1. 何もないところから数を作る
2015/07/24 第4回プログラマのための数学勉強会
@taketo1024

2. 今日のテーマ
「数とは何か」

3. 「万物の根源は数である」
ピタゴラス
（BC 582∼496）

4. ピタゴラス
（BC 582∼496）
「万物の根源は数である」
自然数とその比

5. 無理数などない
ピタゴラス
死刑
ピタゴラス
先生、これ無理数ですけど…
弟子A
1
1
2

6. ピタゴラス教団のシンボル
1 黄金比 φ 👈 これも無理数ww
ぐぬぬ…

7. ユークリッド
（BC 300∼?）
『原論』の著者で「幾何学の父」。
「数」はやはり自然数のことになっている。

8. 古代ギリシャの滅亡と共にギリシャ数学は衰退、
イスラム世界に引き継がれ代数学が発展していく。

9. 代数方程式の解としての「無理数」
' : 1 = 1 : ' 1 , '(' 1) = 1
, '2
' 1 = 0
' =
1 ±
p
5
2

10. 13世紀頃、数学はヨーロッパに再輸入され次第に復活。
16世紀のルネッサンス期にはアラビア数字も採用され、
印刷技術の発展と共に急速に発展していく。

11. 17世紀：科学革命の時代
ニュートン、ライプニッツによって微積分学が発明される。
位置や速度など連続的に変化する量を解析する手段が確立される。
アイザック・ニュートン
（1642 ∼ 1727）
ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ
（1646 ∼ 1716）

12. 連続的に変化する量としての「実数」
t
x

13. 18世紀もさらに物理学への応用として微積分学が発展
していくが、「無限小」「極限」などが曖昧なままで
変な結果が色々と出てきた。

14. 1X
n=0
( 1)n
= 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ...
= (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + ...
= 0
= 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)...
= 1
0 = 1

15. 「解析学に幾何学で要求するような完全な厳密さを与えよう」

16. コーシーとワイエルシュトラウスによって無限小や極限が定式化される。
→ 理系大学生殺しの εδ 論法の完成！
19世紀：数学の基礎と抽象化
"-
オーギュスタン＝ルイ・コーシー
（1789 ∼ 1857）
カール・ワイエルシュトラス
（1815 ∼ 1897）

17. 「幾何学で要求するような完全な厳密さ」
経験や直観によらず、定義・公理から出発し、
論理的な手続きのみによって理論を展開していく方法。＝

18. 数列や関数の極限を扱うためには、
そもそも「実数」とは何かを定式化しなければいけない！

19. 実数の公理
1. 四則演算（＋, ­, , ）ができる。
2. 実数同士で大小（ ）が比較できる。
3. 実数全体はつながっている。

20. 実数の公理
👆 この「連続性」が有理数との決定的な違い！
しかしこの事実を定式化するのはとても難しい…
1. 四則演算（＋, ­, , ）ができる。
2. 実数同士で大小（ ）が比較できる。
3. 実数全体はつながっている。

21. 「連続性」の定式化
• R の空でない有界な部分集合は上限を持つ。
• R の上に有界な単調増加数列は収束する。
• R の有界な数列は収束部分列を持つ。
• 中間値の定理、最大値の定理が成り立つ。
• …
→ 実は全部同値になる。これが「定理」ではなく「公理」なのだ。
この辺でだいたいみんな数学に見放された気分になる。

22. 難しい話はともかく…

23. 実数の公理
1. 四則演算（＋, ­, , ）ができる。
2. 実数同士で大小（ ）が比較できる。
3. 実数全体はつながっている。
→ 実数とはこういうものだとして、さらに極限や連続なども粛々と定義
していけば、解析学は曖昧さや矛盾なく作り上げていくことができる。

24. うーん…

25. 一方的に「これは公理です」って言われるのは、
「これは仕様です」って言われるモヤモヤに似てる。

26. 【朗報】

27. 実数は有理数を「完備化」することで作れる！

28. じゃ有理数はどうやって作るの？

29. 有理数は整数同士の割り算で作れる！

30. 整数は？

31. 整数は自然数を二つ繋げて作れる！

32. 自然数は？

33. 自然数は…

34. 「空集合」から作る！！！

35. 何もないところから数を作る
@taketo1024
2015/07/24 第4回プログラマのための数学勉強会

36. 自然数を作るには、
まず自然数とは何かを定める必要がある。

37. 自然数の公理
1. 最初の数 0 N が存在する
2. 任意の a N にはその「次」 a+ が存在する
3. a+ = 0 なる a は存在しない（N は 0 から始まる）
4. a b ならば a+ b+ （a+ は単射）
5. N では数学的帰納法が成立する
以上を満たす集合 N を自然数系と呼ぶ

38. フォン・ノイマンによる自然数系の構成
として順に作っていく。
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a {a}

39. 復習：集合の合併
＝{A, B, C} {D, E} {A, B, C, D, E}
＝{A, B, C} {} {A, B, C}

40. • 0 = {}
• 1 = 0+ = 0 {0} = {0}
• 2 = 1+ = 1 {1} = {0} {1} = {0, 1}
• 3 = 2+ = 2 {2} = {0, 1} {2} = {0, 1, 2}
• ...
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a {a}

41. • 0 = {}
• 1 = {0}
• 2 = {0, 1}
• 3 = {0, 1, 2}
• ...
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a {a}

42. • 0 = {}
• 1 = {0} = { {} }
• 2 = {0, 1} = { {}, { {} } }
• 3 = {0, 1, 2} = { {}, { {} }, { {}, { {} } } }
• ...
1. 0 = {} (空集合)
2. a+ = a {a}

43. ね、簡単でしょう？

44. → 難しい場合は、空集合を 猫 に置き換えて考えましょう。

45. • 0 = 🐱
• 1 = {0} = { 🐱 }
• 2 = {0, 1} = { 🐱, { 🐱 } } 👈 さっきの写真
• 3 = {0, 1, 2} = { 🐱, { 🐱 }, { 🐱, { 🐱 } } }
• ...
1. 0 = 🐱 (空集合)
2. a+ = a {a}
簡単でしょう？

46. はじまりは何でもいいので、
空集合にしとけば何も用意しなくて済むってだけ。

47. 自然数系に順序と演算を入れて行きましょう！

48. • 0 = {}
• 1 = {0}
• 2 = {0, 1}
• 3 = {0, 1, 2}
• …
集合として 0 1 2 3 … となっている。
を とすれば自然数系には順序が入る。

49. • a + 0 = a
• a + (b+) = (a + b)+
和 a + b の定義

50. • a + 0 = a
• a + (b+) = (a + b)+
和 a + b の定義
3 + 2 = (3 + 1)+
= ((3 + 0)+ )+
= (3+ )+
= 4+
= 5

51. • a 0 = 0
• a (b+) = (a b) + a
積 a b の定義

52. 3 × 2 = (3 × 1) + 3
= ((3 × 0) + 3) + 3
= (0 + 3) + 3
= 3 + 3
= 6
積 a b の定義
• a 0 = 0
• a (b+) = (a b) + a

53. …何やってんの？w

54. 自然数はアルゴリズムで構成できるということ
ふざけたことを…

55. 「空配列」を空集合と見て、
プログラムで実装しちゃいましょう。

56. struct N: Equatable, Printable {
private let val: [Any]
private init(_ val: [Any]) {
self.val = val
}
static var zero: N {
return N([])
}
}
postfix operator + {}
postfix func +(n: N) -> N {
return N(n.val + [n.val])
}
func +(n: N, m: N) -> N {
if(m.val.isEmpty) {
return n
} else {
return (n + m-)+
}
}
func *(n: N, m: N) -> N {
if(m.val.isEmpty) {
return N.zero
} else {
return (n * m-) + n
}
}
https://gist.github.com/taketo1024/d60e0b8ba479921f7b16

57. DEMO

58. 何もないところから自然数が作れました！

59. 作れた後は 0 が空集合だとかいうことは
忘れて、普通の自然数として扱っていい。
（普段プログラミングするときに機械語のこと考えないようなモン）
N0 1 2 3 4 5 6 7 …

60. 次、整数 Z を作ります。
（ Z はドイツ語の「数」を意味する Zahlen から）

61. N-N
0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
N を二つ 0 のところで貼り合わせて、
正負の場合に分けて演算を定義すればいいだけ。

62. もっとカッコイイやり方：
N
0 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
3
2
1
N

63. 0 1 2 3 4 5 6 7
もっとカッコイイやり方：
7
6
5
4
3
2
1

64. 0 1 2 3 4 5 6 7
もっとカッコイイやり方：
7
6
5
4
3
2
1
x - y = 0
x - y = 1
x - y = 2
x - y = 3
x - y = 4
x - y = 5
x - y = 6
x - y = 7

65. 0 1 2 3 4 5 6 7
もっとカッコイイやり方：
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
x - y = -1-1-2-3-4-5-6-7

66. もっとカッコイイやり方：
0 1 2 3 4 5 6 7
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1-2-3-4-5-6-7
「直線上に並ぶ点たち」をまとめて一つの整数とすればいい。
👈 (n, 0) が n 0 に対応
(0, n) が n 0 に対応 👉

67. こうすることで演算が簡単に定まる：
例） 5 - 8 = (5, 0) + (0, 8)
= (5, 8)
= (0, 3)
= -3
例）3 (-2) = (3, 0) + (0, 2)
= (3 0 + 0 2, 3 2 + 0 0)
= (0, 6)
= -6

68. Z0 1 2 3 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
先ほどと同様、もうこの先は普通の真っ
直ぐな整数として扱っていい。
Z は ＋, ­, で閉じた「環」になる。

69. 次、有理数 Q を作ります。
（ Q はイタリア語の「商」を意味する Quoziente から）

70. Z (分子)
Z (分母)

71. Z (分子)
1
Z (分母)
2
34 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 = …
2 = 2/1 = 4/2 = 6/3 = …
1/2
「 (0, 0) と (p, q) を結ぶ直線上の点をまとめたもの」が p/q

72. Z (分子)
Z (分母)
(p, q) を q = 1 に射影したものが p/q と考えても良い。
Q
(5, 4)
5/4

73. 演算は小学校で習った通りに定義する
例） 2/3 + 3/5 = (2, 3) + (3, 5)
= (10, 15) + (9, 15) 👈 通分
= (19, 15)
= 19/15
例）3/4 2/7 = (3, 4) (2, 7)
= (3 2, 4 7)
= (6, 28)
= (3, 14) 👈 約分
= 3/14

74. Q は ＋, ­, , で閉じた「体」になる。
限りなく密に分布しているが、まだ無理数の穴が空いている。
Q

75. ではいよいよ、実数 R を作りましょう！
（ R はもちろん Real Number の R）

76. Q に空いている無理数の穴はどうやったら埋められるか？
Q
⇡ep
2
0 1 2 3 4

77. Q の中で目標の無理数に近づいていく数列を考える。
Q
e
0 1 2 3 4

78. ex
=
1X
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+ ...
ほぼチートだが、テイラー展開：

79. ex
=
1X
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+ ...
e =
1X
n=0
1
n!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+ ...
ほぼチートだが、テイラー展開：
より、 x = 1 として、
👈 有理数の無限和

80. e =
1X
n=0
1
n!
= 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+ ...
なので、有限部分和を取れば、
a0 = 1
a1 = 2
a2 = 2.5
a3 = 2.666...
a4 = 2.708...
...

81. a0 = 1
a1 = 2
a2 = 2.5
a3 = 2.666...
a4 = 2.708...
...
Q
e
0 1 2 3 4
この数列は Q の中で e に近づいていくので、
この数列のことを e ってことにすればいい。

82. なんかずるい。

83. 全ての無理数は有理数列の極限として表せるのか？

84. → それは知らない。
そもそも「無理数」であることが分かってる数も一部。
ee
, e⇡
, ⇡e
などは無理数かどうかまだ知られていない。

85. じゃあダメじゃん。

86. 人智を超えた「超越的」方法で作る
このような有理数列の「全体」を考え、色々な近づき方
でも同じところに落ち着いていくものをまとめたものを、
ひとつの実数ってことにする。
Q
e
0 1 2 3 4

87. カントールの実数論
コーシーが定めた連続・極限の概念を元に、
1872年に「コーシー列」の極限として実数を定式化した。
ゲオルク・カントール
（1845 ∼ 1918）

88. 「デーデキント・カット」
Q の「切断」一つ一つを実数ということにする。
Q
e
0 1 2 3 4
もうひとつのやり方
切断
リヒャルト・デーデキント
（1831 ∼ 1916）

89. これらの構成法によって作られた「数」は、
「連続性」を満たすことが証明できる（とても難しい）

90. なぜこんなに難しいのか？

91. 実数の公理
👆 当たり前だと思ってたこの性質がそれだけ特別だから！
1. 四則演算（＋, ­, , ）ができる。
2. 実数同士で大小（ ）が比較できる。
3. 実数全体はつながっている。

92. ちなみに
R から 複素数 C を作るのは簡単。
R R に (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) となる掛け算を入れるだけ。
R
iR C
z
w
zw

93. まとめ
φ < N < Z < Q <<< R
空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた！
しかし Q と R の間には、離散と連続の超えがたい壁があった。

94. まとめ
φ < N < Z < Q <<< R
空集合から出発して、順に実数まで構成していくことができた！
しかし Q と R の間には、離散と連続の超えがたい壁があった。
👆 これはどうやって作るの？

95. 「空っぽの集合」は実在するのか？

96. → 公理論的集合論 (1908)

97. 公理ばっかりやん…

98. 19世紀以降、
なぜ数学はどんどん公理化されていったのか？

99. 数学の独立と自由のため。
（…と僕は思う）

100. 前提条件を徹底的に明確にする代わりに、
何を前提とするかを選べる自由を得た。

101. 公理系は自由に採用していい（作ってもいい）。
6 + 7 = 1 でも 1 / 0 = でも良い。

102. ユークリッドの公理を満たさない
「非ユークリッド幾何学」も19世紀に確立された。

103. 厳密な論理の上に広がる自由で創造的な
数学の世界を楽しみましょう…！

104. Thanks!
Twitter: @taketo1024
Blog: http://taketo1024.hateblo.jp