứt theo mô hình độ cứng lò xo đàn hồi.
Đối với thanh - dầm đàn hồi, vết nứt được xét như sự thay đổi tiết diện ngang
trong một đoạn có chiều dài rất nhỏ b với độ sâu a người ta đã chính xác mô hình
vết nứt mở ở dạng một vết cưa được gọi là vết nứt hình chữ V. Ở đây, khái niệm độ
sâu vết nứt và đầu vết nứt được mô tả một cách rõ ràng. Hơn nữa, người ta đã tính
được sự suy giảm độ cứng (hoặc tăng độ mềm) của thanh - dầm tại mặt cắt chứa vết
nứt, Chính điều này đã đưa đến ý tưởng có thể mô hình hóa vết nứt bằng một lò xo
tương đương với độ cứng K tại mặt cắt chứa vết nứt. Như vậy, người ta hoàn toàn
có thể mô tả vết nứt trong dầm đàn hồi bằng một lò xo liên kết hai phía của vết nứt
với độ cứng được xác định bằng thực nghiệm và lý thuyết cơ học phá hủy.

14
2.1.2. Mô hình lò xo của vết nứt trong kết cấu thanh, dầm đàn hồi
Xét dầm đàn hồi có chiều dài L, tiết diện hình chữ nhật có chiều rộng b và
chiều cao h, mô đul đàn hồi E, mô men quán tính I, tiết diện mặt cắt ngang A, hệ số
Poisson  . Trên dầm có vết nứt tại vị trí je với độ sâu ja .
Vết nứt khi đó được mô hình hóa bằng các lò xo đàn hồi có độ cứng tương
đương Kj là hàm của độ sâu vết nứt ja . Tuy nhiên, cách tính độ cứng của lò xo
tương đương đã nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra các công thức xấp xỉ khác nhau.
Hình 2.1. Mô hình vết nứt và lò xo thay thế (uốn – kéo nén).
2.1.2.1. Độ cứng lò xo thay thế đối với kết cấu dạng thanh
Đối với thanh đàn hồi độ cứng của lò xo đàn hồi tương đương Kj được tính
theo:
* Mô hình theo Theo B.S. Haisty và W.T. Springer [65]:
haz
zhf
EA
K jj /,
)(


,
)5470.07540.0376.18463.07442.0()( 4322
zzzzzzf  ,
* Mô hình theo T.G. Chondros, A.D. Dimarogonas và J. Yao [66] đưa ra:
haz
zfh
EA
K jj /,
)()1(2 2




,
),3552.92682.146123.13947.67
5685.317054.1092134.517248.06272.0()(
8765
4322
zzzz
zzzzzzf


* Mô hình theo R. Ruotolo và C. Surace [67] đã sử dụng công thức:
haz
zfh
EA
K jj /,
)()1(2 2




,
8765
432
7314.00368.15803.02055.1
0368.12381.09852.0)(
zzzz
zzzzf


.

15
2.1.2.2. Độ cứng lò xo thay thế đối với kết cấu dầm đàn hồi
Đối với dầm đàn hồi, độ cứng của lò xo đàn hồi tương đương Kj được tính
theo:
* Mô hình theo H. Liebowitz và Claus [68] là:
haz
zhf
EI
K jj /,
)(

109876
5432
56.6697.1431729.12681.76
226.37375.1695.386.1(346.5)(
zzzzz
zzzzzf


* Mô hình theo W.M. Ostachowicz và M. Krawczuk [69] đã đưa ra:
haz
zhf
EI
K jj /,
)(6


)4909.2332.7553.7
1773.57201.3035.16384.0()(
654
322
zzz
zzzzzf


* Mô hình theo T.G. Chondros [70] đã đưa ra:
haz
zfh
EI
K jj /,
)()1(6 2




109876
5432
6.197556.401063.470351.332948.20
9736.95948.404533.16272.0)(
zzzzz
zzzzzf


2.2. Dao động dọc trục của thanh đàn hồi có vết nứt
Như đã biết, dạng dao động riêng của thanh đàn hồi có các tham số (E, ρ, A,
L) được xác định từ phương trình:
./,/),1,0(,0)()( 00
2
 EccLxxx   (2.1)
Hình 2.2. Mô hình dao động dọc trục nhiều vết nứt với lò xo thay thế.

16
Giả sử trong thanh có n vết nứt tại các vị trí e1 , …, en với độ sâu tương ứng là
a1,…,an được mô tả bằng các lò xo dọc trục độ cứng Kj là hàm của độ sâu vết nứt aj
được đưa ra trong mục 2.1. Khi đó điều kiện tương thích tại các vết nứt là:
.,...,1),0()0()()]0()0([ njeEAeEAeEAeeLK jjjjjj 
hay:
.,...,1,/),()0()0(
);()0()0(
njLKEAeee
eee
jjjjjj
jjj



. (2.2)
Ngoài ra tại các biên 1,0  xx nghiệm phương trình (2.1) cần thỏa mãn các
điều kiện biên, viết ở dạng tổng quát là:
.0)1(;0)0( )()(
 qp
(2.3)
p,q là các bậc đạo hàm tương ứng;
với: p = q =1 cho hai đầu tự do;
p = q = 0 cho hai đầu cố định;
p = 0, q = 1 cho một đầu cố định một đầu tự do.
2.2.1. Phương pháp ma trận truyền
Ký hiệu nghiệm phương trình (2.1) trong đoạn
1,0;,...,1,0),,( 101   njj eenjee là )(xj , điều kiện (2.2) có thể viết lại thành:
.,...,1);()0()0(
);()0()0(
1
11
nmeee
eee
mjmmm
mmmmmmm



 
(2.4)
Do các hàm nmxm ,...,1),(  đều là nghiệm liên tục của phương trình (2.1),
chúng có thể biểu diễn ở dạng:
nmxxx mmm ...,,1,sinBcosA)(   . (2.5)
với các hằng số mm B,A được xác định như sau: Thay (2.5) vào (2.2) ta được mối
liên hệ truy hồi của các hằng số m11 B,A,B,A mmm 
).cosBsinAcosBsinA-
);cos1(B)sin1(AsinBcosA
11
11
mmmmmmmm
mmmmmmmmmm
eeee
eeee






(2.6)

17
Hệ phương trình cuối có thể viết ở dạng ma trận:






















1
1
2
2
B
A
cossin1sin
coscossin1
B
A
m
m
mmmmm
mmmmm
m
m
eee
eee


.
Từ biểu thức truy hồi trên ta có:
  











0
0
B
A
B
A
m
m
m
H .
hay:
nmHHHH mm
m
mm
m ,...,1;BAB;BAA 022021012011  . (2.7)
trong đó:
]2,1,),,...,,,...,,([... 1111   jieehH mmij
m
ijmmm TTTH ; (2.8)
nj
eee
eee
e
jjjjj
jjjjj
jjj ,...,1,
cossin1sin
coscossin1
),,( 2
2














TT . (2.9)
Dễ dàng nhận thấy ITH  00 và đối với thanh không bị nứt ta có
njj ,...,1,  IT hay:
nmmm ,...,1,BB,AA 00  .
Đưa vào các ký hiệu:
.
)(sin
)(;
)(cos
)(
;
)(sin
)(;
)(cos
)(
111111
000000














xq
q
qq
xq
q
qq
xp
p
pp
xp
p
pp
x
x
SS
x
x
CC
x
x
SS
x
x
CC








(2.10)
Thì điều kiện biên (2.3) có thể viết ở dạng:
0)(B)(A;0)(B)(A 110000   q
n
q
n
pp
SCSC . (2.11)
Thay An và Bn xác định từ phương trình (2.7) với m = n vào phương trình
cuối trong hệ (2.11) ta được:
0]B[]A[ 01221120121111  qnqnqnqn
SHCHSHCH .

18
sau đó kết hợp với phương trình đầu của hệ (2.11) ta sẽ có:
0
0
0
0
121111
122112
B
A
][
][



p
p
qnqn
qnqn
C
S
SHCH
SHCH
. (2.12)
và:
0)( 1022102110121011  qpnqpnqpnqpn
n SCHSSHCCHCSHD  . (2.13)
Đây chính là phương trình đặc trưng (hay còn gọi là phương trình tần số)
trong dao động dọc trục của thanh có n vết nứt bằng phương pháp ma trận
truyền.
Trong trường hợp thanh không bị nứt ta có 0;1 21122211  nnnn
HHHH , do đó
phương trình đặc trưng (2.12) trở thành:
0)( 10100  qpqp
SCCSD  . (2.14)
Giải các phương trình (2.13), (2.14) lần lượt ta được các trị riêng của dao
động dọc trục thanh bị nứt và không bị nứt là ,....3,2,1,, 0
kkk  . Như vậy, thay vì
xác định tất cả các hằng số mm B,A , m = 1,2,3,…n ta chỉ cần xác định hai hằng số
A0, B0 phụ thuộc nhau thông qua phương trình (2.12). Các hằng số này có thể chọn
từ điều kiện biên cho trước.
2.2.2. Nghiệm tổng quát tường minh
Ký hiệu )(xj là nghiệm phương trình (2.1) trong đoạn
1,0;1,...,1),,( 101   njj eenjee .
khi đó điều kiện (2.2) có thể được viết lại thành:
.......1);()0()0(
);()0()0(
1
1
njeee
eee
jjjjjjj
jjjjjj





(2.15)
Dễ dàng nhận tìm được ),(),( 11   jjj eexx biểu diễn ở dạng:
njexSxxx jjjjj ......1),()()()(1    . (2.16)

19
ở đó )(xj là nghiệm trong đoạn ),( 1 jj ee  tiếp tục mở rộng trong đoạn tiếp theo
),( 1jj ee






0cos
00
)(
xx
x
xS

(2.17)
Từ mối quan hệ (2.16) cho phép mô tả lời giải phương trình (2.1) thỏa mãn
điều kiện tương thích (2.2) và điều kiện biên bên trái cho ta nhận được:






 
n
j
jj exSxCx
1
00 )()()(  . (2.18)
ở đó C là hằng số tùy ý; )(0 x là nghiệm liên tục của phương trình (2.1) thỏa mãn
điều kiện biên tại x=0; các tham số vết nứt n ....1 được xác định từ:
njeee
j
k
kjkjjj ....1,)(sin)(
1
1
0 





 


 . (2.19)
Phương trình cuối cùng được sử dụng để tính toán vector chỉ số vết nứt
T
n ),......,( 1   theo các giá trị T
n ),......,( 1  
Đặt:
 njebB jjj ,...,1),(0   ;
  )(sin;
1
............
001
0001
21
21
kjkjk
nn
ees
ss
s
A 












  ; (2.20)
Kết hợp với điều kiện biên tại x=0; x=1
.0)1()1(;0)0()0( 1100   (2.21)
Với các hằng số 1010 ,,,  . Dễ dàng thấy phương trình (2.18) thỏa mãn
điều kiện đầu tiên của (2.21) với:
xxx  cossin)( 000  .
Do đó phương trình (2.18) có thể được viết ở dạng:

20






 
n
j
jj exSxxCx
1
000 )(cossin)(  . (2.22)
Thế phương trình (2.22) vào điều kiện thứ 2 của (2.21) dẫn đến:
  0)1(sin)1(cos 11
1
0 






 
jj
n
j
j eeDC  . (2.23)
ở đó  cos)(sin)()1()1( 01010
2
1001010 D . Để tồn tại
hằng số C không bằng 0 ta có:
  0)1(sin)1(cos)( 11
1
0 






 
jj
n
j
j eeDD  . (2.24)
Đây chính là phương trình đặc trưng của thanh có nhiều vết nứt. Trong
trường hợp thanh không nứt ta có phương trình đặc trưng tần số ở dạng:
0cos)(sin)( 01010
2
100  D . (2.25)
Giải phương trình (2.24) ta được các trị riêng ,...., 21  từ đó cho phép tính
được các tần số riêng và dạng riêng dao động tương ứng:
 /)/( ELkk  ;
....3,2,1)(cossin)(
1
00 





 
kexSxxCx
n
j
jjkkkkk  (2.26)
Xem xét các trường hợp điều kiện biên cổ điển sau đây:
Trường hợp 1. Giả sử thanh bị cố định đầu trái (x=0) và tự do đầu phải
(x=1), khi đó ta có 1,0;0,1 1100   xxL sin)(0  và p = 1. Do đó phương
trình (2.24) có dạng:
0)1(sincos
1
 
n
j
jj e .
Trường hợp 2. Thanh có hai đầu cố định, khi đó ta có:
0,1;0,1 1100   và do đó phương trình (2.24) có dạng:
0)1(cossin
1
 
n
j
jj e .

21
Trường hợp 3. Thanh có hai đầu tự do, lúc này ta có:
1,0;1,0 1100   khi đó phương trình (2.24) đưa về dạng:
0)1(sinsin
1
 
n
j
jj e .
2.2.3. Hàm đáp ứng tần số dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt
2.2.3.1. Cơ sở lý thuyết
Bây giờ ta xét bài toán dao động cưỡng bức của thanh bị nứt được mô tả
bằng phương trình:
.10,/),()()()( 00000
2
  xEFLaxxaQxx 
Dễ dàng nhận thấy, nghiệm tổng quát của phương trình trên có dạng:
.)()()(),(),(
0
0000  
x
dsxssxhaQxx  (2.27)
trong đó ),(0 x là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2.1) và:
.sin)/1()( xxh  . (2.28)
Tính tích phân bên phải phương trình (2.27) ta được:
).(sin]/)([),()()(),(),( 00000000 xxaQxxxhaQxx   (2.29)
Sử dụng biểu thức (2.18) của nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất (2.1)
ta có:
).()()]()([),( 000
1
0 xxhaQexKxLCx
n
j
jj  

Và sau đó áp điều kiện biên bên phải cho nghiệm này ta được:
.0)1()(])1()1([)1( 0
)(
00
1
)()(
0
)(
 
xhaQeSLC p
n
j
j
p
j
pp

Từ phương trình cuối ta tìm được hằng số tích phân C bằng:
.])1()1()[1()( 1
1
)()(
00
)(
00


 
n
j
j
p
j
pp
eKLxhaQC 

22
Như vậy cuối cùng ta được:
.
)1()1(
)]()()[1(
)()(),(
1
)()(
0
1
00
)(
000



















n
j
j
p
j
p
n
j
jj
p
eKL
exKxLxh
xxhaQx


 (2.30)
Sử dụng công thức (2.30) ta được biểu thức tổng quát của hàm đáp ứng tần
số )(/),(),,( 00  QxxxFRF  như sau:
.
)1()1(
)]()()[1(
)(),,(),,(
1
)()(
0
1
00
)(
0000



















n
j
j
p
j
p
n
j
jj
p
eKL
exKxLxh
xxhaxxHxxFRF


 (2.31)
Xét một số trường hợp đặc biệt sau đây:
Trường hợp 1: Xét một thanh có đầu trái cố định và đầu phải tự do, khi ấy hàm đáp
ứng tần số (2.31) có dạng:
.
)]1(sin[cos
)]()[sin1(cos
)(sin),,(),,(
1
1
0
0
0
00



















n
j
jj
n
j
jj
e
exKxx
xx
a
xxHxxFRF




 (2.32)
Nếu điểm đo và điểm đặt lực trùng nhau và tại đầu phải, hàm đáp ứng tần số
bằng:
.
cos)1(sin
sin)1(cos
)/()(),1,1(),,(
1
1
0110






 n
j
jj
n
j
jj
e
e
aHHxxFRF


 (2.33)
với:
.,...,1)],(sin[cos
1
1
njeee kj
j
k
kjjj  


 (2.34)
Trường hợp 2: thanh có hai đầu tự do ta có:
.
)]1(sin[sin
)]()[cos1(cos
)(sin),,(),,(
1
1
0
0
0
00



















n
j
jj
n
j
jj
e
exKxx
xx
a
xxHxxFRF




 (2.35)

23
và nếu điểm đặt lực ở đầu bên trái và điểm đo ở đầu bên phải của thanh ta được:
.
)1(sinsin
cos1
)/()(),0,1(),,(
1
1
0010






 n
j
jj
n
j
jj
e
e
aHHxxFRF


 (2.36)
với:
.,...,1)],(sin[sin
1
1
njeee kj
j
k
kjjj  


 (2.37)
2.2.3.2. Kết quả tính toán số
Trong mục này trình bày một số kết quả phân tích số về hàm đáp ứng tần số
trong dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt. Xét hàm đáp ứng tần số trong
lân cận của tần số riêng thứ nhất và thứ hai, ký hiệu là FRF1 và FRF2. Ảnh hưởng
của vị trí vết nứt đến các hàm đáp ứng tần số nêu trên được trình bày các hình vẽ
2.3-2.12 cho thanh hai đầu tự do và hình vẽ 2.13-2.16 cho thanh cố định một đầu.
Đồ thị trên các hình vẽ biểu thị sự thay đổi của mô đun các hàm đáp ứng nêu theo vị
trí và độ sâu một hay nhiều vết nứt.
đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%).

24
đầu tự do (độ sâu vết nứt 30%).
do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35.

25
do. Vị trí vết nứt thứ nhất cố định tại 0.35.
nứt thứ nhất bằng 30%.

26
nứt thứ nhất bằng 30%.
do. Vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65, độ sâu các vết nứt 30%.

27
do. Vết nứt thứ nhất và thứ hai cố định tại 0.35 và 0.65, độ sâu các vết nứt là 30%.
của thanh hai đầu tự do.

28
của thanh hai đầu tự do.
Các Hình 2.3 đến Hình 2.12 ở trên đã chỉ ra rằng sự thay đổi hàm đáp ứng tần
số do vết nứt phụ thuộc rất nhiều vào sự thay đổi của tần số riêng do vết nứt. Cụ
thể, vết nứt tại giữa thanh có hai đầu tự do làm thay đổi lớn nhất hàm FRF1 và sự
thay đổi này giảm dần khi vết nứt di chuyển về hai phía biên tự do. Trong khi đó
hàm FRF2 không thay đổi khi vết nứt nằm ở giữa thanh (vì tần số thứ hai không
thay đổi khi vết nứt xuất hiện ở giữa thanh), nhưng lại thay đổi nhiều khi vết nứt tại
vị trí 1/4 và 3/4 chiều dài thanh. Ngoài ra, đối với các thanh có điều kiện biên đối
xứng thì các vết nứt đối xứng qua tâm cũng ảnh hưởng như nhau đến hàm đáp ứng
tần số. Điều này có thể dẫn đến tính không duy nhất nghiệm của bài toán chẩn đoán
vết nứt sử dụng hàm đáp ứng tần số áp dụng cho các thanh có điều kiện biên đối
xứng. Sự thay đổi hảm đáp ứng tần số do vết nứt là lớn nhất trong lân cận của tần số
cộng hưởng chính (cũng có tính cộng hưởng cùng với tần số). Nhưng hàm FRF2
còn có thể nhận sự thay đổi lớn ở một tần số khác với tần số cộng hưởng khi vết nứt
ở các vị trí 1/4 và 3/4. Giữa hai đỉnh của hàm đáp ứng tần số luôn tồn tại một cực
tiểu cục bộ.
Ảnh hưởng của hai vết nứt lên hàm đáp ứng tần số được đặc trưng bởi hàm
FRF1 cũng có hai đỉnh khác nhau (Hình 2.5 và 2.7) trong khi trường hợp một vết

29
nứt hàm FRF1 chỉ có một đỉnh (nhưng tương đối tù chứ không nhọn). Đối với hàm
FRF2 vẫn có hai đỉnh, nhưng khoảng cách giữa hai đỉnh tăng lên khi độ sâu vết nứt
tăng. Điều này cho thấy vết nứt làm xuất hiện các đỉnh phụ của hàm đáp ứng tần số,
tức là làm xuất hiện các đỉnh cộng hưởng mới.
Đối với thanh một đầu cố định (Hình 2.13-2.16), không xuất hiện hiệu ứng đối
xứng như thanh hai đầu tự do và ảnh hưởng của vết nứt càng lớn khi vị trí vết nứt
càng gần với đầu ngàm của thanh.
thanh cố định một đầu.
thanh cố định một đầu.

30
của thanh cố định một đầu.
của thanh cố định một đầu.

31
Tóm lại, kết thúc mục này ta có thể đưa ra mấy nhận xét sau đây:
 Sự thay đổi hàm đáp ứng tần số tương tự như sự thay đổi của tần số cộng
hưởng do vết nứt. Tuy nhiên vì hàm đáp ứng tần số là một đặc trưng hàm phụ thuộc
tần số, nên bức tranh thay đổi hàm đáp ứng tần số do vết nứt cung cấp nhiều thông
tin hơn tần số cộng hưởng chỉ là một giá trị số cố định;
 Một vết nứt nhỏ trong thanh khó có thể phát hiện bằng hàm đáp ứng tần số và
rất có thể bài toán chẩn đoán vết nứt sẽ không có nghiệm duy nhất, đặc biệt là với
thanh có điều kiện biên đối xứng;
 Tuy nhiên, việc xuất hiện các đỉnh mới trong biểu đồ hàm đáp ứng tần số
cũng là một gợi ý để chẩn đoán hai, ba vết nứt hay nhiều hơn. Khoảng cách giữa
các đỉnh mới cũng là những dấu hiệu để chẩn đoán đa vết nứt trong thanh;
2.3. Dao động uốn của dầm đàn hồi có vết nứt
Hình 2.17. Mô hình dầm đàn hồi chứa vết nứt.

32
Xét một dầm đàn hồi đồng chất có môđun đàn hồi E, mật độ khối ρ, chiều
dài 1, diện tích mặt cắt ngang A và mô men quán tính mặt cắt ngang đối với trụng z
I.
Bài toán dao động riêng của dầm này có nhiều vết nứt tại các vị trí
njej ,...,1,  sao cho 1...0 111  nn eeee  chính là việc giải phương trình
vi phân cấp 4:
).1,0(,0)()( 4)(
 xxxIV
 (2.38)
trong đó:
.
42
4
EI
LA
  (2.39)
Đối với tần số và dạng riêng )(, x thỏa mãn điều biên tại hai đầu
1,0  xx và điều kiện tương thích tại các vết nứt:
Chuyển vị bên trái vết nứt bằng chuyển vị bên phải vết nứt:
);0()0(  jj ee (2.40)
Mô men bên trái vết nứt bằng mô men bên phải vết nứt:
);0()0(    jj ee (2.41)
Lực cắt bên trái vết nứt bằng lực cắt bên phải vết nứt:
);0()0(    jj ee (2.42)
Độ lệch góc xoay xác định như sau:
).0()0()0(   jjjj eee  (2.43)
trong đó:
.
j
j
LK
EI
 (2.44)
Kj được xác định từ công thức thực nghiệm, ta chọn theo ba mô hình đã được
đưa ra trong mục 2.1:

33
2.3.1. Phương pháp ma trận truyền
Ký hiệu njxj ,...,0),(  là nghiệm của phương trình (2.38) trong đoạn
),( 1jj ee với 1,0 10  nee , từ điều kiện (2.40)…(2.43) ta có:
.,...,1),()()(
);()();()();()(
11
111
njeee
eeeeee
jjjjjjj
jjjjjjjjjjjj

  



(2.45)
Như ta đã biết, nghiệm tổng quát của phương trình (2.38) trong ),( 1jj ee ,
)(xj có thể biểu diễn ở dạng:
njxxxxx jjjjj ,...,0;sinhDcoshCsinBcosA)(   . (2.46)
Thay (2.46) vào (2.45) ta được:
;sinhDcoshCsinBcosA
sinhDcoshCsinBcosA
1111 jjjjjjjj
jjjjjjjj
eeee
eeee


 

;sinhDcoshCsinBcosA
sinhDcoshCsinBcosA
1111 jjjjjjjj
jjjjjjjj
eeee
eeee


 

;coshDsinhCcosBsinA
coshDsinhCcosBsinA
1111 jjjjjjjj
jjjjjjjj
eeee
eeee


 

(2.47)
);sinh(coshD)cosh(sinhC
)sin(cosB)cos(sinA
coshDsinhCcosBsinA
11
11
jjjjjjjj
jjjjjjjj
jjjjjjjj
eeee
eeee
eeee








Sử dụng các ký hiệu:


















jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
j
eeee
eeee
eeee
eeee




coshsinhcossin
sinhcoshsincos
coshsinhcossin
sinhcoshsincos
L ;

















jjjj
jjjj
jjjj
j
eeee
eeee
RRRR
eeee



coshsinhcossin
sinhcoshsincos
sinhcoshsincos
24232221
R ;

34
).sinh(cosh);cosh(sinh
);sin(cos;cossin
2423
2221
jjjjjj
jjjjj
eeReeR
eeReeR




]4,3,2,1,;[1
 
qpH j
pqjjj RLH ,
Các phương trình (2.47) cho ta mối quan hệ giữa các hằng số A, B, C, D như
sau:












































1-j
1-j
1-j
1-j
44434241
34333231
24232221
14131211
j
j
j
j
D
C
B
A
D
C
B
A
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
HHHH
HHHH
HHHH
HHHH
(2.48)
Cho chỉ số j trong (2.38) chạy từ 1 đến m ta được:












































0
0
0
0
44434241
34333231
24232221
14131211
D
C
B
A
D
C
B
A
mmmm
mmmm
mmmm
mmmm
m
m
m
m
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
, (2.49)
Trong đó nmqpT m
pqmmm ,...,1];4,...,1,;[11   HHHT với IHT  00 .
Điều kiện biên có thể biểu diễn tổng quát như sau:
    0D,C,B,A][;0D,C,B,A][ 100000 
T
nnnn
T
EE ; (2.50)












 1
24
1
23
1
22
1
21
1
14
1
13
1
12
1
11
10
24
0
23
0
22
0
21
0
14
0
13
0
12
0
11
0 ][;][
EEEE
EEEE
EEEE
EEEE
EE .
Sử dụng phương trình (2.49) phương trình thứ hai trong (2.50) có thể viết
thành:
  0D,C,B,A][ 00001 
T
nTE .
Cùng với phương trình đầu trong (2.50) ta nhận được:
0
D
C
B
A
0
0
0
0
4
1
4
1
2
4
1
3
1
2
4
1
2
1
2
4
1
1
1
2
4
1
4
1
1
4
1
3
1
1
4
1
2
1
1
4
1
1
1
1
0
24
0
23
0
22
0
21
0
14
0
13
0
12
0
11






































j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
TETETETE
TETETETE
EEEE
EEEE
. (2.51)

35
Để tồn tại các hằng số  T
0000 DCBA không đồng thời bằng 0, cần thỏa
mãn phương trình:
0det),,(
4
1
4
1
2
4
1
3
1
2
4
1
2
1
2
4
1
1
1
2
4
1
4
1
1
4
1
3
1
1
4
1
2
1
1
4
1
1
1
1
0
24
0
23
0
22
0
21
0
14
0
13
0
12
0
11
























j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
j
n
jj
TETETETE
TETETETE
EEEE
EEEE
f γe ; (2.52)
T
n
T
nee ),...,(;),...,( 11  γe .
Đây chính là phương trình tần số nhận được bằng phương pháp ma trận
truyền. Các nghiệm dương của phương trình (2.52) cho ta các trị riêng
,...3,2,1, kk của dầm có nhiều vết nứt. Với mỗi trị riêng tìm được ta sẽ có một
nghiệm của phương trình (2.51) chứa một hằng số tùy ý và do đó theo công thức
(2.49) ta có thể tính được các hằng số Am, Bm, Cm, Dm để biểu diễn dạng dao động
riêng trong đoạn bất kỳ ),( 1jj ee theo công thức (2.46).
2.3.2. Nghiệm tổng quát tường minh
Để giải bài toán này ta chia dầm thành 1n đoạn
1,0,1,...,1),,( 101   njj eenjee và xét phương trình (2.38) trong từng đoạn
).,(,0)()( 1
4)(
jjj
IV
j eexxx   (2.53)
Đối với dạng riêng trên đoạn này được ký hiệu là )(xj . Dễ dàng nhận thấy
nghiệm tổng quát của phương trình (2.53) có dạng:
).()()()()( 44332211 xLCxLCxLCxLCx jjjjj  (2.54)
với các hằng số tích phân C1, C2, C3, C4 được xác định từ các điều kiện biên ở hai
đầu dầm và các hàm )(),(),(),( 4321 xLxLxLxL jjjj được gọi là các hàm dạng và là tổ
hợp tuyến tính của các hàm xxxx  cosh,sinh,cos,sin thỏa mãn phương trình
(2.38) và (2.53). Để thỏa mãn điều kiện tại các vị trí vết nứt, các hàm
1,...,1),(  njxj có mối liên hệ:

36
.),()()()( 11    jjjjjjjj exeexSexx  (2.55)
trong đó:
 2/)sin(sinh)( xxxS  . (2.56)
Thay (2.54) vào (2.55) ta được:
)].()()([)]()()([
)]()()([)]()()([)(
444333
2221111
jjjjjjjjjj
jjjjjjjjjjj
exSeLxLCexSeLxLC
exSeLxLCexSeLxLCx

 


và do đó:
4,3,2,1),()()()(1,  kexSxLxLxL jjkjjkjjk  . (2.57)
Dễ dàng nhận được:
.4,3,2,1),()()()( ,
1
1,,  

kexSxLxLxL iiik
j
i
ikjk  (2.58)
Đặt:
.1...1;4,3,2,1);(,  jikxL iikiki  (2.59)
Ta được:
.1,...,1;4,3,2,1),()()(
1
1
1  


njkexSxLxL i
j
i
kikkj  (2.60)
Từ phương trình (2.59) và (2.60) ta nhận được:
.4,3,2,1,)()(
1
1
,1,, 





 


keeSeL ij
j
i
ikjkjjk  (2.61)
và
2/)sin(sinh)( xxxS   .
Với j=1 ta có:
  .4,3,2,1,)( 11,11,  keLkk 
Với j=2 ta có:
  ;4,3,2,1,)()( 121,21,22,  keeSeL kkk 

37
  .4,3,2,1,)()( 21,22,1221,  keLeeS kkk 
Với j=3 ta có:
  ;4,3,2,1,)()()( 232,131,31,33,  keeSeeSeL kkkk 
  .4,3,2,1,)()()( 31,33,2332,1331,  keLeeSeeS kkkk 
Như vậy (2.61) có thể viết ở dạng ma trận:
}.{
)(
.
.
)(
)(
)(
.
.
1
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
0...1
0...01
0...001
}]{A[
1
313
212
111
3
2
1
321
3231
21
k
nkn
k
k
k
kn
k
k
k
nnn
k b
eL
eL
eL
eL
aaa
aa
a





































































 (2.62)
trong đó:
],...,1,,0,),(,1:[]A[ njjiajieeSaaa jiijjjijjji   ,
T
nknkk eLeLb )}(),..,({}{ 1111  là véctơ vế phải và véctơ ẩn là
T
knkk },...,{}{ 1   . Do định thức 1]det[ A nghiệm của phương trình (2.62) có thể
viết ở dạng:
4,3,2,1},{]A[}{ 1
 
kbkk . (2.63)
Ba thành phần đầu tiên của véctơ nghiệm }{ k có thể viết ra là:
)}.()()(
)()()()()({
)];()()([
);(
122311123
1311132321233133
1211212122
1111
eeSeeSeL
eeSeLeeSeLeL
eeSeLeL
eL
k
kkkk
kkk
kk








(2.64)
Thông thường sau khi áp các điều kiện biên cổ điển tại x = 0 ta có thể nhận
dạng riêng trên đoạn đầu tiên ),0( 1e ở dạng )()()( 211 xDLxCLx  với hai hàm đã
biêt )(),( 21 xLxL (sẽ được xác định sau) cùng thỏa mãn điều kiện biên tại x = 0. Do
đó:
.1,...,1),()()( 21  njxDLxCLx jjj (2.65)

38
với:
).()()(
),()()(
1
1
222
1
1
111
i
j
i
ij
i
j
i
ij
exSxLxL
exSxLxL










(2.66)
và các tham số njjj ,...,1,, 21  , được biểu diễn ở dạng:
njeeSeL
eeSeL
ij
j
i
ijjj
ij
j
i
ijjj
,...,1)],()([
)],()([
1
1
222
1
1
111










(2.67)
T
nn eLeLb )}(),..,({}{ 11111
  , T
nn eLeLb )}(),..,({}{ 21212
  .
Đưa vào hàm số:
.2/)sin(sinh)(;
0khi,0
0khi),(
)(  xxxS
x
xxS
xK 





 (2.68)
ta có thể viết dạng dao động riêng một cách tổng quát như sau:
)}.1,0[)],()({[)( 21  xxDxCx (2.69)
trong đó:
).()()(
);()()(
1
222
1
111
j
n
i
j
j
n
j
i
exKxLx
exKxLx








. (2.70)
Các hằng số tích phân C, D sẽ được xác định từ điều kiện biên tại đầu phải
của dầm tại x=1.
.0)1()1(
;0)1()1(
)(
2
)(
1
)(
2
)(
1


qq
pp
DC
DC
(2.71)
trong đó )(),( )(
2
)(
1 xx pp
 , )(),( )(
2
)(
1 xx qq
 là các đạo hàm cấp p và q của các hàm
)(),( 21 xx  với p và q có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 phụ thuộc vào điều kiện
biên thực tế ở đầu phải.

39
Từ phương trình (2.71), để tồn tại các hằng số C, D không đồng thời bằng 0,
ta có phương trình :
0)1()1()1()1( )(
2
)(
1
)(
2
)(
1  pqqp
. (2.72)
Hay .0)(),(),()(
1,
1221
1
12
1
210   
n
kj
kj
n
j
jj
n
j
jj DeDeDD  (2.73)
trong đó:
).,1(),1(),1(),1(),,(
);,1(),1(),1(),1(),(
);,1(),1(),1(),1(),(
);,1(),1(),1(),1()(
)()()()(
12
)()(
2
)()(
22
)()(
1
)()(
11
)(
2
)(
1
)(
2
)(
10




k
p
j
q
k
q
j
p
kj
j
qp
j
pq
j
j
qq
j
qp
j
pqqp
eSeSeSeSeeD
eSLeSLeD
eSLeSLeD
LLLLD




(2.74)
Đây là dạng hiển của phương trình đặc trưng (hay còn gọi là phương trình
tần số) tổng quát của dầm có nhiều vết nứt khá đơn giản và thuận tiện so với các
phương trình đã nhận được trong Caddemi [71] (2009).
Phương trình này bao hàm tất cả các phương trình đã nhận được từ trước đến
nay cho các dầm côngxôn, gối tựa đơn, ngàm hai đầu hay tự do hai đầu. Nghiệm
của phương trình (2.73) sẽ cho ta các trị riêng ,...)3,2,1,( kk phụ thuộc vào các
tham số vết nứt ),,...,,( 11 nn aeae và do đó cho phép ta nghiên cứu tần số riêng của
dầm có nhiều vết nứt.
Bảng 2. 1: Các hàm biên và các chỉ số đạo hàm trong điều kiện biên
Điều kiện biên của
dầm
),(1 xL ),(2 xL p q
Ngàm cứng hai đầu )sin()sinh( xx   )cos()cosh( xx   0 1
Tự do hai đầu )sin()sinh( xx   )cos()cosh( xx   2 3
Gối tựa đơn hai đầu )sin( x )sinh( x 0 2
Công xôn )sin()sinh( xx   )cos()cosh( xx   2 3

Luận án: Chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm đàn hồi bằng hàm

Luận án: Chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm đàn hồi bằng hàm

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Luận án: Chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm đàn hồi bằng hàm

Similar to Luận án: Chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm đàn hồi bằng hàm (20)

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864

More from Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Luận án: Chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm đàn hồi bằng hàm