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Compiti di matematica per le vacanze di natale

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Compiti di matematica per le vacanze di natale

  1. 1. COMPITI DI MATEMATICA PER LE VACANZE DI NATALEI numeri perfetti"Un numero intero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori"Il più piccolo numero perfetto è il 6: infatti è divisibile (oltre che per sè stesso) per 1,2 e 3 e la loro somma 1+2+3=6Già i matematici greci, da Pitagora ad Euclide, erano affascinati dalla ricerca diquesti rarissimi numeri. Ne troviamo ancora uno nei primi cento numeri: il 28(divisibile per 1,2,4,7 e 14 la cui somma è 28). I greci conoscevano altri due numeriperfetti: il 496 (=1+2+4+8+16+31+62 +124+254+248), e il numero 8128(=1+2+4+8+16+32+64+127+254+ 508+1016+2032+ 4064).Nel medioevo gli studiosi religiosi sostenevano che la perfezione del 6 e del 28 si puòritrovare nella struttura delluniverso perchè Dio creò la Terra in 6 giorni e fecegirare la Luna attorno alla Terra in 28 giorni.Perchè si scoprisse un altro numero perfetto dovevano passare 17 secoli: solo nel XVsecolo, ad opera di un matematico anonimo, venne rivelato il quinto numero: il33.550.336.Dopo altri due secoli vennero scoperti da Pierantonio Cataldi il sesto ed il settimonumero perfetto: il 8.589.869.056 e il 137.438.691.328.La ricerca dei numeri perfetti, prima dellavvento del computer, è stata lunga efaticosa e dal tempo dei greci fino al 1900 ne vennero scoperti solo 12. Il più grandedi questi, calcolato senza lausilio del computer , è un numero di 72 cifre che impegnòper diversi mesi Edward Lucas, un grande esperto di giochi matematicidellOttocento.Evidenziando le potenze di 2 che sono presenti in ogni numero perfetto, Eulero nel1772 scopri che essi sono strettamente legati ai numeri primi dalla seguente formula : n=2p-1(2p-1) dove p è un numero primo.
  2. 2. Ad esempio con p=3 si ottiene2(3-1)x(23-1)= 22x(8-1)=4x7=28che è il secondonumero perfetto.Con p=5 si ottiene 2(5-1)x(25-1)=24x(32-1)=16x31=496 che è il terzo numeroperfetto e così via.Eulero, con questa formula, calcolò p= 231-1 x (231-1) e scoprì lottavo numeroperfetto, il 2.305.843.008.139.952.128 di 19 cifre, che egli calcolò manualmente.I numeri primi nella forma (2p-1) si chiamano numeri di Mersenne, dal nome delfrate francese che per primo ebbe lidea di applicare questa formula per la ricerca deinumeri primi. Se anche il numero di Mersenne così calcolato è a sua volta un numeroprimo, allora n è un numero perfetto.Il più grande numero perfetto calcolato senza uso del calcolatore fu scoperto, nel1877, dall esperto di giochi matematici Edouard Lucas che, nella forma [2127-1 x(2127-1)], calcolò un numero di ben 77 cifre.Oggi conosciamo 39 numeri perfetti. Il più grande ha più di 8 milioni di cifre ed èstato scoperto il 14/11/2001 da Michael Cameron, 20 anni, del Canada, coadiuvatodallistituto di ricerca del GIMPS, diretto da Scott KurowskyFinora i numeri perfetti scoperti sono tutti numeri pari, ma i matematici non possonoescludere che il quarantesimo numero sia dispari e nemmeno che la loro lista siafinita o infinita.Carl Pomerance, matematico delluniversità della Georgia, ha dimostrato che, se ungiorno sarà trovato un numero perfetto dispari, esso dovrà contenere almeno 7 numeriprimi diversi.Una seconda curiosità, che si può dimostrare, è che ogni numero perfetto, tranne il 6,è uguale alla somma della successione di numeri dispari (partendo da 1) elevati alcubo.Esempio: 28= 13 + 33 496= 13 + 33 + 53 + 73 8128= 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153Un terzo aspetto dei numeri perfetti maggiori del 6 è la somma degli elementi checompongono il numero che è sempre uguale a 1.I numeri triangolari
  3. 3. Un numero triangolare è un numero che è la somma dei primi N numeri naturali. Adesempi 28 è un numero triangolare perchè:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28Il nome “triangolare” deriva dal fatto che, fin dall’antichità, si notò che tali numeripotevano essere rappresentati da triangoli costituiti da punti, ciascuno dei quali è unaunità. Ad esempio, nel nostro esempio (28):****************************Esiste una semplice formula per calcolare l’n-esimo numero triangolare, cioè lasomma dei primi n numeri naturali:T(n) = n*(n+1)/2Per esempio, per n = 7, otteniamo:T(7) = 7*(7+1)/2 = 7*8/2 = 56/2 = 28I primi numeri triangolari sono:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231,253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741,780, 820, 861, 903, 946, 990….E’ interessante notare che la somma di due numeri triangolari consecutivi è sempreun quadrato esatto, per esempio:T(5) + T(6) = 15 + 21 = 36 = 6^2T(6) + T(7) = 21 + 28 = 49 = 7^2T(7) + T(8) = 28 + 36 = 64 = 8^2
  4. 4. Da notare anche che tutti i numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei loro divisoripropri) sono numeri triangolari.Un’altra interessante proprietà è che il quadrato di un qualsiasi numero triangolareT(n) è uguale alla somma dei primi n numeri naturali al cubo:[T(n)]^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ….. + (n-1)^3 + n^3Per esempio:[T(4)]^2 = 10^2 = 100[T(4)]^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100C’è ancora da osservare che tutti i quadrati esatti dispari sono della forma 8*T(n) + 1.Per esempio:11^2 = 121 = 8*15 + 1 = 8*T(5) + 113^2 = 169 = 8*21 + 1 = 8*T(6) + 1C’è infine da notare che ci sono infiniti numeri triangolari che sono anche quadratiesatti. I primi di essi sono:T(1) = 1 = 1^2T(8) = 36 = 6^2T(49) = 1225 = 35^2T(288) = 41.616 = 204^2T(1681) = 1.413.721 = 1189^2T(9800) = 48.024.900 = 6930^2

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