Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Метод Й. Виттенбурга

2,427 views

Published on

Описывается метод формирования уравнений движения систем твердых тел со сферическими шарнирами, разработанный Й. Виттенбургом / Wittenburg's method for building equations of multibody systems with spherical joints is described.

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Метод Й. Виттенбурга

  1. 1. Системы со сферическими шарнирами (Прямой метод Й. Виттенбурга) Кафедра теоретической механики yudintsev@termech.ru Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) 23 марта 2012 г.
  2. 2. Свойства методаМетод Й. Виттенбурга Й. Виттенбург Динамика систем твердых тел. М.: Мир, 1980. Для записи уравнений используются шарнирные координаты. В уравнения движения не входят реакции связей. Формируется матрица масс системы. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 2 / 34
  3. 3. Структура механической системы Теория графовОпределенияГрафГраф G(S, U ) – это совокупность двух множеств - не пустогомножества S (множества вершин) и множества U неупорядоченныхпар различных элементов множества S (множество ребер или дуг). s4 s7 s2 u4 u6 u2 s3 u5 s6 s1 u3 u1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 3 / 34
  4. 4. Структура механической системы Теория графовОпределенияИнцидентностьПусть s1 , s2 - вершины, u = (s1 , s2 ) - соединяющее их ребро. Тогдавершина s1 и ребро u инцидентные, вершина s2 и ребро u такжеинцидентные.Смежность вершин и дугДва ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; двевершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 4 / 34
  5. 5. Структура механической системы Теория графовОпределенияОриентированный графГраф с ориентированными дугами (указано направление дуг).МаршрутЧередующаяся последовательность вершин и ребер, в которой любыедва соседних элемента инцидентные.ЦепьМаршрут у которого все ребра различны.Простая цепьМаршрут у которого все вершины (следовательно и ребра) различны Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 5 / 34
  6. 6. Структура механической системы Теория графовОпределенияСвязанность вершинДве вершины в графе связаны, если существует соединяющая ихпростая цепь.Связанный графГраф, в котором все вершины связаныЦиклЗамкнутая цепь Замкнутая простая цепь называется простым циклом.Ациклический графГраф без циклов называется ациклическим.ДеревоСвязанный ациклический граф. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 6 / 34
  7. 7. Структура механической системы Описание структурыСтруктура механической системы Вершины: s0 , s1 , . . . , sn – тела; Дуги: u1 , u2 , . . . , um – шарниры; s4 s7 s2 u4 u6 u2 s3 u5 s6 s1 u3 u1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 7 / 34
  8. 8. Структура механической системы Описание структурыФункции i+ (α), i− (α)i+ (α) – индекс тела из которого дуга α выходитi− (α) – индекс тела в которое дуга α входит s4 s7 s2 u4 i+ (1) = 0, i+ (2) = 1 u6 i− (1) = 1, i− (2) = 2 u2 s3 u5 i+ (3) = 0, i+ (4) = 3 s6 i− (3) = 3, i− (4) = 4 s1 u3 ... u1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 8 / 34
  9. 9. Структура механической системы Описание структурыМатрица инцидентности S  +1 : k = i+ (α) s4 Skα = −1 : k = i− (α) 0 : k = i− (α), k = i+ (α) s2 u4  S0 = +1 0 0 0 u2 s3   u3 −1 1 1 0  0 −1 0 0 s1 S=  u1 0 0 −1 1  0 0 0 −1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 9 / 34
  10. 10. Структура механической системы Описание структурыПредшествующая дуга и вершинаПредшествующая дугаДуга, предшествующая вершине sk (k = 0) – дуга, принадлежащаяпути между s0 и sk и которая инцидентна sk .Предшествующая вершинаВершина, предшествующая вершине sk (k = 0) – вершина, котораясвязана с sk дугой, предшествующей sk . Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 10 / 34
  11. 11. Структура механической системы Описание структурыМатрица T   +1 : α ∈ пути от si к s0 и направлена к s0 Tαk = −1 : α ∈ пути от si к s0 и направлена от s0 0 : α не лежит на пути от si к s0  s2  −1 −1 −1 −1  s4  0 −1 0 0 u2 s3 u4 T=  u3 0 0 −1 −1 0 0 0 −1 s1 u1 s0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 11 / 34
  12. 12. Структура механической системы Описание структурыСвойства матриц S, T ST = E TT ST = −1n 0Правильная нумерация графа со структурой дерева для всех вершин sk (k = 0) номер дуги, предшествующей sk , равен k; номер вершины, предшествующей sk , меньше k. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 12 / 34
  13. 13. Уравнения движенияУравнения движения центра масс n mi ¨i = Fi + r Sia Xc , a i = 1, . . . , n, a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 13 / 34
  14. 14. Уравнения движенияУравнения движения вокруг центра масс n ˙ Li = Mi + Sia (cia × Xc + Ya ), i = 1, . . . , n, a a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 14 / 34
  15. 15. Уравнения движенияМатричная форма  n  mi ¨i = Fi +  r Sia Xc , i = 1, . . . , n    a a=1 n (1)  ˙  Li = Mi +   Sia (cia × Xc a + Ya ), i = 1, . . . , n. a=1r = [r1 , r2 , . . . rn ]T , L = [L1 , L2 , . . . Ln ]T , F = [F1 , F2 , . . . Fn ]T ,Xc = [Xc , Xc , . . . Xc ]T , Y = [Y1 , Y2 , . . . Yn ]T , M = [M1 , M2 , . . . Mn ]T 1 2 n m¨ = F + SXc , r ˙ L = M + C × Xc + SYC – (n × n) матрица с элементами: Cia = Sia cia , i, a = 1, . . . , n. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 15 / 34
  16. 16. Уравнения движения m¨ = F + SXc , r ˙ L = M + C × Xc + SYУмножив 1 уравнение слева на T = S−1 , можно выразить силыреакции Xc Xc = T(m¨ − F). xи исключить их из второго уравнения: ˙ L − CT × (m¨ − F) = M + SY r Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 16 / 34
  17. 17. Кинематика относительного движенияКинематика относительного движения тел ˙ L − CT × (m¨ − F) = M + SY r r ˙ ˙Между ¨i и ω i , которые входят в L, есть связь, определяемаякинематикой относительного движения тел в системе. n n ri = r0 − dji , dji = Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n. j=1 a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 17 / 34
  18. 18. Кинематика относительного движения (ri+ (a) + ci+ (a)a ) − (ri− (a) + ci− (a)a ) = 0, a = 1, . . . , n. (2)Полагаем, что c0a = 0 для всех a = 1, . . . , n n Sia (ri + cia ) = 0, a = 1, . . . , n. (3) i=0 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 18 / 34
  19. 19. Кинематика относительного движения n S0a r0 + (Sia ri + Cia ) = 0, a = 1, . . . , n, (4) i=1Матричная форма r0 ST + ST r + CT 1n = 0. 0 (5)Умножив (5) слева на TT : r = r0 1n − (CT)T 1n . (6)dij – элементы матрицы CT: n dij = (CT)ij = Taj Sia cia , i, j = 1, . . . , n . (7) a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 19 / 34
  20. 20. Кинематика относительного движения n dji = Tai Sja cja , i, j = 1, . . . , n. (8) a=1Произведения Tai Sja отличны от нуля только для тех дуг ua , которыепринадлежат пути между s0 и si (Tai = 0) и которые инцидентны sj(sja = 0). Необходимо различать три случая: 1 sj не лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае ни одна из дуг не вносит вклад в сумму (8) и, следовательно, dij = 0; 2 sj лежит на пути от тела 0 к телу si - в этом случае вклад в сумму (8) вносят две дуги, обозначим их индексами b и c, и следовательно dij = cjb − cjc , поскольку Tbi Sjb = +1, Ti Sj = −1, где b - индекс дуги ub , предшествующей вершине si ; 3 sj и si - одно тело, в этом случае только дуга ub , предшествующая si , дает вклад в сумму и, следовательно, dij = cib . Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 20 / 34
  21. 21. Кинематика относительного движенияПодставим в уравнение движения ˙ L − CT × (m¨ − F) = M + SY rвторую производную по времени от r: ¨ ¨ = ¨0 1n − (CT)T 1n . r r ˙ ¨ L − CT × m(CT)T 1n − (CT) × (¨0 m1n − F) = M + SY. r (9) ¨gij – элементы матрицы (CT) × m(CT)T : n gij = ¨ mk dik × djk , i, j = 1, . . . , n. (10) k=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 21 / 34
  22. 22. Кинематика относительного движения n gij = ¨ mk dik × djk , i, j = 1, . . . , n. (11) k=1Будем различать случаи: 1 i = j; 2 s лежит на пути от тела j к телу 0 ⇒ для i ∀sk : si < sk < sj , dik = dij ; 3 s лежит на пути от тела i к телу 0 ⇒ для j ∀sk : sj < sk < si , djk = dji ; 4 все прочие случаи.Выражение для gij можно переписать в следующем виде:   n mk dik × dik , si = sj  k=1 ¨  d × n m d , s < s  ¨ ij k=1 k jk i j gij = n (12)  k=1 mk dik × d  ¨ ji , sj < si   0 в других случаях. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 22 / 34
  23. 23. Дополненное тело. Барицентр.Дополненное тело Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 23 / 34
  24. 24. Дополненное тело. Барицентр.Барицентр Барицентр тела i – центр масс дополненного тела Bi Векторы bij удовлетворяют уравнениям n bij mj = 0, i = 1, . . . , n. (13) j=1 Векторы bij и dij связаны соотношением dij = bi0 −bij , i, j = 1, . . . , n. (14) Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 24 / 34
  25. 25. Дополненное тело. Барицентр.Используя dij = bi0 − bij , i, j = 1, . . . , n.    n mk dik × dik ,  k=1 ¨  n mk dik × dik , si = sj  k=1 ¨   d × n m d ,  ¨  ¨ j0 i M d × b , s < s ij k=1 k jk ij j gij = n → (15)  ¨  k=1 mk dik × dji , ¨ M bi0 × dji , sj < si      0. 0, в других случаях.Подставив выражения (15) в уравнение (9), получим следующуюсистему уравнений:   n ˙ Li + ¨ mk dik × dik + M  ¨ dij × bj0 + bi0 × ¨ dji  − j=1 j:si <sj j:si <sj n n − dij × (mj ¨0 − Fj ) = Mi + r Sia Ya , i = 1, . . . , n, (16) j=1 a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 25 / 34
  26. 26. Тензор инерции дополненного тела i dm ρ Ci ρ′ d ii d ik a 0 k П а а а а аiМомент количества движения тела i относительно шарнирной точки a: Li = ρ × ρ dm, ˙ ρ = ρ − dii m Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 26 / 34
  27. 27. Тензор инерции дополненного тела i dm ρ Ci ρ′ d ii d ik a 0 k П а а а а аiПроизводная Li : dLi = ρ ρ ¨ (ρ − dii ) × (¨ − dii )dm, dt miУчитывая, что m ρdm = 0: dLi ˙ ¨ = Li + mi dii × dii . (17) dt Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 27 / 34
  28. 28. Тензор инерции дополненного телаЕсли выражению dLi ˙ ¨ = Li + mi dii × dii . dt n ¨добавить сумму k=1 mk dik × dik , то получатся два первых члена вуравнении   n ˙ Li + ¨ mk dik × dik + M  ¨ dij × bj0 + bi0 × ¨ dji  − j=1 j:si <sj j:si <sj n n − dij × (mj ¨0 − Fj ) = Mi + r Sia Ya , i = 1, . . . , n, j=1 a=1Таким образом, первые два члена этого уравнения представляют собойабсолютную производную по времени от момента количестваабсолютного движения дополненного тела i относительно егопредшествующей шарнирной точки. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 28 / 34
  29. 29. Тензор инерции дополненного телаПусть Ki - тензор инерции дополненного тела i по отношению к егопредшествующей шарнирной точке.Связь между Ki и центральным тензором инерции исходного тела Ji : n Ki = Ji + mk (d2 E − dik dik ), i = 1, . . . , n. ik (18) k=1Два первых члена уравнения движения можно выразить, используяугловую скорость вращения тела ω i : n ˙ Li + ¨ mk dik × dik = Kiω i + ω i × Kiω i . ˙ (19) j=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 29 / 34
  30. 30. Уравнения движенияВ выражении n dij × (mj ¨0 − Fj ) r j=1множитель dij отличен от нуля только для тех значений j, которыеудовлетворяют соотношению si ≤ sj . Учитывая это, преобразуемуравнения движения к виду   Kiω i + ω i × Kiω i + M  ˙ ¨ dij × bj0 + bi0 × (−¨0 + r ¨ dji ) + j:si <sj j:sj <si n + dij × Fj = Mi + Sia Ya , i = 1, . . . , n. (20) j:si <sj a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 30 / 34
  31. 31. Уравнения движенияВторые производные bj0 и dji : ¨ bj0 = ω j × bj0 + ω j × (ω j × bj0 ), ˙ ω (21) ¨ ji = ω j × dji + ω j × (ω j × dji ), i, j = 1, . . . , n. d ˙ ω (22)   ˙ Kiω i + M  dij × (ω j × bj0 ) + bi0 × ˙ ω j × dji  = ˙ j:si <sj j:sj <si n = Mi + Mi + Sia Ya , i = 1, . . . , n. (23) a=1где  Mi = −ω i × Kiω i − M  ω dij × (ω j × (ω j × bj0 )) − bi0 × ¨0 + ω ω r j:si <sj  +bi0 × ω j × (ω j × dji ) − ω dij × Fj , i = 1, . . . , n. (24) j:sj <si j:si ≤sj Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 31 / 34
  32. 32. Уравнения движенияДвойные векторные произведения выражаются через матричныепроизведения следующим образом: dij × (ω j × bj0 ) = (bj0 · dij E − bj0 dij ) · ω j . ˙ ˙Рассмотрим тензоры:  Ki ,  i = j,   M (b · d E − b d ), si < sj , j0 ij j0 ij Kij = (25) M (dji · bi0 E − dji bi0 ),  sj < si ,   0, в других случаях.При помощи тензоров Kij уравнение движения можно записать вследующем виде: n n Kij · ω j = Mi + Mi + ˙ Sia Ya , i = 1, . . . , n. (26) j=1 a=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 32 / 34
  33. 33. Уравнения движенияУравнения движенияСистема со сферическими шарнирами n n ˙ Kij ω j = Mi + Mi + Sia Ya , i = 1, . . . , n (27) j=1 a=1где  Ki ,  i = j,  M (b · d E − b d ), s < s , j0 ij j0 ij i j Kij = (28) M (dji · bi0 E − dji bi0 ), sj < si ,   0, в других случаях.   Mi = −ω i × Ki · ω i − M  ω dij × (ω j × (ω j × bj0 ))+ ω ω j:si <sj   +bi0 ×  ω j × (ω j × dji ) − ¨0  − ω r dij × Fj , i = 1, . . . n. j:sj <si j:si ≤sj Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 33 / 34
  34. 34. Уравнения движенияО координатной форме уравнений Выполнение операций необходимо проводить над координатными столбцами в одной системе координат. Необходимо использовать матрицы ортогональных преобразований: A(0i) – матрица преобразования координат из базиса i в базис 0 A(ij) – матрица преобразования координат из базиса j в базис i Тензоры Kij в базисе 0 могут быть определены следующим образом  A(0i) Ki ,  i = j,  M (A(ij) b · d E − A(0j) b A(0i) d ),  si < sj , (0) j0 ij j0 ij Kij = M (A(ij) dji · bi0 E − A(0j) dji A(0i) bi0 ),  sj < si ,   0, в других случаях. Кафедра ТМ (СГАУ) Системы со сферическими шарнирами 23 марта 2012 г. 34 / 34

×