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086 独立性の検定
- 1. 検定 適合度検定 独立性の検定 2003.07.11 講義後に修正 2003.07.16 ｒ ×c 分割表を追加 2011.08.20 カイ 2 乗分布パーセント点グラフを追加
- 2. 適合度検定 • 母集団がある分布に従っているか、度 数分布表にもとづいて検定 母集団 Π～F ( x) H 0 : F = F0 H1 : F ≠ F0
- 3. 仮説 母集団 Π～F( x) H 0 : F = F0 H1 : F ≠ F0 度数分布表 a1 a2 … am Total 観測度数 f1 f2 … fm n 期待度数 e1 e2 … em n 期待度数 ei = n Pr( X = ai )
- 4. 検定統計量 ( f1 − e1 ) 2 ( f 2 − e2 ) 2 ( f m − em ) 2 χ 02 = + ++ e1 e2 em m ( f k − ek ) 2 ∑ = ~ χ m −1 2 k =1 ek 帰無仮説のもとで自由度m − 1のχ 2分布 有意水準αより、 χ 2 > χ m −1 (α )) = α Pr( 2 となる上側α点 χ m −1 (α )を数表から求める。 2 χ 0 > χ m −1 (α ) H 0を棄却 2 2 ⇒ χ 0 < χ m −1 (α ) H 0を棄却しない 2 2 ⇒
- 5. 例題 • サイコロを 60回振ったところ、１から ６の目が次の表のように出現した。 このサイコロは「正しい」サイコロと 言えるか、有意水準 0.05 で検定せよ。 1 2 3 4 5 6 計 観測度数 14 10 11 8 9 8 60 期待度数 10 10 10 10 10 10 60 ( f − e) 2 / e 1.6 0 0.1 0.4 0.1 0.4 2.6 χ = 2.6 < 11.07 = χ (0.05) 2 0 2 5 よりH 0は棄却できない
- 6. 演習 • 1876年から 1894 年に「馬に蹴られて死んだプ ロシア軍兵士の度数分布」 • 1 年間に死者の軍団数が次のデータである。 • これはポアソン分布に当てはまると言われてい る。 • ポアソン分布と見なされるか適合度検定を行お う 0 1 2 3 4 5 以上 計 観測度数 109 65 22 3 1 - 200
- 7. ポアソン (Poison) 分布 •ポアソン分布は一定時間、一定面積内 に起きるある事象の回数の分布などに よく当てはまる。 • とりうる値 k は 0 以上の自然数 • 確率密度と期待値、分散 X ~ Po(λ ) λk −λ Pr( X = k ) = e k = 0,1, k! E ( X ) = Var ( X ) = λ
- 8. 演習のヒント λ • ポアソン分布のパラメータ は指定されて いないので、データより推定する。 • データの平均値 ˆ = 1 (0 ×109 + 1× 65 + 2 × 22 + 3 × 3 + 4 ×1) = 0.61 λ 200 • Po(0.61) に従っているかを検定する その時の期待度数を求める • 3 人、 4 人、 5 人以上は度数が少ないので、 まとめて 3 人以上にするのがよい。 λ • の値をデータから推定しているので、自 由度は１下がる
- 9. 0 1 2 3 4 5 以上 計 観測度数 109 65 22 3 1 - 200 確率密度 1.00 0.610 −0.61 0.611 −0.61 0.612 −0.61 0.613 −0.61 0.614 −0.61 ∞ 0.61k −0.61 0! e e 1! 2! e 3! e 4! e ∑ k! e k =5 期待度数 108.7 66.3 20.2 4.1 0.6 0.1 200 ( f − e) 2 / e
- 10. 独立性の検定 • 二つの属性 Bと C との間が独立かどう か H 0 : BとCとは独立 • 仮説 H : BとCとは独立ではない 1 • データC1 2×2 分割表 C2 計 B1 n11 n12 n1• B2 n21 n22 n2• 計 n•1 n•2 n
- 11. ni• × n•j • 観測度数 期待度数 = eij n C1 C2 計 C1 C2 計 B1 n11 n12 n1• B1 e11 e12 n1• B2 n21 n22 n2• B2 e21 e22 n2• n•1 n•2 n n•1 n•2 n 計 計 • 検定 χ = 2 0 (n11 − e11 ) 2 (n12 − e12 ) 2 + e11 e12 統計量 (n21 − e21 ) 2 (n22 − e22 ) 2 + + Yates の補正 e21 e22 2 2 (nij − eij ) 2 n(n11n22 − n21n12 ) 2 n(n11n22 − n21n12 ± n / 2) 2 ∑∑ = = = i =1 j =1 eij n1• n2• n•1n•2 n1• n2• n•1n•2 χ12 自由度１の χ２ 分布 ~
- 12. 例題 • 運動していると風邪をひきにくいことがあ るか 風邪 風邪 計 かかった かからな い 運動 16 36 52 している 運動 122 126 248 していな い 計 138 162 300 300(16 ×126 − 122 × 36) 2 χ = 2 0 = 5.87 52 × 248 ×138 × 162
- 13. 演習 • インフルエンザに予防注射は効果があ るか？ インフルエンザ 計 かかった かからな かった 受けた 35 45 80 予防注射 受けてい 80 40 120 ない 115 85 200 計
- 14. r×c 分割表 C1 C2 Cc 計 B1 n11 n12 n1c n1• B2 n21 n22 n2 c n2• Br nr1 nr 2 nrc nr • 計 n•1 n•2 n•c n
- 15. ni• pi = Pr(B = Bi ) = ˆ n n• j q j = Pr(C = C j ) = ˆ n 独立性を仮定すると pij = Pr( B = Bi & C = C j ) ˆ Pr( B = Bi ) Pr(C = C j ) = ni• n• j pi q j = = ˆ ˆ n n 検定統計量は となり、期待度数は r c (nij − eij ) 2 χ 02 == ∑∑ ~ χ (2r −1)( c −1) ni• n• j ni• n• j i =1 j =1 eij e ij = npij = n ˆ = n n n 自由度(r − 1)(c − 1)の χ２ 分布 となる。