Giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng bất đẳng thức. http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn/

1. DT: 0936 – 128 - 126 http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Sử Dụng Bất Đẳng Thức Tìm Nghiệm Nguyên
Ví Dụ 1: Giải phương trình sau trên tập số nguyên:
x2 – 6xy + 13y2 = 100
Giải
Viết phương trình đã cho dưới dạng:
(x – 3y)2 = 4(25 – y2) (1)
Từ (1) suy ra: y2 ≤ 25 và 25 – y2 là số chính phương. Do đó:
y2 ∈ {0; 9; 16; 25} hay y ∈ {0; ±3; ±4; ±5}
Từ đó ta tìm được các nghiệm: (-10, 0); (17, 3); (1, 3); (-17, -3); (-1, -3); (6, 4);
(18, 4); (-18, -4); (-6, -4); (15, 5); (-15, -5).
Ví Dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
𝑦𝑧
𝑥
+
𝑥𝑧
𝑦
+
𝑥𝑦
𝑧
= 3
Giải
Điều kiện: x, y, z # 0. Từ phương trình đã cho ta có:
y2z2 + x2z2 + x2y2 = 3xyz.
Suy ra: xyz > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-Sita có:
y2z2 + x2z2 + x2y2 ≥ 3√ 𝑥4 𝑦4 𝑧43
.
Từ đó ta có:3xyz ≥ 3√ 𝑥4 𝑦4 𝑧43
hay 𝑥𝑦𝑧 ≤ 1. Do xyz > 0 nên xyz = 1.
Từ đó ta có các nghiệm: (1, 1, 1); (1, -1, - 1); (-1, -1, 1); (-1, 1, -1)
Ví Dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
y2 = 1 + x + x2 + x3 + x4.

2. DT: 0936 – 128 - 126 http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Giải
Với x = 0 thì y = 1 hoặc y = -1. Xét x # 0. Từ phương trình đã cho ta có:
4y2 = (2x2 + x)2 + 3x2 + 4x + 4 > (2x2 + x)2
Hơn nữa: 4y2 = (2x2 + x + 2)2 - 5x2 < (2x2 + x + 2)2.
Suy ra: (2x2 + x)2 < 4y2 < (2x2 + x + 2)2
Do đó, ta có:4y2 = (2x2 + x + 1)2
Hay 4(1 + x + x2 + x3 + x4) = (2x2 + x + 1)2
Giải phương trình này ta được:x = -1 hoặc x = 3.
Từ đó ta được các nghiệm của phương trình là:
(0, -1); (0, 1); (-1, 1); (-1, -1); (3, 11); (3, -11)
Ví Dụ 4: Giải phương trình sau trong tập các số nguyên:
y3 = 1 + x + x2 + x3.
Giải
Từ phương trình đã cho ta có: x3 < y3 < (x + 2)3
Suy ra: y3 = (x + 1)3 hay 1 +x + x2 + x3 = (x + 1)3.
Từ đó ta có:x = 0 hoặc x = -1.
Ta có các nghiệm của phương trình: (0, 1); (-1, 0)
Ví Dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt
Giải
Vì vai trò của x, y, z, t là như nhau nên có thể giải sử: 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 ≥ 𝑡.
Khi đó:2xyzt = 5(x + y + z + t) + 10 ≤ 20𝑥 + 10
Suy ra: 𝑦𝑧𝑡 ≤ 15 → 𝑡3
≤ 15 → 𝑡 ≤ 2.

3. DT: 0936 – 128 - 126 http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Với t = 1 thì 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15𝑥 + 15
Suy ra: 2yz ≤ 30 → 2𝑧2
≤ 30 → 𝑧 ≤ 3
Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay
(2x - 5)(2y - 5) = 65.
Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là: (35; 3), (9; 5)
Giải tương tự những trường hợp còn lại và trường hợp t = 2. Cuối cùng ta được
nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là:
(35; 3; 1; 1), (9; 5; 1; 1Type equation here.)