exemplu de rezolvare a unei probleme, intindere si comprimare

1. Задача 1
Дано:
F = 14 см2
, F1 = 2F, F2 = 2F, F3 = F, P2 = 2.4 кН, γ = 77 кН/м3
,
E = 2 · 105
МПа, a = 4.5 м, b = 1 м, c = 4 м.
Стальной стержень находится под действием силы P и собственного веса.
Найти перемещение конца стержня
4Уч. 3
1Уч. 2
?P2
4.5Уч. 1
4Уч. 3
6
N3
?G3 ?G3
?G2
6N2
4Уч. 3
1Уч. 2
?P2
?G3
?G2
?
G1
6N1
4Уч. 3
1Уч. 2
?P2
4.5Уч. 1
Решение
Усилия по участкам (без учета собственного веса )
N3 = 0 кН,
N2 = N3 + 2.4 = 2.4 кН,
N1 = N2 = 2.4 кН,
Вычисляем веса участков:
G1 = γ · a · F1 = 77 · 1000 · 4.5 · 28 · 10−4
= 970.2 Н.
G2 = γ · b · F2 = 77 · 1000 · 1 · 28 · 10−4
= 215.6 Н.
G3 = γ · c · F3 = 77 · 1000 · 4 · 14 · 10−4
= 431.2 Н.
Усилия по концам участков (с учетом собственного веса, N∗
– нижний
конец)
N∗
3 = 0,
N3 = 0 + 431.2 = 431.2 Н = 0.43 кН,
N∗
2 = 2400 + 431.2 = 2831.2 Н = 2.83 кН,
N2 = 2400 + 431.2 + 215.6 = 3046.8 Н = 3.05 кН,
N∗
1 = 2400 + 431.2 + 215.6 = 3046.8 Н = 3.05 кН,
N1 = 2400 + 431.2 + 215.6 + 970.2 = 4017 Н = 4.02 кН,
Напряжения (σ = N
F ) по концам участков (с учетом собственного веса,
σ∗
– нижний конец)
σ∗
3 = 0,
σ3 =
431.2
14 · 10−4
= 308000Н/м2
= 0.3 МПа,
σ∗
2 =
2831.2
28 · 10−4
= 1011142.Н/м2
= 1.01 МПа,

2. σ2 =
3046.8
28 · 10−4
= 1088142.Н/м2
= 1.09 МПа,
σ∗
1 =
3046.8
28 · 10−4
= 1088142.Н/м2
= 1.09 МПа,
σ1 =
4017
28 · 10−4
= 1434642.Н/м2
= 1.43 МПа,
4Уч. 3
1Уч. 2
?P2
4.5Уч. 1
3046.8
4017
2831.2
3046.8
0
431.2
1.09
1.43
1.01
1.09
0
0.3
На основании принципа независимости действия сил полное перемещение
равно сумме премещений от действия силы P и от собств.веса.
Удлинения участков от действия силы P
δP1 = l1N1
EF1
= 2.4·4.5·103
2·1011·28·10−4 = 192.86 · 10−4
м,
δP2 = l2N2
EF2
= 2.4·1·103
2·1011·28·10−4 = 42.86 · 10−4
м,
δP3 = 0,
Общее удлинение стержня от силы P
δP = (192.86 + 42.86) · 10−7
= 235.71 · 10−7
м.
Удлинения участков от действия собственного веса
δG1 = l1
EF1
G2 + G3 + 1
2 G1 = 4.5
2·1011·28·10−4 215.6 + 431.2 + 1
2 970.2 = 90.96 ·
10−7
м.
δG2 = l2
EF2
G3 + 1
2 G2 = 1
2·1011·28·10−4 431.2 + 1
2 215.6 = 9.63 · 10−7
м.
δG3 = l3
EF3
1
2 G3 = 4
2·1011·14·10−4
1
2 431.2 = 30.8 · 10−7
м.
Общее удлинение стержня от собственного веса
δG = (90.96 + 9.63 + 30.8) · 10−7
= 131.38 · 10−7
м.
Суммарное удлинение стержня
δ = δP + δG = (235.71 + 131.38) · 10−7
= 367.1 · 10−7
м.