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トーナメントは運か実力か
福原和朗 (@kazurof)
第7回 日曜数学会
2016-10-01
1
自己紹介
• 福原和朗 @kazurof
• twitter, Qiita, github などやってます。
• 所属
• GMO リサーチ
• アンケートシステムの開発保守
2
トーナメント戦
• 実力上位の人が勝ち上がる。
• 運が良い人も勝ち上がる。
• 運悪く初戦敗退もある。
31 2 4 3 7 8 5 6
運と実力どちらが重要か?
調べてみました。
4
前提条件
• 参加者 2n (n = 1, 2, 3, … ) 人のトーナメ
ントを考える。
• 2, 4, 8, 16, …
• n 回勝ったら優勝という意味。
• 各参加者は番号で区別
• 1, 2, 3, …
• 試合結果は番号が小さいほ...
手順
• 調べ方
1. 全てのトーナメント組み合わせを列挙
2. トーナメント実行
3. 結果の順位の分布をとる
• 出したい結果
• a 人中実力 b 位の人が c 回戦を勝つ確率 d %
6
トーナメント表の場合の数は?
7
全体的な規模感をつかんでいただければ…
n = 1
• 1 回勝てば優勝、参加人数2人の場合
• 組み合わせ: 1 通り
8
1 2
n = 2
• 2 回勝てば優勝、参加人数4人の場合
• 組み合わせ: 3通り
91 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3
計算で出せないか?
• n=2 のときは 4! ではない。
• 試合の左右は区別しない
• 4! を 23 で割った数に等しい
• 1試合ごとに場合の数が半分に
なる =>2で割る。
• 3は全試合数
•
10
1 2 3 4
4 × 3 × ...
n = 3
• 3 回勝てば優勝、参加人数8人の場合
• 組み合わせ: 315通り
• 全部は描けません
• 8! / 27 に等しい。
11
1 4 6 7 3 2 5 8
n = 4
• 4 回勝てば優勝、参加人数16人の場合
– 組み合わせ: 6,3851,2875通り
• 16! / 215 に等しい。
121 9 4 6 14 16 7 13 3 10 15 2 12 5 11 8
n = 5
• 5 回勝てば優勝、参加人数32人の場合
• 組み合わせ: 122𥝱(じょ)
• 122,5298,4425,6906,5513,8679,6875通り
• 32! / 231 に等しい。
13
一般項はこうだ!(未証明)
• 一般項
• 漸化式
• 割り算しないのでプログラムでも安心 14
𝑓(𝑛)= (2 𝑛)!
2(2 𝑛 −1)
𝑓 1 = 1
𝑓 𝑛 = 2 𝑛
− 1 ‼ × 𝑓(𝑛 − 1)
どんな結果になった?
15
n = 4 の場合(5の場合なんて無理です orz)
結果 (n=4)
person win 0 win1 win2 win3 win4 sum
1 0 0 0 0 638512875 638512875
2 42567525 85135050 170270100 340540200 0 6385...
グラフ化してみた
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
win 0 win1 win2 win3 win4
解釈
18
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
win 0 win1 win2 win3 win4
運が良ければ
...
16人トーナメントでの分布は
わかった
19
32以上でも大体同じ傾向だと思われる。
一般化できないか?
20
一般化、したくなりますよね!
一般化
• もっと統計を取って調べたいが…
• n = 5 だと122 𥝱(じょ)
• 122,5298,4425,6906,5513,8679,6875通り
• n = 4, (16人)が現実的な計算の限界。
• すごい計算機なら、 n = ...
元データを眺めてみる
person win 0 win1 win2 win3 win4 sum
1 0 0 0 0 638512875 638512875
2 42567525 85135050 170270100 340540200 0 63...
win1列を詳しく見てみる
23
person win1
1 0
2 2 / 3x5
3 5 / 3x7
4 2x2x2x2x3x3 / 5x7x13
5 2x11x23 / 3x5x7x13
6 2x5x11 / 3x7x13
7 3x3x3...
win1列を詳しく (2)
24
person win1 比
1 0
2 2 / 3x5 2x7 / 5x5
3 5 / 3x7 5x5x13 / 2x2x2x2x3x3x3
4 2x2x2x2x3x3 / 5x7x13 2x2x2x3x3x3...
win1列を (3)
25
person win1 比 比を修正
1 0 0 0
2 2 / 3x5 2x7 / 5x5 14 x 26 x 1 / 25 x 13 x 2
3 5 / 3x7 5x5x13 / 2x2x2x2x3x3x3 13...
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person 比を修正
1 0
2 14 x 26 x 1 / 25 x 13 x 2
3 13 x 25 x 2 / 24 x 12 x 3
4 12 x 24 x 3 / 23 x 11 x 4
5 11 x 23 x 4 / 22 ...
この調子で一般化できる?
27
残念!
28
win2 列はきれいに収まりませんでした… orz
まとめ
• 16人トーナメントで調べてみた。
• 実力下位の人はラッキーなら期待値以上
• 実力上位の人は運要素で上下に振れる
• 2位の人は運ゲー。
• 1位の人が全部持っていく。
• 勝数分布には規則性ありそう
• 類題知ってる人おしえて!...
おまけ
• 今回の検証に使ったソースはこちら
• https://github.com/kazurof/tournament
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トーナメントは運か実力か
福原和朗 (@kazurof )
第7回 日曜数学会
2016-10-01
31
ご清聴ありがとうございました
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トーナメントは運か実力か

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第7回日曜数学会の発表スライドです。
https://www.facebook.com/events/858311494303516/
発表の様子はこちら
http://www.nicovideo.jp/watch/sm29957704

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トーナメントは運か実力か

  1. 1. トーナメントは運か実力か 福原和朗 (@kazurof) 第7回 日曜数学会 2016-10-01 1
  2. 2. 自己紹介 • 福原和朗 @kazurof • twitter, Qiita, github などやってます。 • 所属 • GMO リサーチ • アンケートシステムの開発保守 2
  3. 3. トーナメント戦 • 実力上位の人が勝ち上がる。 • 運が良い人も勝ち上がる。 • 運悪く初戦敗退もある。 31 2 4 3 7 8 5 6
  4. 4. 運と実力どちらが重要か? 調べてみました。 4
  5. 5. 前提条件 • 参加者 2n (n = 1, 2, 3, … ) 人のトーナメ ントを考える。 • 2, 4, 8, 16, … • n 回勝ったら優勝という意味。 • 各参加者は番号で区別 • 1, 2, 3, … • 試合結果は番号が小さいほうが勝つ。 • それぞれの試合に運要素無し。 • 右側左側は区別しない。 5 1 2
  6. 6. 手順 • 調べ方 1. 全てのトーナメント組み合わせを列挙 2. トーナメント実行 3. 結果の順位の分布をとる • 出したい結果 • a 人中実力 b 位の人が c 回戦を勝つ確率 d % 6
  7. 7. トーナメント表の場合の数は? 7 全体的な規模感をつかんでいただければ…
  8. 8. n = 1 • 1 回勝てば優勝、参加人数2人の場合 • 組み合わせ: 1 通り 8 1 2
  9. 9. n = 2 • 2 回勝てば優勝、参加人数4人の場合 • 組み合わせ: 3通り 91 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3
  10. 10. 計算で出せないか? • n=2 のときは 4! ではない。 • 試合の左右は区別しない • 4! を 23 で割った数に等しい • 1試合ごとに場合の数が半分に なる =>2で割る。 • 3は全試合数 • 10 1 2 3 4 4 × 3 × 2 × 1 2 × 2 × 2 = 4 × 3 × 2 × 1 2 × 2 × 2 = 3
  11. 11. n = 3 • 3 回勝てば優勝、参加人数8人の場合 • 組み合わせ: 315通り • 全部は描けません • 8! / 27 に等しい。 11 1 4 6 7 3 2 5 8
  12. 12. n = 4 • 4 回勝てば優勝、参加人数16人の場合 – 組み合わせ: 6,3851,2875通り • 16! / 215 に等しい。 121 9 4 6 14 16 7 13 3 10 15 2 12 5 11 8
  13. 13. n = 5 • 5 回勝てば優勝、参加人数32人の場合 • 組み合わせ: 122𥝱(じょ) • 122,5298,4425,6906,5513,8679,6875通り • 32! / 231 に等しい。 13
  14. 14. 一般項はこうだ!(未証明) • 一般項 • 漸化式 • 割り算しないのでプログラムでも安心 14 𝑓(𝑛)= (2 𝑛)! 2(2 𝑛 −1) 𝑓 1 = 1 𝑓 𝑛 = 2 𝑛 − 1 ‼ × 𝑓(𝑛 − 1)
  15. 15. どんな結果になった? 15 n = 4 の場合(5の場合なんて無理です orz)
  16. 16. 結果 (n=4) person win 0 win1 win2 win3 win4 sum 1 0 0 0 0 638512875 638512875 2 42567525 85135050 170270100 340540200 0 638512875 3 85135050 152026875 231080850 170270100 0 638512875 4 127702575 202078800 230145300 78586200 0 638512875 5 170270100 236694150 198804375 32744250 0 638512875 6 212837625 257276250 156492000 11907000 0 638512875 7 255405150 265228425 114307200 3572100 0 638512875 8 297972675 261954000 77792400 793800 0 638512875 9 340540200 248856300 49017150 99225 0 638512875 10 383107725 227338650 28066500 0 0 638512875 11 425675250 198804375 14033250 0 0 638512875 12 468242775 164656800 5613300 0 0 638512875 13 510810300 126299250 1403325 0 0 638512875 14 553377825 85135050 0 0 0 638512875 15 595945350 42567525 0 0 0 638512875 16 638512875 0 0 0 0 63851287516
  17. 17. グラフ化してみた 17 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 win 0 win1 win2 win3 win4
  18. 18. 解釈 18 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 win 0 win1 win2 win3 win4 運が良ければ 期待値以上 そもそも期待値が低い 運次第で上下に振れる 悪評価 or 順当安定
  19. 19. 16人トーナメントでの分布は わかった 19 32以上でも大体同じ傾向だと思われる。
  20. 20. 一般化できないか? 20 一般化、したくなりますよね!
  21. 21. 一般化 • もっと統計を取って調べたいが… • n = 5 だと122 𥝱(じょ) • 122,5298,4425,6906,5513,8679,6875通り • n = 4, (16人)が現実的な計算の限界。 • すごい計算機なら、 n = 5 ぐらいはできる? 21
  22. 22. 元データを眺めてみる person win 0 win1 win2 win3 win4 sum 1 0 0 0 0 638512875 638512875 2 42567525 85135050 170270100 340540200 0 638512875 3 85135050 152026875 231080850 170270100 0 638512875 4 127702575 202078800 230145300 78586200 0 638512875 5 170270100 236694150 198804375 32744250 0 638512875 6 212837625 257276250 156492000 11907000 0 638512875 7 255405150 265228425 114307200 3572100 0 638512875 8 297972675 261954000 77792400 793800 0 638512875 9 340540200 248856300 49017150 99225 0 638512875 10 383107725 227338650 28066500 0 0 638512875 11 425675250 198804375 14033250 0 0 638512875 12 468242775 164656800 5613300 0 0 638512875 13 510810300 126299250 1403325 0 0 638512875 14 553377825 85135050 0 0 0 638512875 15 595945350 42567525 0 0 0 638512875 16 638512875 0 0 0 0 63851287522
  23. 23. win1列を詳しく見てみる 23 person win1 1 0 2 2 / 3x5 3 5 / 3x7 4 2x2x2x2x3x3 / 5x7x13 5 2x11x23 / 3x5x7x13 6 2x5x11 / 3x7x13 7 3x3x3 / 5x13 8 2x2x2x2 / 3x13 9 2x2x19 / 3x5x13 10 2x3x3x3x3 / 5x7x13 11 5x17 / 3x7x13 12 2x2x2x2x2x11 / 3x5x7x13 13 2x3x3 / 7x13 14 2 / 3x5 15 1 / 3x5 16 0 person win1 sum 1 0 638512875 2 85135050 638512875 3 152026875 638512875 4 202078800 638512875 5 236694150 638512875 6 257276250 638512875 7 265228425 638512875 8 261954000 638512875 9 248856300 638512875 10 227338650 638512875 11 198804375 638512875 12 164656800 638512875 13 126299250 638512875 14 85135050 638512875 15 42567525 638512875 16 0 638512875 分数と見立てて約分 分子分母を因数分解 win1 と sum を取 り出す
  24. 24. win1列を詳しく (2) 24 person win1 比 1 0 2 2 / 3x5 2x7 / 5x5 3 5 / 3x7 5x5x13 / 2x2x2x2x3x3x3 4 2x2x2x2x3x3 / 5x7x13 2x2x2x3x3x3 /11x 23 5 2x11x23 / 3x5x7x13 23 / 5x5 6 2x5x11 / 3x7x13 2x5x11x5 / 3x3x3x3x7 7 3x3x3 / 5x13 3x3x3x3 / 2x2x2x2x5 8 2x2x2x2 / 3x13 2x2x5 / 19 9 2x2x19 / 3x5x13 2x19x7 / 3x3x3x3x3 10 2x3x3x3x3 / 5x7x13 2x3x3x3x3x3 / 5x5x17 11 5x17 / 3x7x13 5x5x17 / 2x2x2x2x2x11 12 2x2x2x2x2x11 / 3x5x7x13 2x2x2x2x11 / 3x3x3x5 13 2x3x3 / 7x13 3x3x3x5 / 7x13 14 2 / 3x5 2 15 1 / 3x5 16 0 上段の数と下段の数の 比を計算してみた。
  25. 25. win1列を (3) 25 person win1 比 比を修正 1 0 0 0 2 2 / 3x5 2x7 / 5x5 14 x 26 x 1 / 25 x 13 x 2 3 5 / 3x7 5x5x13 / 2x2x2x2x3x3x3 13 x 25 x 2 / 24 x 12 x 3 4 2x2x2x2x3x3 / 5x7x13 2x2x2x3x3x3 /11x 23 12 x 24 x 3 / 23 x 11 x 4 5 2x11x23 / 3x5x7x13 23 / 5x5 11 x 23 x 4 / 22 x 10 x 5 6 2x5x11 / 3x7x13 2x5x11x5 / 3x3x3x3x7 10 x 22 x 5 / 21 x 9 x 6 7 3x3x3 / 5x13 3x3x3x3 / 2x2x2x2x5 9 x 21 x 6 / 20 x 8 x 7 8 2x2x2x2 / 3x13 2x2x5 / 19 8 x 20 x 7 / 19 x 7 x 8 9 2x2x19 / 3x5x13 2x19x7 / 3x3x3x3x3 7 x 19 x 8 / 18 x 6 x 9 10 2x3x3x3x3 / 5x7x13 2x3x3x3x3x3 / 5x5x17 6 x 18 x 9 / 17 x 5 x 10 11 5x17 / 3x7x13 5x5x17 / 2x2x2x2x2x11 5 x 17 x 10 / 16 x 4 x 11 12 2x2x2x2x2x11 / 3x5x7x13 2x2x2x2x11 / 3x3x3x5 4 x 16 x 11 / 15 x 3 x 12 13 2x3x3 / 7x13 3x3x3 x5 / 7x 13 3 x 15 x 12 / 14 x 2 x 13 14 2 / 3x5 2 2 x 14 x 13 / 13 x 1 x 14 15 1 / 3x5 16 0 比をいじってみた。
  26. 26. 26 person 比を修正 1 0 2 14 x 26 x 1 / 25 x 13 x 2 3 13 x 25 x 2 / 24 x 12 x 3 4 12 x 24 x 3 / 23 x 11 x 4 5 11 x 23 x 4 / 22 x 10 x 5 6 10 x 22 x 5 / 21 x 9 x 6 7 9 x 21 x 6 / 20 x 8 x 7 8 8 x 20 x 7 / 19 x 7 x 8 9 7 x 19 x 8 / 18 x 6 x 9 10 6 x 18 x 9 / 17 x 5 x 10 11 5 x 17 x 10 / 16 x 4 x 11 12 4 x 16 x 11 / 15 x 3 x 12 13 3 x 15 x 12 / 14 x 2 x 13 14 2 x 14 x 13 / 13 x 1 x 14 揃ってる!
  27. 27. この調子で一般化できる? 27
  28. 28. 残念! 28 win2 列はきれいに収まりませんでした… orz
  29. 29. まとめ • 16人トーナメントで調べてみた。 • 実力下位の人はラッキーなら期待値以上 • 実力上位の人は運要素で上下に振れる • 2位の人は運ゲー。 • 1位の人が全部持っていく。 • 勝数分布には規則性ありそう • 類題知ってる人おしえて! 29
  30. 30. おまけ • 今回の検証に使ったソースはこちら • https://github.com/kazurof/tournament 30
  31. 31. トーナメントは運か実力か 福原和朗 (@kazurof ) 第7回 日曜数学会 2016-10-01 31 ご清聴ありがとうございました

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