1. NUMERI PERFETTI
"Un numero intero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori"
Il più piccolo numero perfetto è il 6: infatti è divisibile (oltre che per sè stesso) per 1, 2 e 3 e la
loro somma 1+2+3=6.
Già i matematici greci, da Pitagora ad Euclide, erano affascinati dalla ricerca di questi rarissimi
numeri. Ne troviamo ancora uno nei primi cento numeri: il 28 (divisibile per 1,2,4,7 e 14 la cui
somma è 28). I greci conoscevano altri due numeri perfetti: il 496 (=1+2+4+8+16+31+62
+124+254+248), e il numero 8128 (=1+2+4+8+16+32+64+127+254+ 508+1016+2032+ 4064). Nel
medioevo gli studiosi religiosi sostenevano che la perfezione del 6 e del 28 si può ritrovare nella
struttura dell'universo perchè Dio creò la Terra in 6 giorni e fece girare la Luna attorno alla Terra
in 28 giorni. Perchè si scoprisse un altro numero perfetto dovevano passare 17 secoli: solo nel
XV secolo, ad opera di un matematico anonimo, venne rivelato il quinto numero: il 33.550.336.
Dopo altri due secoli vennero scoperti da Pierantonio Cataldi il sesto ed il settimo numero
perfetto: il 8.589.869.056 e il 137.438.691.328. La ricerca dei numeri perfetti, prima
dell'avvento del computer, è stata lunga e faticosa e dal tempo dei greci fino al 1900 ne vennero
scoperti solo 12. Il più grande di questi, calcolato senza l'ausilio del computer , è un numero di
72 cifre che impegnò per diversi mesi Edward Lucas, un grande esperto di giochi matematici
dell'Ottocento.Evidenziando le potenze di 2 che sono presenti in ogni numero perfetto, Eulero
nel 1772 scopri che essi sono strettamente legati ai numeri primi dalla seguente formula :
n=2p-1(2p-1)
dove p è un numero primo.Ad esempio con p=3 si ottiene2(3-1)x(23-1)= 22x(8-1)=4x7=28che è il
secondo numero perfetto. Con p=5 si ottiene 2(5-1)x(25-1)=24x(32-1)=16x31=496 che è il terzo
numero perfetto e così via. Eulero, con questa formula, calcolò p= 231-1 x (231-1) e scoprì
l'ottavo numero perfetto, il 2.305.843.008.139.952.128 di 19 cifre, che egli calcolò
manualmente. I numeri primi nella forma (2p-1) si chiamano numeri di Mersenne, dal nome del
frate francese che per primo ebbe l'idea di applicare questa formula per la ricerca dei numeri
primi. Se anche il numero di Mersenne così calcolato è a sua volta un numero primo, allora n è
un numero perfetto.Il più grande numero perfetto calcolato senza uso del calcolatore fu
scoperto, nel 1877, dall' esperto di giochi matematici Edouard Lucas che, nella forma [2127-1 x
(2127-1)], calcolò un numero di ben 77 cifre. Oggi conosciamo 39 numeri perfetti. Il più grande
ha più di 8 milioni di cifre ed è stato scoperto il 14/11/2001 da Michael Cameron, 20 anni, del
Canada, coadiuvato dall'istituto di ricerca del GIMPS, diretto da Scott Kurowsky. Il numero è
espresso nella forma: [213.466.916 *(213.466.917-1)] dove (213.466.917-1 ) è l'ultimo numero
primo scoperto.