Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Асланов Владимир Степанович                   aslanov_vs@mail.ruАналитические методы исследования динамики космических апп...
1. Постановка задачи Изучается движение космического аппарата (КА) относительно центра масс  при спуске в атмосферу метода...
1. Постановка задачиИзучение планеты Венера (СССР: 1961-1983, СА «Венера 1 – 14», «Вега 1-2» )                            ...
Примеры КА, предназначенных для входа в              атмосферу                                          4
1. Постановка задачи                          Цель работы•   Построение простых математических моделей пространственного  ...
2. Уравнения движения            Уравнения движения КА в инерциальной системе отсчета                                   ...
2. Уравнения движения                                  Уравнения движения центра масс КА              dV        qS        ...
3. Невозмущенное движения       Уравнения невозмущенного движения КА относительно центра масс               0           ...
3. Невозмущенное движения             Типы КА      m    a sin   b sin 2         m    a sin                  ...
3. Невозмущенное движения                                              Интеграл энергии системы (7)                    1 ...
3. Невозмущенное движения                                   Общее решение для m    a sin                            ...
3. Невозмущенное движения                              Общее решение для               m    a sin   b sin 2       ...
4. Возмущенное движения                    4.1. Простейший вид возмущенного движения                         (асимметрия и...
4. Возмущенное движения          Адиабатический инвариант- интеграл возмущенного движения                                 ...
4. Возмущенное движения                 4.2. Возмущенного движения осесимметричного КА                             (асимме...
4. Возмущенное движения                          4.3. Возмущенного движения асимметричного КА                     Уравнени...
4. Возмущенное движения                                    Нелинейный резонанс                                 ( z )  m...
4. Возмущенное движения                                 Пример резонансного вращения (b=0)                                ...
4. Возмущенное движения                             Маятниковая система. Анализ резонансов Замена переменных:           =...
4. Возмущенное движения                         Захват и проход через резонансГлавный резонанс и резонанс крена           ...
4. Возмущенное движения                                           Устойчивость резонансаЗамена переменных               ...
4. Возмущенное движения      Влияние резонанса на движение КА        гр ад150                          устойчивы й резон...
4. Возмущенное движения      4.4. Особенности возмущенное движение КА с бигармоническим моментом    Бигармонический момент...
4. Возмущенное движения         A0-stable; A1,A2 - unstable                       A0-unstable; A1,A2 - stable            A...
4. Возмущенное движения                                      E ( z )  W  m , z                                        ...
4. Возмущенное движенияAt the moment of time t* the phase trajectoryintersects the separatrix. Areas A1 and A2 arestable, ...
5. Хаотические колебания КА            Хаотическое поведение асимметричного тела      с бигармоническим моментом (классиче...
5. Хаотические колебания КА                                            Невозмущенная система               0  H  H0   ...
5. Хаотические колебания КА                                                        Функция Мельникова                    ...
5. Хаотические колебания КА                     Сечения ПуанкареИнерционная асимметрия                  Инерционная асимме...
5. Хаотические колебания КА                              Сечения ПуанкареИнерционная асимметрия  0.05                   ...
6. Хаотические колебания КА с подвижным              центром масс       Центр масс КА перемещается вдоль оси симметрии    ...
6. Хаотические колебания КА с подвижным              центром масс                                      Гомоклинические тра...
6. Хаотические колебания КА с подвижным              центром масс              Сечения Пуанкаре                           ...
7. Восстановление (идентификация) движения КА           по результатам измерений                7.1. Общие положения интег...
7. Восстановление (идентификация) движения КА           по результатам измерений             7.2. Идентификация вращательн...
7. Восстановление (идентификация) движения КА           по результатам измерений                                          ...
7. Восстановление (идентификация) движения КА           по результатам измерений   7.3. Идентификация вращательного движен...
7. Восстановление (идентификация) движения КА           по результатам измерений                                          ...
Основные результаты опубликованы в                  следующих статьях•   Асланов В.С. Пространственное движение тела в атм...
Основные результаты опубликованы в                  следующих статьях•   Aslanov V. S. The motion of a rotating body in a ...
Основные результаты опубликованы в                  следующих статьях•   Aslanov V. S., Boyko V.V. and Timbay I. A. Spatia...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Аналитические методы исследования динамики космических аппаратов в атмосферах планет

1,688 views

Published on

Published in: Technology
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Аналитические методы исследования динамики космических аппаратов в атмосферах планет

  1. 1. Асланов Владимир Степанович aslanov_vs@mail.ruАналитические методы исследования динамики космических аппаратов в атмосферах планет Кафедра теоретической механики www.termech.ruСамарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королѐва www.ssau.ru 2012 год
  2. 2. 1. Постановка задачи Изучается движение космического аппарата (КА) относительно центра масс при спуске в атмосферу методами регулярной и хаотической динамикиДинамику вращающихся КА в атмосфере изучали выдающие отечественные ученые: В.А.Ярошевский, Ф.Р.Гантмахер,Л.М.Левин, В.С.Пугачев и другие, а также зарубежные ученые: J.Nicolaides, G.Gross, C.Murphy и другие. 2
  3. 3. 1. Постановка задачиИзучение планеты Венера (СССР: 1961-1983, СА «Венера 1 – 14», «Вега 1-2» ) СА «Венера 12»– 4700 кг 1967 г. «Венера 4» - посадка на поверхность Венеры 1975 г. «Венера 9-10» - время работы на поверхности Венеры: 53 мин. 1983 г. «Вега 1-2» - аэростатный зонд, H=55км, время работы: 46 часов Венера: атмосфера- 90% углекислого газа, температура – 500 oС, давление – 100 атм. 3
  4. 4. Примеры КА, предназначенных для входа в атмосферу 4
  5. 5. 1. Постановка задачи Цель работы• Построение простых математических моделей пространственного движения КА относительно центра масс в атмосфере. Разделение движения на невозмущенное и возмущенное.• Получение точных и приближѐнных аналитических решений, описывающих движение КА в невозмущенном движении.• Вывод приближѐнных аналитических решений, описывающих возмущенные колебания КА, вызванных изменением параметров атмосферы.• Выявление нелинейного резонанса, определение устойчивости резонанса для возмущенного движения.• Описание движения КА в атмосфере методами хаотической динамики.• Восстановление (идентификация) движения КА по результатам измерений. 5
  6. 6. 2. Уравнения движения Уравнения движения КА в инерциальной системе отсчета     dK    dei   2 d r  F  K  M,    ei  0, 2 g (1) dt dt dt m  Системы координат где K  I   - кинематический момент КА,  I - тензор инерции,  - угловая скорость,   - аэродинамическая сила и момент, F, M  ei - единичные векторы, m - масса,  g - гравитационное ускорение. 6
  7. 7. 2. Уравнения движения Уравнения движения центра масс КА dV qS d cos   V2  dH  cxa  g sin  ,   g  ,  V sin  (2) dt m dt V  r  dt   H V 2где V , H ,  - скорость, высота и угол наклона траектории; q  - скоростной напор 2 Iz  I yМалая асимметрия:   ( yT , zT , i  , I xy , I xz , mx , my , mz )  0( ) (3) Iгде  - малый параметрУравнения движения КА относительно центра масс d 2 2  F ( , z )   Ф ( ,  , z ), dt d  R / I x  (G  R cos  ) cos  / sin 2   Ф ( , z ), (4) dt dz   Фz ( ,  , z ), ( z  R, G, q ) dtгде F (, z )  (G  R cos )(R  G cos ) / sin3   M  (, z ), (5)  Ф  D0 ( , z )  D1 ( , z )sin   D ( , z ) cos   D3 ( , z )sin 2  D ( , z) cos 2   2  4 (6)    , R, G, q  7
  8. 8. 3. Невозмущенное движения Уравнения невозмущенного движения КА относительно центра масс  0 d 2  G  R cos   R  G cos     M    0 (7) dt 2 sin 3  qSLВосстанавливающий момент M     m   , m    a sin   b sin 2 (8) I xT где xT  L  *  0,  *  0, *   - положения равновесия 8
  9. 9. 3. Невозмущенное движения Типы КА m    a sin   b sin 2 m    a sin  9
  10. 10. 3. Невозмущенное движения Интеграл энергии системы (7) 1  d  R 2  G 2  2 RG cos  2     a cos   b cos 2   E (9) 2  dt  2sin 2 Замена переменных u  cos  приводит к уравнению 2  du     f u  (10)  dt   где f  u   2 1  u 2  E  au  bu   2GRu  G 2 2  R2 (11) Уравнение (10) интегрируется в квадратурах u u du du t  t0   u0 f u    u0 a0u  a1u  a2u  a3u  a4 4 3 2 (12)Интеграл (12) приводится к неполным эллиптических интеграла 1-го, 2-го и 3-го рода:  d   d F ( , k )    , E ( , k )  1  k sin  d , П ( , n, k )   2 2 0 1  k 2 sin 2  0 0 (1  n sin 2  ) 1  k 2 sin 2  10
  11. 11. 3. Невозмущенное движения Общее решение для m    a sin  cos   (u1  u2 )cn 2   (t  t0 )  K , k   u2 (13)где cn   (t  t0 )  K , k   cos am   (t  t0 )  K , k  - эллиптический косинус  K  k   F ( , k ) - полный эллиптический интеграл 1-го рода 2   am   (t  t0 )  K , k  - амплитуда-функция Приближенное решение cos   B(1  cos y)(m  cos y)2  u2 (14)Здесь y   (t  t0 ) / K , B  (u1  u2 ) p / 8, m  (2  p) / p, 2   p  2 1 1 k 2 / 1 1 k 2  Угол собственного вращения  R  G  R cos   t   cos   t   0     sin 2   t    dt  f П   t  , n1 , k  , П   t  , n2 , k  , П  n1 , k  , П  n2 , k   0    Ix  (15) 11
  12. 12. 3. Невозмущенное движения Общее решение для m    a sin   b sin 2 M cos   u  L  (16) 1  Ncn   t 0, k где   1, 2 зависит от вида корней полинома f  u   0 Угол собственного вращения [Серов В.М.]  R  G  R cos   t   cos   t  0     sin 2   t    dt  f ab П   t  , n1 , k  , П   t  , n2 , k  , П  n1 , k  , П  n2 , k   0    Ix  12
  13. 13. 4. Возмущенное движения 4.1. Простейший вид возмущенного движения (асимметрия и демпфирование отсутствуют) Уравнение движения d 2  G  R cos   R  G cos   dq   a  q  sin   b  q  sin 2  0,   Фq  t  (17) dt 2 sin 3  dtЗависимость скоростного напора от Зависимость угла атаки от времени времени 13
  14. 14. 4. Возмущенное движения Адиабатический инвариант- интеграл возмущенного движения  max d 1  d  T 2 Ig    dt d     dt  const 2 0  dt  (18) minПодставляя решения (13) или (16) в (18), получим неявную зависимостьамплитуды угла атаки от скоростного напора V 2 I g (q  ,  max )  f  K  k  , E (k ), i (k , ni )   const (19) 2 Приближенные решения вида  max   max  q  (20) Минимальный угол атаки определяется из интеграла энергии (9) при  d  E  0   E  max   E  min  (21)  dt  14
  15. 15. 4. Возмущенное движения 4.2. Возмущенного движения осесимметричного КА (асимметрия отсутствуют)Уравнение движения d 2  G  R cos   R  G cos     a  q  sin   b  q  sin 2   Ф  , z  , dt 2 sin 3  (22) dz   Фz ( , z ), ( z  R, G, q) dt Сравнение результатовгде Ф , z  , z   Ф , z   2 , z  Усредненные уравнения (метод Волосова)d max   1 t T 1 t T E F ( max , z )  T  T  z     dt    z dt  dt  t t  W ( max , z )    z     z  , (23) z  t Tdz  dt T t   z ( (t ), z)dt   z  z  , где  , z  z    , z K  k  , E (k ),  i (k , ni )  15
  16. 16. 4. Возмущенное движения 4.3. Возмущенного движения асимметричного КА Уравнение движения в виде двухчастотной системы y  ( z )  Y ( y, , z ),    Ф ( y, z ),  (24) z  Фz ( y, , z ),  Фz  D0z ( y, z)  D1z ( y, z) sin  D2z ( y, z) cos  D3z ( y, z) sin 2  D4z ( y, z) cos 2.где z  ( R, G ,  max , q ), y  (t  t0 ) - фаза колебания угла атаки Фz  y,  , z   Фz  y  2 ,   2 , z  , Ф  y, z   Ф  y  2 , z  , (25) Y  y,  , z   Y  y  2 ,   2 , z  Средняя частота собственного вращения 2 1 2  ( z )  Ф ( y, z )dy (26) 0 16
  17. 17. 4. Возмущенное движения Нелинейный резонанс ( z )  m( z )n( z )O() (27)где m, n - целые, простые числаПриближенные формулы для частот (b=0):  1 1 R2   2   R / 4, 2 a 2   R     sign( R  G ) a  2 (28)  Ix 2  4Главный резонанс (m=n):    (29)Резонанс крена (m=0):   0 (30) 17
  18. 18. 4. Возмущенное движения Пример резонансного вращения (b=0) qSl  qSl   F ( )  zт cos  sin   , R   zт sin  cos  , q   Фq ( z ), G  const (31)  I IГлавный резонанс (m=n):  точка 2Точка 1: y  0,   0, N1  qS sin  max , M R   z  qSl sin  max N2 N1 N3Точка 2: точка 1 точка 3   y ,  , N 2  qS sin  , M R  0 N4 2 2Точка 3: y   ,    , N3  qS sin  min , M R  z  qSl sin  minТочка 4: точка 4 3 3 y ,  , N 4  qS sin  , M R  0 2 2 18
  19. 19. 4. Возмущенное движения Маятниковая система. Анализ резонансов Замена переменных:  = my / n   (32) Фазовый портрет Маятниковая система d 2 dz +Q( ,z)=0,   f z (  ,z) (33) d 2 dгде    ,Q(  , z )  Q0 ( z )  Q1 ( z )sin   (34) Q2 ( z ) cos   Q3 ( z )sin 2   Q4 ( z ) cos 2  Интеграл энергии    0 2 1  d     W ()  E (35) 2  d где W ( ,z)  Q0   Q1 cos   Q2 sin   (36) 1 1  Q3 cos 2   Q4 sin 2  . 2 2 19
  20. 20. 4. Возмущенное движения Захват и проход через резонансГлавный резонанс и резонанс крена Типы движений рад.  проход захват  min *  max  t,сек движение в малой 0 50 100 150 200 окрестности центра 20
  21. 21. 4. Возмущенное движения Устойчивость резонансаЗамена переменных    *   ,    *   ,    d  / d ,  *  0  (37)Уравнения возмущенного движения в окрестности центра   * d  d      G (  * , z ),   2 (  * , z )   P(  * , z ), d d (38) dz   f z ( * , z) d Q Q Q где G (  , z )    f z (  * , z ),  2 (  * , z )  0 (39) * /    z      *   * Функция Ляпунова VA 2    22 2  21
  22. 22. 4. Возмущенное движения Влияние резонанса на движение КА   гр ад150 устойчивы й резонанс125 неустойчивы й резонанс100 75 50 проход 25 безрезонансное движ ение h,км 0 65 45 25 5  к  /с 11 безрезонансное движ ение проход 10 9 8 7 6 неустойчивы й резонанс 5 4 устойчивы й резонанс h,км 65 45 25 5 22
  23. 23. 4. Возмущенное движения 4.4. Особенности возмущенное движение КА с бигармоническим моментом Бигармонический момент Фазовый портрет m  , t   a  t  sin   b  t  sin 2 Три положения равновесия:  *  0,  *  0, *  Три области существуют, если W   u*1   W   u*2   0 (40)где u*1 , u*2 корни уравнения W   u   0 (41) 23
  24. 24. 4. Возмущенное движения A0-stable; A1,A2 - unstable A0-unstable; A1,A2 - stable A1,A2 – stable if    E ( z )  W* or f*  0 (42) A0 – stable if    E ( z )  W* or f*  0 (43)E - average value of the total energy, calculated in neighborhood separatrixW* - value of the potential energy, calculated at the saddle point u=u*     f  f (u , z )  2(1  u 2 )[ E ( z )  W (u , z )]  O( 2 ) (44) * * * * 24
  25. 25. 4. Возмущенное движения E ( z )  W  m , z  (45)   m - the amplitude value of the angle of attack The derivatives by virtue of the averaged equations  W W W E ( z)  m    z  F ( m , z )   m    z  (46)    m z   m z   m  W W (* , z )  z  (47) z  * The criterion of stability of the disturbed motion in neighborhood the separatrix m W (48)   F ( m , z )   m   z  z *A1,A2 – stable if 0 (49) A0 – stable if 0 (50) 25
  26. 26. 4. Возмущенное движенияAt the moment of time t* the phase trajectoryintersects the separatrix. Areas A1 and A2 arestable, therefore the system can continue thefurther motion both in area A1, and in area A2.
  27. 27. 5. Хаотические колебания КА Хаотическое поведение асимметричного тела с бигармоническим моментом (классическая постановка)Новые обозначения: угол нутации    , моменты инерции A  I x , B  I y , C  I z ,  обобщенные импульсы p  I x , p  I x R, p  I xG. Малый параметр    B  A / A (51) Гамильтониан: H  H 0   H1  O( 2 ) (52) p  p  p cos   2 2 2 p где H 0     a cos   b cos2  (53) 2A 2 A sin 2  2C  p  p cos   cos   p sin  sin   2 H1     (54) 2 A sin  2 Канонические уравнения H H qi   pi , pi    qi  , qi   ,  , , pi  p , p , p  (55) 27
  28. 28. 5. Хаотические колебания КА Невозмущенная система   0  H  H0   p , p     p  p cos   p  p cos      a sin   b sin 2 , A A sin 3  (56) p  p  p cos   cos   p  p cos  , p , p  co nst    ,    C A sin 2  A sin 2 Случай Эйлера: a=0, b=0. Случай Лагранжа: a>0, b=0. Гомоклинические (сепаратрисные) траектории 4cos  ( j ) (t )  u0  , j  1, 2 2   (4   )C j exp(t )  C j exp( t ) 2 1 (57) 28
  29. 29. 5. Хаотические колебания КА Функция Мельникова   H 0 H 0 H 0  ( j )M j  t0     g p  g  g p   (t  t0 ), p (t  t0 ), p ,   t  t0   dt  ( j) ( j)    p  p  (58)   0 , p   g p  ( j ) (t  t0 ), p ( j ) (t  t0 ), p ,  ( j )  t  t0  dt  Функция Мельникова для областей А1 и А2 где H1 H H1 g  , g p   1 , g  p  p 29
  30. 30. 5. Хаотические колебания КА Сечения ПуанкареИнерционная асимметрия Инерционная асимметрия  0   0.01 30
  31. 31. 5. Хаотические колебания КА Сечения ПуанкареИнерционная асимметрия  0.05 Перетекание хаотических траекторий 31
  32. 32. 6. Хаотические колебания КА с подвижным центром масс Центр масс КА перемещается вдоль оси симметрии xc  ( xc )0  xc sin(t ) (59) Уравнение движения КА    G  R cos   R  G cos    a sin   b sin 2  sin  3 (60)   ( a sin   b sin 2 ) sin(t )   m ( ) Система Мельникова     f1  g1 ,      G  R cos   R  G cos   / sin 3   a sin   b sin 2   (61)  (a sin   b sin 2 ) sin    1  sin     f 2  g 2 , 2    32
  33. 33. 6. Хаотические колебания КА с подвижным центром масс Гомоклинические траектории 4 cos  ( j ) (t )  u0  , j  1, 2 (62) 2   (4   )C j exp(t )  C j exp( t ) 2 1 Функция Мельникова  M (t0 , 0 )   { f1[qi ) (t )] g2[qi ) (t ), t  t0  0 ]}dt  M (i )  M (i ) (i )  ( ( (63)  где M      i ) (a sin  i )  b sin 2 i ) ) sin(t  t0  0 )dt , (i ) ( ( (   (64) M     (1  sin  )( ) dt (i ) 2 (i )  (i ) 2   Условие отсутствие хаоса M(i )  M (i ) (65) 33
  34. 34. 6. Хаотические колебания КА с подвижным центром масс Сечения Пуанкаре 34
  35. 35. 7. Восстановление (идентификация) движения КА по результатам измерений 7.1. Общие положения интегрального метода (66) Вектор измерений: d  (d1 , d 2 ,.., d m )Вектор расчетных значений: g ( )   g1 , g 2, ..., g m  (67) где    1,2, ..., l  - вектор определяемых параметров    N mМетод наименьших квадратов (МНК)   argmin   j d ij  g ij   2 (68)  i 1 j 1Пусть известна совокупность независимых интегралов   H k ,d j  const, k  1,2,.. p; j  1,2,..m (69)или медленно меняющихся функций  dH k ,d j   O (70) dtНовый критерий оценки состояния  k  H k  , dij   H k  , gij    N p 2    arg min (71)  i 1 k 1   35
  36. 36. 7. Восстановление (идентификация) движения КА по результатам измерений 7.2. Идентификация вращательного движения КА на орбитальном участке Измеряется угловая скорость x  d  u ,u ,u y z  (72)    x 0 ,  y 0 ,  z 0 , I x , I y , I z  (73) Вектор определяемых параметров Существует три первых интегралов, зависящих от угловой скорости  K x x   y K y   z K z  / 2  H1 , K x2  K y  K z2  H 2 , 2 (74) K x  K y   K z   H 3 где K  I     K x , K y , K z  - кинетический момент, , ,  - направляющие косинусы.  Новый критерий оценки состояния  k  H k  ,  uji   H k  ,  jip    , j  x, y, z N 2 2    arg min (75)   i 1 k 1  36
  37. 37. 7. Восстановление (идентификация) движения КА по результатам измерений ПримерЧисло измерений угловой скорости N=20 Математические ожидания и среднеквадратические отклонения оценок моментов инерции для различных интервалов измерения t  Метод наименьших квадратов Интегральный метод t 2 10 25 40 2 10 25 40 MIx 1.499 1.499 1.499 1.493 1.491 1.494 1.499 1.500 I x 0.011 0.009 0.437 0.571 0.082 0.063 0.092 0.074 MIy 5.627 5.619 6.477 7.007 5.604 5.604 5.612 5.605 I y 0.027 0.025 1.651 3.183 0.043 0.046 0.041 0.043Преимущества интегрального метода: 1. Точность метода мало зависит шага измерения . 2. Для получения оценок не требуется большой объем вычислений. 37
  38. 38. 7. Восстановление (идентификация) движения КА по результатам измерений 7.3. Идентификация вращательного движения КА при спуске в атмосфере Измеряется угловая скорость и перегрузки d  x ,  y , z , nx , n y , nz  (76)Вектор определяемых параметров    x0 , D  (77) где x0 - вектор начальных условий, D - вектор параметров КА.Существует три медленно меняющиеся функции R  I x x , G 1 n  I x x nx   y n y   z nz  , (78) 1  n 1 c n   i 1 E  I x x  I  y  I  z2  q  i  x   2 2 2I   i 0 i  1  n   где E - кинетическая энергия. Новый критерий оценки состояния       N   argmin   R Riu  Rip   E Eiu  Eip  ~ 2 2 2  G Giu  Gip (79)  i 1     38
  39. 39. 7. Восстановление (идентификация) движения КА по результатам измерений ПримерЧисло измерений угловой скорости N=50 Математические ожидания и среднеквадратические отклонения оценок  запаса статической устойчивости m z для различных интервалов измерения t  t ,c 0.2 2.0 4.0 8.0 16.0 t ,c 0.011 0.105 0.221 0.421 0.842 M m  -0.0599 -0.0599 -0.0799 - - z  m  0.0006 0.0001 0.0306 - - z M ~ -0.0624 -0.0604 -0.0604 -0.0604 -0.0604 mz  ~ 0.0033 0.0011 0.0011 0.0010 0.0012 mz K m m  ~ 0.5264 0.6579 0.0696 - - z z Преимущества интегрального метода: 1. Точность метода мало зависит шага измерения . 2. Для получения оценок не требуется большой объем вычислений. 39
  40. 40. Основные результаты опубликованы в следующих статьях• Асланов В.С. Пространственное движение тела в атмосфере, М:. Физматлит, 160 с., 2004.• Aslanov V.S. Spatial chaotic vibrations when there is a periodic change in the position of the centre of mass of a body in the atmosphere- Journal of Applied Mathematics and Mechanics 73 (2009) 179– 187.• Aslanov V.S. and Ledkov A.S. Analysis of the resonance and ways of its elimination at the descent of spacecrafts in the rarefied atmosphere - Aerospace Science and Technology 13 (2009) 224–231.• Aslanov V.S. Resonance at motion of a body in the Mars’s atmosphere under biharmonical moment - WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS AND CONTROL, Issue 1, Volume 3, January 2008, (ISSN: 1991-8763), pp. 33-39.• Aslanov V. S. and Doroshin A. V. Influence of Disturbances on the Angular Motion of a Spacecraft in the Powered Section of Its Descent - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 46, No. 2, 2008, pp. 166- 171.• Aslanov V.S. Resonance at Descent in the Mars’s Atmosphere of Analogue of the Beagle 2 Lander - Proceedings of 3rd WSEAS International Conference on DYNAMICAL SYSTEMS and CONTROL (CONTROL07), Arcachon, France, October 13-15, 2007, 178-181.• Aslanov V. S. and Ledkov A.S. Features of Rotational Motion of a Spacecraft Descending in the Martian Atmosphere - Cosmic Research ISSN 0010-9525, 2007, Vol. 45, No. 4, 331-337.• Aslanov V. S. Doroshin A. V. and Kruglov G.E. The mothion of coaxial bodies of varying composition on the active leg of descent - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 43, No. 3, 2005, pp. 213-221. 40
  41. 41. Основные результаты опубликованы в следующих статьях• Aslanov V. S. The motion of a rotating body in a resisting medium - Mechanics of Solids, 2005, vol. 40, no2, pp. 21-32.• Aslanov V.S. and Timbyi I.A. Action-angle canonical variables for the motion of a rigid body under the action of a biharmonic torque - Mechanics of Solids, Vol. 38, No. 1, pp. 13-23, 2003.• Aslanov V. S. and Doroshin A. V. Stabilization of a Reentry Vehicle by a Partial Spin-up during Uncontrolled Descent - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 40, No. 2, 2002, pp. 178-185.• Aslanov V. S. and Myasnikov S. V. Analysis of Nonlinear Resonances during Spacecraft Descent in the Atmosphere - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 35, No. 6, 1997, pp. 616-622.• Aslanov V. S. and Timbay I. A. Transient Modes of Spacecraft Angular Motion on the Upper Section of the Reentry Trajectory - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 35, No. 3, 1997, pp. 260-267.• Aslanov V. S. and Myasnikov S. V. Stability of Nonlinear Resonance Modes of Spacecraft Motion in the Atmosphere - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 34, No. 6, 1996, pp. 579-584.• Aslanov V. S. and Timbay I. A. Some Problem of the Reentry Vehicles Dynamics- Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 33, No. 6, 1995.• Aslanov V.S. Nonlinear Resonances of the Slightly Asymmetric Reentry Vehicles - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 30, No. 5, 1992.• Aslanov V.S. Definition of Rotary Movement of a Space Vehicle by Results of Measurements - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 27, No. 3, 1989.• Aslanov V.S. Two Kinds of Nonlinear Resonant Movement of an Asymmetric Reentry Vehicle - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 26, No. 2, 1988.• Aslanov V. S. and Boyko V.V. Nonlinear Resonant Movement of an Asymmetric Reentry Vehicle - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 23, No. 3, 1985. 41
  42. 42. Основные результаты опубликованы в следующих статьях• Aslanov V. S., Boyko V.V. and Timbay I. A. Spatial Fluctuations of the Symmetric Reentry Vehicle at Any Corners of Attack - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 19, No. 5, 1981.• Aslanov V. S. Definition of Amplitude of Spatial Fluctuations of the Slightly Asymmetric Reentry Vehicles - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 18, No. 2, 1980.• Aslanov V. S. About Rotary Movement of the Symmetric Reentry Vehicle - Cosmic Research ISSN 0010-9525, Vol. 14, No. 4, 1976. 42

×