transmission line theory

1. 傳輸線理論
1

2. 大綱
2
 傳輸線理論
 無損耗傳輸線(Lossless Transmission Line)
 低損耗傳輸線(Low-loss Transmission Line)
 無失真傳輸線(Distortionless Transmission Line)
 有終端負載的傳輸線

3. 傳輸線理論
3
 一段無限短傳輸線之集總元件等效電路
i(z,t)

z
其中R=單位長度之串聯電阻，/m。
L=單位長度之串聯電感，H/m。
G=單位長度之並聯電導，S/m。
C=單位長度之並聯電容，F/m。
v(z,t)

z
z
i(z,t)


v(z,t)
Rz Lz
Gz Cz


v(z  z,t)
i(z  z,t
)

4. 傳輸線理論
4
 由克希和夫電壓定律(Kirchhoff’s Voltage Law, KVL)
V  Lz
dI
 IRz  (V  V)  0
z
 由克希和夫電流定律(Kirchhoff’s Current Law, KCL)
 V   jLIz  RIz 
V
 (R  jL)I
dt

I
 (G  jC)(V  V)
dt
 I   jCz(V  V)  G(V  V)z
I  Cz
d(V  V)
 Gz(V  V)  (I  I)  0
z

5. 傳輸線理論
5
 當V  0，I  0及 z  0 時

dI(z)
 (G  jC)V(z)


dV(z)
 (R  jL)I(z)
dz
dz

d I(z)
 (G  jC)
dV(z)
 (G  jC)(R  jL)I(z)


d 2
V(z)
 (R  jL)  (R  jL)(G  jC)V(z)
dI(z)
dz2
2
dz2
dz
dz
分別對z再微分

6. 傳輸線理論
6
 加以化簡
其中   (R  jL)(G  jC)    j 為複數型態之傳播
常數(propagation constant)，為頻率的函數。
：衰減常數(attenuation constant)，neper/m。
：相位常數(phase constant)，rad/m。
   
   
 
 















zz
zz
eIeIzI
eVeVzV
zI
dz
zId
zV
dz
zVd




00
00
2
2
2
2
2
2
0
0
 相速度(phase velocity)定義為ωt-βz=定值，即t1 z1 
t2 z2，故






12
12
tt
zz
vphase

7. 傳輸線理論(續)
定義特徵阻抗Characteristic Impedance) Z0為
 
   
 
  
 
 
 
zz
zz
zz
zz
eIeI
eVeV
LjR
CjG
eVeV
LjR
CjGLjR
eVeV
LjRdz
dV
LjR
I
ILjR
dz
dV






























00
00
00
00
11
CjG
LjRLjR
I
V
I
V
Z








 



0
0
0
0
0

8. 無損耗傳輸線
令R = G = 0 
R = 0表示傳輸線為良導體(Perfect Conductor)，無歐姆
損耗﹔
G=0表絕緣性非常好，兩導體間沒有漏電流存在。
特徵阻抗為：
波長Wavelength為：
相位速度Phase Velocity為：vphase
LC

 
1







LC
LCjj



0
C
L
CjG
LjR
Z
G
R






0
0
0


LC
g





22


9. 低損耗傳輸線
假設R  L 及G  C 表示導體損耗及介電損耗都很
小，則
利用泰勒展開式：
1 X  1
X
......
2
     
LC
RG
C
G
L
R
jLCj
Cj
G
Lj
R
CjLjCjGLjR
2
1
11
























)&( 2
LCRGCGLR  




















C
G
L
Rj
LCj
C
G
L
R
jLCj




2
1
1

10. 低損耗傳輸線
使用相同的近似方式，特徵阻抗Z0為：



































LC
GZ
Z
R
C
L
G
L
C
R
j
C
G
L
Rj
LCj





0
02
1
2
1
2
1
C
L
C
G
L
R
jC
L
Cj
G
Lj
R
C
L
CjG
LjR
Z


































2
1
1
11
2
1
2
1
0
其中Z0=(L/C)1/2，
是無損耗傳輸線
之特徵阻抗
相速度為： )constantelyapproximat(
1
LC
vphase 



11. 無失真傳輸線
• 目的：
1. 使訊號的不同頻率分量以相同速度傳播 (vp indep. of ω)
2. 使訊號的不同頻率分量的衰減相同 (α indep. of ω)
以防止訊號失真。
 當
 相速度為：
 特徵阻抗Z0為：
C
G
L
R

 
  















LC
L
C
R
LjR
L
C
Cj
L
RC
LjRj




)constant(
1
LC
vphase 


 
)constant(
/
0
C
L
CjLRC
LjR
Z 






12. 有終端負載的傳輸線
在z = 0處
VL ZL


V(z), I(z)
z
IL
Z0, 
 
 











zzzz
zz
e
Z
V
e
Z
V
eIeIzI
eVeVzV


0
0
0
0
00
00
 
 













 0
0
0
00
00
00
00
00
0
0
V
ZZ
ZZ
VZ
VV
VV
II
VV
I
V
Z
L
L
L
定義電壓反射係數(Voltage Reflection Coefficient) 為：
 
0
0
0
0
0
ZZ
ZZ
V
V
L
L


 

z = -l z = 0

13. 有終端負載的傳輸線
當z = -l時，反射係數為
VL ZL


V(z), I(z)
z
IL
Z0, 
z = -l z = 0
    l
l
l
l
e
V
eV
eV
eV
lz 



2
0
2
0
0
0
0 





 駐波比(Standing Wave Ratio, SWR)，或稱電壓駐波比(Voltage
Standing Wave Ratio, VSWR) ，定義為：



1
1
min
max
V
V
SSWR
，全反射
，無反射


S
S
1
10
   
 
電壓反射係數的相位:
1
1
1 0min
0max
2
0
0
























VV
VV
eeV
eeVzV
lineslosslessfor zjj
zjzj


14. 有終端負載的傳輸線
若為無損耗之傳輸線，在z = -l處往負載端看之輸入阻抗為：
VL ZL


V(z), I(z)
z
IL
Z0, 
z = -l z = 0
 
 
 
  02
2
0
0
0
1
1
Z
e
e
Z
eeV
eeV
lzI
lzV
Z lj
lj
ljlj
ljlj
in 
















代入，得將反射係數
0
0
ZZ
ZZ
Γ
L
L



ljZZ
ljZZ
Z
ljZlZ
ljZlZ
ZZ
L
L
L
L
in




tan
tan
sincos
sincos
0
0
0
0
0
0







15. 有終端負載的傳輸線
 若傳輸線負載端為短路(Short-Circuit)，即 ZL=0，則輸
入阻抗Zin jZ0 tan l。假設為一非常短之傳輸線，則
  LljlLC
C
L
jljZljZjXZ sin   00 tan
 若傳輸線負載端為斷路(Open-Circuit)，即 ZL=∞，則輸
入阻抗Zin jZ0 cot l。假設為一非常短之傳輸線，則
CljlLCjC
L
lj
Z
ljZjXZ oin


11
cot 0
0 
S: Shorted O: Open
Xo
or
Xs
(Inductive)
(capacitive)
對於負載端為短
路及斷路的傳輸
線，輸入阻抗如
右圖

16. 有終端負載的傳輸線
例題
傳輸線之特徵阻抗Z0=75，負載端阻抗為ZL=68-j12
。試求
(1)負載端反射係數L
(2)駐波比SWR
(3)在Z=l1為第一點發生最小電壓處，試求在Z=l1的輸入
阻抗Zin(l1)
(4)在Z=l2為第一點發生最大電壓處，試求在Z=l2的輸入
阻抗Zin(l2)。
[解]
(1) 
(2) SWR 
1 L

68  j12 75
 0.097 115.5
68  j12  75ZL  Z0

ZL Z0
L

1 0.097
 1.215
10.0971 L

17. 有終端負載的傳輸線
[解](續)
(3)
(4)
    
  





 
7.6175
215.1
1
09.0
360
5.64
2
1
5.115180
2
218025.115
180215.115097.0
1
1
11
min1
2
1
1
lZ
l
ll
lel
in
lj
Lin






  



1.9175215.1
34.0
5.115360
2
236025.115
2
2
2
22
max
lZ
l
ll
n
in




