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積分と漸化式
1.
次の問に答えよ (1)𝑛 = 1,2,3
… に対して 0 ∞ 𝑢2𝑛−1 𝑒−𝑢2/2 𝑑𝑢 を求めよ。 (2) 𝑛 = 1,2,3 … に対し 𝑅2 |𝑥 − 𝑦|2𝑛−1 𝑒−(𝑥2+𝑦2) 𝑑xdyを求めよ。 𝑢2−1 𝑒−𝑢2/2 𝑢2・2−1 𝑒−𝑢2/2 𝑢2・3−1 𝑒−𝑢2/2 𝑢2・4−1 𝑒−𝑢2/2 |𝑥 − 𝑦|2・1−1 𝑒−(𝑥2+𝑦2) |𝑥 − 𝑦|2・2−1 𝑒−(𝑥2+𝑦2) |𝑥 − 𝑦|2・3−1 𝑒−(𝑥2+𝑦2) |𝑥 − 𝑦|2・1−1 𝑒−(𝑥2+𝑦2)
2.
次の問に答えよ (1)𝑛 = 1,2,3
… に対して 0 ∞ 𝑢2𝑛−1 𝑒−𝑢2/2 𝑑𝑢 を求めよ。 計算 [0,1)区間で𝑢2𝑛−1 𝑒−𝑢2/2<1より 0 1 𝑢2𝑛−1 𝑒−𝑢2/2 𝑑𝑢 < 1 [1,∞)区間で𝑒 𝑢2/2 = 0 ∞ 1 𝑛! 𝑢2 2 𝑘 > 1 n+1 ! u2 2 2 から𝑢2𝑛−1 𝑒−𝑢2/2 < 𝑛 + 1 ! 2 𝑛+1 𝑢−3 より 1 ∞ 𝑢2𝑛−1 𝑒−𝑢2/2 𝑑𝑢 < 1 ∞ 𝑛 + 1 ! 2 𝑛+1 𝑢−3 𝑑𝑢 = 𝑛 + 1 ! 2 𝑛 よって任意のnに対して収束する。 0 ∞ 𝑢2𝑛−1 𝑒−𝑢2/2 𝑑𝑢 =𝐼 𝑛 とおくと 𝐼 𝑛+1 = 0 ∞ 𝑢2𝑛+1 𝑒−𝑢2/2 𝑑𝑢 = −𝑢2𝑛 𝑒− 𝑢2 2 0 ∞ + 2𝑛𝐼 𝑛 = 2𝑛𝐼 𝑛 (2) 𝑛 = 1,2,3 … に対し 𝑅2 |𝑥 − 𝑦|2𝑛−1 𝑒−(𝑥2+𝑦2) 𝑑xdyを求めよ。 計算 x=(u+v)/2 y=(-u+v)/2 J(x,y,u,v)=1/2 𝑅2 |𝑥 − 𝑦|2𝑛−1 𝑒−(𝑥2+𝑦2) 𝑑xdy= 𝑅2 𝑢 2𝑛−1 𝑒− 𝑢2+𝑣2 /2 1 2 𝑑ud𝑣= 1 2 −∞ ∞ 𝑒− 𝑣2 2 𝑑𝑣 −∞ ∞ 𝑒− 𝑢2 2 𝑑𝑣 𝑢 2𝑛−1 𝑑u (1)より −∞ ∞ 𝑒− 𝑢2 𝑑𝑣 𝑢 2𝑛−1 𝑑u=2𝐼 𝑛 ガウス積分より −∞ ∞ 𝑒− 𝑣2 2 𝑑𝑣= 2π よって 𝑅2 |𝑥 − 𝑦|2𝑛−1 𝑒−(𝑥2+𝑦2) 𝑑xdy= 2π𝐼 𝑛=2 𝑛−1 𝑛 − 1 ! 2π
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