5. При определении напряжений и деформаций в диске используют
уравнения равновесия, упругости и совместности деформаций.
Уравнения равновесия – это условия равновесия элемента диска в
поле центробежных сил.
Усилие на контуре элемента = напряжение × площадь.
Центробежная сила собственной массы диска = dP=dm·rω2=ρrydφdr·rω2.
Сумма проекций сил на радиальную ось, проходящую через центр массы
элемента, равна 0:
(σ r + dσ r )( y + dy )( r + dr ) dϕ − σ r yrdϕ − 2σ t ydr sin dϕ + dP = 0.
2
(10.1)
Полагая sin dϕ/2 = dϕ/2 и сокращая множитель dφ как геометрический
размер, получим уравнение равновесия:
d
( σ r y ) + (σ t − σ r ) y + ρω 2 ry = 0,
dr
r
(10.2)
где у – толщина диска, σr – радиальное напряжение, σt – тангенциальное
(окружное) напряжение.
02/26/14
5
6. Если U(r) – радиальное перемещение точек диска на радиусе r, то
деформации в радиальных и окружных направлениях будут
dU
εr =
,
dr
ε
02/26/14
t
(10.3)
( r + U ) dϕ − rdϕ = U .
=
rdϕ
r
6
(10.4)
7. Уравнения упругости (связь деформаций и напряжений):
1
(σ r − µσ t ) + αT ,
E
1
ε t = ( σ t − µσ r ) + αT ,
E
εr =
(10.5)
(10.6)
где μ – коэффициент Пуассона;
α – коэффициент линейного расширения.
Из уравнений (10.5), (10.6) с учетом (10.3) и (10.4) вытекают
соотношения
E dU
U Eα T
(10.7)
σr =
+µ −
,
2
1 − µ dr
r 1− µ
σt =
E U
dU EαT
.
+µ
−
2
1− µ r
dr 1 − µ
(10.8)
Подставляя (10.7), (10.8) в (10.2) получают дифференциальное
уравнение 2–го порядка относительно U(r). Решение вместе с граничными
условиями позволяет найти напряжения и деформации в диске. Однако,
точное решение возможно только в некоторых частных случаях (диск
постоянной толщины, гиперболический диск и пр.). Поэтому применяют
приближенные методы (их более 40).
02/26/14
7
8. В частности (один из методов), за неизвестные принимают
напряжения и учитывают уравнение совместности деформации. Оно основано
на соотношении
или
d U dU
,
r =
dr r dr
d
( rε t ) = ε r .
dr
(10.9)
С учётом (10.5) и (10.6) получают уравнения совместности в напряжениях
d 1
1
r ( σ t − µσ r ) + αT = ( σ r − µσ t ) + αT .
dr E
E
02/26/14
8
(10.10)
