I quadrati magici

4,255 views

Published on

Published in: Education
1 Comment
1 Like
Statistics
Notes
  • Ho scoperto che come questo ci sono molti siti che parlano di quadrati magici dicendo tutte le stesse cose, ma non vedo quadrati sviluppati di grandi dimensioni, oppure dei quadrati magicamente magici, cioè anche se non grandi, ma che hanno moltissime combinazioni tipo 9 x 9 come il Sudoku ma con 57 combinazioni sempre nello stesso quadrato.
    francescogiuseppe44@libero.it
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total views
4,255
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
15
Comments
1
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

I quadrati magici

  1. 1. I QUADRATI MAGICI
  2. 2. Indice1. Cosa sono i quadrati magici2. Caratteristiche basilari3. Tipi di quadrati magici4. Costruzione dei quadrati magici5. Quadrati magici nell’antichità6. I quadrati greco-latini di Eulero7. Applicazioni dei quadrati greco-latini8. Curiosità: sudoku
  3. 3. 1. Cosa sono i quadrati magici  Un quadrato magico è uno schieramento di numeriinteri distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale intero è denominatola costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato. Il risultato del quadrato magico è chiamato chiave del quadrato.
  4. 4. 2. Caratteristiche basilari I quadrati magici costruiti con i numeri hanno le seguenti caratteristiche: 1. Sono formati da un minimo di tre caselle per lato (non esistono quadrati magici con due caselle per lato e quelli costituiti da una sola casella non sono, ovviamente, interessanti);2. I numeri che vengono utilizzati per riempire le caselle devono essere in una sequenza (si utilizzano ad esempio i numeri da 1 a 9, da 1 a 16, oppure anche da 0 a 15, e così via) e non possono essere ripetuti;
  5. 5. 3. I numeri della sequenza devono essere disposti nelle caselle in modo che la somma diciascuna riga, la somma di ciascuna colonna e la somma di ciascuna diagonale diano come totale un valore sempre identico. 4. I numeri utilizzati per formare un quadrato magico sono quelli naturali 1,2,3,4,5…Il numero di righe e di colonne si chiama ordinedel quadrato (per esempio un quadrato formatoda 3 righe e 3 colonne è un quadrato magico di ordine 3 oppure un quadrato formato da 4 righe e 4 colonne è un quadrato magico di ordine 4 e così via…
  6. 6. In matematica, una tabella quadrata è detta matrice quadrata.Un quadrato magico di ordine n contenente tutti gli interi da 1 a n2 è detto perfetto o normale. La costante magica di questi quadrati è data dalla formula: M(n) = ½ n (n²+1)  dove n  sta per il numero delle caselle per lato.
  7. 7. 3 Tipi di quadrati  Esistono molti tipi di quadrati magici: i più noti sono quelli realizzati con i numeri, ma se ne possono inventare anche con le lettere dellalfabeto un esempio è il quadrato pompeiano (o “latercolo latino”).   
  8. 8. Magici e semimagici Un quadrato è detto semi-magico se sono uguali soltanto i totali delle righe e delle colonne.I quadrati magici 3 x 3 e 4 x 4 non sono ovviamentei soli possibili: anzi, modificandoli appropriatamente ed aggiungendo loro dei bordi si possono ottenere quadrati 5 x 5 e 6 x 6, da cui si possono poi ottenere quadrati 7 x 7 e 8 x 8, e cosi via. In altre parole, quadrati magici n x n esistono per ogni n maggiore di 2.
  9. 9. PanmagiciOltre alle diagonali principali, che nel casodellesempio sono le terne (2, 5, 8) e (6, 5, 4), sipossono considerare anche le diagonali spezzate,vale a dire (7, 1, 4); (6, 9, 3); (2, 1, 3) e (7, 9,8). Così, un quadrato magico si dice panmagico opandiagonale se anche la somma di ogni diagonalespezzata è uguale alla costante del quadratomagico. Il quadrato magico di ordine 3 mostrato nelladiapositiva prima non è panmagico, mentre quello afianco di ordine 4, è panmagico di costante 34.
  10. 10. Bimagico e trimagico Un quadrato magico si dice bimagico, odoppiamente magico, se rimane magico anche dopo aver sostituito i suoi elementi con i rispettiviquadrati; analogamente si dice trimagico se rimane magico dopo averne sostituito gli elementi con i rispettivi cubi.
  11. 11. Tipo latinoIl quadrato latino,  un "parente" lontano delquadrato magico, è un quadrato che ha perelementi gli interi 1, 2, ..., n (o qualunque altrogruppo di n numeri distinti), ciascuno dei qualiripetuto n volte, disposti in modo che gli interi diogni fila e di ogni colonna siano tutti distinti.Se si sovrappone il secondo sul primo, mantenendolo stesso ordine di ciascuno, si ottiene il quadratodi coppie in cui nessuna coppia si ripete.Un quadrato di coppie senza ripetizioni si chiamaquadrato di Eulero, dal nome del matematicosvizzero Leonhard Euler, o quadrato greco-latino.
  12. 12. 4. Lo Shu e Latercolo pompeiano, gli antichi quadrati magiciIl fascino dei quadrati numerici ha origini antiche. Il primo quadrato magico della storia è cinese e risale a più di tremila anni fa, ai tempi delladinastia Shang. Era un quadrato numerico inciso sul dorso di una tartaruga che  un pescatore aveva trovato nelle acque del fiume Giallo e che aveva voluto offrire all’imperatore.
  13. 13. Gli scienziati di corte analizzarono le suecaratteristiche e scoprirono una strutturastraordinaria: un quadrato di numeri con sommacostante 15 su ogni riga, colonna o diagonale. LoShu, come venne battezzato questo quadratonumerico, arrivato dal grande fiume, diventò unodei simboli sacri dell’Antica Cina, rappresentazione,per i cinesi, dei più arcani misteri della Matematicae dell’Universo.Un altro misterioso quadrato magico, ritrovato aPompei e riportato in figura, è noto comeil Latercolo pompeiano. 
  14. 14.  Risale al primo secolo d. C. e venne costruitosostituendo ai numeri delle lettere collocate inmodo da formare la frase “SATOR AREPOTENET  OPERA ROTAS” è una frase che si puòleggere in diverse direzioni, su righe o colonne, dasinistra a destra o viceversa. Significaletteralmente “Il seminatore, col suo aratro, tienecon cura le ruote”, una frase che potrebbe essereinterpretata come "Dio, dal suo trono, regola consaggezza le sfere (dellUniverso)".
  15. 15. Uno tra i più noti quadrati magici è sicuramente quello che compare nell’incisione di Dürer, Melancolia: la data dellopera è il 1514, ed èriportata nelle due caselle centrali dellultima riga. Questo quadrato veniva spesso inciso su un piatto dargento, e regolarmente usato come talismano contro la peste.
  16. 16. 16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1
  17. 17. Si può trovare un altro esempio di quadrato magico anche nella cattedrale “La Sagrada Famiglia” dell’architetto Antoni Gaudì a Barcellona precisamente sulla Facciata della Passione (opera dello scultore Joseph Maria Subirachs) dietro la statua di Giuda che bacia Gesù, oltre ad unserpente che rappresenta il diavolo, cera infatti la seguente tabella di 16 numeri. E interessantenotare che la somma dei numeri di ciascuna riga, di ciascuna colonna e di ciascuna diagonale è sempre la stessa, cioè  33 che si riferisce all’età cheaveva Cristo quando morì: ci sono infatti 88 modi in cui quattro numeri della tabella danno come somma 33.
  18. 18. 5. I quadrati greco – latini di Eulero Molti matematici si sono occupati di quadrati magici,come Leonhard Euler, uno dei più grandi matematicidella storia, che pubblicò un ampio studiosull’argomento, in cui presentava una “nuova specie”di quadrati magici, battezzata quadrati latini equadrati greco – latini. Ora, dopo più di due secoli,questi ultimi ritornano d’attualità, rilanciati inGiappone con il nome di “Sudoku”, un gioco cheraccomandiamo come ottimo allenamento matematico,non di calcolo, ma di ragionamento e intuizione,quelle che sono le vere qualità del matematico.
  19. 19. Prima di presentare il nuovo gioco, rendiamo peròmerito al grande Eulero, presentando le sue tabelle quadrate, costruite secondo precise regole di composizione, utilizzando  le lettere dell’alfabeto latino o greco e, nelle forme un po’ più complicate, quelle latine e quelle greche insieme. Per capirci, riportiamo in figura, due quadrati 4 x 4, quindi di sedici caselle, nelle quali sono sistemate le primequattro lettere dell’alfabeto latino, in modo che non ci siano ripetizioni su righe e colonne e a fianco la stessa operazione fatta però con le prime quattro lettere dell’alfabeto greco. Un po’ più complessi,dicevamo, sono i quadrati greco – latini per i quali si impone la regola precedente, sia per le lettere latine sia per quelle greche.  
  20. 20. 6. Applicazioni dei quadrati greco – latini Naturalmente, le lettere possono rappresentare qualsiasi cosa. Ad esempio, provi il lettore, dopoaver estratto da un mazzo di carte  i quattro re,le quattro regine, i quattro fanti e i quattro assi,a sistemarli in  un quadrato 4 x 4, in modo che suogni riga e su ogni colonna si trovino i quattro tipi di carte e i quattro semi, senza ripetizioni.
  21. 21. Come secondo esempio, proponiamo al lettore di costruire una scacchiera 5 x 5, con le caselle di cinque colori diversi, tale che ogni riga e ogni colonna contenga tutti e cinque i colori senza ripetizioni e ogni casella abbia un colore diverso dalle caselle che la circondano. I quadrati latini e greco – latini hanno diverse applicazioni. Ad esempio, possono tornare utili in statistica per organizzare test e indagini dandone inoltre la migliore rappresentazione grafica, come scrivono Tony Phillips e Stony Brook in una accurata presentazione di questi quadrati sul sito dellaAMS, American Mathematics Society. Supponiamo,ad esempio, di voler testare l’efficacia di 5 diversi fertilizzanti  per  una coltivazione di cereali. 
  22. 22. Possiamo spargere il fertilizzante su un campo, procedere poi al raccolto, e misurare infine la produzione per unità di area. In questo modosaremmo obbligati ad eseguire i cinque esperimenti su cinque campi diversi, le cui caratteristichepotrebbero anche essere diverse. Dividiamo invece un unico appezzamento in 5 x 5 parti più piccole, alle quali applichiamo i fertilizzanti secondo lo schema del quadrato latino, e ne ricaveremo untest più preciso. Questa idea semplice, ma geniale,è di un grande esperto di statistica, W. S. Gossetche era impiegato alla birreria Guiness di Dublino. 
  23. 23. La birreria era ovviamente una gran consumatricedi orzo e Gosset sfruttò le sue conoscenze persuggerire il modo di incrementarne la produzione,realizzando schemi, quale quello che abbiamoappena visto, che avevano proprio le caratteristichedei quadrati latini. E’ stato calcolato il numero deiquadrati latini n x n nei quali si possonoinserire n lettere, forme o colori, diversi, oppuresemplicemente i numeri da 1 a n, senza ripetizionisu righe e colonne. Si hanno, ad esempio, due soliquadrati di ordine due, dodici di ordine tre e 576di ordine quattro e così via, salendo rapidamentesecondo la tabella riportata nell’articolo di IvarsPeterson in Science News Online,18/06/05.
  24. 24. 7. Costruzione dei quadrati magiciCi sono molti modi di costruire un quadrato magico,ma quello standard consiste nel seguire determinate formule che generano i modelli regolari. Il tipo più comune di quadrato magico è quello che usa inumeri da 1 a n2, con il quadrato 3 × 3 che è forse il più famoso.
  25. 25. La costante di magia di questo quadrato è 15. La costante di magia di un simile quadrato può essere computata con questa formula: M(n) = ½ n (n²+1) I quadrati magici del tipo 1 a n2 possono esserecostruiti per tutti i valori possibili di n tranne 2. Non tutti i quadrati magici del tipo 1 a n2 sono costruiti nello stesso senso. Cadono in tre subclassificazioni differenti: 1. n dispari; 2. n divisibile x 2 ma non x 4, o numero semplicemente pari; 3. n divisibile x 4, o numero doppiamente pari.
  26. 26. Il metodo per costruire un quadrato magico con n dispari è abbastanza semplice e viene spiegato qui di seguito. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore. Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila superiore. Se siete già alla fila superiore, si compila una colonna alla destra nella fila inferiore, e, se siete nella colonna diestrema destra, si compila il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una fila in su. Se il quadrato già è occupato da un numero più piccolo, si posiziona il numero seguente nelquadrato immediatamente sotto allultimo immesso, si procede in tal maniera fino a comporre tutto il quadrato.
  27. 27. Infine, si verifichi che ogni fila, colonna e diagonale diano come somma algebrica lo stesso numero, in questo caso, 65. Naturalmente i quadrati magici possono essere costruiti usando un sottoinsieme dei numeri compresi tra 1 a n2. Per esempio, un quadrato magico può essere costruito usando soltanto i numeri primi (in alcuni casi potrebbe essere necessario accettare 1 come numero primo per avere un quadrato magico).I quadrati magici possono anche essere costruitidai reciproci di alcuni numeri primi. Per esempio, 1/7 è circa 0.142857 e possiamo quasi fare un quadrato magico composto da quelle cifre.
  28. 28. 8. Curiosità: Sudoku Il sudoku (giapponese: 数独 , sūdoku, nome completo 数字は独身に限る Sūji wa dokushin ni kagiru, che in italiano vuol dire "sono consentiti solo numeri solitari") è un gioco di logica nel qualeal giocatore o solutore viene proposta una griglia di 9 × 9 celle, ciascuna delle quali può contenere unnumero da 1 a 9, oppure essere vuota; la griglia è suddivisa in 9 righe orizzontali, 9 colonne verticali e da bordi in neretto in 9 "sottogriglie" chiamate regioni di 3 × 3 celle contigue.
  29. 29.  Le griglie proposte al giocatore hanno da 20 a 35celle contenenti un numero. Scopo del gioco è quello di riempire le caselle bianche con numeri da 1 a 9, in modo tale che in ogni riga, colonna e regione siano presenti tutte le cifre da 1 a 9 e, pertanto,senza ripetizioni. In tal senso lo schema, una volta riempito correttamente, appare come un quadrato latino. La versione moderna del gioco fu ideata dallarchitetto statunitense Howard Garns e pubblicata da Dell Magazines nel 1979 con il titolo "Numbers in Place". In seguito fu diffusoin Giappone dalla casa editrice Nikoli nel 1984, perpoi diventare noto a livello internazionale soltanto a partire dal 2005.
  30. 30. Fonti http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrato_magicohttp://www.lannaronca.it/Programmazione/quadrati%20magici.htm Realizzato da:  Alessandro Leogrande  Domenico Rizzi  Antonio Orfino  Francesco Giannico  Vito Donvito  Giuseppe Indellicati  Nicola Fiorito  Sante Girardi

×